考生須知：
1.本卷共5頁(yè)滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.
2.答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫(xiě)班級(jí)、姓名、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)及準(zhǔn)考證號(hào)并填涂相應(yīng)數(shù)字.
3.所有答案必須寫(xiě)在答題紙上，寫(xiě)在試卷上無(wú)效.
4.考試結(jié)束后，只需上交答題紙.
選擇題部分
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 已知集合，則（ ）
A. B. C. 0,2D.
【答案】D
【解析】
【分析】由一元二次不等式的解法，可求得集合，從而可求出，再根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求出集合中的具體范圍，即可求得.
【詳解】因?yàn)?，所以?br>對(duì)于集合：，所以，即，
，所以.
故選：D.
2. 已知是虛數(shù)單位，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】設(shè)，根據(jù)條件，利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算及復(fù)數(shù)相等的條件，得到，從而，即可求解.
【詳解】設(shè)，因?yàn)椋玫剑?br>所以，解得，得到，
所以，
故選：C.
3. 已知向量，，則“”是“與共線”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】
【分析】由，可得與共線，充分性成立；由，可得或，必要性不成立，可得結(jié)論.
【詳解】由，得，，所以與共線，
所以“”是“是與共線”的充分條件；
由，可得，解得或，
“”是“與共線”成立的不必要條件，
故“”是“與共線”充分不必要條件．
故選：A．
4. 若函數(shù)，又，且的最小值為，則的值為（ ）
A. B. C. D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)三角恒等變換可得，即可根據(jù)最大值和最小值求解得解.
【詳解】，
由于，
結(jié)合，，故分別為的最大值點(diǎn)和最小值點(diǎn)，
由于的最小值為，故,解得.
故選；A
5. 下列說(shuō)法錯(cuò)誤的有（ ）
A. 若A與相互獨(dú)立，，PB=23，則
B. 把紅、橙、黃3張紙牌隨機(jī)分給甲、乙、丙3人，每人分得1張，則事件“甲分得的不是紅牌”與事件“乙分得的不是紅牌”是互斥事件
C. 從裝有3個(gè)紅球，4個(gè)白球的袋中任意摸出3個(gè)球，事件“至少有2個(gè)紅球”，事件“都是白球”，則事件A與事件是互斥事件
D. 甲乙兩人投籃訓(xùn)練，甲每次投中的概率為，乙每次投中的概率為，甲乙兩人投籃互不影響，則甲乙各投籃一次同時(shí)投中的概率為
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)互斥事件、對(duì)立事件和的概念獨(dú)立事件的乘法公式和概率一一判斷即可
【詳解】對(duì)于A，若與相互獨(dú)立，則與與也相互獨(dú)立，
，故A正確；
對(duì)于B，“甲分得的不是紅牌”其中的一種情況是“甲分得黃牌，乙分得橙牌，丙分得紅牌”，而“乙分得的不是紅牌”也含有其中的一種情況是“甲分得黃牌，乙分得橙牌，丙分得紅牌”這種情況，這兩個(gè)事件不是互斥事件，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，事件 “至少有2紅球”包含“有2紅球1個(gè)白球”及“有3個(gè)紅球”這兩種情況，與事件“都是白球” 不可能同時(shí)發(fā)生，所以事件與事件是互斥事件，C正確；
對(duì)于D，由題意可知甲乙各投籃一次同時(shí)投中的概率為 ，故D正確.
故選：B.
6. 已知，是橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱兩點(diǎn)，是橢圓的右焦點(diǎn)，則的取值范圍為（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用橢圓的對(duì)稱性以及定義可得，即可得，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.
【詳解】由對(duì)稱性和橢圓定義可知，其中，
故，
又因?yàn)?，設(shè)點(diǎn)，則，所以
，
當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為，
當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為，
所以，
故當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為39，
當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為，
故的取值范圍是.
故選：C.
7. 已知函數(shù)，若，，且，則的最小值為（ ）
A. B. 2C. 4D.
【答案】D
【解析】
【詳解】利用函數(shù)奇偶性的應(yīng)用、基本不等式求和的最小值，先根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)，確定，滿足的條件，再利用基本（均值）不等式求和的最小值.
【分析】函數(shù)的定義域?yàn)镽，，
即函數(shù)是奇函數(shù)，且,
由函數(shù)，都是R上的增函數(shù)，則在R上為增函數(shù)，
由，則，可得,
于是，，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取得最小值.
故選：D.
8. 法國(guó)數(shù)學(xué)家加斯帕·蒙日被稱為“畫(huà)法幾何創(chuàng)始人”“微分幾何之父”，他發(fā)現(xiàn)與橢圓相切的兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)的軌跡是以該橢圓中心為圓心的圓，這個(gè)圓稱為該橢圓的蒙日?qǐng)A.若橢圓的蒙日?qǐng)A為，過(guò)上的動(dòng)點(diǎn)作的兩條切線，分別與交于，兩點(diǎn)，直線交于，兩點(diǎn)，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）
A. 橢圓的離心率為
B. 面積的最大值為
C. 到的左焦點(diǎn)的距離的最小值為
D. 若動(dòng)點(diǎn)在上，將直線，的斜率分別記為，，則
【答案】D
【解析】
【分析】求橢圓的離心率，根據(jù)直線與橢圓的位置關(guān)系求參數(shù)或范圍、求橢圓中的最值問(wèn)題，根據(jù)題意結(jié)合圓，橢圓的知識(shí)并結(jié)合直線與橢圓位置關(guān)系，韋達(dá)定理可逐項(xiàng)求解.
【詳解】A：依題意，過(guò)橢圓的上頂點(diǎn)作軸的垂線，過(guò)橢圓的右頂點(diǎn)作軸的垂線則這兩條垂線的交點(diǎn)在上，
因?yàn)椋詸E圓的離心率，故A正確；
B：因?yàn)辄c(diǎn)，，都在上，且，為的直徑，
所以面積的最大值為，故B正確；
C：設(shè)，的左焦點(diǎn)為，連接，
所以，
又，當(dāng)時(shí)，的最小值為，
則到的左焦點(diǎn)的距離的最小值為，故C正確；
D：由直線經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，易得點(diǎn)A，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
設(shè)，，則，得，，
又，兩式相減得，，
所以，故D錯(cuò)誤.
故選：D
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解答圓錐曲線的最值問(wèn)題的方法與策略：
（1）幾何轉(zhuǎn)化代數(shù)法：若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用圓錐曲線的定義、圖形、幾何性質(zhì)來(lái)解決；
（2）函數(shù)取值法：若題目的條件和結(jié)論的幾何特征不明顯，則可以建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)的最值（或值域），常用方法：配方法；基本不等式法；單調(diào)性法；三角換元法；導(dǎo)數(shù)法等，要特別注意自變量的取值范圍.
二、多選題:本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求的.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 給出下列說(shuō)法，其中正確的是（ ）
A. 數(shù)據(jù)，，，，，，，的極差與眾數(shù)之和為
B. 已知一組數(shù)據(jù)，，，，，的平均數(shù)為，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是
C. 已知某班共有人，小明在一次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)中成績(jī)排名為班級(jí)第名，則小明成績(jī)是全班數(shù)學(xué)成績(jī)的第百分位數(shù)
D. 一組不完全相同數(shù)據(jù)，， ，的方差為，則數(shù)據(jù)，，，的方差為
【答案】AD
【解析】
【分析】根據(jù)眾數(shù)、極差的定義即可判斷A；根據(jù)平均數(shù)、中位數(shù)定義即可判斷B；根據(jù)百分位數(shù)定義即可判斷C；根據(jù)方差的性質(zhì)即可判斷D.
【詳解】對(duì)于A，數(shù)據(jù)，，，，，，，的極差為，眾數(shù)為，
所以數(shù)據(jù)，，，，，，，極差與眾數(shù)之和為，A正確；
對(duì)于B，由題意可知，解得：，
所以數(shù)據(jù)為：，，，，，，數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，
B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，小明在一次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)中成績(jī)排名為班級(jí)第名，
若成績(jī)從低到高排序，小明的成績(jī)排在第位，又因?yàn)椋?br>又因?yàn)榭荚嚪謹(jǐn)?shù)排名為由高分到低分，所以全班數(shù)學(xué)成績(jī)的第百分位數(shù)應(yīng)為：
第班級(jí)成績(jī)的第名與第名同學(xué)成績(jī)的平均數(shù)，
所以小明的成績(jī)不是全班數(shù)學(xué)成績(jī)的第百分位數(shù)，C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，因?yàn)椋?，的方差為3，根據(jù)方差性質(zhì)，
，，，的方差為，D正確.
故選：AD
10. 過(guò)定點(diǎn)的動(dòng)直線和過(guò)定點(diǎn)的動(dòng)直線，點(diǎn)為兩直線的交點(diǎn)，圓，則下列說(shuō)法正確的有（ ）
A. 對(duì)任意，圓上恒有4個(gè)點(diǎn)到直線的距離為
B. 直線以與圓相交且最短弦長(zhǎng)為
C. 動(dòng)點(diǎn)的軌跡與圓相交
D. 為定值
【答案】ABD
【解析】
【分析】根據(jù)已經(jīng)條件，可求出兩個(gè)定點(diǎn)和的坐標(biāo)，以及圓的圓心和半徑.對(duì)于選項(xiàng)A，只需判斷圓心到直線的距離，即可判斷交點(diǎn)的個(gè)數(shù)；對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)辄c(diǎn)在圓內(nèi)，所以直線與圓相交，當(dāng)直線與線段垂直時(shí)，所得弦最短，求出弦長(zhǎng)即可判斷；對(duì)于選項(xiàng)C：注意到直線與垂直，所以點(diǎn)的軌跡是以為直徑的圓，判斷兩圓的位置關(guān)系，即可知曉點(diǎn)與圓是否相交；對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)?，所以為直角三角形，即可判?
【詳解】將方程寫(xiě)為，所以定點(diǎn)的坐標(biāo)為，
將方程寫(xiě)為，所以定點(diǎn)的坐標(biāo)為，
由圓的方程可知其圓心坐標(biāo)為，半徑為.
對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)閳A心到直線的距離為，
而半徑，，所以圓上恒有4個(gè)點(diǎn)到直線的距離為，所以選項(xiàng)A正確；
對(duì)于選項(xiàng)B：點(diǎn)與圓心的距離為，
所以點(diǎn)在圓內(nèi)，所以直線以與圓相交，當(dāng)直線與線段垂直時(shí)，
所交的弦最短，此時(shí)弦長(zhǎng)為，所以選項(xiàng)B正確；
對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)橹本€的斜率為，直線的斜率為，所以，
所以點(diǎn)的軌跡是以為直徑的圓，此圓的圓心為，半徑為，
所以與圓的圓心距為，所以，
兩圓的位置關(guān)系是內(nèi)含，兩圓無(wú)交點(diǎn)，所以點(diǎn)的軌跡與圓不相交，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)D：由選項(xiàng)C的判斷過(guò)程中已知，所以，
所以為直角三角形，所以，所以選項(xiàng)D正確.
故選：ABD.
11. 如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，為棱的中點(diǎn)，為正方形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)（含邊界），有下列正確的命題（ ）
A. 三棱錐的體積為；
B. 若平面，則直線不可能垂直于直線；
C. 平面截正方體的截面為等腰梯形；
D. 三棱錐的外接球的表面積為.
【答案】ACD
【解析】
【分析】A選項(xiàng)，等體積法求出；B選項(xiàng)，作出輔助線，當(dāng)平面時(shí)，直線可能垂直于直線；C選項(xiàng)，作出輔助線，找到梯形為平面截正方體的截面，又，即四邊形為等腰梯形；D選項(xiàng)，三棱錐的外接球即為三棱錐的外接球，由余弦定理和正弦定理求出的外接圓半徑，得到外接球半徑，求出答案.
【詳解】對(duì)于A，正方體棱長(zhǎng)為1，，
又為棱的中點(diǎn)，到平面的距離為1，
故，A正確；
對(duì)于B，連接交為，則，即，
而，平面，平面，故平面，
即當(dāng)平面時(shí)，直線可能垂直于直線，B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，取的中點(diǎn)為，連接，，，則，，
又，，所以，且，
則四邊形為平面截正方體的截面，為梯形，
又，即四邊形為等腰梯形，C正確；
對(duì)于D，三棱錐的外接球即為三棱錐的外接球，
設(shè)三棱錐的外接球半徑為，的外接圓半徑為，
，故，
，則，故，所以，
因?yàn)槠矫妫?br>故三棱錐的外接球球心在過(guò)的外接圓圓心和平行的直線上，
則，，即，
故三棱錐的外接球的表面積為，D正確.
故選：ACD
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：幾何體外接球問(wèn)題，通常要找到幾何體的一個(gè)特殊平面，利用正弦定理或幾何性質(zhì)找到其外心，求出外接圓的半徑，進(jìn)而找到球心的位置，根據(jù)半徑相等列出方程，求出半徑，再求解外接球表面積或體積.
非選擇題部分
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 已知，則向量在向量上的投影向量是______.
【答案】
【解析】
【分析】向量在向量上的投影向量為，據(jù)此計(jì)算即可.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，
，
向量在向量上的投影向量為.
故答案為：.
13. 點(diǎn)為圓上一點(diǎn)，過(guò)作圓的切線，且直線與直線平行，則與之間的距離是________.
【答案】##
【解析】
【分析】根據(jù)題意，由條件可得過(guò)點(diǎn)的切線斜率，即可得到直線方程，再由兩平行直線間的距離公式代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.
【詳解】由題意可得圓的圓心，半徑為，
則，所以過(guò)的切線斜率為，
所以直線的方程為，即，
又直線與直線平行，所以，
則與之間的距離是.
故答案為：.
14. 2022年卡塔爾世界杯會(huì)徽近似伯努利雙紐線，不僅體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱、和諧、簡(jiǎn)潔、統(tǒng)一的美，同時(shí)也具有特殊的有價(jià)值的藝術(shù)美.曲線是“雙紐線”，若直線與曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.
【答案】
【解析】
【分析】首先分析直線與曲線必有公共點(diǎn)，再聯(lián)立直線與曲線方程，消去，依題意可得，解得即可.
【詳解】因?yàn)橹本€與曲線必有公共點(diǎn)，
聯(lián)立，可得，
由題意可知，解得或，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.
故答案為：
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.
15. 記的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且，
（1）若，，求.
（2）若，，求.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）先求出角，由面積公式和余弦定理，求出.
（2）根據(jù)正弦定理邊化角，再根據(jù)三角恒等變換、同角三角函數(shù)關(guān)系、面積公式即可求出.
【小問(wèn)1詳解】
由得，，
而，
則，又，所以，，
由余弦定理，故.
【小問(wèn)2詳解】
因，由正弦定理得，，
，于是，移項(xiàng)得
，
聯(lián)立，,得，，
又，
于是，得，
結(jié)合，得，，所以.
16. 已知兩點(diǎn)，，過(guò)點(diǎn)的直線與直線，的交點(diǎn)分別為、兩點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)，
（1）當(dāng)時(shí)，求直線的方程；
（2）判斷直線是否過(guò)定點(diǎn)，若是，求出該點(diǎn)坐標(biāo)，若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】（1）
（2）恒過(guò)定點(diǎn).
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意設(shè)直線的方程為，分別與直線，聯(lián)立，求得點(diǎn)、的坐標(biāo)，再由求解；
（2）分別求得點(diǎn)C，D的坐標(biāo)，再根據(jù)對(duì)稱性，令，得，得到直線過(guò)點(diǎn)，然后由論證即可.
【小問(wèn)1詳解】
解：如圖所示：

顯然直線的斜率存在，設(shè)為，則直線的方程為，
聯(lián)立，解得點(diǎn)，同理可得點(diǎn)，
由，解得，
直線的方程為.
【小問(wèn)2詳解】
由（1）得，直線的方程為，聯(lián)立，得點(diǎn)，
同理直線的方程為，聯(lián)立，得點(diǎn)，
根據(jù)對(duì)稱性，令，得，此時(shí)直線過(guò)點(diǎn)，
猜測(cè)直線CD過(guò)定點(diǎn).
，同理：，
恒成立，、、始終三點(diǎn)共線，所以直線過(guò)定點(diǎn).
17. 如圖，已知四棱錐，，，，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，面.
（1）證明：直線面；
（2）若二面角的正弦值為，求.
【答案】（1）證明見(jiàn)解析；
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)線面平行的判定定理證明線面平行，由線面平行得到面面平行，
再由面面平行證明線面平行；
（2）建立空間直角系，利用向量法求出二面角即可得解.
【小問(wèn)1詳解】
取的中點(diǎn)，連接、，
則，面，面，
面，同理面，
面，故面面，
而面，直線面.
【小問(wèn)2詳解】
因?yàn)槊妫妫?br>所以，
又，面，
所以面，
所以以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)，，則，，，
設(shè)面的一個(gè)法向量為n1=x1,y1,z1，
由，得，令，則，
設(shè)面的一個(gè)法向量為，
由，而，即，
于是，令，則，
設(shè)二面角的平面角為，
則，所以，
則，①
又在直角三角形中，，即，②
聯(lián)立①②可得，，，
所以.
18. 已知圓經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)，圓心在直線上.
（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）是圓上一動(dòng)點(diǎn)，求的范圍；
（3）已知為的中點(diǎn)，若的面積為2，求直線的方程.
【答案】（1）
（2）
（3）或
【解析】
【分析】（1）設(shè)圓心并解方程即可求出半徑；
（2）將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)代數(shù)，轉(zhuǎn)化為圓上動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)距離；
（3）轉(zhuǎn)化為直線與圓的交點(diǎn)問(wèn)題，注意點(diǎn)的軌跡是圓.
【小問(wèn)1詳解】
設(shè)圓心，由，
得
解得，
所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
【小問(wèn)2詳解】
設(shè)Px,y，則
，
因?yàn)楸硎緢A上一動(dòng)點(diǎn)Px,y到點(diǎn)的距離，
于是，
所以范圍是.
【小問(wèn)3詳解】
因?yàn)榈拿娣e為2，而，
到直線的距離為，
又直線的方程為，
設(shè)與直線平行且距離為的直線方程為，
令，得或，
設(shè),,由（2）得點(diǎn)是圓上一動(dòng)點(diǎn)，
則,即,
所以,
解得點(diǎn)的軌跡方程為，
直線與點(diǎn)的軌跡有交點(diǎn)，則，
聯(lián)立方程，
解得或，
于是直線的方程為或.
19. 在區(qū)間上，若函數(shù)y=fx滿足:對(duì)給定的非零實(shí)數(shù)，存在，使成立，則稱函數(shù)y=fx在區(qū)間上有“性質(zhì)”.
（1）若區(qū)間為，給定，判斷函數(shù)是否在區(qū)間上具有“性質(zhì)”，并說(shuō)明理由；
（2）若函數(shù)在區(qū)間0,1上具有“性質(zhì)”，求的取值范圍；
（3）給定，若函數(shù)在區(qū)間0,m（其中）上具有“性質(zhì)”，求的取值范圍.
【答案】（1）不具有；
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)絕對(duì)值方程和不等式的解法，結(jié)合新定義即可下結(jié)論；
（2）構(gòu)造函數(shù)，運(yùn)用零點(diǎn)的存在性定理計(jì)算即可；
（3）根據(jù)條件求出函數(shù)的零點(diǎn)，落在給定區(qū)間求出范圍.
【小問(wèn)1詳解】
假設(shè)函數(shù)在區(qū)間R上具有“性質(zhì)”，則，
而，
故函數(shù)在區(qū)間上不具有“性質(zhì)”.
【小問(wèn)2詳解】
由題意得，
令函數(shù)，則是函數(shù)在0,1上的零點(diǎn)，
且函數(shù)在0,1上單調(diào)遞增，
所以函數(shù)在0,1單調(diào)遞增，
，即，解得.
【小問(wèn)3詳解】
，
化簡(jiǎn)得，得，
解得，只需，
解得，
即的取值范圍是.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：
學(xué)生在理解相關(guān)新概念、新法則(公式)之后，運(yùn)用學(xué)過(guò)的知識(shí)，結(jié)合已掌握的技能，通過(guò)推理、運(yùn)算等解決問(wèn)題.在新環(huán)境下研究“舊”性質(zhì).主要是將新性質(zhì)應(yīng)用在“舊”性質(zhì)上，創(chuàng)造性地證明更新的性質(zhì).

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