一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 下列與角終邊相同的角為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】與角終邊相同的角為，
當(dāng)時(shí)，可得.
故選：D.
2. 已知集合，，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】因?yàn)榧?，?br>所以，.
故選：A
3. 已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則（ ）
A. B. 9
C. D. 1
【答案】A
【解析】設(shè)為常數(shù)，由冪函數(shù)的圖象過(guò)，得，解得，
則，所以.
故選：A.
4. 已知圓心角為的扇形的弧長(zhǎng)為，則該扇形的面積為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】易知圓心角，由弧長(zhǎng)，得，
所以該扇形的面積為.
故選：D.
5. 函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因?yàn)椋谏蠁握{(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減，
又，，，
，，
所以，根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)存在定理可知，函數(shù)在區(qū)間上有零點(diǎn).
故選：B.
6. 已知，為正實(shí)數(shù)，則“”是“”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】C
【解析】由，得，所以，則充分性成立；
由，得，則，所以，則必要性成立.
綜上可知，“”是“”的充要條件.
故選：C.
7. 若存在正實(shí)數(shù)x，y滿足，且使不等式有解，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由，且，
得，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，依題意，，解得或，
所以的取值范圍是.
故選：D.
8. 已知函數(shù)，若關(guān)于的不等式的解集為，則函數(shù)的值域?yàn)椋? ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由關(guān)于的不等式的解集為，
得，為方程的兩根，即，
整理得，
所以函數(shù)的值域?yàn)?
故選：D.
二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 下列能夠表示集合到集合的函數(shù)關(guān)系的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABD
【解析】對(duì)于A，在中，當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值為都屬于集合，故A正確；
對(duì)于B，在中，當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值為都屬于集合，故B正確；
對(duì)于C，在中，當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值為，與集合不對(duì)應(yīng)，
故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，在中，當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值為都屬于集合，故D正確.
故選：ABD.
10. 已知，，則下列等式正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】因?yàn)椋瑒t．
A，，可得，正確；
B，由A知，，則，
所以，則，正確；
C，由，可得，則，錯(cuò)誤；
D，，正確．
故選：ABD.
11. 已知函數(shù)，則（ ）
A. 當(dāng)時(shí)，為偶函數(shù)B. 既有最大值又有最小值
C. 在上單調(diào)遞增D. 的圖象恒過(guò)定點(diǎn)
【答案】ACD
【解析】當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)镽，因?yàn)椋?br>所以為偶函數(shù)，A正確；
因?yàn)?，所以?br>則有最大值，沒(méi)有最小值，B錯(cuò)誤；
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
又在R上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
C正確；
當(dāng)時(shí)，，所以的圖象恒過(guò)定點(diǎn)，D正確.
故選：ACD.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 已知命題，，則命題的否定為_(kāi)_______.
【答案】，
【解析】命題“，”的否定為“，”.
13. 已知滿足，且，則______.
【答案】4
【解析】令得，
所以，
令，得.
14. 已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_______.
【答案】
【解析】由二次函數(shù)，一次函數(shù)，分段函數(shù)的單調(diào)性可知，解得，
故實(shí)數(shù)的取值范圍為.
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.
15. 已知集合，．
（1）若成立的一個(gè)必要條件是，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
解：（1）因?yàn)榧?，?br>若成立的一個(gè)必要條件是，所以，
則，所以，
故實(shí)數(shù)的取值范圍.
（2）若，則或，所以或，
故實(shí)數(shù)的取值范圍.
16. 已知函數(shù).
（1）填寫(xiě)下表，用“五點(diǎn)法”畫(huà)出函數(shù)在一個(gè)周期上的圖象；
（2）解不等式.
解：（1）列表：
描點(diǎn)，連線得到圖象如下.
（2）由，得，所以.
則，或，，
解得，或，.
所以的解集為.
17. 已知二次函數(shù)滿足.
（1）求函數(shù)的解析式；
（2）若，，求的最小值.
解：（1）設(shè)，
因?yàn)?br>，
所以，解得，所以.
（2），.
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，；
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，.
綜上，.
18. 近幾年，直播平臺(tái)作為一種新型的學(xué)習(xí)渠道，正逐漸受到越來(lái)越多人們的關(guān)注和喜愛(ài)．某平臺(tái)從2021年建立開(kāi)始，得到了很多網(wǎng)民的關(guān)注，會(huì)員人數(shù)逐年增加．已知從2021到2023年，每年年末該平臺(tái)的會(huì)員人數(shù)如下表所示．
（1）請(qǐng)根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，從下列三個(gè)模型中選擇一個(gè)恰當(dāng)?shù)哪Ｐ凸浪阍撈脚_(tái)建立第年年末會(huì)員人數(shù)（千人），求出你所選擇模型的解析式，并預(yù)測(cè)2024年年末的會(huì)員人數(shù)；
①；②；③．
（2）為了更好地維護(hù)管理平臺(tái)，該平臺(tái)規(guī)定第年年末的會(huì)員人數(shù)上限為千人，請(qǐng)根據(jù)（1）中得到的函數(shù)模型，求的最小值．
解：（1）由表格中的數(shù)據(jù)知，所求函數(shù)是一個(gè)增函數(shù)，且增長(zhǎng)越來(lái)越快，
模型①的函數(shù)遞減，模型②的函數(shù)即使遞增，增長(zhǎng)也較緩慢，因此選擇模型③，
于是，解得，
所以函數(shù)模型對(duì)應(yīng)的解析式為，
當(dāng)時(shí)，預(yù)測(cè)2024年年末的會(huì)員人數(shù)為千人．
（2）由（1）及已知得，對(duì)，都有，令，則，
令，則不等式右邊等價(jià)于函數(shù)，
函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，因此，
則，所以的最小值為．
19. 已知函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，.
（1）證明：函數(shù)的圖象是軸對(duì)稱圖形；
（2）求關(guān)于的不等式的解集；
（3）若函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的值.
解：（1）由題意可知，，解得，.
所以.易知的定義域?yàn)椋?br>因?yàn)椋?br>所以函數(shù)是偶函數(shù)，故函數(shù)的圖象是軸對(duì)稱圖形.
（2）不等式可化為，即，
解得，又，所以，解得，
故原不等式的解集為.
（3）由（1）可知，，
由題意可知，，得，即，
令，又知函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，解得.0
2
0
0
0
0
2
0
0
建立平臺(tái)第年
1
2
3
會(huì)員人數(shù)（千人）
22
34
70

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