時(shí)量：120分鐘 滿分：150分
一、選擇題：本大題共8個(gè)小題，每小題5分，滿分40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1．若，則（ ）
A．1B．2C．D．
2．在平行四邊形ABCD中，，，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，則的坐標(biāo)為
A．B．C．D．
3．王大爺養(yǎng)了3只雞和2只兔子，晚上關(guān)在同一間房子里，清晨打開房門，這些雞和兔子隨機(jī)逐一向外走，則2只兔子相鄰走出房子的不同方法數(shù)有（ ）
A．120種B．72種C．48種D．36種
4．過拋物線的焦點(diǎn)作直線交拋物線于P，Q兩點(diǎn)，若線段PQ中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，，則拋物線方程是（ ）
A．B．C．D．
5．函數(shù)在區(qū)間上的大致圖象為（ ）
A．B．C．D．
6．對(duì)于一組具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)，根據(jù)最小二乘法求得經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，則以下說法正確的是（ ）
A．至少有一個(gè)樣本點(diǎn)落在回歸直線上
B．預(yù)報(bào)變量y的值由解釋變量x唯一確定
C．決定系數(shù)越小，說明該模型的擬合效果越好
D．在殘差圖中，殘差點(diǎn)分布水平帶狀區(qū)域的寬度越窄，則回歸方程的預(yù)報(bào)精確度越高
7．設(shè)A為直線上一點(diǎn)，P，Q分別在圓與圓上運(yùn)動(dòng)，則的最大值為（ ）
A．B．C．D．
8．設(shè)，，，則（ ）
A．B．C．D．
二、選擇題：本大題共3個(gè)小題，每小題6分，滿分18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．
9．已知a，b，c，且，．則下列關(guān)系一定成立的有（ ）
A．B．
C．D．
10．已知，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，A為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，B為橢圓的上頂點(diǎn)，是邊長為2的正三角形．下列說法正確的是（ ）
A．離心率
B．使得為等腰三角形的點(diǎn)A有4個(gè)
C．當(dāng)直線傾斜角為時(shí)，周長為6
D．將橢圓C進(jìn)行旋轉(zhuǎn)得到橢圓，使得以和B為焦點(diǎn)，則C和有且僅有2個(gè)交點(diǎn)
11．如圖，正八面體棱長為2，P為棱MC．上一動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)）．下列說法正確的是（ ）
A．存在點(diǎn)P，使得
B．當(dāng)P為棱MC的中點(diǎn)時(shí)，正八面體表面從N點(diǎn)到P點(diǎn)的最短距離為
C．異面直線AP和MD所成角隨PC的增大而減小
D．以正八面體中心為球心，1為半徑作球，球被正八面體各個(gè)面所截得的交線總長度為
三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．
12．若集合，且，則實(shí)數(shù)______．
13．已知p：“”是q：“”的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______．
14．如果圓至少覆蓋函數(shù)的一個(gè)最大值點(diǎn)和一個(gè)最小值點(diǎn)，則m的取值范圍是______．
四、解答題：本大題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15．（本小題滿分13分）
已知函數(shù)為奇函數(shù)．
（1）求a的值；
（2）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間和極值．
16．（本小題滿分15分）
如圖，△ABC與△DBC所在平面垂直，且，．
（1）證明：；
（2）求直線BC與平面ABD所成角的余弦值．
17．（本小題滿分15分）
記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知．
（1）求角A；
（2）若，求△ABC的面積最大值．
18．（本小題滿分17分）
投擲一枚均勻的骰子，每次擲得的點(diǎn)數(shù)為5或6時(shí)得2分，擲得的點(diǎn)數(shù)為1，2，3，4時(shí)得1分，獨(dú)立地重復(fù)擲一枚骰子，將每次得分相加的結(jié)果作為最終得分．
（1）設(shè)投擲2次骰子，最終得分為X，求隨機(jī)變量X的分布列與期望；
（2）記n次拋擲得分恰為分的概率為，求的前n項(xiàng)和；
（3）投擲骰子100次，記得分恰為n分的概率為，當(dāng)b，取最大值時(shí)，求n的值．
19．（本小題滿分17分）
對(duì)于橢圓，令，，那么在坐標(biāo)系中，橢圓經(jīng)伸縮變換得到了單位圓，在這樣的伸縮變換中，有些幾何關(guān)系保持不變，例如點(diǎn)、直線、曲線的位置關(guān)系以及點(diǎn)分線段的比等等；而有些幾何量則等比例變化，例如任何封閉圖形在變換后的面積變?yōu)樵鹊?，由此我們可以借助圓的幾何性質(zhì)處理一些橢圓的問題．
（1）在原坐標(biāo)系中斜率為k的直線l，經(jīng)過，的伸縮變換后斜率變?yōu)椋髃與滿足的關(guān)系；
（2）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P在橢圓上，過點(diǎn)P作橢圓的切線，與橢圓交于點(diǎn)Q，R，再過點(diǎn)Q，R分別作橢圓的切線交于點(diǎn)S，求點(diǎn)S的軌跡方程；
（3）點(diǎn)）在橢圓上，求橢圓上點(diǎn)B，C的坐標(biāo)，使得△ABC的面積取最大值，并求出該最大值．
湖南師大附中2023--2024學(xué)年度高二第二學(xué)期期中考試
數(shù)學(xué)參考答案
一、選擇題：本大題共8個(gè)小題，每小題5分，滿分40分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1．B【解析】因?yàn)?，所以，所以，所以．故選B．
2．B【解析】因?yàn)樵谄叫兴倪呅蜛BCD中，，，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，所以．
3．C【解析】2只兔子相鄰走出房子共有種不同方法．
4．B【解析】設(shè)，，則，即．
又，即，拋物線方程為．
5．B【解析】設(shè)，，且區(qū)間
關(guān)于y軸對(duì)稱，為偶函數(shù)，故排除A，C，又，故排除D，選B．
6．D【解析】對(duì)于一組具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)，可能所有的樣本點(diǎn)都不在回歸直線上，故A錯(cuò)誤；
預(yù)報(bào)變量y的值由解釋變量x進(jìn)行估計(jì)，故B錯(cuò)誤；
決定系數(shù)越小，殘差平方和越大，說明該模型的擬合效果越不好，故C錯(cuò)誤；
在殘差圖中，殘差點(diǎn)分布水平帶狀區(qū)城的寬度越窄，則回歸方程的預(yù)報(bào)精確度越高，故D正確．故選D．
7．A【解析】設(shè)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為，
則，解得，，即，
由對(duì)稱性可知，對(duì)于圓，圓心，
半徑，，
當(dāng)且僅當(dāng)A，C，三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立，由于，，
則，故選A．
8．C【解析】因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，從而當(dāng)時(shí)，
，則，
故，；設(shè)函數(shù)，則，
當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞增，
則，則，綜上所述有，故選C．
二、選擇題：本大題共3個(gè)小題，每小題6分，滿分18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．
9．AD
10．ACD【解析】對(duì)于A，依題意，，，；
對(duì)于B，線段BF的中垂線與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)滿足要求，以B為圓心，為半徑的圓與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)滿足要求，下頂點(diǎn)也滿足要求，故滿足要求的點(diǎn)A有5個(gè)，B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，當(dāng)直線傾斜角為時(shí)，垂直平分．故，
．C正確；
對(duì)于D，作的垂直平分線l與橢圓交于M，N兩點(diǎn)，
則，，
因此M，N是兩橢圓的交點(diǎn)．橢圓C上位于直線l下方的任意一點(diǎn)P均滿足，
即點(diǎn)P在橢圓外，同理可得橢圓C上位于直線l上方的任意一點(diǎn)Q均在橢圓內(nèi)，故D正確．
11．BCD【解析】對(duì)于A，連接AC，BD交于點(diǎn)O，
由于四邊形ABCD為正方形，故AC⊥BD，同理，，
所以BD⊥平面ANCM，因此BD⊥AP．
假設(shè)存在點(diǎn)P，使得AP⊥BM，則AP⊥平面BOM，故AP⊥OM，
故當(dāng)且僅當(dāng)P，C重合時(shí)滿足要求，不合題意，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，將△MBC和△NBC展開至同一平面，
由余弦定理得：，，B正確；
對(duì)于C，過點(diǎn)P作交CD于點(diǎn)Q，連接AQ，∠APQ為所求角（記為）．
△APQ為等腰三角形，設(shè)，則，，，
由余弦定理有：，，
容易發(fā)現(xiàn)這是關(guān)于x的增函數(shù)，故PC增大時(shí)，∠APQ的余弦值增大（大于0），故∠APQ減小，C正確；
對(duì)于D，以O(shè)為球心，1為半徑的球與各條棱均切于中點(diǎn)處，故每個(gè)側(cè)面的交線即側(cè)面正三角形的內(nèi)切圓，，，D正確．
三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．
12．0或1
【解析】①當(dāng)，即時(shí)，
此時(shí)，②當(dāng)，即時(shí)，此時(shí)（舍），
③當(dāng)，即時(shí)，由②可知（舍），則時(shí)，，綜上，或1．
13．【解析】由已知，可得，．
4．【解析】化簡
得，所以，函數(shù)的圖象靠近圓心的最大值點(diǎn)為，最小值點(diǎn)為．
所以只需
解得．
四、解答題：本大題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15．【解析】（1）定義域：．
由已知：函數(shù)為奇函數(shù)，所以，
即，解得．
（2）由（1）得：
當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以?br>令，解得．
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
因此，當(dāng)時(shí)，有極小值，并且極小值為．
16．【解析】（1）證明：過A作AO⊥CB交CB的延長線于點(diǎn)O，連接DO，
由題：，所以，
又因?yàn)?，，所以?br>因此分，故，
又因?yàn)椋云矫鍭DO，
又因?yàn)槠矫鍭DO，故．
（2）設(shè)，由（1）得：OD，OC，OA兩兩互相垂直，
故以O(shè)為原點(diǎn)，OD，OC，OA分別為x，y，z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz如圖，
則，，，，
所以，，，
設(shè)平面ABD法向量為，則有
，
設(shè)直線BC與平面ABD所成角為，則，
又因?yàn)?，所以?br>17．【解析】（1）因?yàn)椋?br>所以，
由正弦定理：，得，
故，因?yàn)?，故?br>（2）由（1）可知，又，則，
由基本不等式可知，則，
所以，當(dāng)時(shí)取等號(hào)．
所以△ABC的面積最大值為．
18．【解析】（1）X的可能取值為2，3，4，
，，
X的分布列為
數(shù)學(xué)期望．
（2）因?yàn)閚次拋擲得分恰為分，則只有1次拋擲得2分，
于是，
則，
于是，
兩式相減，得
，
所以．
（3）設(shè)得1分的次數(shù)為x，則得2分的次數(shù)為，
因此拋擲100次所得總分為，
此時(shí)，
假定取最大值，必有，于是，
即整理得
解得，而，則，則，
所以當(dāng)取最大值時(shí)，．
19．【解析】（1）設(shè)l上兩點(diǎn)的坐標(biāo)為，；
經(jīng)伸縮變換后變?yōu)?，?br>則；；
，；則．
（2）作，的伸縮變換，橢圓變換得到了單位圓；
橢圓變換得到了以原點(diǎn)為圓心的圓；
P，Q，R，S變換得到，，，．
O，，均在中垂線上，則O，，共線．
，，則，
則，，
則軌跡方程為：，
代入，，則S軌跡方程為：．
（3）作，的伸縮變換，橢圓變換得到了單位圓，點(diǎn)A變換得到了，
即為，并設(shè)B，C變換得到了，．
熟知：在單位圓內(nèi)接三角形中，面積最大為內(nèi)接正三角形．
則，分別為繞O點(diǎn)逆時(shí)針和順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到．
則，坐標(biāo)分別為，．
即為，，
即B、C坐標(biāo)分別為，，
單位圓內(nèi)接正三角形面積為，則△ABC面積為．
綜上，所求B，C坐標(biāo)分別為，或其交換，△ABC面積最大值為．
題號(hào)
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
B
C
B
B
D
A
C
題號(hào)
9
10
11
答案
AD
ACD
BCD
x
—
0
＋
單調(diào)遞減
極小值
單調(diào)遞增
X
2
3
4
P

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