專題2.5 有理數(shù)的加法【八大題型】-最新蘇教版七年級上冊數(shù)學精講精練-試卷下載-教習網(wǎng)

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2、注重動手操作，引導學生“做”數(shù)學。有效的數(shù)學學習活動不能單純地依賴模仿與記憶，自主探索與合作交流也是學習數(shù)學的重要方法。
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專題2.5 有理數(shù)的加法【八大題型】
【蘇科版2024】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc14819" 【題型1 有理數(shù)的加法概念理解】 PAGEREF _Tc14819 \h 1
\l "_Tc13859" 【題型2 有理數(shù)的加法運算】 PAGEREF _Tc13859 \h 3
\l "_Tc4233" 【題型3 有理數(shù)的加法運算律】 PAGEREF _Tc4233 \h 5
\l "_Tc16596" 【題型4 巧用拆項法進行有理數(shù)的加法運算】 PAGEREF _Tc16596 \h 6
\l "_Tc10925" 【題型5 有理數(shù)加法中的規(guī)律問題】 PAGEREF _Tc10925 \h 9
\l "_Tc4452" 【題型6 有理數(shù)加法的實際應用】 PAGEREF _Tc4452 \h 11
\l "_Tc29482" 【題型7 利用有理數(shù)的加法解決幻方問題】 PAGEREF _Tc29482 \h 13
\l "_Tc17409" 【題型8 有理數(shù)加法中的新定義問題】 PAGEREF _Tc17409 \h 17
知識點1：有理數(shù)的加法
1.定義：把兩個（或多個）有理數(shù)相加的過程叫有理數(shù)的加法。（兩個有理數(shù)相加，和是一個有理數(shù)）。
2.法則：（1）同號兩數(shù)相加，和取相同的符號，且和的絕對值等于加數(shù)的絕對值的和；（2）絕對值不相等的異號兩數(shù)相加，和取絕對值較大的加數(shù)的符號，且和的絕對值等于加數(shù)中絕對值較大者與較小者的差；互為相反數(shù)的兩個數(shù)相加得0；（3）一個數(shù)同0相加，仍得這個數(shù)．
注意：1）有理數(shù)的運算分兩步走，第一步，確定符號，第二步，確定絕對值；2）計算的時候要看清符號，同時要熟練掌握計算法則.
【題型1 有理數(shù)的加法概念理解】
【例1】（23-24七年級·河南周口·階段練習）下列說法錯誤的是（）
A．兩數(shù)之和可能小于其中的一個加數(shù)B．兩數(shù)相加就是它們的絕對值相加
C．兩個負數(shù)相加，和取負號，絕對值相加D．兩個數(shù)若不是相反數(shù)，則相加不能得零
【答案】B
【分析】根據(jù)有理數(shù)的加法法則，相反數(shù)的定義，逐一進行判斷即可．
【詳解】解：A、兩數(shù)之和可能小于其中的一個加數(shù)，異號相加，和小于原來的正數(shù)，選項正確，不符合題意；
B、兩數(shù)相加就是它們的絕對值相加，異號相加，取絕對值大的符號，再用大絕對值減去小絕對值，選項錯誤，符合題意；
C、兩個負數(shù)相加，和取負號，絕對值相加，選項正確，不符合題意；
D、互為相反數(shù)的兩數(shù)之和為0，所以兩個數(shù)若不是相反數(shù)，則相加不能得零，選項正確，不符合題意；
故選B．
【點睛】本題考查有理數(shù)的加法法則．熟練掌握有理數(shù)的加法法則：“同號相加，取相同符號，再把絕對值相加；異號相加，取絕對值大的符號，再用大絕對值減去小絕對值．”是解題的關鍵．
【變式1-1】（23-24七年級·全國·課后作業(yè)）下列說法正確的是（）
A．兩數(shù)之和必大于任何一個加數(shù)
B．同號兩數(shù)相加，符號不變，并把絕對值相加
C．兩負數(shù)相加和為負數(shù)，并把絕對值相減
D．異號兩數(shù)相加，取絕對值較大的加數(shù)的符號，并把絕對值相加
【答案】B
【分析】根據(jù)有理數(shù)的減法運算法則，有理數(shù)的加法運算法則對各選項分析判斷即可得解．
【詳解】A．兩數(shù)之和必大于任何一個加數(shù)，錯誤，故本選項錯誤；
B．同號兩數(shù)相加，符號不變，并把絕對值相加，正確，故本選項正確；
C．應為兩負數(shù)相加和為負數(shù)，并把絕對值相加，故本選項錯誤；
D．應為異號兩數(shù)相加，取絕對值較大的加數(shù)的符號，并把用較大的絕對值減去較小的絕對值，故本選項錯誤．故選：B．
【點睛】本題主要考查有理數(shù)的減法、有理數(shù)的加法以及絕對值的概念，掌握有理數(shù)的加減運算法則是解題關鍵．
【變式1-2】（23-24七年級·山東德州·階段練習）若有理數(shù)a+b+ca，
∴ c=b+a，
∴可能a、b為正數(shù)，c為負數(shù)；也可能a、b為負數(shù)，c為正數(shù)．
故選：A．
【點睛】本題主要考查的是有理數(shù)的加法，絕對值的意義，掌握有理數(shù)的加法法則是解題的關鍵．
【題型2 有理數(shù)的加法運算】
【例2】（23-24七年級·河北廊坊·階段練習）要使等式3○+5=?2成立，“○”中應填的運算符號為（）
A．+B．?C．×D．÷
【答案】B
【分析】本題考查了有理數(shù)減法運算，能根據(jù)結(jié)果判斷出是減法運算是解題的關鍵．
【詳解】解：3?+5=?2，
故選：B．
【變式2-1】（23-24七年級·吉林·期末）比?5大8的數(shù)是．
【答案】3
【分析】本題考查了有理數(shù)加法運算，計算?5+8即可求解．
【詳解】解：比?5大8的數(shù)是：?5+8=3，
故答案為：3．
【變式2-2】（23-24七年級·山西臨汾·階段練習）下面是小亮同學做的4道題，①?100+?8=?2；②0+?20=?20；③+?2023+2023=?4046；④?2023++23=?2000；其中答對的有（）
A．1道B．2道C．3道D．4道
【答案】B
【分析】根據(jù)有理數(shù)加法運算法則進行解答即可．
【詳解】解：①?100+?8=?108，故原算式計算錯誤；
②0+?20=?20，計算正確；
③+?2023+2023=0，故原算式計算錯誤；
④?2023++23=?2000計算正確．
所以，答對的有2道．
故選：B．
【點睛】本題主要考查了有理數(shù)加法運算，熟練掌握相關運算法則是解題關鍵．
【變式2-3】（23-24七年級·河南新鄉(xiāng)·階段練習）中國人最先使用負數(shù)，魏晉時期的數(shù)學家劉徽在“正負術(shù)”的注文中指出，可將算籌（小棍形狀的記數(shù)工具）正放表示正數(shù)，斜放表示負數(shù)，如圖，根據(jù)劉徽的這種表示法，圖1可列式計算為+1+?1=0，由此可推算圖2中計算所得的結(jié)果為（）
A．+1B．+7C．?1D．?7
【答案】C
【分析】根據(jù)圖示得出兩個數(shù)，然后再進行求和得出答案．本題主要考查的是有理數(shù)的加法與閱讀理解型，屬于基礎題型．理解題意是解題的關鍵．
【詳解】解：由題意得：+4+?5=?1，
故選：C．
知識點2：運算律
1）加法交換律：兩個數(shù)相加，交換加數(shù)的位置，和不變；即a+b＝b+a。
2）加法結(jié)合律：三個數(shù)相加，先把前兩個數(shù)相加，或者先把后兩個數(shù)相加，和不變；即(a+b)+c＝a+(b+c)。
注意：1）利用加法交換律、結(jié)合律，可以使運算簡化，認識運算律對于理解運算有很重要的意義。
2）注意兩種運算律的正用和反用，以及混合運用。
【題型3 有理數(shù)的加法運算律】
【例3】（23-24七年級·廣東中山·期中）下列變形，運用加法運算律正確的是（）
A．3+?2=2+3B．4+?6+3=?6+4+3
C．5+?2+4=5+?4+2D．16+?1++56=16+56++1
【答案】B
【分析】根據(jù)有理數(shù)加法的交換律與結(jié)合律逐項判斷即可得．
【詳解】解：A．3+?2=?2+3，則此項錯誤，不符合題意；
B．4+?6+3=?6+4+3，則此項正確，符合題意；
C．5+?2+4=5+4+?2，則此項錯誤，不符合題意；
D．16+?1++56=16+56+?1，則此項錯誤，不符合題意；
故選：B．
【點睛】本題考查了有理數(shù)加法的運算律，熟練掌握有理數(shù)加法的交換律與結(jié)合律是解題關鍵．
【變式3-1】（23-24七年級·江西南昌·期中）計算2?4+6?8+10=(2+6+10)+(?4?8)時，運用了加法（）
A．交換律B．結(jié)合律C．分配律D．交換律與結(jié)合律
【答案】D
【分析】計算2?4+6?8+10=(2+6+10)+(?4?8)，先運用加法交換律把6和10的位置-4和-8與交換，然后根據(jù)加法結(jié)合律把正數(shù)和負數(shù)分別結(jié)合在一起．
【詳解】解：2?4+6?8+10
=2+6+10?4?8（加法交換律）
=(2+6+10)+(?4?8) （加法結(jié)合律）
故選：D．
【點睛】本題是考查加法交換律與結(jié)合律的應用，屬于基礎知識，要掌握．
【變式3-2】（23-24七年級·全國·課堂例題）計算：1+2+3+?+2023+?1+?2+?3+?+?2024．
【答案】?2024
【分析】根據(jù)有理數(shù)加法的交換律與結(jié)合律進行計算即可得．
【詳解】解：原式=1+?1+2+?2+3+?3+?+2023+?2023+?2024
=0+0+0+?+0+?2024
=?2024．
【點睛】本題考查了有理數(shù)的加法，熟練掌握有理數(shù)加法的交換律與結(jié)合律是解題關鍵．
【變式3-3】（23-24七年級·全國·課堂例題）計算?5.13??4.62+?8.47??2.38時，先把減法轉(zhuǎn)化為加法可得，觀察算式我們可以利用“湊整”法，利用加法的運算律將算式轉(zhuǎn)化為 = + = ．
【答案】 ?5.13++4.62+?8.47++2.38 ?5.13+?8.47++4.62++2.38 ?13.6 7 ?6.6
【分析】先把有理數(shù)加減混合運算統(tǒng)一轉(zhuǎn)化成加法運算，再利用有理數(shù)加法運算律進行計算．
【詳解】解：計算?5.13??4.62+?8.47??2.38時，
先把減法轉(zhuǎn)化為加法可得?5.13++4.62+?8.47++2.38，
觀察算式我們可以利用“湊整”法，利用加法的運算律將算式轉(zhuǎn)化為?5.13+?8.47++4.62++2.38=?13.6+7=?6.6．
故答案為：①?5.13++4.62+?8.47++2.38，②?5.13+?8.47++4.62++2.38，③?13.6，④7，⑤?6.6．
【點睛】本題主要考查了有理數(shù)加法運算以及加法運算律的知識，熟練掌握相關運算法則和運算律是解題關鍵．
【題型4 巧用拆項法進行有理數(shù)的加法運算】
【例4】（23-24七年級·河南鄭州·期中）閱讀下面文字：
對于?3310+?112+235+212可以如下計算：
原式=?3+?310+?1+?12+2+35+2+12
=?3+?1+2+2+______
=0+______
=______．
上面這種方法叫拆項法．
(1)請補全以上計算過程；
(2)類比上面的方法計算：?202423+202334+?202256+202117．
【答案】(1)?310+?12+35+12；?310+35；310
(2)?21728，過程見詳解。
【分析】本題考查了有理數(shù)的加法，解題的關鍵是熟練掌握有理數(shù)的加法運算法則．
（1）根據(jù)有理數(shù)的加法法則計算；
（2）參照（1）的解題思路解題即可．
【詳解】（1）解：?3310+?112+235+212可以如下計算：
原式=?3+?310+?1+?12+2+35+2+12，
=?3+?1+2+2+?310+?12+35+12
=0+?310+35
=310.
故答案為：?310+?12+35+12；?310+35；310
（2）解：?202423+202334+?202256+202117
=?2024+?23+2023+34+?2022+?56+2021+17
=?2024+2023+?2022+2021+?23+34+?56+17
=?2+?1728
=?21728.
【變式4-1】計算：
?201956+?201823+403623+?112
【答案】?313，計算過程見解析
【分析】將各帶分數(shù)依據(jù)已知題的拆分方法分別拆分，再將整數(shù)部分、分數(shù)部分分別相加，根據(jù)有理數(shù)的加法法則進行計算即可得到答案.
【詳解】解：原式＝(?2019)+(?56)+(?2018)+(?23)+(4036+23)+(?1)+(?12)
＝[(－2 019)＋(－2 018)＋4 036＋(－1)]＋(?56)+(?23)+23+(?12)
＝(－2)＋(?43)
＝?313.
【點睛】此題考查了有理數(shù)的加法法則，利用拆分法進行計算，正確理解已知中的解題方法并正確解題是關鍵.
【變式4-2】（23-24七年級·四川成都·階段練習）(1)計算：?1723+1634+?1513?212；
(2)計算?200056+?199923+400023+?112．
【答案】(1)?1834；
(2)?43．
【分析】（1）先將各帶分數(shù)拆分成一個整數(shù)與真分數(shù)的和，再利用有理數(shù)加法的交換律與結(jié)合律進行計算即可得；
（2）先將各帶分數(shù)拆分成一個整數(shù)與真分數(shù)的和，再利用有理數(shù)加法的交換律與結(jié)合律進行計算即可得；
本題考查了有理數(shù)加法的運算法則和運算律，熟練掌握運算法則和運算律是解題的關鍵．
【詳解】（1）解：?1723+1634+?1513?212
=[(?17)+16+?15+(?2)]+?23+34+?13+?12
=?18+?34，
=?1834；
（2）解：?200056+?199923+400023+?112
=[(?2000)+?1999+4000+(?1)]+?56+?23+23+?12
=0+?43，
=?43．
【變式4-3】（23-24七年級·全國·假期作業(yè)）計算：?2022724+?202158+?116+4044．
【答案】?1112
【分析】此題考查了有理數(shù)的加法計算，先將帶分數(shù)拆分，利用加法交換律和結(jié)合律進行計算即可，熟練掌握運算法則是解題的關鍵．
【詳解】解：?2022724+?202158+?116+4044
=?2022+?724+?2021+?58+?1+?16+4044
=?2022+?2021+?1+4044+?724+?58+?16
=0+?1312
=?1112．
【題型5 有理數(shù)加法中的規(guī)律問題】
【例5】（23-24七年級·江西上饒·期中）把所有正整數(shù)從小到大排列，并按如下規(guī)律分組：
（1），(2， 3， 4)，(5，6，7，8，9)，(10， 11，12， 13， 14， 15， 16)，…，現(xiàn)用等式 AM=(i，j)表示正整數(shù) M 是第i 組第 j 個數(shù)(從左往右數(shù))，如A8=(3，4)，則A2020=( )
A．(44，81)B．(44，82)C．(45，83)D．(45，84)
【答案】D
【分析】根據(jù)排列規(guī)律，先判斷2020在第幾組，再判斷是這一組的第幾個數(shù)即可求解；
【詳解】設2020在第n組，組與組之間的數(shù)字個數(shù)規(guī)律可以表示為：2n-1
則1+3+5+7+???+(2n-1)=12×2n×n=n2，
當n=44時，n2=1936 ，
當n=45時，n2=2025，
∴ 2020在第45組，且2020-1936=84，即2020為第45組的第84個數(shù)；
故選：D．
【點睛】本題考查數(shù)字類的規(guī)律探究、有理數(shù)的加法運算，善用聯(lián)想探究數(shù)字規(guī)律是解決此類問題的常用方法.
【變式5-1】（23-24七年級·全國·專題練習）小明同學在上樓梯時發(fā)現(xiàn)，若只有一個臺階時，有一種走法；若有兩個臺階時，可以一階一階地上，或者一步上兩個臺階，共有2種走法；如果他一步只能上一個或者兩個臺階，根據(jù)上述規(guī)律，有三個臺階時，他有3種走法，那么有四個臺階時，共有走法（）
A．3種B．4種C．5種D．6種
【答案】C
【分析】根據(jù)題意可知：當有四個臺階時，可分情況討論：①逐級上，那么有一種走法；②上一個臺階和上二個臺階合用，那么有共三種走法；③一步走兩個臺階，只有一種走法；所以可求得有五種走法．注意分類討論思想的應用．
【詳解】當有四個臺階時，可分情況討論：
①逐級上，那么有一種走法；
②上一個臺階和上二個臺階合用，那么有：
1、1、2；1、2、1；2、1、1；
共三種走法；
③一步走兩個臺階，只有一種走法：2、2；
綜上可知：共5種走法．
故選C．
【點睛】本題屬規(guī)律性題目，解答此題的關鍵是根據(jù)所給的條件，列舉出可能走的方法解答．
【變式5-2】（23-24七年級·山東日照·階段練習）一跳蚤在一直線上從O點開始，第1次向右跳1個單位，緊接著第2次向左跳2個單位，第3次向右跳3個單位，第4次向左跳4個單位…，依此規(guī)律跳下去，當它跳第2000次落下時，落點處位于O點的（）
A．右側(cè)500個單位B．左側(cè)500個單位
C．右側(cè)1000個單位D．左側(cè)1000個單位
【答案】D
【分析】設從點O向右為正，向左為負．根據(jù)正負數(shù)的意義列出式子計算即可．
【詳解】解：設從點O向右為正，向左為負，
由題意得最后的位置標示的數(shù)即為：1+?2+3+?4+…+(?2000)，
觀察可以發(fā)現(xiàn)，1+?2=?1，3+?4=?1，5+?6=?1，
∴1+?2+3+?4+…+(?2000)=?1×20002=?1000，
∴此時跳蚤在原點左側(cè)1000個單位，
故選D．
【點睛】此題主要考查有理數(shù)加法在實際生活中的應用，解答本題的關鍵是會用正負數(shù)來表示一對具有相反意義的量．同時在計算的過程中，能正確找到規(guī)律．
【變式5-3】（23-24七年級·浙江臺州·階段練習）觀察下面的幾個算式：
1＋2＋1＝4＝2×2；1＋2＋3＋2＋1＝9＝3×3；
1＋2＋3＋4＋3＋2＋1＝16＝4×4；1+2+3+4+5+4+3+2+1=25=5×5．
根據(jù)上面幾道題的規(guī)律，計算下面的題：
1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1的值為
【答案】81
【分析】先找題上幾個算式的規(guī)律，1＋2＋1＝4＝2×2，前面加數(shù)最中間是2，則答案是2×2；
1＋2＋3＋2＋1＝9＝3×3，前面加數(shù)最中間是3，則答案是3×3；1＋2＋3＋4＋3＋2＋1＝16＝4×4，前面加數(shù)最中間是4，則答案是4×4；1+2+3+4+5+4+3+2+1=25=5×5,前面加數(shù)最中間是5，則答案是5×5；由此推出規(guī)律計算即可.
【詳解】先找題上幾個算式的規(guī)律，1＋2＋1＝4＝2×2，前面加數(shù)最中間是2，則答案是2×2；
1＋2＋3＋2＋1＝9＝3×3，前面加數(shù)最中間是3，則答案是3×3；1＋2＋3＋4＋3＋2＋1＝16＝4×4，前面加數(shù)最中間是4，則答案是4×4；1+2+3+4+5+4+3+2+1=25=5×5,前面加數(shù)最中間是5，則答案是5×5；則1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1，最中間加數(shù)是9，則答案是9×9=81，故答案為81.
【點睛】本題主要是對有理數(shù)規(guī)律問題的考查，準確找到規(guī)律并計算是解決本題的關鍵.
【題型6 有理數(shù)加法的實際應用】
【例6】（23-24七年級·北京·期中）德勝中學在勞動節(jié)中組織學生進行農(nóng)作物種植實踐活動．已知某種農(nóng)作物種植完成共需A、B、C、D、E、F、G七個步驟，種植要求如下：
①步驟C、D須在步驟A完成后進行，步驟E須在步驟B、D都完成后進行，步驟F須在步驟C、D都完成后進行；
②一個步驟只能由一名學生完成，此步驟完成后該學生才能進行其他步驟；
③各個步驟所需時間如下表所示：
在不考慮其他因素的前提下，若由一名學生單獨完成此種農(nóng)作物種植，則需要分鐘；若由兩名學生合作完成此種農(nóng)作物種植，則最少需要分鐘．
【答案】 61 31
【分析】本題考查了邏輯推理與時間統(tǒng)籌，根據(jù)種植要求得出種植步驟是解題的關鍵．
將所有步驟需要的時間相加即可得出由一名學生單獨完成需要的時間；假設這兩名學生為甲、乙，根據(jù)加工要求可知甲學生做步驟A，乙學生同時做步驟B；然后甲學生做步驟D，乙學生同時做步驟C，乙學生步驟C完成后接著做步驟G；最后甲學生做步驟F，乙學生同時做步驟E，然后可得答案．
【詳解】解：由題意，得：10+10+8+10+8+11+4=61(分鐘)，
即：一名學生單獨完成需要61分鐘，
假設這兩名學生為甲、乙，
∵步驟C，D須在步驟A完成后進行，步驟E須在步驟B，D都完成后進行，且步驟A，B都需要10分鐘完成，
∴甲學生做步驟A，乙學生同時做步驟B，需要10分鐘，然后甲學生做步驟D，乙學生同時做步驟C，乙學生步驟C完成后接著做步驟G，需要12分鐘，但此時甲同學后面多兩分鐘剩余，最后甲學生做步驟F，乙學生同時做步驟E，還需要9分鐘(減去前面剩余2分鐘)，
如下圖所示：
∴若由兩名學生合作完成此木藝藝術(shù)品的加工，最少需要10+12+9=31(分鐘)，
故答案為：61，31．
【變式6-1】（23-24七年級·貴州貴陽·期末）張燁同學每天從家到學校要走1.5km，他的家與學校、超市在一條東西走向的大街上，且張燁家在學校和超市的正中間．若把張燁家、學校、超市分別看成一個點，大街看成一條直線．一天早上，張燁從家出發(fā)，先去超市買筆記本，再到學校，他一共走的路程為（）
A．1.5kmB．3kmC．4.5kmD．6km
【答案】C
【分析】此題考查了有理數(shù)加法運算的實際應用，根據(jù)題意列出算式求解即可．
【詳解】根據(jù)題意得，1.5+1.5+1.5=4.5km．
∴他一共走的路程為4.5km．
故選：C．
【變式6-2】（23-24七年級·全國·假期作業(yè)）一個實驗室里有10個柜子．分別用10把不同的鎖鎖著，但10把鑰匙很相像，管理員又忘了鑰匙編號（1把鑰匙只能開1把鎖，不能混用）．從最壞的情況考慮，至多要試開幾次才能把10把鎖都打開？
【答案】55
【分析】本題考查有理數(shù)加法的實際應用，最多試幾次，就是要從最壞的情況來考慮，開第一把鎖，從最壞的情況考慮，試了9次還沒成功，第10次一定能打開這把鎖，要開10把不同的鎖的嘗試的次數(shù)相加即可．
【詳解】解：第1把鎖最多試開10次一定能打開，第2把鎖最多試開9次一定能打開……第10把鎖只要試開1次就能打開．所以只需試開1+2+3+???+9+10=55（次）．
答：至多要試開55次才能把10把鎖都打開．
【變式6-3】（23-24七年級·全國·競賽）希希、望望、貝貝三個人在火車上斗地主，地主贏一局積2分，輸一局積負2分，農(nóng)民贏一局積1分，輸一局積負1分．10局之后希希、望望、貝貝三人得分的總和為．（提示：地主贏則兩個農(nóng)民都輸；農(nóng)民贏則兩個農(nóng)民都贏，地主輸．）
【答案】0/0分
【分析】本題考查數(shù)的運算，計算出每一局的積分和，從而求得10局積分總和．
【詳解】解：由題意，
每一局地主贏則兩個農(nóng)民都輸，此時三人得分總和為2+?1+?1=0分；
每一局農(nóng)民贏則兩個農(nóng)民都贏，地主輸，此時三人得分總和為2+?1+?1=0分；
∴10局之后希希、望望、貝貝三人得分的總和為0分，
故答案為：0．
【題型7 利用有理數(shù)的加法解決幻方問題】
【例7】（23-24七年級·遼寧阜新·期末）把夏禹時代的“洛書”用數(shù)學符號翻譯出來就是一個三階幻方，它的每行、每列、每條對角線上三個數(shù)之和均相等，則幻方中a?b的值是．
【答案】?3
【分析】
本題主要考查了有理數(shù)的加法，解決此題的關鍵利用中心數(shù)求幻和，再由幻和與已知數(shù)求得a、b，最后是有理數(shù)的加法．
根據(jù)三階幻方的特點，三階幻方的中心數(shù)，可得三階幻方的和，根據(jù)三階幻方的和，可得a、b的值，根據(jù)有理數(shù)的減法，可得答案．
【詳解】
解：根據(jù)幻方的性質(zhì)，
則a+9=8+5，
所以a=4，
而a+8=5+b，
則b=7，
故a?b=4?7=?3，
故答案為：?3．
【變式7-1】（23-24七年級·山東青島·期中）如圖是根據(jù)幻方改編的“幻圓”游戲，將?3，2，?1，0，1，?2，3，?4分別填入圖中的圓圈內(nèi)，使橫行、豎列以及內(nèi)外兩圈上的4個數(shù)字之和都相等．已知圖中a，b，c，d分別表示一個數(shù)，則a+b的值是（）
A．?4B．1C．?2或3D．?2
【答案】C
【分析】本題考查有理數(shù)的加法，根據(jù)題意利用有理數(shù)的加法法則進行計算即可．掌握有理數(shù)的加法法則是解題的關鍵．
【詳解】解：?3+2?1+0+1?2+3?4=?4，
所以內(nèi)外兩圈上以及橫、豎上的4個數(shù)字之和都為?2，
所以a=?2?(3?2?4)=1，
所以d=?2?(?2+0+1)=?1，
故b=?3或2，
所以a+b=?2或3．
故選：C．
【變式7-2】（23-24七年級·全國·課后作業(yè)）【閱讀材料】“九宮圖”源于我國古代夏禹時期的“洛書”（圖1所示），是世界上最早的矩陣，又稱“幻方”，用今天的數(shù)學符號翻譯出來，“洛書”就是一個三階“幻方”（圖2所示）．
【規(guī)律總結(jié)】觀察圖1、圖2，根據(jù)“九宮圖”中各數(shù)字之間的關系，我們可以總結(jié)出“幻方”需要滿足的條件是；
若圖3是一個“幻方”，則b= ．
【答案】每一行、每一列和每條對角線上各個數(shù)之和都相等 0
【分析】計算每橫行、每豎行、每條對角線上的三數(shù)和，便可回答結(jié)果；根據(jù)題意確定出“幻方”需要的條件，即可確定出b的值．
【詳解】解：觀察圖1、圖2，根據(jù)“九宮圖”中各數(shù)字之間的關系，我們可以總結(jié)出“幻方”需要滿足的條件是：每一行、每一列和每條對角線上各個數(shù)之和都相等；
因為(?1)+1+3=3，所以b+5+(?2)=3，所以b=0．
故答案為：每一行、每一列和每條對角線上各個數(shù)之和都相等，0
【點睛】此題考查了有理數(shù)的加法，弄清題意是解本題的關鍵．
【變式7-3】（23-24七年級·江蘇無錫·期中）中國古代數(shù)學書《數(shù)術(shù)拾遺》是最早記載有關幻方的文字．如圖是一個簡單的幻方模型，將?1，?2，?3，1，2，3，4，5分別填入圖中的圓圈內(nèi)，使得每個三角形的三個頂點上的數(shù)之和都與中間正方形四個頂點上的數(shù)之和相等，若已經(jīng)把?1、?3這兩個數(shù)填入了圓圈，則ab+cd的值為．

【答案】2
【分析】先設d左邊的圓圈內(nèi)數(shù)字為e，另一個圓圈內(nèi)數(shù)字為f，根據(jù)每個三角形的三個頂點上的數(shù)字之和都與中間正方形四個頂點上的數(shù)字之和相等，可先求出b，再根據(jù)e+d?1=c+d+2=e+f?3=a?1，求出d和e，最后求出a和c，即可求出ab+cd的值．
【詳解】解：設d左邊的圓圈內(nèi)數(shù)字為e，另一個圓圈內(nèi)數(shù)字為f，
根據(jù)題意可知，b+d+e?3=d+e?1，
∴b?6=?1，
∴b=2，
∵e+d?1=c+d+2，e+d?1=e+f?3，e+d?1=a?1，
∴3e+d?1=c+d+2+e+f?3+a?1=?1+?2+?3+1+2+3+4+5=9，
∴e+d?1=3，e=c+3，d=f?2，
∴e+d=4，e=c+3，d=f?2，
∵已填?1、?3，而且b=2，
∴e、d只能從?2，1，3，4，5中選，
∴e=1，d=3或e=3，d=1，
當e=1，d=3時，a=4，c=?2符合題意；
當e=3，d=1時，c=0不符合題意，舍去；
∴a=4，c=?2，
∴ab+cd=2，
故答案為：2．
【點睛】此題主要考查了有理數(shù)加法的運算方法，以及幻方的特征和應用，要熟練掌握．
【題型8 有理數(shù)加法中的新定義問題】
【例8】（23-24七年級·上?！ぜ倨谧鳂I(yè)）定義一種新運算“△”滿足：8△3=8+9+10=27，7△4=7+8+9+10=34，6△5=6+7+8+9+10=40，求1△10．
【答案】55
【分析】根據(jù)新的運算，從“△”前面的數(shù)開始進行連續(xù)自然相加，“△”后面的數(shù)連續(xù)相加的個數(shù)，利用規(guī)律即可求解．
【詳解】由8△3=8+9+10=27，7△4=7+8+9+10=34，6△5=6+7+8+9+10=40，可得：
1△10=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55．
【點睛】此題考查定義新運算，解此題的關鍵是觀察規(guī)律進行運算．
【變式8-1】（23-24七年級·山東青島·期中）定義一種運算，設x表示不超過x的最大整數(shù)，例如2.25=2，?1.5=?2 ，據(jù)此規(guī)定計算?3.73+1.4的值為( )
A．?3B．?2C．?1D．4
【答案】A
【分析】本題主要考查了新定義，有理數(shù)的加法計算，根據(jù)新定義分別求出?3.73=?4，1.4=1，再根據(jù)有理數(shù)的加法計算法則求解即可．
【詳解】解：由題意得，?3.73=?4，1.4=1，
∴?3.73+1.4=?4+1=?3，
故選A．
【變式8-2】（23-24七年級·甘肅定西·階段練習）定義一種新運算：a*b=a+1b，如：1*2=1+12=32，則1*2*3= ．
【答案】107
【分析】先根據(jù)新定義求出2*3=73，再計算出1*73的結(jié)果即可．
【詳解】解：∵a*b=a+1b，
∴2*3=2+13=73，
∴1*2*3
=1*73
=1+37
=107，
故答案為：107．
【點睛】本題主要考查了有理數(shù)的加法計算，正確理解所給的新定義是解題的關鍵．
【變式8-3】（23-24七年級·湖南長沙·期中）探究規(guī)律，完成相關題目：對非零數(shù)定義一種新的運算，叫※（宏）運算．
下列是一些按照※（宏）運算的運算法則進行運算的算式；+5※+2=+7；?3※?5=+8；?3※+4=?1；+5※?8=?3．
(1)我們在研究有理數(shù)的加法運算時，既要考慮符號，又要考慮絕對值．請你類比有理數(shù)加法的運算法則，歸納※（宏）運算的運算法則；同號兩數(shù)進行※（宏）運算時，異號兩數(shù)進行※（宏）運算時．
(2)計算：?3※+1※?4= ．（括號的作用與它在有理數(shù)運算中的作用一致）
(3)我們知道加法有交換律和結(jié)合律，請你判斷交換律和結(jié)合律在※（宏）運算中是否適用，如果適用只需作出判斷，如果不適用，舉反例說明．（舉一個例子即可）
【答案】(1)同號得正，并把它們的絕對值相加；異號得負，并用較大的絕對值減去較小的絕對值
(2)6
(3)加法交換律適用，加法結(jié)合律不適用，例子見解析
【分析】（1）根據(jù)題目中的例子可以總結(jié)出※（宏）運算的運算法則；
（2）根據(jù)（1）中的結(jié)論可以解答本題，注意運算順序；
（3）根據(jù)（1）中的結(jié)論分別采用加法交換律和結(jié)合律計算可以解答本題．
【詳解】（1）解：由題意可得，
歸納※（宏)運算的運算法則：同號兩數(shù)進行※（宏)運算時，同號得正，并把它們的絕對值相加，異號兩數(shù)進行※（宏)運算時，異號得負，并用較大的絕對值減去較小的絕對值；
故答案為：同號得正，并把它們的絕對值相加；異號得負，并用較大的絕對值減去較小的絕對值．
（2）解：?3※+1※?4，
=?3※?3，
=6，
故答案為：6；
（3）解：∵?2※+3=?1，?3※+2=?1．
∴加法交換律適用；
∵+4※?1※+2=?3※+2=?1，
+4※?1※+2=+4※?1=?3，
而?1≠?3，
∴加法結(jié)合律不適用．
【點睛】本題考查有理數(shù)的加法運算，解答本題的關鍵是明確有理數(shù)的加法運算的計算方法．步驟
A
B
C
D
E
F
G
所需時間t分鐘
10
10
8
10
8
11
4

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