一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的。請把正確的選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)的位置上。
1．（5分）已知集合A＝{﹣1，1，2，3}，集合B＝{y|y＝x2，x∈A}，則集合B的子集個(gè)數(shù)為（ ）
A．7B．8C．16D．32
2．（5分）已知i是虛數(shù)單位，a∈R，則“（a+i）2＝2i”是“a2＝1”的（ ）
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充分必要條件
D．既不充分也不必要條件
3．（5分）在（0，2π）內(nèi)，使sinx＞|csx|的x的取值范圍是（ ）
A．B．（，]∪（，]
C．D．
4．（5分）設(shè)a＝，b＝，c＝lg2（lg23），則（ ）
A．c＜b＜aB．a(chǎn)＜b＜cC．a(chǎn)＜c＜bD．c＜a＜b
5．（5分）在等比數(shù)列{an}中，若a1?a5?a12為一確定的常數(shù)，記數(shù)列{an}的前n項(xiàng)積為Tn，則下列各數(shù)為常數(shù)的是（ ）
A．T6B．T8C．T10D．T11
6．（5分）在△ABC中，已知sin2A+sin2C+cs2B＝sinCsinA+1，且滿足，則△ABC的形狀是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等邊三角形D．等腰直角三角形
7．（5分）若正數(shù)x，y滿足xy﹣2x﹣y＝0，則的最小值是（ ）
A．2B．C．4D．
8．（5分）設(shè)函數(shù)f（x）＝，g（x）＝lnx，若對任意實(shí)數(shù)x∈（0，+∞），f（x）?g（x）≥0恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（ ）
A．φB．（]∪[1，+∞）
C．[）D．[]
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對得6分，部分選對的得部分分，選對但不全的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。
（多選）9．（6分）設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，，S1＝32，則下列說法正確的是（ ）
A．{an}是等差數(shù)列
B．S3，S6﹣S3，S9﹣S6成等差數(shù)列，公差為﹣9
C．當(dāng)n＝16或n＝17時(shí)，Sn取得最大值
D．Sn≥0時(shí)，n的最大值為32
（多選）10．（6分）在銳角△ABC中，tanB＝3tanC，角A、B、C對邊分別為a，b、c，則下列式子不正確的是（ ）
A．a(chǎn)＝2c?csB
B．
C．tanA?tan2C≥
D．若AC上有一動(dòng)點(diǎn)P，則最小值為
（多選）11．（6分）已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，其導(dǎo)函數(shù)為f'（x），且對任意的x∈R，都有f（x）+f'（x）＞0，則下列說法正確的是（ ）
A．ef（1）＜f（0）B．ef（1）＞f（0）
C．2f（ln2）＜ef（1）D．2f（ln2）＞ef（1）
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12．（5分）已知函數(shù)存在唯一的極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 ．
13．（5分）已知數(shù)列{an}滿足，則a2024＝ ．
14．（5分）對任意實(shí)數(shù)x，以[x]表示不超過x的最大整數(shù)，稱它為x的整數(shù)部分，如[4.2]＝4，[﹣7.6]＝﹣8等．定義{x}＝x﹣[x]，稱它為x的小數(shù)部分，如{3.1}＝0.1，{﹣7.6}＝0.4等．若直線kx+y﹣k＝0與y＝{x}有四個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是 ．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
15．（13分）已知向量＝（csx，﹣sinx），，x∈R．設(shè)f（x）＝?．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）在△ABC中，若f（∠BAC）＝1，AB＝2，，∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)D，求AD長．
16．（15分）已知函數(shù)f（x）＝ln（ax+1）﹣x為R上的偶函數(shù)，a＞0且a≠0．
（1）求a；
（2）求g（x）＝ef（x）在x＝1處的切線方程．
17．（15分）已知等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，其前n項(xiàng)和為Sn，且3a1，a3，5a2成等差數(shù)列，S4+5＝5a3．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)bn＝an?lg3an+1，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn．
18．（17分）已知函數(shù)f（x）＝ex（x2﹣ax﹣a），a∈R．
（1）當(dāng)a＞﹣2時(shí)，研究f（x）的單調(diào)性；
（2）若a≥0，當(dāng)x＝x1時(shí)，函數(shù)f（x）有極大值m；當(dāng)x＝x2時(shí)，f（x）有極小值n，求m﹣n的取值范圍．
19．（17分）若函數(shù)y＝f（x）對定義域上的每一個(gè)值x1，在其定義域上都存在唯一的x2，使f（x1）f（x2）＝1成立，則稱該函數(shù)在其定義域上為“依賴函數(shù)”．
（1）判斷函數(shù)g（x）＝sinx在R上是否為“依賴函數(shù)”，并說明理由；
（2）若函數(shù)f（x）＝2x﹣1在定義域[0，m]上為“依賴函數(shù)”，求實(shí)數(shù)m的值；
（3）當(dāng)時(shí)，已知函數(shù)h（x）＝（x﹣a）2在定義域上為“依賴函數(shù)”，若存在實(shí)數(shù)，使得對任意的t∈R，不等式h（x）≥﹣t2+s﹣2t+4都成立，求實(shí)數(shù)s的最大值．
答案與試題解析
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的。請把正確的選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)的位置上。
1．（5分）已知集合A＝{﹣1，1，2，3}，集合B＝{y|y＝x2，x∈A}，則集合B的子集個(gè)數(shù)為（ ）
A．7B．8C．16D．32
【正確答案】B
【分析】根據(jù)集合間的關(guān)系可解出B，在根據(jù)子集相關(guān)知識(shí)可解．
解：因?yàn)榧螦＝{﹣1，1，2，3}，則集合B＝{y|y＝x2，x∈A}＝{1，4，9}，
又集合B中有3個(gè)元素，
則集合B的子集個(gè)數(shù)為23＝8個(gè)．
故選：B．
2．（5分）已知i是虛數(shù)單位，a∈R，則“（a+i）2＝2i”是“a2＝1”的（ ）
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充分必要條件
D．既不充分也不必要條件
【正確答案】A
【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)相等的條件，求出a的值，即可求解．
解：（a+i）2＝2i，
則a2+2ai﹣1＝2i，即，解得a＝1，
a2＝1，解得a＝1或a＝﹣1，
故“（a+i）2＝2i”是“a2＝1”的充分不必要條件．
故選：A．
3．（5分）在（0，2π）內(nèi)，使sinx＞|csx|的x的取值范圍是（ ）
A．B．（，]∪（，]
C．D．
【正確答案】A
【分析】由題意可得sinx＞0，討論當(dāng)x＝時(shí)，當(dāng)0＜x＜時(shí)，當(dāng)＜x＜π時(shí)，運(yùn)用同角的商數(shù)關(guān)系，結(jié)合正切韓寒說的圖象，即可得到所求范圍．
解：由sin x＞|cs x|≥0，
可得sinx＞0，
再由x∈（0，2π），
可得x∈（0，π），
當(dāng)x＝時(shí)，sinx＝1，csx＝0，顯然成立；
當(dāng)0＜x＜時(shí)，由sinx＞csx，即tanx＞1，可得＜x＜；
當(dāng)＜x＜π時(shí)，sinx＞﹣csx，即有＞1，
則tanx＜﹣1，解得＜x＜，
綜上可得x∈．
故選：A．
4．（5分）設(shè)a＝，b＝，c＝lg2（lg23），則（ ）
A．c＜b＜aB．a(chǎn)＜b＜cC．a(chǎn)＜c＜bD．c＜a＜b
【正確答案】D
【分析】根據(jù)題意，利用冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小，即可得到本題的答案．
解：根據(jù)＝＞＝0.8，可得0.8＜a＜1，
由y＝是R上的增函數(shù)，可得＞，即b＞1．
因?yàn)?1.6＝＝＞＝3，y＝lg2x是（0，+∞）上的增函數(shù)，
所以lg23＜lg221.6＝1.6，可得lg2（lg23）＜lg21.6，
又因?yàn)?.65＜16，可得1.6＜＝＝20.8，
所以lg21.6＜lg220.8＝0.8，可得c＝lg2（lg23）＜0.8．
綜上所述，c＜a＜b，D項(xiàng)符合題意．
故選：D．
5．（5分）在等比數(shù)列{an}中，若a1?a5?a12為一確定的常數(shù)，記數(shù)列{an}的前n項(xiàng)積為Tn，則下列各數(shù)為常數(shù)的是（ ）
A．T6B．T8C．T10D．T11
【正確答案】D
【分析】由已知可得a6為常數(shù)，然后結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)即可求解．
解：因?yàn)榈缺葦?shù)列{an}中，a1?a5?a12＝a5?a6?a7＝為常數(shù)，
則a6為常數(shù)，
又?jǐn)?shù)列{an}的前n項(xiàng)積為Tn，則T11＝a1a2…a11＝為常數(shù)．
故選：D．
6．（5分）在△ABC中，已知sin2A+sin2C+cs2B＝sinCsinA+1，且滿足，則△ABC的形狀是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等邊三角形D．等腰直角三角形
【正確答案】C
【分析】根據(jù)正弦定理和余弦定理得，再根據(jù)向量數(shù)量積得，則得到，即可判斷三角形形狀．
解：由題意得sin2A+sin2C＝sinCsinA+1﹣cs2B，
即sin2A+sin2C＝sinCsinA+sin2B，由正弦定理得a2+c2＝ac+b2，
即a2+c2﹣b2＝ac，則，因?yàn)锽∈（0，π），所以，
又，
所以＝，
故，因?yàn)?，所以?br>綜上可知三角形為等邊三角形．
故選：C．
7．（5分）若正數(shù)x，y滿足xy﹣2x﹣y＝0，則的最小值是（ ）
A．2B．C．4D．
【正確答案】C
【分析】由xy﹣2x﹣y＝0得，代入后利用基本不等式即可求解．
解：因?yàn)檎龜?shù)x，y滿足xy﹣2x﹣y＝0，所以，則x﹣1＞0，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即x＝2時(shí)，等號成立．
故選：C．
8．（5分）設(shè)函數(shù)f（x）＝，g（x）＝lnx，若對任意實(shí)數(shù)x∈（0，+∞），f（x）?g（x）≥0恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（ ）
A．φB．（]∪[1，+∞）
C．[）D．[]
【正確答案】D
【分析】由題意，討論x∈（0，1）時(shí)g（x）＜0，則f（x）≤0，求得a的取值范圍；x∈[1，+∞）時(shí)g（x）≥0，則f（x）≥0，求得a的取值范圍，再取它們的公共部分即可．
解：函數(shù)f（x）＝，g（x）＝lnx，
當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，g（x）＜0，
由題意知f（x）＝ax﹣1≤0，解得a≤，∴a≤1；
當(dāng)x∈[1，+∞）時(shí)，g（x）≥0，
由題意知f（x）＝2ax﹣1≥0，解得a≥，∴a≥；
綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是≤a≤1．
故選：D．
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對得6分，部分選對的得部分分，選對但不全的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。
（多選）9．（6分）設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，，S1＝32，則下列說法正確的是（ ）
A．{an}是等差數(shù)列
B．S3，S6﹣S3，S9﹣S6成等差數(shù)列，公差為﹣9
C．當(dāng)n＝16或n＝17時(shí)，Sn取得最大值
D．Sn≥0時(shí)，n的最大值為32
【正確答案】AC
【分析】先根據(jù)已知條件得出數(shù)列是等差數(shù)列，；再根據(jù)an，Sn的關(guān)系求出an＝﹣2n+34，根據(jù)等差數(shù)列的定義即可判斷選項(xiàng)A；根據(jù)可求出S3，S6﹣S3，S9﹣S6即可判斷選項(xiàng)B；利用二次函數(shù)性質(zhì)可判斷選項(xiàng)C；根據(jù)Sn≥0解不等式即可判斷選項(xiàng)D．
解：由，S1＝32可得：數(shù)列是以32為首項(xiàng)，﹣1為公差的等差數(shù)列．
則．
所以，
對于選項(xiàng)A：∵，
∴當(dāng)n＝1時(shí)，；
當(dāng)n≥2時(shí)，；
∵﹣2×1+34＝a1，
∴an＝﹣2n+34，
∵an+1﹣an＝[﹣2（n+1）+34]﹣（﹣2n+34）＝﹣2，
∴數(shù)列{an}是等差數(shù)列，故選項(xiàng)A正確；
對于選項(xiàng)B：∵，
∴，，，
∴S6﹣S3＝72，S9﹣S6＝54，
則2（S6﹣S3）＝S3+（S9﹣S6），（S6﹣S3）﹣S3＝﹣18，
所以S3，S6﹣S3，S9﹣S6成等差數(shù)列，公差為﹣18，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；
對于選項(xiàng)C：∵，n∈N*
∴當(dāng)n＝16或n＝17時(shí)，Sn最大，故選項(xiàng)C正確；
對于選項(xiàng)D：令，得0≤n≤33，n∈N*，即滿足Sn≥0的最大正整數(shù)n＝33，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤．
故選：AC．
（多選）10．（6分）在銳角△ABC中，tanB＝3tanC，角A、B、C對邊分別為a，b、c，則下列式子不正確的是（ ）
A．a(chǎn)＝2c?csB
B．
C．tanA?tan2C≥
D．若AC上有一動(dòng)點(diǎn)P，則最小值為
【正確答案】ABD
【分析】由題設(shè)，結(jié)合三角恒等變換及正弦定理可判定A；由余弦定理及基本不等式可判定B；根據(jù)兩角和的正切公式結(jié)合基本不等式可判定C；根據(jù)平面向量數(shù)量積運(yùn)算結(jié)合二次函數(shù)的最值可判定D．
解：A項(xiàng)，對于A，tanB＝3tanC，則，
即sinBcsC＝3csBsinC，即sin（B+C）＝sinA＝4csBsinC，
由正弦定理得：a＝4c?csB，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；
B項(xiàng)，由a＝4c?csB及余弦定理，
可得，化簡得2b2＝a2+2c2，
由基本不等式知，，
當(dāng)且僅當(dāng)a2＝2c2，即時(shí)等號成立，
所以，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；
C項(xiàng)，在銳角△ABC中，由，且tan（A+B）＝﹣tanC，
整理得tanA?tanB?tanC＝tanA+tanB+tanC，
由基本不等式可得：tanA?tanB?tanC＝tanA+tanB+tanC≥，
整理得tanA?tanB?tanC≥，當(dāng)且僅當(dāng)tanA＝tanB＝tanC時(shí)，等號成立，
又由tanB＝3tanC，
可得＝，故C項(xiàng)正確；
D項(xiàng)，過B作BD⊥AC，
則CD＝BC?csC＝acsC，
又P在CD之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，與的夾角為鈍角，
因此要求?的最小值，P應(yīng)在CD之間運(yùn)動(dòng)，即，
又
＝
＝，
所以當(dāng)時(shí)，取得最小值為，故D項(xiàng)錯(cuò)誤．
故選：ABD．
（多選）11．（6分）已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，其導(dǎo)函數(shù)為f'（x），且對任意的x∈R，都有f（x）+f'（x）＞0，則下列說法正確的是（ ）
A．ef（1）＜f（0）B．ef（1）＞f（0）
C．2f（ln2）＜ef（1）D．2f（ln2）＞ef（1）
【正確答案】BC
【分析】令g（x）＝exf（x），由題意得，g（x）在（﹣∞，+∞）上單調(diào)遞增，逐一判斷ABCD即可．
解：∵令g（x）＝exf（x），對任意的x∈R，都有f（x）+f'（x）＞0，
∴g'（x）＝exf（x）+exf'（x）＝ex[f（x）+f'（x）]＞0，
g（x）在（﹣∞，+∞）上單調(diào)遞增，
∴g（0）＜g（1）?f（0）＜ef（1），故A錯(cuò)誤，B正確；
g（ln2）＜g（1）?eln2f（ln2）＜ef（1）?2f（ln2）＜ef（1），故C正確，D錯(cuò)誤．
故選：BC．
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12．（5分）已知函數(shù)存在唯一的極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 （﹣∞，） ．
【正確答案】（﹣∞，）．
【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，依題意f'（x）＝0存在唯一的變號正實(shí)根，即（x﹣1）（ex﹣2ax）＝0存在唯一的變號正實(shí)根，當(dāng)a≤0符合題意，當(dāng)a＞0時(shí)參變分離可得沒有除1之外的正實(shí)根，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)性，即可求出函數(shù)的最小值，從而求出a的取值范圍．
解：因?yàn)?，x∈（0，+∞），
所以，
依題意可得f'（x）＝0存在唯一的變號正實(shí)根，
即（x﹣1）（ex﹣2ax）＝0存在唯一的變號正實(shí)根，
當(dāng)a≤0時(shí)，ex﹣2ax＞0，方程只有唯一變號正實(shí)根1，符合題意，
當(dāng)a＞0，方程ex﹣2ax＝0，即沒有除1之外的正實(shí)根，
令，則，
所以當(dāng)0＜x＜1時(shí)，g'（x）＜0，當(dāng)x＞1時(shí)，g'（x）＞0，
即g（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
所以g（x）min＝g（1）＝e，所以0＜2a＜e，
綜上可得a∈（﹣∞，）．
故（﹣∞，）．
13．（5分）已知數(shù)列{an}滿足，則a2024＝ ．
【正確答案】．
【分析】求得數(shù)列的前幾項(xiàng)，可得數(shù)列{an}是最小正周期為4的數(shù)列，即可得到所求值．
解：，
可得a2＝2a1﹣1＝﹣1＝，
a3＝2a2﹣1＝﹣1＝，
a4＝2a3＝，
a5＝2a4＝，
a6＝2a5﹣1＝﹣1＝，
...，可得數(shù)列{an}是最小正周期為4的數(shù)列，
則a2024＝a4＝．
故．
14．（5分）對任意實(shí)數(shù)x，以[x]表示不超過x的最大整數(shù)，稱它為x的整數(shù)部分，如[4.2]＝4，[﹣7.6]＝﹣8等．定義{x}＝x﹣[x]，稱它為x的小數(shù)部分，如{3.1}＝0.1，{﹣7.6}＝0.4等．若直線kx+y﹣k＝0與y＝{x}有四個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是 （﹣，﹣]∪[，） ．
【正確答案】見試題解答內(nèi)容
【分析】由題意分析y＝{x}是周期為1 的函數(shù)，又y＝﹣k（x﹣1）恒過（1，0）得有4個(gè)不同的交點(diǎn)時(shí)的k的取值范圍．
解：直線kx+y﹣k＝0整理得：y＝﹣k（x﹣1），直線恒過（1，0），如圖所示：
當(dāng)x0≤x＜1時(shí)，{x}＝x，又因?yàn)閥＝{x}是周期為1的函數(shù)，由y＝{x}與y＝﹣k（x﹣1）圖象可知：﹣k∈（﹣，﹣]∪[，），
所以k∈（﹣，﹣]∪[，）．
故（﹣，﹣]∪[，）．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
15．（13分）已知向量＝（csx，﹣sinx），，x∈R．設(shè)f（x）＝?．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）在△ABC中，若f（∠BAC）＝1，AB＝2，，∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)D，求AD長．
【正確答案】（1），k∈Z；（2）2．
【分析】（1）由平面向量數(shù)量積的運(yùn)算和三角恒等變換化簡后結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性即可求得；
（2）由題可得，再由余弦定理求出AC，再由等面積法建立方程求解即可．
解：（1）＝＝，
令，k∈Z，則，k∈Z，
所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，k∈Z；
（2）由題意得：，
因?yàn)?＜∠BAC＜π，所以，即，所以，
在△ABC中，由余弦定理得：BC2＝AB2+AC2﹣2AB?AC?cs∠BAC，
即6＝4+AC2﹣2AC，解得，
因?yàn)椤螧AC的平分線交BC于點(diǎn)D，所以S△BAD+S△CAD＝S△ABC，
所以＝，
所以，解得AD＝2．
16．（15分）已知函數(shù)f（x）＝ln（ax+1）﹣x為R上的偶函數(shù)，a＞0且a≠0．
（1）求a；
（2）求g（x）＝ef（x）在x＝1處的切線方程．
【正確答案】（1）a＝e2；
（2）．
【分析】（1）由偶函數(shù)的定義可得f（﹣1）＝f（1），代入化簡可得a的值．
（2）由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得g′（1）是g（x）在x＝1處的切線斜率，進(jìn)而結(jié)合g（1）得到切線的點(diǎn)斜式方程，化簡可得結(jié)果．
解：（1）因?yàn)楹瘮?shù)f（x）＝ln（ax+1）﹣x為R上的偶函數(shù)，所以有f（﹣x）＝f（x），
當(dāng)x＝1時(shí)，f（﹣1）＝f（1），即ln（a﹣1+1）+1＝ln（a+1）﹣1，
ln（a+1）﹣ln（a﹣1+1）＝2，，解得a＝e2，
此的，
經(jīng)檢驗(yàn)，f（x）為R上的偶函數(shù)，
所以a＝e2．
（2）由（1）得，所以，
則，則，
又，
所以g（x）＝ef（x）在x＝1處的切線方程為，即．
17．（15分）已知等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，其前n項(xiàng)和為Sn，且3a1，a3，5a2成等差數(shù)列，S4+5＝5a3．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)bn＝an?lg3an+1，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn．
【正確答案】（1）an＝3n﹣1，n∈N*；
（2）Tn＝?3n+．
【分析】（1）先設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q（q＞0），再根據(jù)等比數(shù)列的定義及等差中項(xiàng)的性質(zhì)列出關(guān)于公比q的方程，解出q的值，進(jìn)一步根據(jù)S4+5＝5a3代入計(jì)算出首項(xiàng)a1的值，即可計(jì)算出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）先根據(jù)第（1）題的結(jié)果計(jì)算出數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式，再運(yùn)用錯(cuò)位相減法即可計(jì)算出前n項(xiàng)和Tn．
解：（1）由題意，設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q（q＞0），
∵3a1，a3，5a2成等差數(shù)列，
∴2a3＝3a1+5a2，即2a1q2＝3a1+5a1q，
∵a1＞0，∴2q2＝3+5q，
整理，得2q2﹣5q﹣3＝0，
解得q＝﹣（舍去），或q＝3，
又∵S4+5＝5a3，
∴+5＝5?a1?32，
解得a1＝1，
∴an＝1?3n﹣1＝3n﹣1，n∈N*．
（2）由（1）可得，bn＝an?lg3an+1
＝3n﹣1?lg33n
＝n?3n﹣1，
∴Tn＝b1+b2+…+bn＝1?30+2?31+3?32+…+n?3n﹣1，
3Tn＝1?31+2?32+…+（n﹣1）?3n﹣1+n?3n，
兩式相減，
可得﹣2Tn＝1+31+32+…+3n﹣1﹣n?3n，
＝﹣n?3n，
＝﹣?3n﹣，
∴Tn＝?3n+．
18．（17分）已知函數(shù)f（x）＝ex（x2﹣ax﹣a），a∈R．
（1）當(dāng)a＞﹣2時(shí)，研究f（x）的單調(diào)性；
（2）若a≥0，當(dāng)x＝x1時(shí)，函數(shù)f（x）有極大值m；當(dāng)x＝x2時(shí)，f（x）有極小值n，求m﹣n的取值范圍．
【正確答案】（1）f（x）在（﹣2，a）上單調(diào)遞減，在（﹣∞，﹣2），（a，+∞）上單調(diào)遞增；
（2）[4e﹣2，+∞）．
【分析】（1）對函數(shù)求導(dǎo)并結(jié)合a＞﹣2即可判斷出f（x）的單調(diào)性；
（2）根據(jù)（1）中結(jié)論可得m﹣n＝e﹣2（4+a）+aea，構(gòu)造函數(shù)g（a）并求導(dǎo)得出其單調(diào)性即可求得m﹣n的取值范圍．
解：（1）易知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閤∈R，則f'（x）＝ex（x+2）（x﹣a），
又因?yàn)閍＞﹣2，所以當(dāng)x∈（﹣2，a）時(shí)，f′（x）＜0，
當(dāng)x∈（﹣∞，﹣2）或x∈（a，+∞）時(shí)，f′（x）＞0；
因此可得f（x）在（﹣2，a）上單調(diào)遞減，在（﹣∞，﹣2），（a，+∞）上單調(diào)遞增；
（2）若a≥0，由（1）可知f（x）在x＝﹣2處取得極大值，在x＝a處取得極小值，
所以m＝f（﹣2）＝e﹣2（4+a），n＝f（a）＝﹣aea，
即m﹣n＝e﹣2（4+a）+aea；
設(shè)函數(shù)g（a）＝aea+e﹣2（4+a），a≥0，則g'（a）＝（a+1）ea+e﹣2＞0，
所以g（a）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，所以g（a）≥g（0）＝4e﹣2，
即m﹣n的取值范圍為[4e﹣2，+∞）．
19．（17分）若函數(shù)y＝f（x）對定義域上的每一個(gè)值x1，在其定義域上都存在唯一的x2，使f（x1）f（x2）＝1成立，則稱該函數(shù)在其定義域上為“依賴函數(shù)”．
（1）判斷函數(shù)g（x）＝sinx在R上是否為“依賴函數(shù)”，并說明理由；
（2）若函數(shù)f（x）＝2x﹣1在定義域[0，m]上為“依賴函數(shù)”，求實(shí)數(shù)m的值；
（3）當(dāng)時(shí)，已知函數(shù)h（x）＝（x﹣a）2在定義域上為“依賴函數(shù)”，若存在實(shí)數(shù)，使得對任意的t∈R，不等式h（x）≥﹣t2+s﹣2t+4都成立，求實(shí)數(shù)s的最大值．
【正確答案】（1）g（x）＝sinx不是“依賴函數(shù)”，理由見解析；
（2）m＝2；
（3）實(shí)數(shù)s的最大值為4．
【分析】（1）本題可以從存在性或唯一性來說明該函數(shù)不是“依賴函數(shù)”，取特殊值，利用唯一性或存在性可判斷答案；
（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，可得f（0）f（m）＝1，代入可求解；
（3）分類討論，當(dāng)時(shí)，明顯不符題意；當(dāng)a＞4時(shí)，利用函數(shù)單調(diào)性，可得，解得a，代入h（x）后，利用不等式恒能成立的性質(zhì)，可得答案．
解：（1）對于函數(shù)g（x）＝sinx的定義域R內(nèi)取，
則，無解，
故g（x）＝sinx不是“依賴函數(shù)”．
（2）因?yàn)閒（x）＝2x﹣1在[0，m]上遞增，故f（0）f（m）＝1，
即20﹣12m﹣1＝1，所以m＝2．
（3）①當(dāng)時(shí)，取x1＝a，則h（x1）＝0，此時(shí)不存在x2，舍去；
②當(dāng)a＞4時(shí)，h（x）＝（x﹣a）2在上單調(diào)遞減，
從而，由于a＞4，故，
解得a＝1（舍）或，
且，所以，
由于存在實(shí)數(shù)，使得不等式h（x）≥﹣t2+s﹣2t+4能成立，
故，
從而得到9≥﹣t2+s﹣2t+4?t2+2t+5≥s?（t2+2t+5）min≥s，
由于t2+2t+5＝（t+1）2+4≥4，所以s≤4，
綜上，實(shí)數(shù)s的最大值為4。

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