1、（2023年全國甲卷數(shù)學（理））有50人報名足球俱樂部，60人報名乒乓球俱樂部，70人報名足球或乒乓球俱樂部，若已知某人報足球俱樂部，則其報乒乓球俱樂部的概率為（ ）
A．0.8B．0.4C．0.2D．0.1
2、（2023年新課標全國Ⅱ卷）（多選題）在信道內(nèi)傳輸0，1信號，信號的傳輸相互獨立．發(fā)送0時，收到1的概率為，收到0的概率為；發(fā)送1時，收到0的概率為，收到1的概率為. 考慮兩種傳輸方案：單次傳輸和三次傳輸．單次傳輸是指每個信號只發(fā)送1次，三次傳輸 是指每個信號重復發(fā)送3次．收到的信號需要譯碼，譯碼規(guī)則如下：單次傳輸時，收到的信號即為譯碼；三次傳輸時，收到的信號中出現(xiàn)次數(shù)多的即為譯碼（例如，若依次收到1，0，1，則譯碼為1）.
A．采用單次傳輸方案，若依次發(fā)送1，0，1，則依次收到l，0，1的概率為
B．采用三次傳輸方案，若發(fā)送1，則依次收到1，0，1的概率為
C．采用三次傳輸方案，若發(fā)送1，則譯碼為1的概率為
D．當時，若發(fā)送0，則采用三次傳輸方案譯碼為0的概率大于采用單次傳輸方案譯碼為0的概率
3、（2023年新高考天津卷）甲乙丙三個盒子中裝有一定數(shù)量的黑球和白球，其總數(shù)之比為．這三個盒子中黑球占總數(shù)的比例分別為．現(xiàn)從三個盒子中各取一個球，取到的三個球都是黑球的概率為_________；將三個盒子混合后任取一個球，是白球的概率為_________．
4、（2023年新課標全國Ⅰ卷）甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命中則此人繼續(xù)投籃，若末命中則換為對方投籃．無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6，乙每次投籃的命中率均為0.8．由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5．
(1)求第2次投籃的人是乙的概率；
(2)求第次投籃的人是甲的概率；
(3)已知：若隨機變量服從兩點分布，且，則．記前次（即從第1次到第次投籃）中甲投籃的次數(shù)為，求．
5、（2023年新課標全國Ⅱ卷）某研究小組經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)某種疾病的患病者與未患病者的某項醫(yī)學指標有明顯差異，經(jīng)過大量調(diào)查，得到如下的患病者和未患病者該指標的頻率分布直方圖：

利用該指標制定一個檢測標準，需要確定臨界值c，將該指標大于c的人判定為陽性，小于或等于c的人判定為陰性．此檢測標準的漏診率是將患病者判定為陰性的概率，記為；誤診率是將未患病者判定為陽性的概率，記為．假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率．
(1)當漏診率％時，求臨界值c和誤診率；
(2)設(shè)函數(shù)，當時，求的解析式，并求在區(qū)間的最小值．
6、【2022年全國乙卷】某棋手與甲、乙、丙三位棋手各比賽一盤，各盤比賽結(jié)果相互獨立．已知該棋手與甲、乙、丙比賽獲勝的概率分別為p1,p2,p3，且p3>p2>p1>0．記該棋手連勝兩盤的概率為p，則（ ）
A．p與該棋手和甲、乙、丙的比賽次序無關(guān)B．該棋手在第二盤與甲比賽，p最大
C．該棋手在第二盤與乙比賽，p最大D．該棋手在第二盤與丙比賽，p最大
7、（2021年全國新高考Ⅰ卷數(shù)學試題）某學校組織“一帶一路”知識競賽，有A，B兩類問題，每位參加比賽的同學先在兩類問題中選擇一類并從中隨機抽取一個問題回答，若回答錯誤則該同學比賽結(jié)束；若回答正確則從另一類問題中再隨機抽取一個問題回答，無論回答正確與否，該同學比賽結(jié)束.A類問題中的每個問題回答正確得20分，否則得0分；B類問題中的每個問題回答正確得80分，否則得0分，己知小明能正確回答A類問題的概率為0.8，能正確回答B(yǎng)類問題的概率為0.6，且能正確回答問題的概率與回答次序無關(guān).
（1）若小明先回答A類問題，記為小明的累計得分，求的分布列；
（2）為使累計得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答哪類問題？并說明理由.
題組一、正態(tài)分布
1-1、（2023·重慶·統(tǒng)考三模）已知隨機變量，若，則______．
1-2、（2023·浙江·校聯(lián)考三模）已知隨機變量服從正態(tài)分布，若，則_____________．
1-3、（2023·江蘇徐州·徐州市第七中學?？家荒＃ǘ噙x題）已知隨機變量服從正態(tài)分布，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．，B．若，則
C．D．隨機變量滿足，則
題組二、二項分布
2-1、（2023·遼寧·大連二十四中校聯(lián)考三模）（多選題）若隨機變量，下列說法中正確的是（ ）
A．B．期望
C．期望D．方差
2-2、（2021·山東濱州市·高三二模）為落實中央“堅持五育并舉，全面發(fā)展素質(zhì)教育，強化體育鍛煉”的精神，某高中學校鼓勵學生自發(fā)組織各項體育比賽活動，甲?乙兩名同學利用課余時間進行乒乓球比賽，規(guī)定：每一局比賽中獲勝方記1分，失敗方記0分，沒有平局，首先獲得5分者獲勝，比賽結(jié)束.假設(shè)每局比賽甲獲勝的概率都是.
（1）求比賽結(jié)束時恰好打了6局的概率；
（2）若甲以3：1的比分領(lǐng)先時，記X表示到結(jié)束比賽時還需要比賽的局數(shù)，求X的分布列及期望.
2-3、（2023·河南·校聯(lián)考模擬預測）某車間購置了三臺機器，這種機器每年需要一定次數(shù)的維修，現(xiàn)統(tǒng)計了100臺這種機器一年內(nèi)維修的次數(shù)，其中每年維修2次的有40臺，每年維修3次的有60臺，用代表這三臺機器每年共需要維修的次數(shù).
(1)以頻率估計概率，求的分布列與數(shù)學期望；
(2)維修廠家有兩家，假設(shè)每次僅維修一臺機器，其中廠家單次維修費用是550元，廠家對同一車間的維修情況進行記錄，前5次維修費用是每次600元，后續(xù)維修費用每次遞減100元，從每年的維修費用的期望角度來看，選擇哪家廠家維修更加節(jié)??？
題組三、條件概率
3-1、（2023·廣東佛山·統(tǒng)考模擬預測）現(xiàn)隨機安排甲、乙等4位同學參加校運會跳高、跳遠、投鉛球比賽，要求每位同學參加一項比賽，每項比賽至少一位同學參加，事件“甲參加跳高比賽”，事件“乙參加跳高比賽”，事件“乙參加跳遠比賽”，則（ ）
A．事件A與B相互獨立B．事件A與C為互斥事件
C．D．
3-2、（2023·河南·襄城高中校聯(lián)考三模）2022年卡塔爾世界杯上，32支球隊分成8個小組，每個小組的前兩名才能出線，晉級到?jīng)Q賽．某參賽隊在開賽前預測：本隊獲得小組第一的概率為0.6，獲得小組第二的概率為0.3；若獲得小組第一，則決賽獲勝的概率為0.9，若獲得小組第二，則決賽獲勝的概率為0.3．那么在已知該隊小組出線的條件下，其決賽獲勝的概率為（ ）
A．0.54B．0.63C．0.7D．0.9
3-3、（2023·山東德州·三模）某校高二學生的一次數(shù)學診斷考試成績（單位：分）服從正態(tài)分布，從中抽取一個同學的數(shù)學成績，記該同學的成績?yōu)槭录浽撏瑢W的成績?yōu)槭录?，則在事件發(fā)生的條件下事件發(fā)生的概率_________．（結(jié)果用分數(shù)表示）
附參考數(shù)據(jù)：，；
3-4、（2023·山東聊城·統(tǒng)考三模）已知甲箱、乙箱均有6件產(chǎn)品，其中甲箱中有4件正品，2件次品；乙箱中有3件正品，3件次品．
(1)現(xiàn)從甲箱中隨機抽取兩件產(chǎn)品放入乙箱，再從乙箱中隨機抽取一件產(chǎn)品，求從乙箱中抽取的這件產(chǎn)品恰好是次品的概率；
(2)現(xiàn)需要通過檢測將甲箱中的次品找出來，每次隨機檢測一件產(chǎn)品，檢測后不放回，直到能將次品全部找出時檢測結(jié)束，已知每檢測一件產(chǎn)品需要費用15元，設(shè)表示能找出甲箱中的所有次品時所需要的檢測費用（單位：元），求的分布列與數(shù)學期望．
題組四、離散型隨機變量的均值與方差
4-1、（2023·山東濟南·統(tǒng)考三模）某校舉行“學習二十大，奮進新征程”知識競賽，知識競賽包含預賽和決賽.
(1)下表為某10位同學預賽成績：
求該10位同學預賽成績的上四分位數(shù)（第75百分位數(shù)）和平均數(shù)；
(2)決賽共有編號為的5道題，學生甲按照的順序依次作答，答對的概率依次為，各題作答互不影響，若累計答錯兩道題或五道題全部答完則比賽結(jié)束，記為比賽結(jié)束時學生甲已作答的題數(shù)，求的分布列和數(shù)學期望.
4-2、（2023·安徽銅陵·統(tǒng)考三模）某校承接了2023年某大型考試的筆試工作，考試前，學校將高二年級的201~205五個班級內(nèi)部的墻壁裝飾畫取下后打包，統(tǒng)一放置，考試結(jié)束后再恢復原位.學校安排了三位校工甲、乙、丙進行該項工作，每位校工至少負責一個班級的裝飾畫復原工作.已知每位校工能夠完全還原一個班級裝飾畫的概率均為，并且他們之間的工作相互獨立.
(1)求校工甲將自己負責的所有班級的裝飾畫完全還原的概率；
(2)設(shè)校工乙能夠完全還原的班級數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學期望.
4-3、（2023·江蘇連云港·統(tǒng)考模擬預測）為了豐富在校學生的課余生活，某校舉辦了一次趣味運動會活動，學校設(shè)置項目A“毛毛蟲旱地龍舟”和項目B“袋鼠接力跳”．甲、乙兩班每班分成兩組，每組參加一個項目，進行班級對抗賽．每一個比賽項目均采取五局三勝制（即有一方先勝3局即獲勝，比賽結(jié)束），假設(shè)在項目A中甲班每一局獲勝的概率為，在項目B中甲班每一局獲勝的概率為，且每一局之間沒有影響．
(1)求甲班在項目A中獲勝的概率；
(2)設(shè)甲班獲勝的項目個數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學期望．
題組五、概率中的最值問題
5-1、（2023·湖南長沙·長沙市明德中學校考三模）甲、乙兩選手進行一場體育競技比賽，采用局勝制的比賽規(guī)則，即先贏下局比賽者最終獲勝. 已知每局比賽甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，比賽結(jié)束時，甲最終獲勝的概率為.
(1)若，結(jié)束比賽時，比賽的局數(shù)為，求的分布列與數(shù)學期望；
(2)若采用5局3勝制比采用3局2勝制對甲更有利，即.
(i)求的取值范圍；
(ii)證明數(shù)列單調(diào)遞增，并根據(jù)你的理解說明該結(jié)論的實際含義.
5-2、（2023·浙江溫州·統(tǒng)考三模）某校開展“學習二十大，永遠跟黨走”網(wǎng)絡(luò)知識競賽.每人可參加多輪答題活動，每輪答題情況互不影響.每輪比賽共有兩組題，每組都有兩道題，只有第一組的兩道題均答對，方可進行第二組答題，否則本輪答題結(jié)束.已知甲同學第一組每道題答對的概率均為，第二組每道題答對的概率均為，兩組題至少答對3題才可獲得一枚紀念章.
(1)記甲同學在一輪比賽答對的題目數(shù)為，請寫出的分布列，并求；
(2)若甲同學進行了10輪答題，試問獲得多少枚紀念章的概率最大.
1、（2022·山東萊西·高三期末）設(shè)隨機變量，，，則下列結(jié)論正確的為（ ）
A．B．C．D．
2、（2022·廣東·鐵一中學高三期末）已知參加2020年某省夏季高考的53萬名考生的成績近似地服從正態(tài)分布，估計這些考生成績落在的人數(shù)約為（ ）
(附：，則，)
A．36014B．72027C．108041D．168222
3、（2023·山西運城·統(tǒng)考三模）（多選）已知某校高二男生的身高X（單位：cm）服從正態(tài)分布N（175，16），且，則（ ）
A．該校高二男生的平均身高是175cm
B．該校高二男生身高的方差為4
C．該校高二男生中身高超過183cm的人數(shù)超過總數(shù)的3%
D．從該校高二男生中任選一人，身高超過180cm的概率與身高不超過170cm的概率相等
4、（2023·遼寧大連·統(tǒng)考三模）已知隨機變量，且，則__________.
5、（2023·江蘇南通·三模）隨機變量，則__________.
6、（2023·福建泉州·統(tǒng)考三模）設(shè)隨機變量，若，則____________．
7、（2023·廣東深圳·深圳市高級中學?？寄M預測）有3臺車床加工同一型號的零件，第1臺加工的次品率為8%，第2臺加工的次品率為3%，第3臺加工的次品率為2%，加工出來的零件混放在一起．已知第1，2，3臺車床加工的零件數(shù)分別占總數(shù)的10%，40%，50%，從混放的零件中任取一個零件，如果該零件是次品，那么它是第3臺車床加工出來的概率為____________．
8、（2023·江蘇·統(tǒng)考三模）綜合素質(zhì)評價是高考招生制度改革的內(nèi)容之一．某高中采用多維評分的方式進行綜合素質(zhì)評價．下圖是該校高三學生“運動與建康”評價結(jié)果的頻率直方圖，評分在區(qū)間[90，100），[70，90），[60，70），[50，60）上，分別對應(yīng)為A，B，C，D四個等級．為了進一步引導學生對運動與健康的重視，初評獲A等級的學生不參加復評，等級不變，對其余學生學校將進行一次復評．復評中，原獲B等級的學生有的概率提升為A等級：原獲C等級的學生有的概率提升為B等級：原獲D等級的學生有的概率提升為C等級．用頻率估計概率，每名學生復評結(jié)果相互獨立．
(1)若初評中甲獲得B等級，乙、丙獲得C等級，記甲、乙、丙三人復評后等級為B等級的人數(shù)為ξ，求ξ的分布列和數(shù)學期望；
(2)從全體高三學生中任選1人，在已知該學生是復評晉級的條件下，求他初評是C等級的概率．
9、（2023·江蘇徐州·徐州市第七中學?？家荒＃┠硨W校為了迎接黨的二十大召開，增進全體教職工對黨史知識的了解，組織開展黨史知識競賽活動并以支部為單位參加比賽.現(xiàn)有兩組黨史題目放在甲?乙兩個紙箱中，甲箱有5個選擇題和3個填空題，乙箱中有4個選擇題和3個填空題，比賽中要求每個支部在甲或乙兩個紙箱中隨機抽取兩題作答.每個支部先抽取一題作答，答完后題目不放回紙箱中，再抽取第二題作答，兩題答題結(jié)束后，再將這兩個題目放回原紙箱中.
(1)如果第一支部從乙箱中抽取了2個題目，求第2題抽到的是填空題的概率；
(2)若第二支部從甲箱中抽取了2個題目，答題結(jié)束后錯將題目放入了乙箱中，接著第三支部答題，第三支部抽取第一題時，從乙箱中抽取了題目.已知第三支部從乙箱中取出的這個題目是選擇題，求第二支部從甲箱中取出的是2個選擇題的概率.
得分
93
94
95
96
97
98
人數(shù)
2
2
3
1
1
1

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