【高考數(shù)學(xué)】二輪優(yōu)化提優(yōu)專題訓(xùn)練：專題06 基本不等式及應(yīng)用-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

1、【2022年新高考2卷】若x，y滿足x2+y2?xy=1，則（）
A．x+y≤1B．x+y≥?2
C．x2+y2≤2D．x2+y2≥1
【答案】BC
【解析】因?yàn)閍b≤a+b22≤a2+b22（a,b∈R），由x2+y2?xy=1可變形為，x+y2?1=3xy≤3x+y22，解得?2≤x+y≤2，當(dāng)且僅當(dāng)x=y=?1時(shí)，x+y=?2，當(dāng)且僅當(dāng)x=y=1時(shí)，x+y=2，所以A錯(cuò)誤，B正確；
由x2+y2?xy=1可變形為x2+y2?1=xy≤x2+y22，解得x2+y2≤2，當(dāng)且僅當(dāng)x=y=±1時(shí)取等號，所以C正確；
因?yàn)閤2+y2?xy=1變形可得x?y22+34y2=1，設(shè)x?y2=csθ,32y=sinθ，所以x=csθ+13sinθ,y=23sinθ，因此x2+y2=cs2θ+53sin2θ+23sinθcsθ=1+13sin2θ?13cs2θ+13
=43+23sin2θ?π6∈23,2，所以當(dāng)x=33,y=?33時(shí)滿足等式，但是x2+y2≥1不成立，所以D錯(cuò)誤．
故選：BC．
2、（2021年新高考1卷）已知，是橢圓：的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，則的最大值為（）
A. 13B. 12C. 9D. 6
【答案】C
【解析】由題，，則，
所以（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立）．
故選：C．
3、（2020全國3文12）已知函數(shù)，則( )
A．的最小值為2B．的圖像關(guān)于軸對稱
C．的圖像關(guān)于直線對稱D．的圖像關(guān)于直線對稱
【答案】D
【解析】由題意得．對于A，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，所以A錯(cuò)誤．對于B，，所以是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以B錯(cuò)誤．對于C，，，則，的圖象不關(guān)于直線對稱，所以C錯(cuò)誤．對于D，，，所以，的圖象關(guān)于直線對稱，所以D正確．故選D．
4、（2020山東）已知，，且，則（）
A． B． C． D ．
【答案】ABD
【解析】對于A，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，故A正確；對于B，，所以，故B正確；對于C，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，故C不正確；
對于D，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，故D正確，故選：ABD．
5、（2020上海13）下列不等式恒成立的是（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由基本不等式可知，故A不正確；，即恒成立，故B正確；當(dāng)時(shí)，不等式不成立，故C不正確；當(dāng)時(shí)，不等式不成立，故D不正確，故選B．
6、（2020江蘇12）已知，則的最小值是．
【答案】
【解析】，故，
當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，取等號．∴．
7、（2020天津14）已知，且，則的最小值為_________．
【答案】4
【解析】，，
，當(dāng)且僅當(dāng)=4時(shí)取等號，結(jié)合，解得，或時(shí)，等號成立，故答案為：．
8、（2019天津理13）設(shè)，則的最小值為．
【答案】
【解析】，，，
則；
由基本不等式，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即，且時(shí)，即或時(shí)，等號成立）．
故的最小值為．
題組一運(yùn)用基本不等式比較大小
1-1、（2023·云南玉溪·統(tǒng)考一模）（多選題）已知，且則下列結(jié)論一定正確的有（）
A．B．
C．a(chǎn)b有最大值4D．有最小值9
【答案】AC
【分析】A、C選項(xiàng)，分別根據(jù)基本不等式計(jì)算即可得到；B選項(xiàng)找出反例即可；D選項(xiàng)由基本不等式“1”的代換計(jì)算，漏除了4.
【詳解】A選項(xiàng)，，A正確；
B選項(xiàng)，找反例，當(dāng)時(shí)，，，，B不正確；
C選項(xiàng)，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”，C正確；
D選項(xiàng)，，D不正確.
故選：AC.
1-2、（2023·山西·統(tǒng)考一模）（多選題）設(shè)，，，則下列結(jié)論正確的是（）
A．的最大值為B．的最小值為
C．的最小值為9D．的最小值為
【答案】ABC
【分析】對于AD，利用基本不等式判斷即可；對于B，利用不等式判斷即可，對于C，利用基本不等式“1”的妙用判斷即可.
【詳解】對于A，因?yàn)?，，?br>則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，故A正確；
對于B，因?yàn)椋?br>故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，即的最小值，故B正確；
對于C，，
當(dāng)且僅當(dāng)且，即，時(shí)取等號，
所以的最小值為9，故C正確；
對于D，，
故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，即的最大值，故D錯(cuò)誤．
故選：ABC.
1-3、（2023·安徽宿州·統(tǒng)考一模）（多選題）已知，且，則下列不等關(guān)系成立的是（）
A．B．
C．D．
【答案】ABC
【分析】利用基本不等式易知選項(xiàng)AB正確；利用對數(shù)運(yùn)算法則和重要不等式可知C正確；將不等式化簡整理可得，構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)單調(diào)性即可證明D錯(cuò)誤.
【詳解】由基本不等式可知，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，即A正確；
易知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，即B正確；
由重要不等式和對數(shù)運(yùn)算法則可得：
，當(dāng)且僅當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，即C正確；
由可得，所以，
若，即證明，即
即需證明，
令函數(shù)，則，
當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞增，
所以時(shí)，解不等式可得即可，即時(shí)不等式成立；
當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減，解不等式可得，即時(shí)不等式才成立；
綜上可知，當(dāng)時(shí)，不等式才成立，所以D錯(cuò)誤.
故選：ABC.
1-4、（2022·山東德州·高三期末）（多選題）已知，，，則下列結(jié)論正確的是（）
A．的最小值為B．的最小值為16
C．的最大值為D．的最小值為
【答案】ACD
【解析】由可得，，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號），故A正確；
（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號），即，故D正確；
（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號），（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號），即，故B錯(cuò)誤；
，即（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號），故C正確；
故選：ACD
題組二運(yùn)用基本不等式求函數(shù)最值
2-1、（2022·江蘇揚(yáng)州·高三期末）已知正實(shí)數(shù)x，y滿足x＋y＝1，則的最小值為__________．
【答案】
【解析】由題意可知，＝＝＝＋＝（＋）（x＋y）
＝4＋5＋＋≥9＋2＝，
當(dāng)且僅當(dāng)＝，時(shí)取等號，此時(shí)，
故的最小值為．
故答案為：
2-2、（2023·天津?yàn)I海新·統(tǒng)考三模）已知，，，則的最小值為（）
A．4B．6C．8D．10
【答案】B
【詳解】由知,
結(jié)合，以及換底公式可知，
，
當(dāng)且僅當(dāng)，，
即時(shí)等號成立，
即時(shí)等號成立，
故的最小值為，
故選：B.
2-3、（2023·浙江·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知正實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為（）
A．B．C．D．
【答案】C
【詳解】由題可得，，則，
所以
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取得等號，
故選:C.
2-4、（2023·遼寧葫蘆島·統(tǒng)考二模）若，則的最小值是（）
A． B．1
C．2 D．
【答案】C
【詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，
因此，即，解得，
所以當(dāng)時(shí)，取得最小值2.
故選：C
2-5、（2022年重慶市高三月考試卷）已知，則的最小值是______．
【答案】
【解析】
【詳解】由于，，所以，
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立.
故答案為：
題組三運(yùn)用基本不等式處理多元問題
3-1、【2022·廣東省陽春市第一中學(xué)10月月考】已知不等式的解集為，則__________，的最小值為__________.
【答案】 ①. ②. 8
【解析】由題知，，，則，，，
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號，故的最小值為8.
故答案為：；
3-2、（2022·湖北省仙桃中學(xué)模擬預(yù)測）已知，則的最小值為______________________ .
【答案】1
【分析】
先根據(jù)解，利用基本不等式求得的最小值為9，再由，利用對勾函數(shù)的性質(zhì)求解.
【詳解】
解：因?yàn)椋?br>所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，
所以，
，
令，
因?yàn)樵谏线f增，
所以，
故答案為：1
3-3、(2022·江蘇南通如東縣期中)已知a＞0，b＞0，c＞0，eq a\s\up6(2)－ab＋9b\s\up6(2)－5c＝0，當(dāng)eq \f(c,ab)最小時(shí)，eq x\s\up6(2)－3x≥a＋b－\f(1,3)c恒成立，則x的取值集合是 ▲ ．
【答案】{x|x≤－1或x≥4}
【解析】由題意可知a＞0，b＞0，c＞0，a2－ab＋9b2－5c＝0，等式兩邊同除ab，可得eq \f(a,b)－1＋eq \f(9b,a)＝eq \f(5c,ab)，所以eq \f(a,b)－1＋eq \f(9b,a)≥2EQ \R(,\F(a,b)·\F(9b,a))－1＝5，(當(dāng)且僅當(dāng)eq \f(a,b)＝eq \f(9b,a)時(shí)等號成立)，故eq \f(c,ab)的最小值為1(a＝3b)，所以c＝ab＝3b2，則a＋b－eq \f(1,3)c＝4b－b2，所以a＋b－eq \f(1,3)c的最大值為4，故x2－3x≥4，解得x≤－1或x≥4
題組四不等式的綜合運(yùn)用
4-1、（2023·安徽淮北·統(tǒng)考一模）（多選題）已知是的邊上的一點(diǎn)（不包含頂點(diǎn)），且，則（）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【分析】利用平面向量的線性運(yùn)算，結(jié)合基本不等式，驗(yàn)證各選項(xiàng)的結(jié)果.
【詳解】是的邊上的一點(diǎn)（不包含頂點(diǎn)），則有，
得，即，
又，∴，
可得，，，，，
所以A選項(xiàng)正確，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；
，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，所以，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；
，D選項(xiàng)正確.
故選：AD.
4-2、（2022·湖北·荊門市龍泉中學(xué)二模）正項(xiàng)等比數(shù)列中，成等差數(shù)列，且存在兩項(xiàng)使得，則的最小值是（）
A．2B．C．D．不存在
【答案】B
【分析】
由等比數(shù)列通項(xiàng)公式及等差中項(xiàng)的性質(zhì)可得，進(jìn)而有，利用基本不等式“1”的代換求目標(biāo)式最小值，注意等號是否成立.
【詳解】
由題設(shè)，若公比為且，則，
所以，
由，則，故，可得，
所以，而，故等號不成立，
又，故當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，
顯然，故時(shí)最小值為.
故選：B
4-3、（2022·山東師范大學(xué)附中模擬預(yù)測）已知隨機(jī)變量，且，則的最小值為________.
【答案】
【分析】
先由正態(tài)分布對稱性求出，進(jìn)而利用基本不等式“1”的妙用求解最小值.
【詳解】
由正態(tài)分布的對稱性可知：，解得：，
因?yàn)?，所以，由基本不等式得?br>，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，
所以不等式得最小值為
故答案為：
4-4、（2022·河北保定·一模）（多選題）下面描述正確的是（）
A．已知，，且，則
B．函數(shù)，若，且，則的最小值是
C．已知，則的最小值為
D．已知，則的最小值為
【答案】AC
【分析】
對于選項(xiàng)A，利用基本不等式結(jié)合對數(shù)運(yùn)算求解判斷；對于選項(xiàng)B：結(jié)合對數(shù)的性質(zhì)，利用對勾函數(shù)的單調(diào)性求解判斷；C，用“1”的代換，利用基本不等式求解判斷；對于選項(xiàng)D，將，轉(zhuǎn)化為，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解判斷.
【詳解】
對于選項(xiàng)A，∵，，，∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，∴，∴A正確；
對于選項(xiàng)B：因?yàn)?，所以，又，所以由對勾函?shù)的單調(diào)性可知函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，即，故B不正確；
對于選項(xiàng)C，根據(jù)題意，已知，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，所以，故C正確；
對于選項(xiàng)D，，令，所以，所以，此時(shí)無解，所以選項(xiàng)D不正確，
故選：AC．
1、（2022·山東棗莊·高三期末）已知，則的最小值是（）．
A．6B．5C．4D．3
【答案】D
【解析】，故，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，故的最小值是3.
故選：D.
2、（2022年遼寧撫順市高三月考模擬試卷）對任意的正實(shí)數(shù)，，恒成立，則的最小值為（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【詳解】依題意得恒成立，
因?yàn)?，?br>所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，
所以，即的最小值為.
故選：B
3、（2023·山東煙臺·統(tǒng)考三模）（多選題）已知且，則（）
A．的最大值為B．的最大值為2
C．的最小值為6D．的最小值為4
【答案】BC
【詳解】對于A，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，故錯(cuò)誤；
對于B，因?yàn)?，所以?br>即，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，故B正確；
對于C，由得，所以，
因?yàn)椋?br>所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，故C正確；
對于D，令，則，所以的最小值不是4，D錯(cuò)誤.
故選：BC.
4、（2023·重慶·統(tǒng)考三模）（多選題）已知，，且，則下列結(jié)論正確的是（）
A．的取值范圍是B．的取值范圍是
C．的最小值是D．的最小值是3
【答案】BC
【詳解】對于A，因?yàn)?，?br>所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，
由，
即，解得，
即，A錯(cuò)誤；
對于B，由，,，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，
得，
所以,
又，
所以，即，
故B正確；
對C選項(xiàng)，因?yàn)椋?，
得，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，C正確，
對于D, C選項(xiàng)知：，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立,但，
所以．（等號取不到）,故D錯(cuò)誤；
故選：BC.
5、（2023·山東煙臺·統(tǒng)考三模）（多選題）已知且，則（）
A．的最大值為B．的最大值為2
C．的最小值為6D．的最小值為4
【答案】BC
【詳解】對于A，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，故錯(cuò)誤；
對于B，因?yàn)?，所以?br>即，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，故B正確；
對于C，由得，所以，
因?yàn)椋?br>所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，故C正確；
對于D，令，則，所以的最小值不是4，D錯(cuò)誤.
故選：BC.
6、（2023·云南紅河·統(tǒng)考一模）（多選題）已知，，且，則下列說法正確的是（）
A．B．C．D．
【答案】BC
【分析】對于選項(xiàng)AB：根據(jù)已知結(jié)合基本不等式將已知等式中的或轉(zhuǎn)化，即可解不等式得出答案；對于選項(xiàng)CD：將要求的式子通過完全平方或分式運(yùn)算轉(zhuǎn)化為或，即可根據(jù)選項(xiàng)AB求出的范圍根據(jù)不等式的性質(zhì)或一元二次函數(shù)的值域得出要求的式子的范圍.
【詳解】對于A：由，得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，解得，即，故A不正確；
對于B：由，得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立即，解得，或（舍去），故B正確；
對于C：，
令，，即，故C正確；
對于D，，令，，即，故D不正確，
故選：BC．
7、（2022年重慶市永川北山中學(xué)高三月考試卷）已知為正實(shí)數(shù)，直線與曲線相切，則的最小值為________.
【答案】
【解析】
【詳解】解：由得；由得；
因?yàn)橹本€與曲線相切，
令，則可得，代入得；
所以切點(diǎn)為．則，所以．
故，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，此時(shí)取得最小值2．
故答案為：．

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