【知識要點】
知識點一 勾股定理
勾股定理的概念：如果直角三角形的兩直角邊分別為，，斜邊為，那么。
變式：，，,,.
適用范圍：勾股定理揭示了直角三角形三條邊之間所存在的數(shù)量關系，它只適用于直角三角形，因而在應用勾股定理時，必須明了所考察的對象是直角三角形。
用拼圖的方法驗證勾股定理的思路是：
1）圖形進過割補拼接后，只要沒有重疊，沒有空隙，面積不會改變
2）根據同一種圖形的面積不同的表示方法，列出等式，推導出勾股定理
勾股定理的證明方法：
方法一（圖一）：，，化簡可證．
方法二（圖二）：四個直角三角形的面積與小正方形面積的和等于大正方形的面積．
四個直角三角形的面積與小正方形面積的和為
大正方形面積為，所以
方法三（圖三）：，，化簡得證
圖一 圖二 圖三
知識點二 勾股數(shù)
勾股數(shù)概念：能夠構成直角三角形的三邊長的三個正整數(shù)稱為勾股數(shù)，即中，，，為正整數(shù)時，稱，，為一組勾股數(shù)
常見的勾股數(shù)：如；；；等
擴展：用含字母的代數(shù)式表示組勾股數(shù)：
1）（為正整數(shù)）；
2）（為正整數(shù)）
3）（，為正整數(shù)）
注意：每組勾股數(shù)的相同整數(shù)倍，也是勾股數(shù)。
知識點三 勾股定理的逆定理
勾股定理的逆定理內容：如果三角形三邊長，，滿足，那么這個三角形是直角三角形，其中為斜邊
【注意】
1）勾股定理的逆定理是判定一個三角形是否是直角三角形的一種重要方法，它通過“數(shù)轉化為形”來確定三角形的可能形狀，在運用這一定理時，可用兩小邊的平方和與較長邊的平方作比較，若它們相等時，以，，為三邊的三角形是直角三角形；若，時，以，，為三邊的三角形是鈍角三角形；若，時，以，，為三邊的三角形是銳角三角形；
2)定理中，，及只是一種表現(xiàn)形式，不可認為是唯一的，如若三角形三邊長，，滿足，那么以，，為三邊的三角形是直角三角形，但是為斜邊
3)勾股定理的逆定理在用問題描述時，不能說成：當斜邊的平方等于兩條直角邊的平方和時，這個三角形是直角三角形
知識點四 直角三角形的性質與判定
性質：1）直角三角形的兩個銳角互余。
2）直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。
3）直角三角形中30°角所對的邊是斜邊的一半。
判定：1）有一個角是直角的三角形是直角三角形。
2）如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形。
3）勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長a，b，c有關系，那么這個三角形是直角三角形。
考查題型一 由勾股定理解三角形
典例1．（2022·浙江金華·中考真題）如圖是城市某區(qū)域的示意圖，建立平面直角坐標系后，學校和體育場的坐標分別是，下列各地點中，離原點最近的是（ ）
A．超市B．醫(yī)院C．體育場D．學校
【答案】A
【分析】根據學校和體育場的坐標建立直角坐標系，利用勾股定理求出各點到原點的距離，由此得到答案．
【詳解】解：根據學校和體育場的坐標建立直角坐標系，
超市到原點的距離為，
醫(yī)院到原點的距離為，
學校到原點的距離為，
體育場到原點的距離為，
故選：A．
【點睛】此題考查了根據點坐標確定原點，勾股定理，正確理解點坐標得到原點的位置及正確展望勾股定理的計算是解題的關鍵．
變式1-1．（2022·陜西·中考真題）如圖，是的高，若，，則邊的長為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先解直角求出AD，再在直角中應用勾股定理即可求出AB．
【詳解】解：∵，
∴，
∵直角中，，
∴，
∴直角中，由勾股定理可得，．
故選D．
【點睛】本題考查利用銳角函數(shù)解直角三角形和勾股定理，難度較小，熟練掌握三角函數(shù)的意義是解題的關鍵．
變式1-2．（2022·湖南邵陽·中考真題）如圖，⊙O是等邊△ABC的外接圓，若AB=3，則⊙O的半徑是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】作直徑AD，連接CD，如圖，利用等邊三角形的性質得到∠B=60°，關鍵圓周角定理得到∠ACD=90°，∠D=∠B=60°，然后利用含30度的直角三角形三邊的關系求解．
【詳解】解：作直徑AD，連接CD，如圖，
∵△ABC為等邊三角形，
∴∠B=60°，
∵AD為直徑，
∴∠ACD=90°，
∵∠D=∠B=60°，則∠DAC=30°，
∴CD=AD，
∵AD2=CD2+AC2，即AD2=(AD)2+32，
∴AD=2，
∴OA=OB=AD=．
故選：C．
【點睛】本題考查了三角形的外接圓與外心：三角形外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點，叫做三角形的外心．也考查了等邊三角形的性質、圓周角定理和含30度的直角三角形三邊的關系．
變式1-3．（2022·甘肅蘭州·中考真題）如圖，菱形ABCD的對角線AC與BD相交于點O，E為AD的中點，連接OE，，，則（ ）
A．4B．C．2D．
【答案】C
【分析】根據菱形的性質得出，，再由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊一半得出．利用菱形性質、直角三角形邊長公式求出，進而求出．
【詳解】是菱形，E為AD的中點，
，．
是直角三角形，．
，，
，．
，即，
，．
故選：C．
【點睛】本題主要考查菱形、直角三角形的性質的理解與應用能力．解題關鍵是得出并求得．求解本題時應恰當理解并運用菱形對角線互相垂直且平分、對角相等，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊一半的性質．
變式1-4．（2022·廣西桂林·中考真題）如圖，在ABC中，∠B＝22.5°，∠C＝45°，若AC＝2，則ABC的面積是（ ）
A．B．1+C．2D．2+
【答案】D
【分析】如圖，過點A作AD⊥AC于A，交BC于D，過點A作AE⊥BC于E，先證明△ADC是等腰直角三角形，得AD＝AC＝2，∠ADC＝45°，CD＝AC＝2，再證明AD＝BD，計算AE和BC的長，根據三角形的面積公式可解答．
【詳解】解：如圖，過點A作AD⊥AC于A，交BC于D，過點A作AE⊥BC于E，
∵∠C＝45°，
∴△ADC是等腰直角三角形，
∴AD＝AC＝2，∠ADC＝45°，CD＝AC＝2，
∵∠ADC＝∠B+∠BAD，∠B＝22.5°，
∴∠DAB＝22.5°，
∴∠B＝∠DAB，
∴AD＝BD＝2，
∵AD＝AC，AE⊥CD，
∴DE＝CE，
∴
∴△ABC的面積．
故選：D．
【點睛】本題考查的是勾股定理，等腰直角三角形的性質，三角形的面積，熟知掌握等腰三角形的性質是解本題的關鍵．
變式1-5．（2022·四川資陽·中考真題）如圖，正方形的對角線交于點O，點E是直線上一動點．若，則的最小值是( )
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本題為典型的將軍飲馬模型問題，需要通過軸對稱，作點A關于直線BC的對稱點，再連接，運用兩點之間線段最短得到為所求最小值，再運用勾股定理求線段的長度即可．
【詳解】解：如圖所示，作點A關于直線BC的對稱點，連接，其與BC的交點即為點E，再作交AB于點F，
∵A與關于BC對稱，
∴，，當且僅當，O，E在同一條線上的時候和最小，如圖所示，此時，
∵正方形，點O為對角線的交點，
∴，
∵對稱，
∴，
∴，
在中，，
故選：D．
【點睛】本題為典型的將軍飲馬模型，熟練掌握軸對稱的性質，并運用勾股定理求線段長度是解題關鍵。
變式1-6．（2022·湖北黃石·中考真題）如圖，正方形的邊長為，將正方形繞原點O順時針旋轉45°，則點B的對應點的坐標為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】連接OB，由正方形ABCD繞原點O順時針旋轉45°，推出，得到△為等腰直角三角形，點在y軸上，利用勾股定理求出O即可．
【詳解】解：連接OB，
∵正方形ABCD繞原點O順時針旋轉45°，
∴，，
∴，
∴△為等腰直角三角形，點在y軸上，
∵，
∴=2，
∴（0，2），
故選：D．
【點睛】本題考查了正方形的性質，旋轉的性質，特殊三角形的性質．關鍵是根據旋轉角證明點B1在y軸上．
變式1-7．（2022·山東青島·中考真題）如圖，O為正方形對角線的中點，為等邊三角形．若，則的長度為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用勾股定理求出AC的長度，再利用等邊三角形的性質即可解決問題．
【詳解】在正方形中：，
∴，
∵O為正方形對角線的中點，
∴，
∵為等邊三角形, O為的中點，
∴，，
∴,
∴,
故選：B．
【點睛】此題考查了正方形的性質，勾股定理，等邊三角形的性質，掌握以上知識點是解題的關鍵．
變式1-8．（2022·四川宜賓·中考真題）如圖，在矩形紙片ABCD中，，，將沿BD折疊到位置，DE交AB于點F，則的值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先根據矩形的性質和折疊的性質，利用“AAS”證明，得出，，設，則，根據勾股定理列出關于x的方程，解方程得出x的值，最后根據余弦函數(shù)的定義求出結果即可．
【詳解】解：∵四邊形ABCD為矩形，
∴CD=AB=5，AB=BC=3，，
根據折疊可知，，，，
∴在△AFD和△EFB中，
∴（AAS），
∴，，
設，則，
在中，，
即，
解得：，則，
∴，故C正確．
故選：C．
【點睛】本題主要考查了矩形的折疊問題，三角形全等的判定和性質，勾股定理，三角函數(shù)的定義，根據題意證明，是解題的關鍵．
變式1-9．（2022·四川成都·中考真題）若一個直角三角形兩條直角邊的長分別是一元二次方程的兩個實數(shù)根，則這個直角三角形斜邊的長是_________．
【答案】
【分析】由題意解一元二次方程得到或，再根據勾股定理得到直角三角形斜邊的長是．
【詳解】解：一個直角三角形兩條直角邊的長分別是一元二次方程的兩個實數(shù)根，
由公式法解一元二次方程可得，
根據勾股定理可得直角三角形斜邊的長是，
故答案為：．
【點睛】本題考查勾股定理求線段長，根據題意解出一元二次方程的兩根是解決問題的關鍵．
變式1-10．（2022·黑龍江牡丹江·中考真題）在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，AC=6，BC=8，CD=_______．
【答案】3．
【詳解】試題分析：如圖，過點D作DE⊥AB于E，
∵∠C=90°，AC=6，BC=8，
∴AB=，
∵AD平分∠CAB，
∴CD=DE，
∴S△ABC=AC?CD+AB?DE=AC?BC，
即×6?CD+×10?CD=×6×8，
解得CD=3．
變式1-11．（2022·甘肅武威·中考真題）如圖，菱形中，對角線與相交于點，若，，則的長為_________cm．
【答案】8
【分析】利用菱形對角線互相垂直且平分的性質結合勾股定理得出答案即可．
【詳解】解： 菱形中，對角線，相交于點，AC=4cm，
，，AO=OC=AC=2cm
cm，
cm，
cm，
故答案為：8．
【點睛】此題主要考查了菱形的性質以及勾股定理的應用，熟練掌握菱形的性質，運用勾股定理解直角三角形，是解題關鍵．
考查題型二 利用勾股定理解決折疊問題
典例2（2022·四川達州·中考真題）如圖，點E在矩形的邊上，將沿翻折，點A恰好落在邊上的點F處，若，，則的長為（ ）
A．9B．12C．15D．18
【答案】C
【分析】根據折疊的性質可得，設，則，則，在中勾股定理建列方程，求得，進而求得，根據，可得，即，求得，在中，勾股定理即可求解．
【詳解】解：∵四邊形是矩形，
∴，，
將沿翻折，點A恰好落在邊上的點F處，
,，
，，
設，則，，
在中，
即，
解得，
，
，，
，
，
，
，
，
在中，，
．
故選C．
【點睛】本題考查了矩形與折疊的性質，正切的定義，勾股定理，掌握折疊的性質以及勾股定理是解題的關鍵．
變式2-1．（2022·山東濟寧·中考真題）如圖，三角形紙片ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝3．沿過點A的直線將紙片折疊，使點B落在邊BC上的點D處；再折疊紙片，使點C與點D重合，若折痕與AC的交點為E，則AE的長是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據題意可得AD = AB = 2， ∠B = ∠ADB， CE= DE， ∠C=∠CDE，可得∠ADE = 90°，繼而設AE=x，則CE=DE=3-x，根據勾股定理即可求解．
【詳解】解：∵沿過點A的直線將紙片折疊，使點B落在邊BC上的點D處，
∴AD = AB = 2， ∠B = ∠ADB，
∵折疊紙片，使點C與點D重合，
∴CE= DE， ∠C=∠CDE，
∵∠BAC = 90°，
∴∠B+ ∠C= 90°，
∴∠ADB + ∠CDE = 90°，
∴∠ADE = 90°，
∴AD2 + DE2 = AE2，
設AE=x，則CE=DE=3-x，
∴22+(3-x)2 =x2，
解得
即AE=
故選A
【點睛】本題考查了折疊的性質，勾股定理，掌握折疊的性質以及勾股定理是解題的關鍵．
變式2-2．（2021·山東棗莊·中考真題）如圖，三角形紙片ABC，AB=AC，∠BAC=90°，點E為AB中點，沿過點E的直線折疊，使點B與點A重合，折痕現(xiàn)交于點F，已知EF=，則BC的長是（ ）
A．B．3C．3D．3
【答案】B
【分析】折疊的性質主要有：1.重疊部分全等；2.折痕是對稱軸,對稱點的連線被對稱軸垂直平分. 由折疊的性質可知,所以可求出∠AFB=90°，再直角三角形的性質可知,所以,的長可求，再利用勾股定理即可求出BC的長．
【詳解】解：


AB＝AC，
,
故選B.
【點睛】本題考查了折疊的性質、等腰直角三角形的判斷和性質以及勾股定理的運用，求出∠AFB=90°是解題的關鍵．
變式2-3．（2021·四川巴中·中考真題）如圖，矩形AOBC的頂點A、B在坐標軸上，點C的坐標是(﹣10，8)，點D在AC上，將BCD沿BD翻折，點C恰好落在OA邊上點E處，則tan∠DBE等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先根據四邊形ABCD是矩形，C（-10，8），得出BC=AO=10，AC=OB=8，∠A=∠O=∠C=90°，再由折疊的性質得到CD=DE，BC=BE=10，∠DEB=∠C=90°，利用勾股定理先求出OE的長，即可得到AE，再利用勾股定理求出DE，利用求解即可.
【詳解】解：∵四邊形ABCD是矩形，C（-10，8），
∴BC=AO=10，AC=OB=8，∠A=∠O=∠C=90°，
由折疊的性質可知：CD=DE，BC=BE=10，∠DEB=∠C=90°，
在直角三角形BEO中：，
∴，
設，則
在直角三角形ADE中：，
∴，
解得，
∴，
∵∠DEB=90°，
∴，
故選D.
【點睛】本題主要考查了矩形的性質，折疊的性質，勾股定理，三角函數(shù)，解題的關鍵在于能夠熟練掌握相關知識進行求解.
變式2-4．（2022·甘肅蘭州·中考真題）如圖，在矩形紙片ABCD中，點E在BC邊上，將沿DE翻折得到，點F落在AE上．若，，則______cm．
【答案】
【分析】由將△CDE沿DE翻折得到△FDE，點F落在AE上，可得EF=CE=3cm，CD=DF，∠DEC=∠DEF，由矩形的性質得∠DFE=∠C=90°=∠DFA，從而得AF=6cm，AD=AE=9cm，進而由勾股定理既可以求解。
【詳解】解：∵將△CDE沿DE翻折得到△FDE，點F落在AE上，，四邊形ABCD是矩形，
∴EF=CE=3cm，CD=DF，∠DEC=∠DEF，∠DFE=∠C=90°=∠DFA，
∵AF=2EF，
∴AF=6cm，
∴AE=AF+EF=6+3=9(cm)，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB=CD=DF，，
∴∠ADE=∠DEC=∠DEF，
∴AD=AE=9cm，
∵在Rt△ADF中，AF2+DF2=AD2
∴62+DF2=92，
∴DF= (cm)，
AB=DF= (cm)，
故答案為∶．
【點睛】本題考查矩形的性質、勾股定理及軸對稱，熟練掌握軸對稱的性質是解題的關鍵．
變式2-5．（2022·遼寧鞍山·中考真題）如圖，在中，，，，點，分別在，上，將沿直線翻折，點的對應點恰好落在上，連接，若，則的長為_________．
【答案】7.5
【分析】在中，利用勾股定理求出的長，然后根據得出，再根據折疊的性質可得．根據求得的長．
【詳解】解：在中，
，
，，
．
，
，
，
．
．
．
．
將沿直線翻折，點的對應點恰好落在上，
．
．
故答案為：7.5．
【點睛】本題考查了直角三角形的性質、勾股定理，解題的關鍵是在直角三角形中根據通過推理論證得到是斜邊上的中線．
變式2-6．（2022·浙江麗水·中考真題）如圖，將矩形紙片折疊，使點B與點D重合，點A落在點P處，折痕為．
(1)求證：；
(2)若，求的長．
【答案】(1)證明見解析
(2)cm
【分析】（1）利用ASA證明即可；
（2）過點E作EG⊥BC交于點G，求出FG的長，設AE=xcm，用x表示出DE的長，在Rt△PED中，由勾股定理求得答案．
（1）
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB=CD，∠A=∠B=∠ADC=∠C=90°，
由折疊知，AB=PD，∠A=∠P，∠B=∠PDF=90°，
∴PD=CD，∠P=∠C，∠PDF =∠ADC，
∴∠PDF-∠EDF=∠ADC-∠EDF,
∴∠PDE=∠CDF，
在△PDE和△CDF中，
,
∴（ASA）；
（2）
如圖，過點E作EG⊥BC交于點G，
∵四邊形ABCD是矩形,
∴AB=CD=EG=4cm，
又∵EF=5cm，∴cm,
設AE=xcm，
∴EP=xcm，
由知，EP=CF=xcm，
∴DE=GC=GF+FC=3+x，
在Rt△PED中，,
即，
解得，，
∴BC=BG+GC= (cm）．
【點睛】本題考查了翻折變換，矩形的性質，勾股定理，全等三角形的判定和性質，根據翻折變換的性質將問題轉化到直角三角形中利用勾股定理是解題的關鍵．
考查題型三 以弦圖為背景的計算題
典例3．（2022·貴州貴陽·中考真題）如圖，“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形與中間的一個小正方形拼成的大正方形，若圖中的直角三角形的兩條直角邊的長分別為1和3，則中間小正方形的周長是（ ）
A．4B．8C．12D．16
【答案】B
【分析】根據圖形分析可得小正方形的邊長為兩條直角邊長的差，據此即可求解．
【詳解】圖中的直角三角形的兩條直角邊的長分別為1和3，則中間小正方形的周長是．
故選B．
【點睛】本題考查了以弦圖為背景的計算題，理解題意是解題的關鍵．
變式3-1．（2022·四川內江·中考真題）我國漢代數(shù)學家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”，后人稱其為“趙爽弦圖”（如圖（1））．圖（2）由弦圖變化得到，它是由八個全等的直角三角形拼接而成，記圖中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面積分別為S1、S2、S3 ． 若正方形EFGH的邊長為2，則S1+S2+S3=________．
【答案】12
【詳解】由題意得，正方形EFGH的面積為4，
則4個直角三角形的面積和為4-，
則正方形ABCD的面積為4+4-，
所以S1+S2+S3=4+4-S3+4+S3=12．
故答案為12．
變式3-2．（2022·四川宜賓·中考真題）我國古代數(shù)學家趙爽的“弦圖”是由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼成的一個大正方形（如圖所示）．若直角三角形的內切圓半徑為3，小正方形的面積為49，則大正方形的面積為______．
【答案】289
【分析】設直角三角形的三邊分別為，較長的直角邊為較短的直角邊為為斜邊，由切線長定理可得，直角三角形的內切圓的半徑等于，即，根據小正方的面積為49，可得，進而計算即即可求解．
【詳解】解：設四個全等的直角三角形的三邊分別為，較長的直角邊為較短的直角邊為為斜邊，
直角三角形的內切圓半徑為3，小正方形的面積為49，
，
①，②，
，
③，
，
解得或（舍去），
大正方形的面積為，
故答案為：．
【點睛】本題考查了切線長定理，勾股定理，解一元二次方程，二元一次方程組，掌握直角三角形的內切圓的半徑等于是解題的關鍵．
變式3-3．（2022·青海西寧·中考真題）八年級課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：
將因式分解．
【觀察】經過小組合作交流，小明得到了如下的解決方法：
解法一：原式
解法二：原式
【感悟】對項數(shù)較多的多項式無法直接進行因式分解時，我們可以將多項式分為若干組，再利用提公因式法、公式法達到因式分解的目的，這就是因式分解的分組分解法．分組分解法在代數(shù)式的化簡、求值及方程、函數(shù)等學習中起著重要的作用．（溫馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解為止）
【類比】
(1)請用分組分解法將因式分解；
【挑戰(zhàn)】
(2)請用分組分解法將因式分解；
【應用】
(3)“趙爽弦圖”是我國古代數(shù)學的驕傲，我們利用它驗證了勾股定理．如圖，“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形圍成的一個大正方形，中間是一個小正方形．若直角三角形的兩條直角邊長分別是a和，斜邊長是3，小正方形的面積是1．根據以上信息，先將因式分解，再求值．
【答案】(1)
(2)
(3)，9
【分析】（1）直接將前兩項和后兩項組合，利用平方差公式再提取公因式，進而分解因式即可；
（2）先分組，利用完全平方公式再提取公因式，進而分解因式即可；
（3）分組，先提取公因式，利用完全平方公式分解因式，再由勾股定理以及面積得到，，整體代入得出答案即可．
（1）
解：
；
（2）
解：
；
（3）
解：
，
∴根據題意得，，
∴原式．
【點睛】此題主要考查了分組分解法以及、提取公因式法、公式法分解因式以及勾股定理的應用，正確分組再運用公式法分解因式是解題關鍵．
考查題型四 勾股定理解決實際應用問題
典例4．（2021·江蘇南通·中考真題）如圖，一艘輪船位于燈塔P的南偏東方向，距離燈塔50海里的A處，它沿正北方向航行一段時間后，到達位于燈塔P的北偏東方向上的B處，此時B處與燈塔P的距離為___________海里（結果保留根號）．
【答案】．
【分析】先作PC⊥AB于點C，然后利用勾股定理進行求解即可．
【詳解】解：如圖，作PC⊥AB于點C，
在Rt△APC中，AP=50海里，∠APC=90°-60°=30°，
∴海里，海里，
在Rt△PCB中，PC=海里，∠BPC=90°-45°=45°，
∴PC=BC=海里，
∴海里，
故答案為：．
【點睛】此題主要考查了勾股定理的應用-方向角問題，求三角形的邊或高的問題一般可以轉化為用勾股定理解決問題，解決的方法就是作高線．
變式4-1．（2021·江蘇宿遷·中考真題）《九章算術》中一道“引葭赴岸”問題：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，適與岸齊，問水深，葭長各幾何？”題意是：有一個池塘，其地面是邊長為10尺的正方形，一棵蘆葦AC生長在它的中央，高出水面部分BC為1尺，如果把該蘆葦沿與水池邊垂直的方向拉向岸邊，那么蘆葦?shù)捻敳緾恰好碰到岸邊的處（如圖），水深和蘆葦長各多少尺？則該問題的水深是___________尺．
【答案】12
【分析】我們可將其轉化為數(shù)學幾何圖形，如圖所示，根據題意，可知的長為10尺，則尺，設蘆葦長尺，表示出水深AB，根據勾股定理建立方程，求出的方程的解即可得到蘆葦?shù)拈L和水深．
【詳解】解：依題意畫出圖形，
設蘆葦長尺，
則水深尺，
∵尺，
∴尺，
在中，
，
解得，
即蘆葦長13尺，水深為12尺，
故答案為：12．
【點評】此題主要考查了勾股定理的應用，解本題的關鍵是數(shù)形結合．
變式4-2．（2020·江蘇揚州·中考真題）《九章算術》是中國傳統(tǒng)數(shù)學的重要著作之一，奠定了中國傳統(tǒng)數(shù)學的基本框架．如圖所示是其中記載的一道“折竹”問題：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，問折者高幾何？”題意是：一根竹子原高1丈（1丈10尺），中部有一處折斷，竹梢觸地面處離竹根3尺，試問折斷處離地面多高？答：折斷處離地面________尺高．
【答案】
【分析】竹子折斷后剛好構成一直角三角形，設竹子折斷處離地面x尺，則斜邊為（10-x）尺，利用勾股定理解題即可．
【詳解】解：設竹子折斷處離地面x尺，則斜邊為（10-x）尺，
根據勾股定理得：x2+32=（10-x）2，
解得：；
故答案為：．
【點睛】此題考查了勾股定理的應用，解題的關鍵是利用題目信息構造直角三角形，從而運用勾股定理解題．
變式4-3．（2020·四川·中考真題）如圖，海中有一小島A，它周圍10.5海里內有暗礁，漁船跟蹤魚群由西向東航行．在B點測得小島A在北偏東60°方向上，航行12海里到達D點，這時測得小島A在北偏東30°方向上．如果漁船不改變航線繼續(xù)向東航行，那么漁船還需航行_____海里就開始有觸礁的危險．
【答案】4.5
【分析】過A作AC⊥BD于點C，求出∠CAD、∠CAB的度數(shù)，求出∠BAD和∠ABD，根據等角對等邊得出AD＝BD＝12，根據含30度角的直角三角形性質求出CD，根據勾股定理求出AC即可．
【詳解】解：
如圖，過A作AC⊥BD于點C，則AC的長是A到BD的最短距離，
∵∠CAD＝30°，∠CAB＝60°，
∴∠BAD＝60°﹣30°＝30°，∠ABD＝90°﹣60°＝30°，
∴∠ABD＝∠BAD，
∴BD＝AD＝12海里，
∵∠CAD＝30°，∠ACD＝90°，
∴CD＝AD＝6海里，
由勾股定理得：AC＝＝6（海里），
如圖，設漁船還需航行x海里就開始有觸礁的危險，即到達點D′時有觸礁的危險，
在直角△AD′C中，由勾股定理得：（6﹣x）2+（6）2＝10.52．
解得x＝4.5．
漁船還需航行 4.5海里就開始有觸礁的危險．
故答案是：4.5．
【點睛】本題主要考查方位角及勾股定理，關鍵是根據題意得到角的度數(shù)，然后利用特殊角的關系及勾股定理進行求解即可．
變式4-4．（2021·廣西柳州·中考真題）在一次海上救援中，兩艘專業(yè)救助船同時收到某事故漁船的求救訊息，已知此時救助船在的正北方向，事故漁船在救助船的北偏西30°方向上，在救助船的西南方向上，且事故漁船與救助船相距120海里．
（1）求收到求救訊息時事故漁船與救助船之間的距離；
（2）若救助船A，分別以40海里/小時、30海里/小時的速度同時出發(fā)，勻速直線前往事故漁船處搜救，試通過計算判斷哪艘船先到達．
【答案】（1）收到求救訊息時事故漁船與救助船之間的距離為海里；（2）救助船先到達．
【分析】(1)如圖，作于，在△PAC中先求出PC的長，繼而在△PBC中求出BP的長即可；
(2)根據“時間=路程÷速度”分別求出救助船A和救助船B所需的時間，進行比較即可.
【詳解】(1)如圖，作于，
則，
由題意得：海里，，，
∴海里，是等腰直角三角形，
∴海里，海里，
答：收到求救訊息時事故漁船與救助船之間的距離為海里；
(2)∵海里，海里，救助船分別以40海里/小時、30海里/小時的速度同時出發(fā)，
∴救助船所用的時間為(小時)，
救助船所用的時間為(小時)，
∵，
∴救助船先到達．
【點睛】本題考查了解直角三角形的應用，涉及了含30度角的直角三角形的性質，等腰直角三角形的判定，勾股定理的應用等，熟練正確添加輔助線構建直角三角形是解題的關鍵.

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