一、選擇題
1. （2024江蘇鹽城）下列四幅圖片中的主體事物，在現(xiàn)實運動中屬于翻折的是（ ）
A. 工作中雨刮器B. 移動中的黑板
C. 折疊中的紙片D. 騎行中的自行車
【答案】C
【解析】本題考查了折疊，根據(jù)折疊的定義逐項判斷即可求解，掌握折疊的定義是解題的關鍵．
、工作中的雨刮器，屬于旋轉，不合題意；
、移動中的黑板，屬于平移，不合題意；
、折疊中的紙片，屬于翻折，符合題意；
、騎行中的自行車，屬于平移，不合題意；
故選：．
2. （2024江蘇揚州）“致中和，天地位焉，萬物育焉”，對稱之美隨處可見．下列選項分別是揚州大學、揚州中國大運河博物館、揚州五亭橋、揚州志愿服務的標識．其中的軸對稱圖形是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】本題考查了軸對稱圖形，軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．
根據(jù)如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸，進行分析即可．
【詳解】解：A，B，D選項中的圖形都不能找到一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對稱圖形；
C選項中的圖形能找到一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對稱圖形；
故選：C．
3. （2024四川眉山）下列交通標志中，屬于軸對稱圖形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】本題主要考查了軸對稱圖形，根據(jù)軸對稱圖形的概念：如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形可得答案．
【詳解】A.是軸對稱圖形，故此選項符合題意；
B.不是軸對稱圖形，故此選項不符合題意；
C. 不是軸對稱圖形，故此選項不符合題意；
D. 不是軸對稱圖形，故此選項不符合題意；
故選：A．
4. （2024廣西）端午節(jié)是中國傳統(tǒng)節(jié)日，下列與端午節(jié)有關的文創(chuàng)圖案中，成軸對稱的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】本題主要考查成軸對稱的定義，掌握成軸對稱的定義是解題的關鍵．把一個圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關于這條直線對稱，這條直線叫作對稱軸，折疊后重合的點是對應點，叫作對稱點．根據(jù)兩個圖形成軸對稱的定義，逐一判斷選項即可．
【詳解】A．圖案不成軸對稱，故不符合題意；
B．圖案成軸對稱，故符合題意；
C．圖案不成軸對稱，故不符合題意；
D．圖案不成軸對稱，故不符合題意；
故你：B．
5. （2024貴州?。扒叫闼睂懗上铝凶煮w，可以看作是軸對稱圖形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】本題考查了軸對稱圖形概念，一個圖形沿著某條直線折疊后直線兩旁的部分能夠完全重合，這個圖形就叫軸對稱圖形．根據(jù)軸對稱圖形概念，結合所給圖形即可得出答案．
【詳解】A．不是軸對稱圖形，不符合題意；
B． 是軸對稱圖形，符合題意；
C． 不是軸對稱圖形，不符合題意；
D． 不是軸對稱圖形，不符合題意；
故選：B．
6. （2024江蘇蘇州）下列圖案中，是軸對稱圖形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】此題主要考查軸對稱圖形的概念，掌握軸對稱圖形的概念是解題的關鍵．
根據(jù)如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸進行分析即可．
【詳解】A、是軸對稱圖形，故此選項正確；
B、不是軸對稱圖形，故此選項錯誤；
C、不是軸對稱圖形，故此選項錯誤；
D、不是軸對稱圖形，故此選項錯誤．
故選：A．
7. （2024內(nèi)蒙古赤峰）在以下綠色食品、回收、節(jié)能、節(jié)水四個標志中，是軸對稱圖形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】根據(jù)軸對稱圖形的概念求解．如果一個圖形沿著一條直線對折后兩部分完全重合，這樣的圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸．
【詳解】A．是軸對稱圖形，故A符合題意；
B．不是軸對稱圖形，故B不符合題意；
C．不是軸對稱圖形，故C不符合題意；
D．不是軸對稱圖形，故D不符合題意．
故選：A．
【點睛】本題主要考查軸對稱圖形的知識點．確定軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．
8. （2024武漢市）現(xiàn)實世界中，對稱現(xiàn)象無處不在，中國的方塊字中有些也具有對稱性．下列漢字是軸對稱圖形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】本題考查了軸對稱圖形的識別，根據(jù)如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸進行分析即可．
【詳解】A，B，D選項中的圖形不能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對稱圖形，
C選項中的圖形能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對稱圖形．
故選：C．
9. （2024四川內(nèi)江）2024年6月5日，是二十四節(jié)氣的芒種，二十四節(jié)氣是中國勞動人民獨創(chuàng)的文化遺產(chǎn)，能反映季節(jié)的變化，指導農(nóng)事活動．下面四副圖片分別代表“芒種”、“白露”、“立夏”、“大雪”，其中是中心對稱圖形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】根據(jù)中心對稱圖形的定義：把一個圖形繞著某一個點旋轉，如果旋轉后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點就是它的對稱中心，進行逐一判斷即可．本題主要考查了中心對稱圖形，解題的關鍵在于能夠熟練掌握中心對稱圖形的定義．
【詳解】解：A．不是中心對稱圖形，故A選項不合題意；
B．不是中心對稱圖形，故B選項不合題意；
C．不是中心對稱圖形，故C選項不合題意；
D．是中心對稱圖形，故D選項合題意；
故選：D．
10. （2024四川涼山）如圖，在中，垂直平分交于點，若的周長為，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】本題考查了線段垂直平分線的的性質(zhì)，由線段垂直平分線的的性質(zhì)可得，進而可得的周長，即可求解，掌握線段垂直平分線的的性質(zhì)是解題的關鍵．
【詳解】解：∵垂直平分，
∴，
∴的周長，
故選：．
11. （2024河北?。┤鐖D，與交于點O，和關于直線對稱，點A，B的對稱點分別是點C，D．下列不一定正確的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】本題考查了軸對稱圖形的性質(zhì)，平行線的判定，熟練掌握知識點是解題的關鍵．
根據(jù)軸對稱圖形的性質(zhì)即可判斷B、C選項，再根據(jù)垂直于同一條直線的兩條直線平行即可判斷選項D．
【詳解】由軸對稱圖形的性質(zhì)得到，，
∴，
∴B、C、D選項不符合題意，
故選：A．
12. （2024福建?。┬∶饔脙蓚€全等的等腰三角形設計了一個“蝴蝶”的平面圖案．如圖，其中與都是等腰三角形，且它們關于直線對稱，點，分別是底邊，的中點，．下列推斷錯誤的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】本題考查了對稱的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等；
A.由對稱的性質(zhì)得，由等腰三角形的性質(zhì)得 ，，即可判斷；
B.不一定等于，即可判斷；
C.由對稱的性質(zhì)得，由全等三角形的性質(zhì)即可判斷；
D. 過作，可得 ，由對稱性質(zhì)得同理可證，即可判斷；
掌握軸對稱的性質(zhì)是解題的關鍵．
【詳解】A.，
，
由對稱得，
點，分別是底邊，的中點，與都是等腰三角形，
，，
，
，結論正確，故不符合題意；
B.不一定等于，結論錯誤，故符合題意；
C.由對稱得，
∵點 E ，F(xiàn)分別是底邊的中點，
，結論正確，故不符合題意；
D.
過作，
，
，
，由對稱得，
，
同理可證，
，結論正確，故不符合題意；
故選：B．
13. （2024江蘇連云港）如圖，正方形中有一個由若干個長方形組成的對稱圖案，其中正方形邊長是，則圖中陰影圖形的周長是（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】本題考查平移的性質(zhì)，利用平移的性質(zhì)將陰影部分的周長轉化為邊長是的正方形的周長加上邊長是的正方形的兩條邊長再減去，由此解答即可．
【詳解】由圖可得：陰影部分的周長為邊長是的正方形的周長加上邊長是的正方形的兩條邊長再減去，
陰影圖形的周長是：，
故選：A．
14. （2024湖北?。┢矫孀鴺讼抵?，點的坐標為，將線段繞點順時針旋轉，則點的對應點的坐標為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】本題考查坐標系下的旋轉．過點和點分別作軸的垂線，證明，得到，，據(jù)此求解即可．
【詳解】過點和點分別作軸的垂線，垂足分別為，
∵點的坐標為，
∴，，
∵將線段繞點順時針旋轉得到，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∴點的坐標為，
故選：B．
15. （2024北京市）下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】本題考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形，根據(jù)軸對稱圖形和中心對稱圖形的定義進行逐一判斷即可，如果一個平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形；把一個圖形繞著某一個點旋轉，如果旋轉后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點就是它的對稱中心．掌握中心對稱圖形與軸對稱圖形的定義是解題的關鍵．
【詳解】A、是中心對稱圖形，但不是軸對稱圖形，故不符合題意；
B、既是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，故符合題意；
C、不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故不符合題意；
D、是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形，故不符合題意；
故選：B．
16. （2024四川瀘州）寬與長的比是的矩形叫做黃金矩形，黃金矩形給我們以協(xié)調(diào)、勻稱的美感．如圖，把黃金矩形沿對角線翻折，點落在點處，交于點，則的值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】本題考查了折疊的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角函數(shù)等知識點，利用黃金比例表示各線段的長是解題的關鍵．
設寬，根據(jù)比例表示長，證明，在中，利用勾股定理即可求得結果．
【詳解】解：設寬為，
∵寬與長的比是，
∴長為：，
由折疊的性質(zhì)可知，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
設，
在中，，
變形得：，
，，
∴，
故選A．
17. （2024四川自貢）如圖，在平面直角坐標系中，，將繞點O逆時針旋轉到位置，則點B坐標為（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】本題考查坐標與圖形，三角形全等的判定和性質(zhì)．由旋轉的性質(zhì)得到，推出，即可求解．
【詳解】∵，
∴，，
∵將繞點O逆時針旋轉到，
∴，
∴，，
∴點B坐標，
故選：A．
18. （2024吉林?。┤鐖D，在平面直角坐標系中，點A的坐標為，點C的坐標為．以為邊作矩形，若將矩形繞點O順時針旋轉，得到矩形，則點的坐標為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】本題主要考查了坐標與圖形變化—旋轉，矩形的性質(zhì)等等，先根據(jù)題意得到，再由矩形的性質(zhì)可得，由旋轉的性質(zhì)可得，，據(jù)此可得答案．
【詳解】∵點A的坐標為，點C的坐標為，
∴，
∵四邊形矩形，
∴，
∵將矩形繞點O順時針旋轉，得到矩形，
∴，，
∴軸，
∴點的坐標為，
故選：C．
19. （2024內(nèi)蒙古赤峰）如圖，中，，．將繞點A順時針旋轉得到，點與點B是對應點，點與點C是對應點．若點恰好落在BC邊上，下列結論：①點B在旋轉過程中經(jīng)過的路徑長是；②；③；④．其中正確的結論是（ ）
A. ①②③④B. ①②③C. ①③④D. ②④
【答案】A
【解析】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，旋轉的性質(zhì)，弧長公式，等腰三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理．根據(jù)旋轉的性質(zhì)結合等腰三角形的性質(zhì)求得各角的度數(shù)，再逐一判斷各項，即可求解．
【詳解】∵，，
∴，，
由旋轉的性質(zhì)得，，，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
由旋轉的性質(zhì)得，
∴，
①點B在旋轉過程中經(jīng)過的路徑長是；①說法正確；
②∵，∴；②說法正確；
③∵，
∴，
∴；③說法正確；
④∵，，
∴，
∴．④說法正確；
綜上，①②③④都是正確的，
故選：A．
20. （2024天津市）如圖，中，，將繞點順時針旋轉得到，點的對應點分別為，延長交于點，下列結論一定正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】本題考查了旋轉性質(zhì)以及兩個銳角互余的三角形是直角三角形，平行線的判定，正確掌握相關性質(zhì)內(nèi)容是解題的關鍵．先根據(jù)旋轉性質(zhì)得，結合，即可得證，再根據(jù)同旁內(nèi)角互補證明兩直線平行，來分析不一定成立；根據(jù)圖形性質(zhì)以及角的運算或線段的運算得出A和C選項是錯誤的．
【詳解】解：記與相交于一點H，如圖所示：
∵中，將繞點順時針旋轉得到，
∴
∵
∴在中，
∴
故D選項是正確的，符合題意；
設
∴
∵
∴
∴
∵不一定等于
∴不一定等于
∴不一定成立，
故B選項不正確，不符合題意；
∵不一定等于
∴不一定成立，
故A選項不正確，不符合題意；
∵將繞點順時針旋轉得到，
∴
∴
故C選項不正確，不符合題意；
故選：D
21.（2024重慶市A） 如圖，在正方形的邊上有一點，連接，把繞點逆時針旋轉，得到，連接并延長與的延長線交于點．則的值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】過點F作延長線的垂線，垂足為點H，則，證明，則，設，得到，則，故，同理可求，則，因此．
【詳解】解：過點F作延長線的垂線，垂足為點H，則，
由旋轉得，
∵四邊形是正方形，
∴，，，設，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，設，
則，
∴，
∴，而，
∴，
∴，
∵，
∴，
同理可求，
∴，
∴，
故選：A．
【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，旋轉的性質(zhì)，正確添加輔助線，構造“一線三等角全等”是解題的關鍵．
22. （2024北京市）如圖，在菱形中，，為對角線交點.將菱形繞點逆時針旋轉得到菱形，兩個菱形的公共點為，，，.對八邊形給出下面四個結論：
①該八邊形各邊長都相等；
②該八邊形各內(nèi)角都相等；
③點到該八邊形各頂點的距離都相等；
④點到該八邊形各邊所在直線的距離都相等。
上述結論中，所有正確結論的序號是（ ）
A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④
【答案】B
【解析】根據(jù)菱形，，則，，結合旋轉的性質(zhì)得到點一定在對角線上，且，，繼而得到，，結合，繼而得到，可證，，同理可證，證，繼而得到，得到，可以判定該八邊形各邊長都相等，故①正確；根據(jù)角的平分線的性質(zhì)定理，得點到該八邊形各邊所在直線的距離都相等，可以判定④正確；根據(jù)題意，得，結合，，得到，可判定②該八邊形各內(nèi)角不相等；判定②錯誤，證，進一步可得，可判定點到該八邊形各頂點的距離都相等錯誤即③錯誤，解答即可.
本題考查了旋轉的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，三角形全等判定和性質(zhì)，角的平分線性質(zhì)定理，熟練掌握旋轉的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，三角形全等判定和性質(zhì)是解題的關鍵.
【詳解】向兩方分別延長，連接，
根據(jù)菱形，，則，，
∵菱形繞點逆時針旋轉得到菱形，
∴點一定在對角線上，且，，
∴，，
∵，
∴，
∴，，同理可證，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴該八邊形各邊長都相等，
故①正確；
根據(jù)角的平分線的性質(zhì)定理，得點到該八邊形各邊所在直線的距離都相等，
∴④正確；
根據(jù)題意，得，
∵，，
∴，
∴該八邊形各內(nèi)角不相等；
∴②錯誤，
根據(jù)，
∴，
∴，
∵，
故，
∴點到該八邊形各頂點的距離都相等錯誤
∴③錯誤，
故選B．
二、填空題
1. （2024甘肅威武）圍棋起源于中國，古代稱為“弈”．如圖是兩位同學的部分對弈圖，輪到白方落子，觀察棋盤，白方如果落子于點________的位置，則所得的對弈圖是軸對稱圖形．（填寫A，B，C，D中的一處即可，A，B，C，D位于棋盤的格點上）
【答案】A或C
【解析】根據(jù)軸對稱圖形的定義解答即可．
本題考查了軸對稱圖形，熟練掌握軸對稱圖形的定義是解題的關鍵．
【詳解】根據(jù)軸對稱圖形的定義，發(fā)現(xiàn)放在B，D處不能構成軸對稱圖形，放在A或C處可以，
故答案為：A或C．
2. （2024江蘇蘇州）如圖，，，，，點D，E分別在邊上，，連接，將沿翻折，得到，連接，．若的面積是面積的2倍，則______．
【答案】##
【解析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、折疊性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形的面積公式等知識，是綜合性強的填空壓軸題，熟練掌握相關知識的聯(lián)系與運用是解答的關鍵．
設，，根據(jù)折疊性質(zhì)得，，過E作于H，設與相交于M，證明得到，進而得到，，證明是等腰直角三角形得到，可得，證明得到，則，根據(jù)三角形的面積公式結合已知可得，然后解一元二次方程求解x值即可．
【詳解】解：∵，
∴設，，
∵沿翻折，得到，
∴，，
過E作于H，設與相交于M，
則，又，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，，則，
∴是等腰直角三角形，
∴，則，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
，
∵的面積是面積的2倍，
∴，則，
解得，（舍去），
即，
故答案為：．
3. （2024江蘇連云港）如圖，將一張矩形紙片上下對折，使之完全重合，打開后，得到折痕EF，連接BF．再將矩形紙片折疊，使點B落在BF上的點H處，折痕為AG．若點G恰好為線段BC最靠近點B的一個五等分點，，則BC的長為__________．

【答案】
【解析】本題考查矩形折疊，勾股定理，解直角三角形，設與交于點，，則：，勾股定理求出，等積法求出，根據(jù)，列出方程進行求解即可．
【詳解】解：設與交于點，
∵矩形，
∴，
∵翻折，
∴，，
設，則：，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：，經(jīng)檢驗是原方程的解，
∴；
故答案為：．

4. （2024黑龍江齊齊哈爾）已知矩形紙片，，，點P在邊上，連接，將沿所在的直線折疊，點B的對應點為，把紙片展平，連接，，當為直角三角形時，線段的長為______．
【答案】或2
【解析】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的判定和性質(zhì)，分兩種情況進行討論：當時，當，分別畫出圖形，求出結果即可．
【詳解】解：∵四邊形為矩形，
∴，，，
當時，如圖所示：
∵，
∴點在上，
根據(jù)折疊可知：，，
設，則，
∴，
，
中，根據(jù)勾股定理得：，
即，
解得：，
即；
當，如圖所示：
根據(jù)折疊可知：，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
綜上分析可知：或2．
故答案為：或2，
5. （2024甘肅臨夏）如圖，對折邊長為2的正方形紙片，為折痕，以點為圓心，為半徑作弧，分別交，于，兩點，則的長度為______（結果保留）．
【答案】##
【解析】本題主要考查了弧長的計算、正方形的性質(zhì)及翻折變換（折疊問題），解直角三角形，熟知正方形的性質(zhì)、圖形翻折的性質(zhì)及弧長的計算公式是解題的關鍵．
由對折可知，，過點E作的垂線，進而可求出的度數(shù)，則可得出的度數(shù)，最后根據(jù)弧長公式即可解決問題．
【詳解】∵折疊，且四邊形是正方形
四邊形是矩形，，
則，．
過點E作于P，
則，
，
在中，，
，
則，
的長度為：，
故答案為：
6. （2024甘肅臨夏）如圖，等腰中，，，將沿其底邊中線向下平移，使的對應點滿足，則平移前后兩三角形重疊部分的面積是______．
【答案】##
【解析】本題考查平移的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，三線合一，根據(jù)平移的性質(zhì)，推出，根據(jù)對應邊上的中線比等于相似比，求出的長，三線合一求出的長，利用面積公式進行求解即可．
【詳解】∵等腰中，，，
∴，
∵為中線，
∴，，
∴，，
∴，
∵將沿其底邊中線向下平移，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案為：．
7. （2024江蘇鹽城）如圖，在中，，，點是的中點，連接，將繞點旋轉，得到．連接，當時，________．
【答案】##
【解析】本題主要考查等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，平行線的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)的綜合，掌握等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，旋轉的性質(zhì)是解題的關鍵．
根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得的值，作，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得是等腰直角三角形，可求出的長，在直角中，根據(jù)勾股定理可求出的長度，由此即可求解．
【詳解】∵在中，，，
∴，，
∵點是的中點，
∴，
∴在中，，
∵將繞點旋轉得到，
∴，
∴，，，
如圖所示，過于點，
∵∥，
∴，
∴是等腰直角三角形，且，
∴，
在中，，
∴，
故答案為：．
三、解答題
1. （2024北京市）已知，點，分別在射線，上，將線段繞點順時針旋轉得到線段，過點作的垂線交射線于點.

（1）如圖1，當點在射線上時，求證：是的中點；
（2）如圖2，當點在內(nèi)部時，作，交射線于點，用等式表示線段與的數(shù)量關系，并證明。
【答案】（1）見詳解 （2），理由見詳解
【解析】（1）先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理求得，則，故，再根據(jù)等角的余角相等即可得到，故，最后等量代換出，即點是的中點；
（2）在射線上取點H，使得，取的中點G，連接，可證明，則，，則，根據(jù)平行線的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)得到，則，而，故可等量代換出．
【小問1詳解】
證明：連接，

由題意得：，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴點是的中點；
【小問2詳解】
解：，
在射線上取點H，使得，取的中點G，連接，

∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，，
∵是的中點，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【點睛】本題考查了旋轉的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和，外角定理，平行線的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握這些知識點，正確添加輔助線是解題的關鍵．
2. （2024湖北?。┤鐖D，矩形中，分別在上，將四邊形沿翻折，使的對稱點落在上，的對稱點為交于．
（1）求證：．
（2）若為中點，且，求長．
（3）連接，若為中點，為中點，探究與大小關系并說明理由．
【答案】（1）見詳解 （2） （3）
【解析】【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)得，由折疊得出，得出，即可證明；
（2）根據(jù)矩形的性質(zhì)以及線段中點，得出，根據(jù)代入數(shù)值得，進行計算，再結合，則，代入數(shù)值，得，所以；
（3）由折疊性質(zhì)，得直線，，是等腰三角形，則，因為為中點，為中點，所以，，所以，則，所以，則，即可作答．
【小問1詳解】
解：如圖：
∵四邊形是矩形，
∴，
∴，
∵分別在上，將四邊形沿翻折，使的對稱點落在上，
∴，
∴，
∴，
∴；
【小問2詳解】
解：如圖：
∵四邊形是矩形，
∴，，
∵為中點，
∴，
設，
∴，
中，，
即，
解得，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得，
∵，
∴；
【小問3詳解】
解：如圖：延長交于一點M，連接
∵分別在上，將四邊形沿翻折，使的對稱點落在上，
∴直線
，
，
∴是等腰三角形，
∴，
∵為中點，
∴設，
∴，
∵為中點，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
在中，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
【點睛】本題考查了矩形與折疊，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，正確掌握相關性質(zhì)內(nèi)容是解題的關鍵．
3. （2024四川成都市）數(shù)學活動課上，同學們將兩個全等的三角形紙片完全重合放置，固定一個頂點，然后將其中一個紙片繞這個頂點旋轉，來探究圖形旋轉的性質(zhì)．已知三角形紙片和中，，，．
【初步感知】
（1）如圖1，連接，，在紙片繞點旋轉過程中，試探究的值．
【深入探究】
（2）如圖2，在紙片繞點旋轉過程中，當點恰好落在的中線的延長線上時，延長交于點，求的長．
【拓展延伸】
（3）在紙片繞點旋轉過程中，試探究，，三點能否構成直角三角形．若能，直接寫出所有直角三角形的面積；若不能，請說明理由．
【答案】（1）的值為；（2）；（3）直角三角形的面積分別為4，16，12，
【解析】【分析】（1）根據(jù)，，．證明，，繼而得到，即，再證明，得到．
（2）連接，延長交于點Q，根據(jù)(1)得，得到，根據(jù)中線得到，繼而得到，結合，得到即，得到，再證明，得證矩形，再利用勾股定理，三角形相似的判定和性質(zhì)計算即可．
（3）運用分類思想解答即可．
【詳解】（1）∵，，．
∴，
∴，，
∴即，
∵
∴，
∴．
（2）連接，延長交于點Q，根據(jù)(1)得，
∴，
∵是中線
∴，
∴，
∵，
∴即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四邊形是平行四邊形，
∵
∴四邊形矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
設，則，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得；
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得．
（3）如圖，當與重合時，此時，此時是直角三角形，
故；
如圖，當在的延長線上時，此時，此時是直角三角形，
故；
如圖，當時，此時直角三角形，
過點A作于點Q，
∵，
∴，
∵，，，
∴四邊形矩形，
∴，
∴，
故；
如圖，當時，此時是直角三角形，
過點A作于點Q，交于點N，
∴，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得；
故．
【點睛】本題考查了旋轉的性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)，三角形中位線定理的判定和應用，三角形全等的判定和性質(zhì)，三角函數(shù)的應用，勾股定理，熟練掌握三角函數(shù)的應用，三角形相似的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，中位線定理是解題的關鍵．

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