一、單選題（本大題共8小題）
1．已知復(fù)數(shù)z滿足，則的虛部是（ ）
A．B．1C．D．i
2．已知集合P=，，則PQ=（ ）
A．B．
C．D．
3．若一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為4，方差為3，那么數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別是（ ）
A．10，12B．10，14C．4，3D．6，3
4．已知，則（ ）
A．2B．C．3D．
5．高一（1）班30名學(xué)生的一次數(shù)學(xué)考試成績按從小到大排序結(jié)果如下：
51 54 59 60 64 68 68 70 71 72
72 74 75 76 79 80 80 81 82 83
85 87 88 90 91 92 93 95 98 100
則估計(jì)這次數(shù)學(xué)考試成績的第75百分位數(shù)為（ ）
A．87B．88C．90D．87.5
6．某校高一、高二、高三年級(jí)學(xué)生人數(shù)分別是、、采用分層抽樣的方法抽取人，參加學(xué)校舉行的社會(huì)主義核心價(jià)值觀知識(shí)競賽，則樣本中高三年級(jí)的人數(shù)是（ ）
A．B．
C．D．
7．我國某城市2019年4月的空氣質(zhì)量狀況統(tǒng)計(jì)如下表所示:
當(dāng)時(shí)，空氣質(zhì)量為優(yōu)；當(dāng)時(shí)，空氣質(zhì)量為良；當(dāng)時(shí)，空氣質(zhì)量為輕微污染.該城市2019年4月空氣質(zhì)量達(dá)到良或優(yōu)的概率為（ ）
A．B．C．D．
8．已知，，，若，，，四點(diǎn)共面，則（ ）
A．3B．C．7D．
二、多選題（本大題共3小題）
9．拋擲一枚骰子1次,記“向上的點(diǎn)數(shù)是4,5,6”為事件A,“向上的點(diǎn)數(shù)是1,2”為事件B,“向上的點(diǎn)數(shù)是1,2,3”為事件C,“向上的點(diǎn)數(shù)是1,2,3,4”為事件D,則下列關(guān)于事件A，B，C，D判斷正確的有（ ）
A．A與B是互斥事件但不是對(duì)立事件
B．A與C是互斥事件也是對(duì)立事件
C．A與D是互斥事件
D．C與D不是對(duì)立事件也不是互斥事件
10．關(guān)于統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的分析，則以下結(jié)論中錯(cuò)誤的是（ ）
A．將一組數(shù)據(jù)中的每個(gè)數(shù)據(jù)都減去同一個(gè)數(shù)后，方差沒有變化
B．繪制頻率分布直方圖時(shí)，各小矩形的面積等于相應(yīng)各組的組距
C．一組數(shù)據(jù)的方差一定是正數(shù)
D．如圖是隨機(jī)抽取的輛汽車通過某一段公路時(shí)的時(shí)速分布直方圖，根據(jù)這個(gè)直方圖，可以得到時(shí)速在的汽車大約是輛
11．已知一組樣本數(shù)據(jù)，，…，，下列說法正確的是（ ）
A．該樣本數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)為
B．若樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖為單峰不對(duì)稱，且在右邊“拖尾”，則其平均數(shù)大于中位數(shù)
C．剔除某個(gè)數(shù)據(jù)（，2，…，20）后得到新樣本數(shù)據(jù)的極差不大于原樣本數(shù)據(jù)的極差
D．若，，…，的均值為2，方差為1，，，…，的均值為6，方差為2，則，，…，的方差為5
三、填空題（本大題共3小題）
12．已知向量，分別是直線的方向向量，若，則 ．
13．一只袋子中裝有7個(gè)紅玻璃球，3個(gè)綠玻璃球，從中無放回地任意抽取兩次，每次只取一個(gè)，取得兩個(gè)紅球的概率為，取得兩個(gè)綠球的概率為，則至少取得一個(gè)紅球的概率為 .
14．已知甲袋中有2個(gè)白球、3個(gè)紅球、5個(gè)黑球；乙袋中有4個(gè)白球、3個(gè)紅球、3個(gè)黑球，各個(gè)球的大小與質(zhì)地相同．若從兩袋中各取一球，則2個(gè)球顏色不同的概率為 ．
四、解答題（本大題共5小題）
15．在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且．
（1）求B的大小；
（2）若，求的面積．
16．如圖，從參加環(huán)保知識(shí)競賽的學(xué)生中抽出名，將其成績（均為整數(shù)）整理后畫出的頻率分布表和頻率分布直方圖如下，回答下列問題：

（1）分別求出的值，并補(bǔ)全頻率分布直方圖；
（2）估計(jì)這次環(huán)保知識(shí)競賽平均分；
（3）若從所有參加環(huán)保知識(shí)競賽的學(xué)生中隨機(jī)抽取一人采訪，抽到的學(xué)生成績及格的概率有多大？
17．已知四棱柱中，底面為梯形，，平面，，其中．是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn).

(1)求證：平面；
(2)求點(diǎn)到平面的距離.
18．從某學(xué)校的800名男生中隨機(jī)抽取50名測(cè)量身高，被測(cè)學(xué)生身高全部介于155cm和195cm之間，將測(cè)量結(jié)果按如下方式分成八組：第一組，第二組，，第八組，下圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖的一部分，已知第一組與第八組人數(shù)相同，第六組的人數(shù)為4人．
(1)求第七組的頻率；
(2)估計(jì)該校的800名男生的身高的平均數(shù)和中位數(shù)；
(3)若從身高屬于第六組和第八組的所有男生中隨機(jī)抽取兩名男生，記他們的身高分別為x，y，事件，求．
19．在神舟十五號(hào)載人飛行任務(wù)取得了圓滿成功的背景下．某學(xué)校高一年級(jí)利用高考放假期間組織1200名學(xué)生參加線上航天知識(shí)競賽活動(dòng)，現(xiàn)從中抽取200名學(xué)生，記錄他們的首輪競賽成績并作出如圖所示的頻率分布直方圖，根據(jù)圖形，請(qǐng)回答下列問題：

(1)若從成績不高于60分的同學(xué)中按分層抽樣方法抽取10人，求10人中成績不高于50分的人數(shù)；
(2)求的值，并以樣本估計(jì)總體，估計(jì)該校學(xué)生首輪競賽成績的平均數(shù)以及中位數(shù)；
(3)由首輪競賽成績確定甲、乙、丙三位同學(xué)參加第二輪的復(fù)賽，已知甲復(fù)賽獲優(yōu)秀等級(jí)的概率為，乙復(fù)賽獲優(yōu)秀等級(jí)的概率為，丙復(fù)賽獲優(yōu)秀等級(jí)的概率為，甲、乙、丙是否獲優(yōu)秀等級(jí)互不影響，求三人中至少有兩位同學(xué)復(fù)賽獲優(yōu)秀等級(jí)的概率．
答案
1．【正確答案】B
【分析】先由等式，反解出，再利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則，求出復(fù)數(shù)z即可.
【詳解】由已知，得，
所以z的虛部為1.
故選：B.
2．【正確答案】B
【分析】根據(jù)集合交集定義求解.
【詳解】.
故選B.
3．【正確答案】A
【分析】根據(jù)平均數(shù)、方差的性質(zhì)計(jì)算可得.
【詳解】因?yàn)橐唤M數(shù)據(jù)的平均數(shù)為4，方差為3，
所以數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為.
故選：A
4．【正確答案】C
【詳解】因?yàn)椋?br>所以.
故選：C.
5．【正確答案】B
【分析】
根據(jù)百分位數(shù)的概念，結(jié)合題中數(shù)據(jù)，即可得出結(jié)果.
【詳解】
由，可知樣本的第75百分位數(shù)為第23項(xiàng)數(shù)據(jù)，
據(jù)此估計(jì)這次數(shù)學(xué)考試成績的第75百分位數(shù)為88.
故選：B.
6．【正確答案】A
先求出抽樣比，再計(jì)算從高三年級(jí)中應(yīng)抽取的人數(shù).
【詳解】抽樣比為：，
高三年級(jí)的人數(shù)是人，
故選：A
7．【正確答案】A
【詳解】由表知，4月空氣質(zhì)量達(dá)到良或優(yōu)的有
故概率為
故選：A
8．【正確答案】C
【詳解】因?yàn)?，，，四點(diǎn)共面，
所以，，共面，設(shè)，
因?yàn)?，，?br>所以，
則，解得．
故選：C.
9．【正確答案】ABD
【分析】根據(jù)互斥事件的定義以及對(duì)立事件的定義逐個(gè)判定即可.
【詳解】拋擲一枚骰子1次,記“向上的點(diǎn)數(shù)是4,5,6”為事件A,“向上的點(diǎn)數(shù)是1,2”為事件B,
“向上的點(diǎn)數(shù)是1,2,3”為事件C,“向上的點(diǎn)數(shù)是1,2,3,4”為事件D,
在A中,A與B不能同時(shí)發(fā)生,但能同時(shí)不發(fā)生,是互斥事件但不是對(duì)立事件,故A正確；
在B中, A與C是互斥事件也是對(duì)立事件,故B正確；
在C中,A與D能同時(shí)發(fā)生,不是互斥事件,故C錯(cuò)誤；
在D中,C與D能同時(shí)發(fā)生,不是對(duì)立事件也不是互斥事件,故D正確.
故選：ABD.
本題主要考查了互斥與對(duì)立事件的判定,屬于基礎(chǔ)題.
10．【正確答案】BC
【詳解】A選項(xiàng)，∵方差反映一組數(shù)據(jù)的波動(dòng)大小，∴整體變化不改變波動(dòng)大小，
∴將一組數(shù)據(jù)中的每個(gè)數(shù)據(jù)都減去同一個(gè)數(shù)后，方差不變，對(duì)，
B選項(xiàng)，頻率分布直方圖中，各小矩形的面積等于相應(yīng)各組的頻率，錯(cuò)，
C選項(xiàng)，由得出方差是非負(fù)數(shù)，錯(cuò)，
D選項(xiàng)，根據(jù)頻率分布直方圖得，時(shí)速在的汽車大約是（輛），對(duì)，
故選：BC.
11．【正確答案】BC
【分析】由百分位數(shù)的定義即可判斷A；由極差的定義即可判斷C，由頻率分布直方圖中中位數(shù)、平均數(shù)的求法畫出圖形即可判斷B；由方差計(jì)算公式即可判斷D.
【詳解】對(duì)于A，由，所以樣本數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)為，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖為單峰不對(duì)稱，向右邊“拖尾”，大致如下圖，
由于“右拖”時(shí)最高峰偏左，中位數(shù)靠近高峰處，平均數(shù)靠近中點(diǎn)處，此時(shí)平均數(shù)大于中位數(shù)，故B正確；
對(duì)于C，剔除某個(gè)數(shù)據(jù)（，2，…，20）后得到新樣本數(shù)據(jù)的極差不大于原樣本數(shù)據(jù)的極差，故C正確；
對(duì)于D，由，則，
所以則，，…，的方差為，故D錯(cuò)誤.
故選：BC.
12．【正確答案】18
【詳解】，
，
所以存在實(shí)數(shù)，使得，
則，解得，，.
.
故18.
13．【正確答案】
【分析】“至少取得一個(gè)紅球”與“取得兩個(gè)綠球”為對(duì)立事件，利用對(duì)立事件的概率公式求出概率.
【詳解】由于事件A“至少取得一個(gè)紅球”與事件B“取得兩個(gè)綠球”是對(duì)立事件，
則至少取得一個(gè)紅球的概率為.
故答案為.
14．【正確答案】/0.68
【分析】找出基本事件總數(shù)和滿足條件的基本事件數(shù)，根據(jù)古典概型公式求解即可.
【詳解】由題，甲袋中共有10個(gè)球，乙袋中共有10個(gè)球，
則從兩袋中各取一球，基本事件總數(shù)為，
取出的2個(gè)球顏色不同，可能為：（甲白，乙紅），（甲白，乙黑），（甲紅，乙白），（甲紅，乙黑），（甲黑，乙白），（甲黑，乙紅），
則2個(gè)球顏色不同的基本事件數(shù)為，
所以，
故
15．【正確答案】（1）； （2）.
【分析】（1）由正弦定理和兩角和的正弦函數(shù)公式，化簡得，求得，即可求解；
（2）由余弦定理可得，結(jié)合，求得，利用三角形的面積公式，即可求解.
【詳解】（1）因?yàn)椋?br>由正弦定理可得，
又，
所以，
因?yàn)?，則，所以，
因?yàn)?，所?
（2）因?yàn)椋?br>由余弦定理可得，整理得，
又，解得，
所以.
本題主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面積公式的應(yīng)用，其中在解有關(guān)三角形的題目時(shí)，要抓住題設(shè)條件和利用某個(gè)定理的信息，合理應(yīng)用正弦定理和余弦定理求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題．
16．【正確答案】（1），，，（2）70.5（3）0.75
【詳解】
（1），，，
（2）用組中值估計(jì)平均分：
（3）本次競賽及格率為：，
用樣本估計(jì)總體，每個(gè)人被抽到的概率相同， ∴從所有參加環(huán)保知識(shí)競賽的學(xué)生中隨機(jī)抽取一人采訪，抽到的學(xué)生成績及格的概率為．
考點(diǎn)：（1）互斥事件的概率加法公式（2）頻率分布表
17．【正確答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）取中點(diǎn)，連接，，利用、得四邊形是平行四邊形，從而利用線面平行的判定定理證明即可.
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，然后利用點(diǎn)到平面距離的向量公式求解即可.
【詳解】（1）取中點(diǎn)，連接，，
由是的中點(diǎn)，故，且，
由是的中點(diǎn)，故，且，
則有，，
故四邊形是平行四邊形，故，
又平面，平面，
故平面；
（2）以為原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，
有、、、、、，
則有、、，
設(shè)平面的法向量分別為，
則有，取，
則有，
即點(diǎn)到平面的距離為.
18．【正確答案】(1)；(2)平均數(shù)為，中位數(shù)為；(3)．
【分析】(1)由頻率分布直方圖的性質(zhì)求第七組的頻率；
(2)根據(jù)平均數(shù)和中位數(shù)的定義利用頻率分布直方圖求平均數(shù)和中位數(shù)；
(3)確定樣本空間，利用古典概型概率公式求概率.
【詳解】(1)第六組的頻率為，
所以第七組的頻率為．
(2)由直方圖得，身高在第一組的頻率為，
身高在第二組的頻率為，
身高在第三組的頻率為，
身高在第四組的頻率為，
由于，，
設(shè)這所學(xué)校的800名男生的身高中位數(shù)為m，則，
由，得，
所以這所學(xué)校的800名男生的身高的中位數(shù)為174.5cm，平均數(shù)為
．
(3)第六組的人數(shù)為4，設(shè)為a，b，c，d，
第八組的人數(shù)為，設(shè)為A，B，
則從中隨機(jī)抽取兩名男生有ab，ac，ad，bc，bd，cd，aA，aB，bA，bB，cA，cB，dA，dB，AB共15種情況，
因事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)隨機(jī)抽取的兩名男生在同一組，所以事件E包含的基本事件為ab，ac，ad，bc，bd，cd，AB共7種情況．所以．
19．【正確答案】(1)4
(2)；平均數(shù)為71；中位數(shù)為
(3)
【分析】（1）先分別求出的頻率，進(jìn)而由10乘以抽樣比可求答案；
（2）根據(jù)頻率的性質(zhì)，利用各小長方形的面積和等于1可求；利用各組中值與頻率可估計(jì)平均數(shù)；先確定中位數(shù)所在的小長方形，再設(shè)中位數(shù)為，進(jìn)而利用面積等于0.5即可求解；
（3）獨(dú)立事件的乘法公式即可求解.
【詳解】（1）從圖中可知組距為，則的頻率分別為,
從成績不高于60分的同學(xué)中按分層抽樣方法抽取10人時(shí),
成績不高于50分的人數(shù)為（人）.
（2）由圖可知，解得.
使用組中值與頻率可估計(jì)平均數(shù)為
.
因?yàn)榍遥?br>所以中位數(shù)在內(nèi)，
設(shè)估計(jì)的中位數(shù)為，則，得.
（3）記甲、乙、丙獲優(yōu)秀等級(jí)分別為事件，，，則
三人中至少有兩位同學(xué)復(fù)賽獲優(yōu)秀等級(jí)的概率等于
.污染指數(shù)
30
60
100
110
130
140
天數(shù)
3
5
10
7
4
1
分組
人數(shù)
頻率
[39．5,49．5）
a
0.10
[49．5,59．5）
9
x
[59．5,69．5）
b
0.15
[69．5,79．5）
18
0.30
[79．5,89．5）
15
y
[89．5,99．5]
3
0.05

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