本試卷滿分150分，考試時間120分鐘．
一、填空題（本大題共12小題，滿分54分）第1小題至第6小題每個空格填對得4分，第7小題至第12小題每個空格填對得5分，考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)編號后填寫答案，否則一律得零分．
1. 準(zhǔn)線方程為的拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為______．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)拋物線準(zhǔn)線方程可知拋物線開口方向和幾何量p，然后可得方程.
【詳解】由拋物線準(zhǔn)線方程可知，拋物線開口向右，其中，得，
所以拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為.
故答案為：
2. 的二項(xiàng)展開式中的系數(shù)為______.
【答案】6
【解析】
【分析】寫出二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，按要求求出值即得.
【詳解】由的二項(xiàng)展開式得通項(xiàng)為：，使，解得：，
故的二項(xiàng)展開式中的系數(shù)為.
故答案為：6.
3. 若一個圓柱的底面半徑和母線長都是1，則這個圓柱的體積是______.
【答案】
【解析】
【分析】直接根據(jù)圓柱的體積公式計(jì)算即可得出答案.更多優(yōu)質(zhì)資源可進(jìn)入 【詳解】這個圓柱的體積.
故答案為：.
4. 已知， 是虛數(shù)單位，的虛部為______.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的概念和復(fù)數(shù)的運(yùn)算求解即可.
【詳解】由題，
所以的虛部為.
故答案為：
5. 計(jì)算_____________．
【答案】2
【解析】
【分析】根據(jù)無窮等比數(shù)列的求和公式直接即可求出答案.
【詳解】.
故答案為：2.
6. 某果園種植了222棵蘋果樹，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取了20棵蘋果樹，算得這20棵蘋果樹平均每棵產(chǎn)量為28 kg，則預(yù)估該果園的蘋果產(chǎn)量為______kg．
【答案】6216
【解析】
【分析】由分層抽樣相關(guān)知識可得答案.
【詳解】設(shè)該果園的蘋果產(chǎn)量預(yù)估值為，則.
故答案為：6216
7. 下列冪函數(shù)在區(qū)間上是嚴(yán)格增函數(shù)，且圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱的是______（請?zhí)钊肴空_的序號）．
①； ②； ③ ； ④ ．
【答案】②
【解析】
【分析】根據(jù)冪函數(shù)性質(zhì)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，可得，再結(jié)合奇函數(shù)性質(zhì)即可判斷.
【詳解】因?yàn)閮绾瘮?shù)在區(qū)間上是嚴(yán)格增函數(shù)，所以，故④不滿足題意,
因?yàn)樵搩绾瘮?shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱，所以為奇函數(shù)，
根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)，
因?yàn)槎x域?yàn)椋詧D象不關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱，故①不滿足題意；
因?yàn)榈亩x域?yàn)?，且，故②滿足題意；
因?yàn)榈亩x域?yàn)?，且，故③不滿足題意.
故答案為：②.
8. 若不等式對所有實(shí)數(shù)x恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______．
【答案】
【解析】
【分析】
利用絕對值的幾何意義即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【詳解】∵由絕對值的幾何意義知：對于任意實(shí)數(shù)x都有，
∴對所有實(shí)數(shù)x恒成立，則必有，
故答案為：.
【點(diǎn)睛】本題考查了由絕對值不等式恒成立求參數(shù)范圍，應(yīng)用絕對值幾何意義，屬于簡單題.
9. 如圖，在四棱錐中，平面，底面是矩形，，，是上的點(diǎn)，直線與平面所成的角是，則的長為______.
【答案】2
【解析】
【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，求出平面的法向量，利用空間角的向量求法，結(jié)合直線與平面所成的角是，即可求得答案.
【詳解】由題意知在四棱錐 中，平面，底面是矩形，
以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則，設(shè)，
則，
設(shè)平面的一個法向量為，則，
即，令，則，
設(shè)直線與平面所成的角為，
直線與平面所成的角是，則，
故，
即，解得（負(fù)值舍去），
故的長為2，
故答案為：2
10. 不等式的解集為______.
【答案】
【解析】
【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性及的函數(shù)值即可解決問題.
【詳解】令，易知在區(qū)間上單調(diào)遞增，
又，所以的解集為，
故答案為：.
11. 在國家開發(fā)西部的號召下，某西部企業(yè)得到了一筆400萬元的無息貸款用做設(shè)備更新．據(jù)預(yù)測，該企業(yè)設(shè)備更新后，第1個月收入為20萬元，在接下來的5個月中，每月收入都比上個月增長20%，從第7個月開始，每個月的收入都比前一個月增加2萬元．則從新設(shè)備使用開始計(jì)算，該企業(yè)用所得收入償還400萬無息貸款只需______個月．（結(jié)果取整）
【答案】10
【解析】
【分析】根據(jù)題意前6個月的收入成等比數(shù)列，且公比為，第7個月開始收入成等差數(shù)列，公差為2，先算出前前6個月之和，再計(jì)算第7,8,9,10個月的收入可得解.
【詳解】由題意設(shè)每個月的收入為數(shù)列，其前n項(xiàng)和記作，前6個月的收入成等比數(shù)列，且公比為，
第7個月開始收入成等差數(shù)列，公差為2，則，
又，，，，
而，，
所以該企業(yè)用所得收入償還400萬元貸款只需10個月.
故答案為：10.
12. 記，若存在實(shí)數(shù)，滿足，使得函數(shù)在區(qū)間上是嚴(yán)格增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.
【答案】
【解析】
【分析】由題意推出在區(qū)間內(nèi)有解，分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性，求出函數(shù)最值，即可求得答案.
【詳解】由題意知在區(qū)間內(nèi)有解，
即，即在區(qū)間內(nèi)有解，
設(shè)，則該函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
且，故在上的最大值為，
故，即實(shí)數(shù)的取值范圍是，
故答案為：
二、選擇題（本大題共4小題，滿分18分）第13題、14題各4分，第15題、16題各5分．每題有且僅有一個正確答案，考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)編號上，將代表答案的小方格涂黑．
13. 已知：，：，則是的（ ）
A. 必要非充分條件B. 充分非必要條件
C. 充要條件D. 既非充分又非必要條件
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)充分不必要條件和分式不等式解出結(jié)果.
【詳解】因?yàn)椋?br>解得或，
根據(jù)“誰大誰必要，誰小誰充分”得出是充分不必要條件，
故選：B
14. 設(shè)是第一象限的角，則所在的象限為（ ）
A. 第一象限B. 第三象限
C. 第一象限或第三象限D(zhuǎn). 第二象限或第四象限
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)是第一象限的角，求出的范圍判斷即可得解.
【詳解】因?yàn)槭堑谝幌笙薜慕牵?br>所以，，
所以，
當(dāng)時，，為第一象限角；
當(dāng)時，，為第三象限角.
故選：C
15. 教材在推導(dǎo)向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示公式“ （其中）”的過程中，運(yùn)用了以下哪些結(jié)論作為推理的依據(jù)（ ）
① 向量坐標(biāo)的定義；
② 向量數(shù)量積的定義；
③ 向量數(shù)量積的交換律；
④ 向量數(shù)量積對數(shù)乘的結(jié)合律；
⑤ 向量數(shù)量積對加法的分配律．
A. ①③④B. ②④⑤
C. ①②③⑤D. ①②③④⑤
【答案】D
【解析】
【分析】結(jié)合教材即可判斷.
【詳解】在坐標(biāo)系中，是軸，軸上的單位向量，
，
則，故，
.
則在推導(dǎo)過程中，運(yùn)用了向量坐標(biāo)的定義； 向量數(shù)量積的定義； 向量數(shù)量積的交換律；向量數(shù)量積對數(shù)乘的結(jié)合律；向量數(shù)量積對加法的分配律.
故選：D
16. 記點(diǎn)到圖形上每一個點(diǎn)的距離的最小值稱為點(diǎn)到圖形的距離，那么平面內(nèi)到定圓的距離與到定點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)的軌跡不可能是 （ ）
A. 圓B. 橢圓C. 雙曲線的一支D. 直線
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)題意“點(diǎn)P到圖形C上每一個點(diǎn)的距離的最小值稱為點(diǎn)P到圖形C的距離”，將平面內(nèi)到定圓C的距離轉(zhuǎn)化為到圓上動點(diǎn)的距離，再分點(diǎn)A現(xiàn)圓C的位置關(guān)系，結(jié)合圓錐曲線的定義即可解決．
【詳解】
排除法：設(shè)動點(diǎn)為Q，
1.當(dāng)點(diǎn)A在圓內(nèi)不與圓心C重合，連接CQ并延長，交于圓上一點(diǎn)B，由題意知QB=QA，
又QB+QC=R，所以QA+QC=R，即Q的軌跡為一橢圓；如圖。
2.如果是點(diǎn)A在圓C外，由QC?R=QA，得QC?QA=R，為一定值，即Q的軌跡為雙曲線的一支；
3.當(dāng)點(diǎn)A與圓心C重合，要使QB=QA，則Q必然在與圓C的同心圓，即Q的軌跡為一圓；
則本題選D.
故選D.
三、解答題（本大題共5題，滿分78分）解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟．
17. 記，其中為實(shí)常數(shù)．
（1）求函數(shù)的最小正周期；
（2）若函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)，求該函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值．
【答案】（1）
（2），
【解析】
【分析】（1）利用二倍角公式、輔助角公式化簡解析式即可得出答案；
（2）求出，再整體換元，找出的取值范圍，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得.
【小問1詳解】
．
∴函數(shù)的最小正周期為．
【小問2詳解】
，
，則．
令，則．
當(dāng)或，即或時，．
當(dāng)，即時，．
18. 甲、乙兩人每下一盤棋，甲獲勝的概率是0.4，甲不輸?shù)母怕蕿?.9．
（1）若甲、乙兩人下一盤棋，求他們下成和棋的概率；
（2）若甲、乙兩人連下兩盤棋，假設(shè)兩盤棋之間的勝負(fù)互不影響，求甲至少獲勝一盤的概率．
【答案】（1）0.5 （2）0.64
【解析】
【分析】（1）用互斥事件概率的加法公式解決.
（2）分析至少有一次獲勝的事件包括兩次都獲勝，第一次獲勝第二次未獲勝和第一次未獲勝第二次獲勝三種情況。又因?yàn)槿N情況之間互斥和兩盤棋之間的勝負(fù)互不影響.利用互斥事件的概率加法公式和獨(dú)立事件同時發(fā)生的概率乘法公式和對立事件概率的知識求解.
【小問1詳解】
設(shè)事件表示甲獲勝，事件表示和棋，事件表示甲不輸．
則．
因?yàn)楹推迮c獲勝是互斥的，由概率的可加性，得
．
因?yàn)椋?br>所以
【小問2詳解】
設(shè)事件表示甲獲勝，則表示甲未獲勝.設(shè)下兩次棋至少有一次獲勝的事件為，
則，因?yàn)閮杀P棋之間的勝負(fù)互不影響，且至少有一次獲勝包括的三種情況是互斥的.
所以
19. 已知雙曲線：，點(diǎn)的坐標(biāo)為 ．
（1）設(shè)直線 過點(diǎn)，斜率為，它與雙曲線交于、兩點(diǎn)，求線段的長；
（2）設(shè)點(diǎn)在雙曲線上，是點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)．記，求的取值范圍．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）聯(lián)立直線與雙曲線方程，根據(jù)弦長公式即可求解，
（2）根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.
【小問1詳解】
直線的方程為．
由方程組得．
設(shè),則，
．
【小問2詳解】
設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為．
，，
．
因?yàn)?，所以?br>20. 如下圖，某公園東北角處有一座小山，山頂有一根垂直于水平地平面的鋼制筆直旗桿，公園內(nèi)的小山下是一個水平廣場（虛線部分）．某高三班級數(shù)學(xué)老師留給同學(xué)們的周末作業(yè)是：進(jìn)入該公園，提出與測量有關(guān)的問題，在廣場上實(shí)施測量，并運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決問題．老師提供給同學(xué)們的條件是：已知米，規(guī)定使用的測量工具只有一只小小的手持激光測距儀 （如下圖，該測距儀能準(zhǔn)確測量它到它發(fā)出的激光投射在物體表面上的光點(diǎn)之間的距離）．
（1）甲同學(xué)來到通往山腳下的筆直小路上，他提出的問題是：如何測量小山的高度？于是，他站在點(diǎn)處，獨(dú)立的實(shí)施了測量，并運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決了問題．請寫出甲同學(xué)的解決問題方案，并用假設(shè)的測量數(shù)據(jù)（字母表示）表示出小山的高度；
（2）乙同學(xué)是在一陣大風(fēng)過后進(jìn)入公園的，廣場上的人紛紛議論：旗桿似乎是由于在根部處松動產(chǎn)生了傾斜．她提出的問題是：如何檢驗(yàn)旗桿是否還垂直于地面？并且設(shè)計(jì)了一個不用計(jì)算就能解決問題的獨(dú)立測量方案．請你寫出她的方案，并說明理由；
（3）已知（1）中的小路是東西方向，且與點(diǎn)所確定的平面垂直于地平面．又已知在（2）中的乙同學(xué)已經(jīng)斷定旗桿大致向廣場方向傾斜．如果你是該班級的同學(xué)，你會提出怎樣的有實(shí)際意義的問題？請寫出實(shí)施測量與解決問題的方案，并說明理由 （如果需要，可通過假設(shè)的測量數(shù)據(jù)或運(yùn)算結(jié)果列式說明，不必計(jì)算）．
【答案】（1）答案見解析
（2）方案見解析，理由見解析
（3）問題見解析，方案見解析，理由見解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)測量數(shù)據(jù)利用余弦定理即可求得結(jié)果；
（2）利用測量數(shù)據(jù)綜合利用三角形性質(zhì)，由線面垂直判定定理即可證明并得出結(jié)論；
（3）可提問“旗桿向哪個方向傾斜多少角度”等問題，再根據(jù)解三角形的實(shí)際應(yīng)用即可得出結(jié)論.
【小問1詳解】
解一：(1) 如圖1，設(shè)點(diǎn)在水平面的投影點(diǎn)為．
用測距儀測得，．
在中，，
在中，，
所以．
解二：如圖2，在平面上，以點(diǎn)為原點(diǎn)，向量為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，
設(shè)點(diǎn)，則，
用測距儀測得，，則，
解得
【小問2詳解】
如圖，用電子尺測得，，
在廣場上從點(diǎn)移動至點(diǎn)，使得，
再移至點(diǎn)，使得，此時再測量，
若，則可知旗桿垂直于地面，否則就是傾斜了．
理由如下：
已知，，設(shè)點(diǎn)是的中點(diǎn)，
則在等腰中，．
同理，又平面，所以平面；
又因?yàn)槠矫?，故?br>同理可證．
綜上所述，旗桿垂直于地面．
【小問3詳解】
提問：旗桿向哪個方向傾斜多少角度？
說明：用在地平面上的投影來刻畫的傾斜方向是合理的，
也可以采用在廣場上確定一個位于在地平面上投影上點(diǎn)來刻畫，
用與小路的夾角刻畫扣1分．關(guān)于如何刻畫傾斜多少角
度的問題，既可以用與垂直于地面的直線所成角的大小，也
可以用與地平面所成角的大小來刻畫．
解答方案1：
如圖，
在地面畫出離點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的軌跡圓，
再在圓上找到離點(diǎn)距離最近的點(diǎn)，
作垂直于地面，垂足為，
則的大小就是旗桿傾斜角度．
理由如下： 先證明與圓的交點(diǎn)既是點(diǎn)．
只需證明：對于圓上任意一點(diǎn)，．
因?yàn)樵谥校?br>所以，
故．
如圖5，從圖4中的點(diǎn)向點(diǎn)的方向走到點(diǎn)，
放置一個物體，測得、、的長，
利用余弦定理可得的大?。?
同理可得的大?。?
因此，可以求得圖4中的、、、的長．
在中，三邊已知，利用余弦定理可求得，
即旗桿向西偏南的方向傾斜．
又由于、已求得，
故傾斜角度為．
測量傾斜角的大小方案2：
如圖5，從點(diǎn)向點(diǎn)方向走到點(diǎn)，測得、、的長，
利用余弦定理可得的大小，從而求得點(diǎn)的高度．
同理可求得點(diǎn)的高度．
如圖，即是由于旗桿傾斜旗桿頂點(diǎn)所下降的高度．
所以，
在中，即為所求，
測量傾斜角的大小方案3：
在圖5中，以點(diǎn)為原點(diǎn)，以為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，
則容易求出點(diǎn)與點(diǎn)的坐標(biāo)與，
故的傾斜角為．
21. 如果函數(shù)滿足以下兩個條件，我們就稱為型函數(shù)．
①對任意的，總有；
② 當(dāng)時，總有成立．
（1）記，求證：為型函數(shù)；
（2）設(shè)，記，若是型函數(shù)，求取值范圍；
（3）是否存在型函數(shù)滿足：對于任意的，都存在，使得等式成立？請說明理由．
【答案】（1）證明見解析
（2）
（3）存在，理由見解析
【解析】
【分析】（1）證明函數(shù)滿足型函數(shù)的定義即可；
（2）根據(jù)是型函數(shù)，則由其滿足條件①推出，再結(jié)合其滿足條件②得關(guān)于b的不等式，利用構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合函數(shù)最值，即可求得答案；
（3）舉出具體函數(shù)，說明其滿足型函數(shù)的定義，即可得結(jié)論.
【小問1詳解】
當(dāng)時，，
當(dāng)，，時，
，，
則，
，，
，為型函數(shù).
【小問2詳解】
當(dāng)時，由得，
當(dāng)，，時，
，，
由，得，
即，即，
即，
令，
則對稱軸，
所以在上的最小值為，只要，則，
因?yàn)椋?br>所以．
【小問3詳解】
存在，舉例1：．
理由如下：當(dāng)時，符合；
當(dāng)，，時，
，，
，，
故，
，即，
即是型函數(shù)，且對任意的，存在，使得等式成立；
舉例2：；
理由如下：當(dāng)時，，符合，
當(dāng)，，時，
，，
，
，
即，即是型函數(shù)，
且對任意的，都存在，使得等式成立.
由此可知存在型函數(shù)滿足：對于任意的，都存在，使得等式成立.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解答此類給出新的函數(shù)定義的題目，解答的關(guān)鍵是要理解題中所給的新的函數(shù)定義的含義，明確其滿足的條件，然后按照其需滿足的條件求解即可.

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