1．若集合，則（ ）
A．B．
C．D．
2．若，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件
3．函數(shù)在上的最小值為（ ）
A．0B．1C．D．
4．函數(shù)的圖象大致為（ ）
A．B．
C．D．
5．已知數(shù)列滿足：為正整數(shù)，，若，則所有可能的取值的集合為（ ）
A．B．C．D．
6．已知，則的最小值為（ ）
A．1B．C．2D．
7．已知，若函數(shù)在上有且只有兩個極值點，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
8．祖暅，字景爍，祖沖之之子，南北朝時代的偉大科學家.祖暅在數(shù)學上有突出的貢獻，他在實踐的基礎上，提出了祖暅原理：夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體，被平行于這兩個平面的任意平面所截，如果截得的兩個截面的面積總相等，那么這兩個幾何體的體積相等.已知雙曲線，若直線與在第一象限內(nèi)與雙曲線圍成如圖陰影部分所示的圖形，則該圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體的體積為（ ）

A．B．C．D．
二、多選題（本大題共3小題）
9．設，若，則下列結論正確的是（ ）
A．B．C．D．
10．設為復數(shù)，則下列結論中正確的是（ ）
A．若為虛數(shù)，則也為虛數(shù)
B．
C．若，則的最大值為
D．
11．已知函數(shù)的定義域為的圖象關于對稱，且為奇函數(shù)，則（ ）
A．B．
C．D．
三、填空題（本大題共3小題）
12．若，則 .
13．在等腰直角中，已知，若滿足與交于點，則在上的投影向量的模為 .
14．已知函數(shù)，若對任意的，且，都有成立，則正實數(shù)的取值范圍是 .
四、解答題（本大題共5小題）
15．已知正項數(shù)列滿足，且.
(1)證明：數(shù)列為等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；
(2)證明.
16．記的內(nèi)角、、所對的邊分別為、、，已知.
(1)求；
(2)是上的點，平分，且，，求的面積.
17．如圖，已知等腰梯形分別為的中點，沿線段將四邊形翻折到四邊形的位置，點為線段上一點，且滿足.
(1)證明：平面；
(2)設二面角的平面角為，在四邊形翻折過程中，是否存在，使得與平面所成角的正弦值為，若存在，請說明理由.
18．已知函數(shù).
(1)若曲線在點處的切線與軸平行，求的值；
(2)設函數(shù)，給出的定義域，并證明：曲線是軸對稱圖形；
(3)證明.
19．對于一個元正整數(shù)集，如果它能劃分成個不相交的二元子集的并集，即，且存在，使得，則稱這個偶數(shù)為可分數(shù).例如，由于二元子集滿足，則稱2為可分數(shù).
(1)判斷4和6是否為可分數(shù)，并說明理由；
(2)求小于81的最大可分數(shù)；
(3)記小于的可分數(shù)的個數(shù)為，令，記為數(shù)列的前項和，證明.
答案
1．【正確答案】B
【詳解】依題意，.
故選：B
2．【正確答案】A
【詳解】，解得：或，
所以“”是“”的充分不必要條件，
故選：A
3．【正確答案】B
【詳解】由，求導可得，令，解得，
當時，，單調(diào)遞減；
當時，，單調(diào)遞增.
所以.
故選：B.
4．【正確答案】C
【詳解】函數(shù)的定義域為R，
，函數(shù)是奇函數(shù)，其圖象關于原點對稱，排除BD；
而，排除選項A，選項C符合題意.
故選：C
5．【正確答案】C
【詳解】依題意，是正整數(shù)，
當是奇數(shù)時，，無解；當是偶數(shù)時，，解得；
當是奇數(shù)時，，解得，顯然不可能為奇數(shù)，否則為偶數(shù)，
因此為偶數(shù)，，解得；
當是偶數(shù)時，，解得，若為奇數(shù)，則，無解，
若為偶數(shù)，則，解得，
所以所有可能的取值的集合為.
故選：C
6．【正確答案】D
【詳解】令，則，
而函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以當，即時，取得最小值.
故選：D
7．【正確答案】A
【詳解】由函數(shù)，則求導可得，
令，解得，化簡可得，
當時，；當時，；當時，；當時，，
由題意可得，，，，解得.
故選：A.
8．【正確答案】D
【詳解】雙曲線在第一、三象限的漸近線，
過點作軸于，交直線于點，
在線段上任取點，作軸于，交雙曲線及直線分別于點，
依題意，點，令點，，
則，點繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得同心圓面積分別為，
對應圓環(huán)面積為定值，由祖暅原理知，平面封閉圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周
所得幾何體的體積等于底面半徑為1，高為3的圓柱的體積，則，
所求體積的幾何體可視為矩形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得圓柱體積減去，
再減去繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得圓錐體積，而，，
所以所求的體積為.
故選：D

9．【正確答案】BC
【詳解】由，可得，
對于A，由于，所以，A錯誤；
對于B，由于，所以，B正確；
對于C，由于，所以，則，C正確；
對于D，由于，所以，,故D錯誤.
故選：BC
10．【正確答案】ABD
【詳解】對于A，因為為虛數(shù)，為實數(shù)，所以為虛數(shù)，所以也為虛數(shù)，所以A正確；
對于B，設，則
，
，
所以，
，
所以，所以B正確，
對于C，當時，滿足，此時，所以C錯誤；
對于D，設對應的向量分別為，則由向量三角不等式得，
所以恒成立，所以D正確，
故選：ABD
11．【正確答案】BC
【詳解】對于A，由為奇函數(shù)，得，則，
由的圖象關于對稱，，因此，A錯誤；
對于C，點關于的對稱點是，由的圖象關于對稱，
得點在函數(shù)的圖象上，，C正確；
對于B，由為奇函數(shù)，得，則，
于是，即點在函數(shù)的圖象上，
則點在函數(shù)的圖象上，因此，即，B正確；
對于D，由，得，而，
則，因此
，D錯誤.
故選：BC
12．【正確答案】33/133
【詳解】由，得.
故
13．【正確答案】3
【詳解】依題意，以點為原點，射線分別為軸非負半軸建立平面直角坐標系，

則，由，得，
由點在上，設，則點，
于是，而，由點在上，得，
因此，解得，點，，又
所以在上的投影向量的模為.
故3
14．【正確答案】
【詳解】令，求導可得，
令，令，求導可得，令，
當時，，則單調(diào)遞減；
當時，，則單調(diào)遞增.
所以，即，
由題意可得函數(shù)單調(diào)遞增，則，
由，則，解得.
故答案為.
15．【正確答案】(1)證明見詳解，，
(2)證明見詳解
【詳解】（1）由題意得，，
因為，所以，又，
因此，數(shù)列是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列；
則，
所以，.
（2）由（1）得：，
所以
.
16．【正確答案】(1)
(2)
【詳解】（1）因為，由正弦定理得，
所以，，
在中，，
所以，
，
因為、，所以，，，故.
（2）由題意可得，
所以，，即，
所以，，
因為，由余弦定理可得，
即，整理可得，
因為，解得，因此，的面積為.
17．【正確答案】(1)證明見解析
(2)存在，理由見解析
【詳解】（1）在線段取一點，使得，
因為，所以，且，
因為，
所以，所以，且，所以四邊形是平行四邊形，
所以，由于平面，平面，所以平面.
（2）存在，理由如下：
因為等腰梯形分別是的中點，
所以平面，
所以平面，以為坐標原點，所在直線分別為軸，
軸建立如圖所示空間直角坐標系，
由題意知，，，
所以，，
設，因為，
所以，
解得，所以，
所以，
設平面的法向量為，
則，
令，則，所以，
設與平面所成角為，
則，
解得，因為，所以.
18．【正確答案】(1)
(2)函數(shù)的定義域為，證明見解析
(3)證明見解析
【詳解】（1）因為，
則，
由題意可知，，解得.
（2），
對于函數(shù)，
有，解得，即函數(shù)的定義域為，
對于函數(shù)，則，可得，解得或，
所以，函數(shù)的定義域為，故該定義域關于直線對稱，
因為
，
故函數(shù)的圖象關于直線對稱，所以曲線是軸對稱圖形.
（3）當時，，
則，令，
則，
當時，，則函數(shù)在上為增函數(shù)，此時，，
即，所以，函數(shù)在上為增函數(shù)，此時，，
取，可得，
于是，即，
所以，，
故.
19．【正確答案】(1)不是可分數(shù)；是可分數(shù)
(2)
(3)證明見解析
【詳解】（1）令，①，；
②，；③，，
綜上所述，不是可分數(shù)，
令，，由，，
則是可分數(shù).
（2）由，且，則令，
由，且，
則是小于最大的可分數(shù).
（3）設偶數(shù)為可分數(shù)，則存在使得，
由可知二元子集中兩元素和的最大值為，
于是集合中所有大于等于的整數(shù)所在二元子集中兩元素之和均為，
于是必定與在同一個二元子集中，
必定與在同一個二元子集中，
必定與在同一個二元子集中，
若，由可知不屬于集合，
故無法對進行分組，此時不是可分數(shù)；
若，則分組之后還剩下大于等于的整數(shù)，
此時不是可分數(shù)；
若，則分組之后還剩下，
因為，則是可分數(shù)等價于也是可分數(shù)，
若，則可將劃分成以下各組：，
每組中兩元素之和均為，因此此時是可分數(shù)，
由于小于的可分數(shù)的個數(shù)為，則，
又小于3的可分數(shù)只能為2，則，于是，
故是首項為，公比為2的等比數(shù)列，
則，于是，
又，
因此.

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