注意事項：
1.本試卷包括試題卷和答題卡兩部分：試題卷包括單項選擇題?多項選擇題?填空題和解答題四
部分，共 4 頁，考試用時 120 分鐘，滿分 150 分.
2.答題前，考生務必將自己的姓名?考號等填寫在本試題卷和答題卡指定位置，請按答題卡的
要求在答題卡上作答，在本試題卷和草稿紙上作答無效.
3.考試結束后，將本試題卷和答題卡一并交回.
一?選擇題：本題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是
符合題目要求的.
1. 直線 的斜率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據一般式中斜率的計算公式即可求解.
【詳解】 的斜率為 ，
故選：B
2. 過點 且與直線 平行的直線方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】與直線 平行的直線可設為 ，帶點 即可解出 .
【詳解】設與直線 平行的直線可設為 ，因為點 在 上，
所以 ，所以方程為 .
第 1頁/共 18頁
故選：A.
3. 已知兩個向量 ，則 的值是（ ）
A. B. C. 1 D. 5
【答案】D
【解析】
【分析】根據向量垂直的坐標運算即可求解.
【詳解】根據 可得 ，解得 ，
故選：D
4. 已知等差數列 的前 項和為 ，則 （ ）
A. 36 B. 64 C. 72 D. 88
【答案】C
【解析】
【分析】根據等差數列基本量的計算即可求解.
【詳解】由 可得 ，故 ，
進而可得 ，故 ，
故選：C
5. 已知雙曲線 的兩條漸近線互相垂直，則 的離心率為（ ）
A. B. C. 2 D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據漸近線的斜率為 即可求解.
【詳解】由于雙曲線 的兩條漸近線互相垂直，故漸近線的斜率為 ，即
，故 ，
故選：A
第 2頁/共 18頁
6. 已知圓 .過點 的直線 與 交于 兩點，當弦 的長最短時，直線 的方程
是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】當直線 時，弦 的長最短，利用 即可求出直線 的斜率.
【詳解】因為圓 的半徑為 ，設原點到直線 的距離為 ，則有
，
可知當 最大時弦 的長最短，所以當直線 時，弦 的長最短，設直線 的斜率為 ，
則有 ，因 ，所以 ，所以 ，
直線 的方程為 .
故選：D.
7. 在四面體 中， 、 分別是棱 、 的中點， 是 的中點，設 ， ，
，則 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用空間向量的基本定理可得出 關于 、 、 的表達式.
第 3頁/共 18頁
【詳解】因為 為 的中點，則 ，即 ，
所以， ，
因為 、 分別為 、 的中點，
同理可得 ，
故選：C.
8. 已知點 、 及直線 ，如果 上有且僅有 個點 ，使得 是
直角三角形，則 的值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】對 各內角為直角進行分類討論，分析可知直線 與圓 相切，結合點到直線的距
離公式可求得 的值.
【詳解】當 為直角時，直線 方程為 ，此時，直線 與直線 有一個公共點，
當 為直角時，直線 的方程為 ，此時，直線 與直線 有一個公共點，
由題意可知，在直線 上有且只有一個點 ，使得 為直角，
此時， ，則點 在以線段 為直徑的圓上，
且該圓的圓心為原點，半徑為 ，且圓的方程為 ，
所以，直線 與圓 相切，
直線 的一般方程為 ，則 ，解得 .
第 4頁/共 18頁
故選：B.
二?多選題：本題共 3 小題，每小題 6 分，共 18 分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目
要求.全部選對的得 6 分，有選錯的得 0 分，部分選對的得部分分.
9. 已知直線 ，則（ ）
A. 的傾斜角為
B. 在 軸上的截距為
C. 原點到 的距離為 1
D. 與坐標軸圍成的三角形的面積為 2
【答案】ABC
【解析】
【分析】選項 A，利用直線的傾斜角與斜率的關系求解；選項 B，利用直線的截距求解即；選項 C，利用點
到直線的距離公式求解；選項 D，利用直線與坐標軸的圍成面積求解即可.
【詳解】選項 A：直線的傾斜角為 ，斜率 ，則 ，由 得 ，故選項 A 正確；
選項 B：令 則 則 在 軸上的截距為 ，故選項 B 正確；
選項 C：原點到 的距離為 ，故選項 C 正確；
選項 D： 與坐標軸圍成 三角形的面積為 ，故選項 D 錯誤.
故選：ABC.
10. 已知數列 的前 項和為 ，且 ，則（ ）
A. B.
C. D. 數列 為等比數列
【答案】AB
【解析】
【分析】因為 ，所以數列 是等比數列，即可求出 ，利用分組求和即可求出
，進而即可判斷 CD.
【詳解】因為 ，所以 ，所以數列 是以首項為 ，
第 5頁/共 18頁
公比為 2 的等比數列，所以 ，故 A 正確；
數列 的前 項和為
，故 B 正確；
因為 ，故 C 錯誤；
令 ，所以數列 為等差數列，故 D 錯誤.
故選：AB.
11. 在棱長為 1 的正方體 中， 分別是棱 的中點， 是線段 上一個動
點，則（ ）
A. 在線段 上存在一點 ，使得
B. 三棱錐 的體積為
C. 與平面 所成角的余弦值的最小值為
D. 若 平面 ，則平面 與正方體 的截面面積是
【答案】BCD
【解析】
【分析】建立空間直角坐標系，利用向量共線判斷 A；求出平面 的法向量，求出點到平面距離及線面
角的正弦判斷 BC；取 中點 并作出過點 的截面正六邊形，證明 垂直于該截面并求出面積
判斷 D.
【詳解】在棱長為 1 的正方體 中，建立如圖所示的空間直角坐標系，
第 6頁/共 18頁
則 ，設點 ，
對于 A， ，當 時， 與 不共線，
當 時， 與 不共線，因此不平行，A 錯誤；
對于 B， ，設平面 的法向量為 ，
則 ，令 ，得 ，點 到平面 的距離 ，
， ，
則 ， ，
因此三棱錐 的體積 ，B 正確；
對于 C， ，設 與平面 所成的角為 ，則 ，
當且僅當 時取等號，此時 取得最小值 ，C 正確；
對于 D， ，取 中點 ，過點 的平面截正方體
的截面為正六邊形 ， ，則 ， ，
于是 ，而 ， 平面 ，則 垂直于該截面，該截
面與 的交點為 ，
因此 平面 ，截面正六邊形 的面積為 ，D 正確.
故選：BCD
【點睛】關鍵點睛：用向量法求直線與平面所成的角，求出平面的法向量是關鍵，并注意公式求出的是線
面角的正弦．
三?填空題：本題共 3 小題，每小題 5 分，共 15 分.
第 7頁/共 18頁
12. 已知兩個向量 ，則 __________.
【答案】
【解析】
【分析】根據模長公式即可求解.
【詳解】
,
故答案為：
13. 已知圓 ，直線 與 交于 兩點，則 的面積等于
__________.
【答案】
【解析】
【分析】根據弦長公式以及點到直線的距離公式即可根據面積公式求解.
【詳解】 的圓心為 半徑為 ，
故圓心到直線的距離為 ，
弦長 ，
故 ，
故答案為：
14. 已知雙曲線 的左右焦點分別為 ，過 的直線 與 的右支交于
兩點， 與 軸交于點 的內切圓與邊 相切于點 ，若 ，則 與 的內切
圓的半徑之和的最小值等于______.
【答案】2
【解析】
【分析】結合雙曲線的定義、圓的切線長定理求得 、 ，從而求得雙曲線 的方程，結合三角形內切圓
第 8頁/共 18頁
性質得 ，設直線的傾斜角為 ，則 ，進而求得 ， ，最后利用基
本不等式求解最小值即可.
【詳解】因為 的內切圓與邊 相切于點 ，如圖， ， 為另外兩個切點，
由切線長定理可知 ， ， ，
因為 在 軸上，所以 ，
所以
，
所以 ， ， ，
雙曲線 的方程為： ，
如圖，設兩內切圓圓心分別為 ， ，半徑分別為 ， ，
設 ， ， 與圓分別相切于點 ， ， ，
由切線長定理得
，
第 9頁/共 18頁
而 ，兩式相加得 ，
所以 是雙曲線的右頂點 ， 軸，所以 的橫坐標為 ，
同理可求得 的橫坐標為 ，則 ，
設直線 的傾斜角為 ，由雙曲線漸近線為 ，傾斜角分別為 ，
要使直線 與雙曲線的右支交于兩點，則 ，有 ，
在 ， 中，
有 ， ，
因為 ，所以 ，所以 ，
當且僅當 即 時，等號成立．
故答案為：
【點睛】結論點睛：雙曲線 的左右焦點分別為 ， 為雙曲線上右支上一點（除了頂點），
則 的內切圓圓心橫坐標為 ， 為雙曲線上左支上一點（除了頂點），則 的內切圓圓心橫坐
標為 .
四?解答題：本題共 5 小題，共 77 分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
15. 已知等差數列 的前 項和為 ，且 ， .
（1）求 ；
（2）若 ，記 ，求 的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
第 10頁/共 18頁
【分析】（1）設等差數列 公差為 ，根據題意可得出關于 、 的方程組，解出這兩個量的值，結合
等差數列的通項公式可求得數列 的通項公式；
（2）求出數列 的通項公式，推導出數列 為等比數列，確定該數列的首項和公比，結合等比數列的
求和公式可求得 的值.
【小問 1 詳解】
設等差數列 公差為 ，則 ，解得 ， .
所以數列 的通項公式是 .
【小問 2 詳解】
由題意知 ，則 ，
數列 是首項為 ，公比為 的等比數列，
又因為 ，所以， .
16. 已知拋物線 的焦點為 ，點 在 上.
（1）求焦點 的坐標及 的值；
（2）設 的準線與 軸的交點為 ，求過 三點的圓的方程.
【答案】（1） 的坐標為 ，
（2）
【解析】
【分析】（1）根據焦點坐標即可求解，代入點到拋物線方程中即可求解 ，
（2）設圓 一般式方程，代入三點坐標即可求解.
【小問 1 詳解】
由題意可得焦點 的坐標為 .
點 在 上， .
解得 （舍去）， .
第 11頁/共 18頁
【小問 2 詳解】
由拋物線 可得準線方程為 ，所以， .由（1）知 .
設過 三點的圓的方程為 ，
代入點 得 ，
解得 .
所以，過 三點的圓的方程為 （或者 ）.
17. 如圖，在正三棱柱 中， 為 的中點， 為棱 上一個動點.
（1）若 ，求證： 平面 ；
（2）若 為 的中點，求平面 與平面 夾角的余弦值.
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根據面面垂直可得線面垂直，進而可得 ，即可根據勾股定理求解長度證明
，即可求解，
（2）建立空間直角坐標系，求解平面法向量，即可根據向量的夾角求解.
【小問 1 詳解】
證明： 正三棱柱 平面 平面 .
第 12頁/共 18頁
為正三角形， 為 中點， .
又平面 平面 平面 .又 平面 ，
.
.
所以， .
.
又 平面 ,故 平面 .
【小問 2 詳解】
以 為坐標原點，以 及過 點且垂直平面 的垂線分別為 軸， 軸， 軸建立如圖所示空
間直角坐標系，
則 ，
設平面 的一個法向量為 ，
則 ，可取 .
設平面 的一個法向量為 ，
第 13頁/共 18頁
則 ，可取 .
平面 與平面 夾角的余弦值為 .
18. 已知橢圓 過點 ，且 的離心率為 .
（1）求 的方程；
（2）設 分別是 的左頂點，上頂點，與直線 平行的直線 與 交于 兩點.
①若以線段 為直徑的圓與直線 相切，求 在 軸上的截距；
②當直線 斜率存在時，分別將其記為 ，證明： 為定值.
【答案】（1）
（2）① ；②證明見解析
【解析】
【分析】（1）代入坐標以及離心率公式即可聯立方程求解，
（2）聯立直線與橢圓方程，根據弦長公式以及點到直線的距離公式列出方程，求解即得 在 軸上的截距；
根據斜率公式化簡，將韋達定理代入 計算即可求得定值.
【小問 1 詳解】
由題意可知
解得 .
第 14頁/共 18頁
故 的方程為 .
【小問 2 詳解】
①由題意知 .則直線 的方程為 .
設平行于直線 的直線 的方程為 .
聯立 ，消去 得： .
，解得： .
設 與橢圓 的交點坐標為 ，
.
.
又直線 與直線 的距離 ，
由于以線段 為直徑的圓與直線 相切，則 ，
即 .
解得 .經檢驗： ，
故 在 軸上的截距為 ；
②由
第 15頁/共 18頁
.
為定值 .
【點睛】關鍵點點睛：以線段 為直徑的圓與直線 相切，則 ，根據
求出 的值即得；對于定值問題，一般需要等價轉化，利用韋達定理代入，推理
計算可得.
19. 若各項均為正整數的數列 ，對任意的 ，均有
成立，則稱數列 為“下凸正整數數列”.
（1）若數列 是“下凸正整數數列”，求出所有的數對 ；
（2）設數列 滿足 ， 且 ，判斷數列 是否為“下凸正整數
數列”，并說明理由；
（3）已知“下凸正整數數列” 中， ， ， ， ，求 的最
大值.
【答案】（1） 、
（2）是，理由見解析 （3）
【解析】
第 16頁/共 18頁
【分析】（1）根據“下凸正整數數列”的定義可得出關于 、 的不等式組，結合不等式的基本性質可求出
的取值范圍，求出正整數 值，進而可得出正整數 的值，即可得出數對 ；
（2）由已知化簡得出 ，利用累加法求出數列 的通項公式，再結合題中定義驗證即可得出
結論；
（3）由“下凸正整數數列”的定義可得出 ，令 ，可得出 ，利
用累加法結合不等式的基本性質可得出 ，利用累加法可得出 ，然后
解不等式 ，可得出 ，然后取 ，驗證 ，即可得出結果.
小問 1 詳解】
因為數列 為“下凸正整數數列”，則 ，
所以， ，可得 ，
又 、 ，當 時， 或 ，當 時，不符合題意.
即所求的數對有 、 .
【小問 2 詳解】
數列 是“下凸正整數數列”，理由如下：
因為 ，所以， .
對任意的 ，所以， ，即 ，且 .
則當 時， ， ， ， ， ，
累加得 ，則 ，
也滿足 ，故對任意的 ， .
①由 可知 是正整數，
第 17頁/共 18頁
②因為 ，
其中 且 ，
即 成立，綜合①②可得數列 是“下凸正整數數列”.
【小問 3 詳解】
因為 ，
對任意的 ，令 ，
則 且 ，故 對任意的 恒成立，
當 ， ， ， 時，
因為 ，
所以， ，
此時， ，
即 ，解得 ，故 .
若取 ，則對任意的 ， ，
此時，數列 為“下凸正整數數列”，且 ，即 符
合題意.
綜上， 的最大值為 .
【點睛】方法點睛：已知數列的遞推關系求通項公式的典型方法：
（1）當出現 時，構造等差數列；
（2）當出現 時，構造等比數列；
（3）當出現 時，用累加法求解；
（4）當出現 時，用累乘法求解.
第 18頁/共 18頁

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