1. 已知集合，則_______．
【答案】
【解析】由，
則.
故答案為：.
2. 函數(shù)的定義域是_______．
【答案】
【解析】函數(shù)的定義域是，
所以，解得：或.
所以函數(shù)的定義域?yàn)椋?
故答案為：.
3. 若，則_______．
【答案】
【解析】因?yàn)椋?br>所以.
故答案為：
4. 在的二項(xiàng)展開式中，項(xiàng)的系數(shù)為_______．
【答案】
【解析】二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式為，
令，可得，所以.
故答案為：.
5. 設(shè)且，則函數(shù)的圖像恒過的定點(diǎn)坐標(biāo)為_______．
【答案】
【解析】令，可得恒成立，
所以函數(shù)的圖象恒過定點(diǎn).
故答案為：.
6. 若某圓錐的底面半徑為，高為，則該圓錐的側(cè)面積為_______．（結(jié)果保留）
【答案】
【解析】因?yàn)閳A錐的底面半徑，高，設(shè)母線為，則，
所以該圓錐的側(cè)面積為.
故答案為：
7. 已知非零復(fù)數(shù)滿足，則的虛部為_______．
【答案】
【解析】設(shè)，則，
因?yàn)?，，所以，解得或（舍去）?br>所以，則的虛部為.
故答案為：
8. 已知，則的解集是_______．
【答案】
【解析】因?yàn)椋?br>設(shè)，則，所以，
所以，
不等式，即或，解得或，
綜上可得的解集.
故答案為：
9. 如圖，已知正三角形ABC和正方形BCDE的邊長(zhǎng)均為2，且二面角的大小為，則_______．

【答案】
【解析】設(shè)分別為的中點(diǎn)，連接，
在正三角形ABC中，，，
在正方形BCDE中，，，，
所以為二面角的平面角，即，
.
故答案為：.

10. 雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為和，若以點(diǎn)為焦點(diǎn)的拋物線與在第一象限交于點(diǎn)P，且，則的離心率為_______．
【答案】
【解析】如圖過P作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為M，設(shè)，
因?yàn)槭菕佄锞€的焦點(diǎn)，∴
∵，∴，
在△中，由余弦定理得，
∴，
即，解得
又∵和是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，
∴，
∴.
故答案為：.
11. 2024年10月30日“神舟十九號(hào)”載人飛船發(fā)射成功，標(biāo)志著中國(guó)空間站建設(shè)進(jìn)入新階段．在飛船豎直升空過程中，某位記者用照相機(jī)在同一位置以同一姿勢(shì)連續(xù)拍照兩次．已知“神舟十九號(hào)”飛船船體實(shí)際長(zhǎng)度為H，且在照片上飛船船體長(zhǎng)度為h，比較兩張照片，相對(duì)于照片中的同一固定參照物飛船上升了m．假設(shè)該記者連按拍照鍵間的反應(yīng)時(shí)間為t，并忽略相機(jī)曝光時(shí)長(zhǎng)，若用平均速度估算瞬時(shí)速度，則拍照時(shí)飛船的瞬時(shí)速度為_______．（用含有H、h、m、t的式子表示）
【答案】
【解析】設(shè)第二次拍照飛船的實(shí)際上升了，
所以，解得：，
所以拍照時(shí)飛船的瞬時(shí)速度為：.
故答案為：.
12. 已知項(xiàng)數(shù)為10的數(shù)列中任一項(xiàng)均為集合中的元素，且相鄰兩項(xiàng)滿足．若中任意兩項(xiàng)都不相等，則滿足條件的數(shù)列有_______個(gè)．
【答案】
【解析】由于，可以先將任意排列，
再將插入該數(shù)列，但不能在的左邊且與相鄰，共有種，
再將插入該數(shù)列，同樣不能在和的左邊且與，相鄰，共有種，
再將插入該數(shù)列，同樣不能在，和3的左邊且與相鄰，共有種，
以此類推，將插入該數(shù)列，共有種.
故答案為：.
二、選擇題（本大題共有4題，滿分18分，第13-14題每題4分，第15-16題每題5分）每題有且只有一個(gè)正確答案，考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置上，將所選答案的代號(hào)涂黑．
13. 已知，則“”是“”的（ ）條件．
A. 充要B. 充分非必要
C. 必要非充分D. 既非充分又非必要
【答案】C
【解析】由題意，，
由，即，則或，
由，則，
所以“”是“”的必要非充分條件．
故選：C.
14. 已知事件和事件滿足，則下列說法正確的是（ ）．
A. 事件和事件獨(dú)立B. 事件和事件互斥
C. 事件和事件對(duì)立D. 事件和事件互斥
【答案】B
【解析】因?yàn)槭录褪录M足，則一定可以得到事件和事件互斥，但不一定對(duì)立，故B正確，C錯(cuò)誤；
因?yàn)?，?dāng)，不為時(shí)，事件和事件不獨(dú)立，故A錯(cuò)誤；
拋擲一枚骰子，記出現(xiàn)點(diǎn)為事件，出現(xiàn)點(diǎn)為事件，
則，，顯然事件和事件不互斥，故D錯(cuò)誤.
故選：B
15. 已知邊長(zhǎng)為2的正四面體的內(nèi)切球（球面與四面體四個(gè)面都相切的球）的球心為O，若空間中的動(dòng)點(diǎn)P滿足，則點(diǎn)P的軌跡所形成的幾何體的體積為（ ）．
A. B. C. ．D.
【答案】A
【解析】空間中的動(dòng)點(diǎn)P滿足，
則點(diǎn)P的軌跡是以為鄰邊的平行六面體，
將正四面體放入如圖所示的正方體中，
則正四面體的內(nèi)切球心O為正方體的中心，
設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，所以，所以，
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
所以，，，，，
所以，
，
，
，
所以，
所以，
所以以為鄰邊的平行四邊形面積為：
，
設(shè)平面的法向量為，
則，
取，可得，所以，，
又因?yàn)辄c(diǎn)到平面距離為，
以為鄰邊的平行六面體的體積為：.
故選：A.
16. 設(shè)數(shù)列的前四項(xiàng)分別為，對(duì)于以下兩個(gè)命題，說法正確的是（ ）．
①存在等比數(shù)列以及銳角α，使成立．
②對(duì)任意等差數(shù)列以及銳角α，均不能使成立．
A. ①是真命題，②是真命題B. ①是真命題，②是假命題
C. ①是假命題，②是真命題D. ①是假命題，②是假命題
【答案】A
【解析】對(duì)于①，若，，成等比數(shù)列，即，，
則，即，得，
在同一坐標(biāo)系內(nèi)作和的圖象：

可知方程，有且只有一解，
所以存在等比數(shù)列以及銳角α，使成立，①是真命題；
對(duì)于②，假設(shè)存在等差數(shù)列以及銳角α，
使成立，則必有，
當(dāng)時(shí)，顯然不成立；
當(dāng)時(shí)，，，
所以，，
所以，
則，
，即，即，
因?yàn)椋?，?br>不存在這樣的使得等式成立；
當(dāng)時(shí)，，，
所以，，
所以，
同理，
因?yàn)?，所以，?br>不存在這樣使得等式成立；
所以②是真命題.
故選：A.
三、解答題（本大題共5題，滿分78分）解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)位置寫出必要步驟．
17. 設(shè)．
（1）當(dāng)函數(shù)的最小正周期為時(shí)，求在上的最大值；
（2）若，且在中，角、、所對(duì)的邊長(zhǎng)為、、，銳角滿足，，求的最小值．
解：（1）因?yàn)榍液瘮?shù)的最小正周期為，
所以，解得，所以，
則，
由，則，
所以當(dāng)，即時(shí)取得最大值.
（2）當(dāng)時(shí)，，則，
因?yàn)?，所以，則，解得；
因?yàn)椋裕?br>由余弦定理，
所以，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
故的最小值為.
18. 如圖，已知在四棱柱中，平面，、分別是、的中點(diǎn)．
（1）求證：平面；
（2）若底面為梯形，，異面直線與所成角為．求直線與平面所成角的正弦值．
（1）證明：連接交于點(diǎn)，連接，，
在四棱柱中，四邊形，為平行四邊形，
所以為的中點(diǎn)，
又、分別是、的中點(diǎn)，
所以且，且，
所以且，所以四邊形為平行四邊形，
所以，又平面，平面，所以平面；
（2）解：因?yàn)楫惷嬷本€與所成角為，又，
所以即為異面直線與所成角，即，即，
又平面，
如圖建立空間直角坐標(biāo)系，
則A0,0,0，，，，
所以，，，
設(shè)平面的法向量為，則，取，
設(shè)直線與平面所成角為，則，
所以直線與平面所成角的正弦值為.
19. 2024年法國(guó)奧運(yùn)會(huì)落下帷幕．某平臺(tái)為了解觀眾對(duì)本次奧運(yùn)會(huì)的滿意度，隨機(jī)調(diào)查了本市1000名觀眾，得到他們對(duì)本屆奧運(yùn)會(huì)的滿意度評(píng)分（滿分100分），平臺(tái)將評(píng)分分為共5層，繪制成頻率分布直方圖（如圖1所示）．并在這些評(píng)分中以分層抽樣的方式從這5層中再抽取了共20名觀眾的評(píng)分，繪制成莖葉圖，但由于某種原因莖葉圖受到了污損，可見部分信息如圖2所示．
（1）求圖2中這20名觀眾滿意度評(píng)分的第35百分位數(shù)；
（2）若從圖2中的20名觀眾中再任選取3人做深度采訪，求其中至少有1名觀眾的評(píng)分大于等于90分的概率；
（3）已知這1000名觀眾的評(píng)分位于上的均值為67，方差為64.7，位于上的均值為73，方差為134.6，求這1000名觀眾的評(píng)分位于上的均值與方差．
解：（1）∵，∴第35百分位數(shù)為第兩個(gè)數(shù)的平方數(shù)
（2）由圖1可知，圖2中有2人，
所以從圖2中的20名觀眾中再任選取3人做深度采訪，求其中至少有1名觀眾的評(píng)分大于等于90分設(shè)為事件，
所以.
（3）由題意可知：落在的頻率為，落在的頻率為，
因?yàn)檫@1000名觀眾的評(píng)分位于上的均值為67，方差為64.7，
位于上的均值為73，方差為134.6，
所以，
設(shè)這1000名觀眾的評(píng)分位于上的均值與方差分別為，
所以，解得：，
，
解得：.
這1000名觀眾的評(píng)分位于上的均值與方差分別為，.
20. 已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，右頂點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，設(shè)為上的一點(diǎn)．
（1）當(dāng)時(shí)，求的值；
（2）若點(diǎn)坐標(biāo)為，則在上是否存在點(diǎn)使的面積為，若存在，請(qǐng)求出所有滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；
（3）已知點(diǎn)坐標(biāo)為，過點(diǎn)和點(diǎn)的直線與橢圓交于另一點(diǎn)，當(dāng)直線與軸和軸均不平行時(shí)，有，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
解：（1）由橢圓方程知：，，，則，
設(shè)，，解得：，即，
由橢圓定義知：.
（2）由（1）知：，
，；
若存在點(diǎn)，使的面積為，
則點(diǎn)到直線的距離，
，
直線方程為：，即，
設(shè)平行于直線且到直線的距離為的直線方程為，
，解得：或；
當(dāng)時(shí)，直線方程為，
由得：，解得：或，
或，點(diǎn)或；
當(dāng)時(shí)，直線方程為，
由得：，方程無(wú)解，
即直線與橢圓無(wú)交點(diǎn)，此時(shí)不存在滿足題意的點(diǎn)；
綜上所述：存在滿足條件點(diǎn)，點(diǎn)坐標(biāo)為或.
（3）由題意可設(shè)直線，，，
由得：，
，即，，，
設(shè)線段中點(diǎn)為，則，，
，又為中點(diǎn)，，
，，即，，
直線與軸和軸均不平行，，，
，整理可得：，
，，解得：，
即實(shí)數(shù)的取值范圍為.
21. 設(shè)．若函數(shù)滿足恒成立，則稱函數(shù)具有性質(zhì)．
（1）判斷是否具有性質(zhì)，并說明理由；
（2）設(shè)，若函數(shù)具有性質(zhì)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镽，且對(duì)任意以及，都有．若當(dāng)時(shí)，恒有．求證：函數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù)a均具有性質(zhì)．
（1）解：記，
顯然，則其是偶函數(shù).
當(dāng)時(shí)，，故，
所以對(duì)恒成立，具有性質(zhì).
（2）解：，
當(dāng)時(shí)嚴(yán)格單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)嚴(yán)格單調(diào)遞減.
若，則，函數(shù)在上嚴(yán)格單調(diào)遞增，恒成立，
此時(shí)函數(shù)具有性質(zhì).
若，則函數(shù)在上嚴(yán)格單調(diào)遞減，
，
故函數(shù)不具有性質(zhì).
若，則函數(shù)在上嚴(yán)格單調(diào)遞增，
“對(duì)恒成立”等價(jià)于“對(duì)恒成立”，
而在上嚴(yán)格單調(diào)遞減，在上嚴(yán)格單調(diào)遞增，
故，即，
即.
綜上，的取值范圍是.
（3）證明：對(duì)任意及，
都有，
即對(duì)任意都有.
假設(shè)存在使得不具有性質(zhì)，
則存在使得.
若，則.
當(dāng)時(shí)，則在中取，
對(duì)任意有，
于是，
即.
而當(dāng)時(shí)，，
故有，矛盾.
當(dāng)時(shí)，記，則，
由得，
得，
故.
與當(dāng)時(shí)同理可得矛盾.
若，則，與時(shí)同理可得矛盾.
綜上，假設(shè)不成立，即函數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù)均具有性質(zhì).

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