本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.
2024.12
一?填空題（本大題共12小題，滿分54分）第1小題至第6小題每個(gè)空格填對(duì)得4分，第7小題至第12小題每個(gè)空格填對(duì)得5分，考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)編號(hào)后填寫(xiě)答案，否則一律得零分.
1. 設(shè)集合，則__________.
【答案】
【解析】集合，所以.
故答案為：
2. 不等式的解集為_(kāi)_________.
【答案】
【解析】由不等式，得，即，解得，
所以原不等式的解集為.
故答案為：
3. 已知是虛數(shù)單位，是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)_________.
【答案】
【解析】，
因?yàn)槠錇榧兲摂?shù)，則且，解得.
故答案為：.
4. 設(shè)是等差數(shù)列，，則該數(shù)列的前8項(xiàng)的和的值為_(kāi)_________.
【答案】36
【解析】在等差數(shù)列中，，則公差，
所以.
故答案為：36
5. 到點(diǎn)距離之和為10的動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為_(kāi)_________.
【答案】
【解析】依題意，，
則點(diǎn)的軌跡是以為左右焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)的橢圓，
由，得，
所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為.
故答案為：
6. 在中，已知，則的值為_(kāi)_________.
【答案】
【解析】在中，由正弦定理得，而，
因此，即，所以.
故答案為：
7. 已知物體的位移（單位：）與時(shí)間（單位：）滿足函數(shù)關(guān)系，則該物體在時(shí)刻的瞬時(shí)速度為_(kāi)_________.
【答案】2
【解析】函數(shù)，求導(dǎo)得，則，
所以所求瞬時(shí)速度為2.
故答案為：2
8. 若用替換命題“對(duì)于任意實(shí)數(shù)，有，且等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立”中的，即可推出平均值不等式“任意兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均值不小于它們的幾何平均值，且等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)這兩個(gè)正數(shù)相等時(shí)成立”.則__________.
【答案】（答案不唯一，可以為或其它字母表示的表達(dá)式）
【解析】取正數(shù)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
因此，即，
于是“任意兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均值不小于它們的幾何平均值，且等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)這兩個(gè)正數(shù)相等時(shí)成立”.
顯然，取.
故答案為：
9. 以雙曲線的離心率為半徑，以右焦點(diǎn)為圓心的圓與雙曲線的漸近線相切，則的值為_(kāi)_________.
【答案】
【解析】雙曲線的漸近線為，離心率，右焦點(diǎn)，
依題意，，所以.
故答案為：
10. 如圖所示，小明和小寧家都住在東方明珠塔附近的同一幢樓上，小明家在層，小寧家位于小明家正上方的層，已知.小明在家測(cè)得東方明珠塔尖的仰角為，小寧在家測(cè)得東方明珠塔尖的仰角為，則他倆所住的這幢樓與東方明珠塔之間的距離__________.
【答案】
【解析】分別過(guò)點(diǎn)作的垂線，垂足分別為，
則根據(jù)正切函數(shù)的定義得，，
則，解得.
故答案為：.
11. 記.若函數(shù)y=fx是偶函數(shù)，則該函數(shù)圖象與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最大值為_(kāi)_________.
【答案】
【解析】因?yàn)槎魏瘮?shù)為偶函數(shù)，
則該函數(shù)的對(duì)稱軸為直線，可得，
令，，
則
因此，該函數(shù)圖象與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最大值為.
故答案為：.
12. 已知是從大到小連續(xù)的正整數(shù)，且，則的最小值為_(kāi)_________.
【答案】100000
【解析】設(shè)，依題意，，，
由，得，解得，因此，
則，，所以的最小值為100000.
故答案為：100000
二?選擇題（本大題共4小題，滿分18分）第13題?14題各4分，第15題?16題各5分.每題有且僅有一個(gè)正確答案，考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)編號(hào)上，將代表答案的小方格涂黑.
13. 設(shè)，則“”是“且”的（ ）
A. 充分非必要條件B. 必要非充分條件
C. 充要條件D. 既非充分又非必要條件
【答案】B
【解析】正向來(lái)看，取，則，滿足，但不滿足a>0且，故充分性不成立，
反向來(lái)看，，則，故必要性成立，
所以前者是后者的必要不充分條件.
故選：B.
14. 污水處理廠通過(guò)清除污水中的污染物獲得清潔用水并生產(chǎn)肥料.該廠的污水處理裝置每小時(shí)從處理池清除掉的污染殘留物.要使處理池中的污染物水平降到最初的，大約需要的時(shí)間為（ ）（參考數(shù)據(jù)：）
A. 小時(shí)B. 小時(shí)
C. 小時(shí)D. 小時(shí)
【答案】B
【解析】設(shè)處理池中的殘留物初始時(shí)為，則小時(shí)后，處理池中的殘留物為，
根據(jù)題意可得，即，解得.
因此，要使處理池中的污染物水平降到最初的，大約需要的時(shí)間為小時(shí).
故選：B.
15. 我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中將四個(gè)面都是直角三角形的空間四面體叫做“鱉臑”.如圖是一個(gè)水平放置的.現(xiàn)將沿折起，使點(diǎn)移動(dòng)到點(diǎn)，使得空間四面體恰好是一個(gè)“鱉臑”，則二面角的大小為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】中，.
不妨設(shè)，則，
空間四面體是一個(gè)“鱉臑”，則和都是直角三角形，
若，則中，，由勾股定理得，
此時(shí)不是直角三角形，不合題意；
所以，在中，，由勾股定理得，
此時(shí)滿足是直角三角形，，
由，，二面角的平面角為，
中，，，
所以二面角的大小為.
故選：D.
16. 在四棱錐中，，則該四棱錐的高為（ ）
A. 4B. 3C. 2D. 1
【答案】C
【解析】設(shè)平面的一個(gè)法向量，
則，令，則，即，
所以該四棱錐的高.
故選：C.
三?解答題（本大題共5題，滿分78分）解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號(hào)的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫(xiě)出必要的步驟.
17. 設(shè)函數(shù).
（1）求函數(shù)單調(diào)區(qū)間；
（2）求不等式的解集.
解：（1），
令，解得或者，
令，解得或，
所以，該函數(shù)的嚴(yán)格單調(diào)增區(qū)間為和，嚴(yán)格單調(diào)減區(qū)間為和.
（2），即，
，即，利用穿根法解得.
所以解集為.
18. 已知向量，且.
（1）求及；
（2）記，求函數(shù)的最小值.
解：（1）由題意得，
由于
則
，
因?yàn)椋?
（2）
因?yàn)?，則，則當(dāng)，即時(shí)，該函數(shù)取得最小值.
19. 如圖所示，正三棱錐的側(cè)面是邊長(zhǎng)為2的正三角形.
（1）求正三棱錐的體積；
（2）設(shè)分別是線段的中點(diǎn).
求證：①平面；
②若平面交于點(diǎn)，則四邊形是正方形.
（1）解：由正三棱錐的側(cè)面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，得正三棱錐為正四面體，
取正的中心，連接，延長(zhǎng)交于，連接，則平面，
是的中點(diǎn)，，，
則，
所以正三棱錐的體積.
（2）證明：①由分別是線段的中點(diǎn)，得，而平面，平面，
所以平面.
②由平面交于點(diǎn)，得面平面，而平面，
平面，則，而是中點(diǎn)，則是的中點(diǎn)，
因此，而，則四邊形是平行四邊形，
又，于是為菱形，而，
平面，則平面，又平面，
因此，于是，所以四邊形是正方形.
20. 如圖的封閉圖形的邊緣由拋物線和垂直于拋物線對(duì)稱軸的線段組成.已知，拋物線的頂點(diǎn)到線段所在直線的距離為.
（1）請(qǐng)用數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言表達(dá)這個(gè)封閉圖形的邊緣；
（2）在該封閉圖形上截取一個(gè)矩形，其中點(diǎn)在線段上，點(diǎn)拋物線上.求以矩形為側(cè)面，為母線圓柱的體積最大值；
（3）求證：拋物線的任何兩條相互垂直的切線的交點(diǎn)都在同一條直線上.
（1）解：如圖建立平面直角坐標(biāo)系，
設(shè)拋物線的方程為，
則曲線過(guò)點(diǎn)，所以，故，所以，曲線的方程為，
線段AB的方程為，
（2）解：設(shè)Ex,y，則.
以CF為母線的圓柱的底面半徑滿足，所以，
所以圓柱的體積 .
所以，
所以，當(dāng)時(shí)，其體積取得最大值；
（3）證明：因?yàn)楹瘮?shù)的導(dǎo)函數(shù)，
所以，拋物線上任意一點(diǎn)的切線斜率為，
設(shè)是拋物線上兩條相互垂直的切線，切點(diǎn)分別為，
則其方程分別為，
且，
消去，解得，
因?yàn)?，?
故拋物線的任何兩條相互垂直的切線的交點(diǎn)都在直線上.
21. 如果函數(shù)滿足以下兩個(gè)條件，我們就稱函數(shù)為型函數(shù).
①對(duì)任意的，有；
②對(duì)于任意的，若，則.
求證：
（1）是型函數(shù)；
（2）型函數(shù)在上為增函數(shù)；
（3）對(duì)于型函數(shù)，有（為正整數(shù)）.
證明：（1）記；
對(duì)任意的，有；
對(duì)于任意的，
若，
則，
即
故函數(shù)是型函數(shù).
（2）設(shè)，且，則.
因此
，
可知在上為增函數(shù).
（3）因?yàn)椋?br>所以

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