【知識要點】
知識點一 平行四邊形
平行四邊形的定義：兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。
平行四邊形的表示：用符號“?”表示，平行四邊形ABCD記作“?ABCD”，讀作“平行四邊形ABCD”。
平行四邊形的性質(zhì)：1)對邊平行且相等； 2)對角相等、鄰角互補； 3)對角線互相平分；
4)平行四邊形是中心對稱圖形，但不是軸對稱圖形，平行四邊形的對角線的交點是平行四邊形的對稱中心。
平行四邊形的判定定理：
1)邊：①兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形；
②兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；
③一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．
2)角：④兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；
⑤任意兩組鄰角分別互補的四邊形是平行四邊形．
3)邊與角：⑥一組對邊平行，一組對角相等的四邊形是平行四邊形；
4)對角線：⑦對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.
平行四邊形的面積公式：面積=底×高
平行線的性質(zhì)：1）平行線間的距離都相等；
2）兩條平行線間的任何平行線段都相等；
3）等底等高的平行四邊形面積相等。
考查題型一 添加一個條件成為平行四邊形
典例1．（2022·四川達州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，點D，E分別是，邊的中點，點F在的延長線上．添加一個條件，使得四邊形為平行四邊形，則這個條件可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用三角形中位線定理得到DE∥AC且DE=AC，結(jié)合平行四邊形的判定定理進行選擇．
【詳解】解：∵在△ABC中，D，E分別是AB，BC的中點，
∴DE是△ABC的中位線，
∴DE∥AC且DE=AC，
A、根據(jù)∠B=∠F不能判定CF∥AD，即不能判定四邊形ADFC為平行四邊形，故本選項錯誤．
B、根據(jù)DE=EF可以判定DF=AC，由“一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”得到四邊形ADFC為平行四邊形，故本選項正確．
C、根據(jù)AC=CF不能判定AC∥DF，即不能判定四邊形ADFC為平行四邊形，故本選項錯誤．
D、根據(jù)AD=CF，F(xiàn)D∥AC不能判定四邊形ADFC為平行四邊形，故本選項錯誤．
故選：B．
【點睛】本題主要考查了三角形的中位線的性質(zhì)和平行四邊形的判定．三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半．
變式1-1．（2021·黑龍江牡丹江·統(tǒng)考中考真題）如圖，在四邊形ABCD中，，請?zhí)砑右粋€條件，使四邊形ABCD成為平行四邊形，你所添加的條件為___________ （寫一個即可）．
【答案】ABDC(答案不唯一)
【分析】根據(jù)平行四邊形的判定條件解答即可．
【詳解】解：∵AB=DC，
再加ABDC，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，
故答案為：ABDC(答案不唯一)
【點睛】本題考查平行四邊形的判定，熟練掌握平行四邊形的判定定理是解題的關(guān)鍵．
變式1-2．（2020·黑龍江牡丹江·統(tǒng)考中考真題）如圖，在四邊形ABCD中，AD//BC，在不添加任何輔助線的情況下，請你添加一個條件____，使四邊形ABCD是平行四邊形（填一個即可）．
【答案】AD=BC（答案不唯一）
【分析】根據(jù)平行四邊形的判定方法添加一個條件即可．
【詳解】解：根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，可以添加條件AD=BC，
根據(jù)兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形，可以添加條件AB∥DC，
本題只需添加一個即可，
故答案為：AD=BC（答案不唯一）．
【點睛】本題考查了平行四邊形的判定，熟練掌握平行四邊形的判定方法是解題的關(guān)鍵．
變式1-3．（2020·黑龍江牡丹江·中考真題）如圖，在四邊形中，連接，．請你添加一個條件______________，使．（填一種情況即可）
【答案】AD=BC（答案不唯一）
【分析】根據(jù)平行四邊形的判定和性質(zhì)添加條件證明AB=CD.
【詳解】解：添加的條件：AD=BC，理由是：
∵∠ACB=∠CAD，
∴AD∥BC，
∵AD=BC，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB=CD.
【點睛】本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，掌握定理內(nèi)容是解題的關(guān)鍵.
變式1-4．（2021·湖南岳陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，在四邊形中，，，垂足分別為點，．
（1）請你只添加一個條件（不另加輔助線），使得四邊形為平行四邊形，你添加的條件是________；
（2）添加了條件后，證明四邊形為平行四邊形．
【答案】（1）（答案不唯一，符合題意即可）；（2）見解析
【分析】（1）由題意可知，要使得四邊形為平行四邊形，則使得即可，從而添加適當(dāng)條件即可；
（2）根據(jù)（1）的思路，利用平行四邊形的定義證明即可．
【詳解】（1）顯然，直接添加，可根據(jù)定義得到結(jié)果，
故答案為：（答案不唯一，符合題意即可）；
（2）證明：∵，，
∴，
∵，
∴四邊形為平行四邊形．
【點睛】本題考查平行四邊形的判定，掌握平行四邊形的判定方法是解題關(guān)鍵．
考查題型二 平行四邊形的證明
典例2．（2022·遼寧鞍山·統(tǒng)考中考真題）如圖，在四邊形中，與交于點，，，垂足分別為點，，且，．求證：四邊形是平行四邊形．
【答案】見解析
【分析】結(jié)合已知條件推知；然后由全等三角形的判定定理證得，則其對應(yīng)邊相等：；最后根據(jù)“對邊平行且相等是四邊形是平行四邊形”證得結(jié)論．
【詳解】證明：，
．
．
在與中，
．
．
．
四邊形是平行四邊形．
【點睛】本題主要考查了平行四邊形的判定，三角形全等的判定及性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握平行四邊形的判定：（1）兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形；（2）兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；（3）一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．
變式2-1．（2022·廣西河池·統(tǒng)考中考真題）如圖，點A，F(xiàn)，C，D在同一直線上，AB＝DE，AF＝CD，BC＝EF．
(1)求證：∠ACB＝∠DFE；
(2)連接BF，CE，直接判斷四邊形BFEC的形狀．
【答案】(1)見解析
(2)四邊形BFEC是平行四邊形
【分析】（1）證△ABC≌△DEF（SSS），再由全等三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論；
（2）由（1）可知，∠ACB=∠DFE，則BC∥EF，再由平行四邊形的判定即可得出結(jié)論．
（1）
證明：∵AF=CD，
∴AF ＋ CF = CD ＋ CF，
即AC＝DF，
在△ABC和△DEF中，
△ABC≌△DEF（SSS）
（2）
如圖，四邊形BFEC是平行四邊形，理由如下：
由（1）可知，∠ACB=∠DFE，
∴BC EF，
又∶ BC = EF，
四邊形BFEC是平行四邊形．
【點睛】本題考查了平行網(wǎng)邊形的判定、全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線的判定等知識，熟練掌握平行四邊形的判定方法，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．
變式2-2．（2022·北京·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，交于點，點在上，．
(1)求證：四邊形是平行四邊形；
(2)若求證：四邊形是菱形．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
【分析】（1）先根據(jù)四邊形ABCD為平行四邊形，得出，，再根據(jù)，得出，即可證明結(jié)論；
（2）先證明，得出，證明四邊形ABCD為菱形，得出，即可證明結(jié)論．
【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴，，
∵，
∴，
即，
∴四邊形是平行四邊形．
（2）∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
∴四邊形ABCD為菱形，
∴，
即，
∵四邊形是平行四邊形，
∴四邊形是菱形．
【點睛】本題主要考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，熟練掌握菱形和平行四邊形的判定方法，是解題的關(guān)鍵．
變式2-3．（2022·廣西賀州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平行四邊形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在AD，BC上，且，連接AF，CE，AC，EF，且AC與EF相交于點O．
(1)求證：四邊形AFCE是平行四邊形；
(2)若AC平分，，求四邊形AFCE的面積．
【答案】(1)詳見解析；
(2)24．
【分析】（1）根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形解答；
（2）由平行線的性質(zhì)可得，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)解得，繼而證明，由此證明平行四邊形AFCE是菱形，根據(jù)菱形的性質(zhì)得到，結(jié)合正切函數(shù)的定義解得，最后根據(jù)三角形面積公式解答．
【詳解】（1）證明：四邊形ABCD是平行四邊形
，即．
四邊形AFCE是平行四邊形．
（2）解：，
．
平分，
．
．
，由（1）知四邊形AFCE是平行四邊形，
平行四邊形AFCE是菱形．
，
在中，，
．
．
【點睛】本題考查平行四邊形的判定、菱形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、正切函數(shù)的定義等知識，是重要考點，難度一般，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．
變式2-4．（2022·江西·統(tǒng)考中考真題）圖1是某長征主題公園的雕塑，將其抽象成如圖2所示的示意圖，已知，A，D，H，G四點在同一直線上，測得．（結(jié)果保留小數(shù)點后一位）
(1)求證：四邊形為平行四邊形；
(2)求雕塑的高（即點G到的距離）．
（參考數(shù)據(jù)：）
【答案】(1)見解析
(2)雕塑的高為7.5m，詳見解析
【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的定義可得結(jié)論；
（2）過點G作GP⊥AB于P，計算AG的長，利用 ∠A的正弦可得結(jié)論．
（1）
證明：∵，
∴∠CDG＝∠A，
∵∠FEC＝∠A，
∴ ∠FEC＝∠CDG，
∴EF∥DG，
∵FG∥CD，
∴四邊形DEFG為平行四邊形；
（2）
如圖，過點G作GP⊥AB于P，
∵四邊形DEFG為平行四邊形，
∴DG＝EF＝6.2，
∵AD＝1.6，
∴AG＝DG+AD＝6.2+1.6＝7.8，
在Rt△APG中，sinA= ，
∴=0.96，
∴PG=7.8×0.96＝7.488≈7.5．
答：雕塑的高為7.5m.
【點睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意，正確作輔助線構(gòu)建直角三角形解決問題．
變式2-5．（2021·湖北鄂州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，點、分別在邊、上，且．
（1）探究四邊形的形狀，并說明理由；
（2）連接，分別交、于點、，連接交于點．若，，求的長．
【答案】（1）平行四邊形，見解析；（2）16
【分析】（1）利用平行四邊形的判定定理，兩組對邊分別平行是平行四邊形即可證明；
（2）根據(jù)，找到邊與邊的等量關(guān)系，再利用三角形相似，建立等式進行求解即可．
【詳解】（1）四邊形為平行四邊形．
理由如下：
∵四邊形為平行四邊形
∴
∵
∴
∵四邊形為平行四邊形
∴
∴
∴
∵
∴四邊形為平行四邊形
（2）設(shè)，∵
∴，
∵四邊形為平行四邊形
∴，，
∵
，
∴
∴
∵
∴．
【點睛】本題考查了平行四邊形的判定定理、相似三角形的判定定理，解題的關(guān)鍵是：熟練掌握相關(guān)定理，能進行相關(guān)的證明．
變式2-6．（2021·山東聊城·統(tǒng)考中考真題）如圖，在四邊形ABCD中，AC與BD相交于點O，且AO＝CO，點E在BD上，滿足∠EAO＝∠DCO．
（1）求證：四邊形AECD是平行四邊形；
（2）若AB＝BC，CD＝5，AC＝8，求四邊形AECD的面積．
【答案】（1）見解析；（2）24
【分析】（1）根據(jù)題意可證明，得到OD＝OE，從而根據(jù)“對角線互相平分的四邊形為平行四邊形”證明即可；
（2）根據(jù)AB=BC，AO=CO，可證明BD為AC 的中垂線，從而推出四邊形AECD為菱形，然后根據(jù)條件求出DE的長度，即可利用菱形的面積公式求解即可．
【詳解】（1）證明：在△AOE 和△COD中，
∴．
∴OD＝OE．
又∵AO＝CO，
∴四邊形AECD 是平行四邊形．
（2）∵AB＝BC，AO＝CO，
∴BO為AC的垂直平分線，．
∴平行四邊形 AECD是菱形．
∵AC＝8，
．
在 Rt△COD 中，CD＝5，
，
∴，
，
∴四邊形 AECD 的面積為24．
【點睛】本題考查平行四邊形的判定，菱形的判定與面積計算，掌握基本的判定方法，熟練掌握菱形的面積計算公式是解題關(guān)鍵．
考查題型三 利用平行線的性質(zhì)求解
典例3．（2022·廣東·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，一定正確的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)：平行四邊形的對邊相等，然后對各選項進行判斷即可．
【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB=CD，AD=BC．
故選：C．
【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)．解題的關(guān)鍵在于熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)．
變式3-1．（2022·福建·統(tǒng)考中考真題）如圖，現(xiàn)有一把直尺和一塊三角尺，其中，，AB＝8，點A對應(yīng)直尺的刻度為12.將該三角尺沿著直尺邊緣平移，使得△ABC移動到，點對應(yīng)直尺的刻度為0，則四邊形的面積是（ ）
A．96B．C．192D．
【答案】B
【分析】根據(jù)直尺與三角尺的夾角為60°，根據(jù)四邊形的面積為，即可求解．
【詳解】解：依題意為平行四邊形，
∵，，AB＝8，．
∴平行四邊形的面積=
故選B
【點睛】本題考查了解直角三角形，平移的性質(zhì)，掌握平移的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
變式3-2．（2022·四川樂山·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平行四邊形ABCD中，過點D作DE⊥AB，垂足為E，過點B作BF⊥AC，垂足為F．若AB=6，AC=8，DE=4，則BF的長為（ ）
A．4B．3C．D．2
【答案】B
【分析】利用平行四邊形ABCD的面積公式即可求解．
【詳解】解：∵DE⊥AB，BF⊥AC，
∴S平行四邊形ABCD=DE×AB=2××AC×BF，
∴4×6=2××8×BF，
∴BF=3，
故選：B．
【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，利用平行四邊形ABCD的面積公式求垂線段的長是解題的關(guān)鍵．
變式3-3．（2022·湖南湘潭·統(tǒng)考中考真題）在中（如圖），連接，已知，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)平行四邊形的對邊平行和兩直線平行內(nèi)錯角相等的性質(zhì)，再通過等量代換即可求解．
【詳解】解：∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴ABCD
∴∠DCA＝∠CAB，
∵∠DCA+∠ACB，，
∴40o+80o=120o，
故選：C．
【點睛】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟記性質(zhì)并熟練運用．
變式3-4．（2022·內(nèi)蒙古通遼·統(tǒng)考中考真題）如圖，點是內(nèi)一點，與軸平行，與軸平行，，，，若反比例函數(shù)的圖像經(jīng)過，兩點，則的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】過點C作CE⊥y軸于點E，延長BD交CE于點F，可證明△COE≌△ABE（AAS），則OE=BD=；由S△BDC=?BD?CF=可得CF=9，由∠BDC=120°，可知∠CDF=60°，所以DF=3，所以點D的縱坐標(biāo)為4；設(shè)C（m，），D（m+9，4），則k=m=4（m+9），求出m的值即可求出k的值．
【詳解】解：過點C作CE⊥y軸于點E，延長BD交CE于點F，
∵四邊形OABC為平行四邊形，
∴ABOC，AB=OC，
∴∠COE=∠ABD，
∵BDy軸，
∴∠ADB=90°，
∴△COE≌△ABD（AAS），
∴OE=BD=，
∵S△BDC=?BD?CF=，
∴CF=9，
∵∠BDC=120°，
∴∠CDF=60°，
∴DF=3．
∴點D的縱坐標(biāo)為4，
設(shè)C（m，），D（m+9，4），
∵反比例函數(shù)y=（x＜0）的圖像經(jīng)過C、D兩點，
∴k=m=4（m+9），
∴m=-12，
∴k=-12．
故選：C．
【點睛】本題主要考查反比例函數(shù)與幾何的綜合問題，坐標(biāo)與圖形，全等三角形的判定與性質(zhì)，設(shè)出關(guān)鍵點的坐標(biāo)，并根據(jù)幾何關(guān)系消去參數(shù)的值是本題解題關(guān)鍵．
變式3-5．（2022·黑龍江·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點O為坐標(biāo)原點，平行四邊形OBAD的頂點B在反比例函數(shù)的圖象上，頂點A在反比例函數(shù)的圖象上，頂點D在x軸的負(fù)半軸上．若平行四邊形OBAD的面積是5，則k的值是（ ）
A．2B．1C．D．
【答案】D
【分析】連接OA，設(shè)AB交y軸于點C，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得，AB∥OD，再根據(jù)反比例函數(shù)比例系數(shù)的幾何意義，即可求解．
【詳解】解：如圖，連接OA，設(shè)AB交y軸于點C，
∵四邊形OBAD是平行四邊形，平行四邊形OBAD的面積是5，
∴，AB∥OD，
∴AB⊥y軸，
∵點B在反比例函數(shù)的圖象上，頂點A在反比例函數(shù)的圖象上，
∴，
∴，
解得：．
故選：D．
【點睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，反比例函數(shù)比例系數(shù)的幾何意義，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，反比例函數(shù)比例系數(shù)的幾何意義是解題的關(guān)鍵．
變式3-6．（2022·四川宜賓·統(tǒng)考中考真題）如圖,在中，，是上的點,∥交于點，∥交于點，那么四邊形的周長是（ ）
A．5B．10C．15D．20
【答案】B
【分析】由于DE∥AB，DF∥AC，則可以推出四邊形AFDE是平行四邊形，然后利用平行四邊形的性質(zhì)可以證明□AFDE的周長等于AB＋AC．
【詳解】∵DE∥AB，DF∥AC，
則四邊形AFDE是平行四邊形，
∠B＝∠EDC，∠FDB＝∠C
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴∠B＝∠FDB，∠C＝∠EDF，
∴BF＝FD，DE＝EC，
所以□AFDE的周長等于AB＋AC＝10．
故答案為B
【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、平行四邊形的判定，熟練掌握這些知識點是本題解題的關(guān)鍵．
變式3-7．（2021·天津·統(tǒng)考中考真題）如圖，的頂點A，B，C的坐標(biāo)分別是，則頂點D的坐標(biāo)是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)平行四邊形性質(zhì)以及點的平移性質(zhì)計算即可．
【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
點B的坐標(biāo)為(-2，-2)，點C的坐標(biāo)為(2，-2)，
∴點B到點C為水平向右移動4個單位長度，
∴A到D也應(yīng)向右移動4個單位長度，
∵點A的坐標(biāo)為(0，1)，
則點D的坐標(biāo)為(4，1)，
故選:C．
【點睛】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)，以及平移的相關(guān)知識點，熟知點的平移特點是解決本題的關(guān)鍵．
變式3-8．（2021·貴州黔東南·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線與軸只有一個公共點A（1，0），與軸交于點B（0，2），虛線為其對稱軸，若將拋物線向下平移兩個單位長度得拋物線，則圖中兩個陰影部分的面積和為（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】連接AB，OM，根據(jù)二次函數(shù)圖像的對稱性把陰影圖形的面積轉(zhuǎn)化為平行四邊形ABOM面積求解即可．
【詳解】設(shè)平移后的拋物線與對稱軸所在的直線交于點M，連接AB，OM．
由題意可知，AM=OB，
∵
∴OA=1，OB=AM=2，
∵拋物線是軸對稱圖形，
∴圖中兩個陰影部分的面積和即為四邊形ABOM的面積，
∵，，
∴四邊形ABOM為平行四邊形，
∴．
故選：B．
【點睛】此題考查了二次函數(shù)圖像的對稱性和陰影面積的求法，解題的關(guān)鍵是根據(jù)二次函數(shù)圖像的對稱性轉(zhuǎn)化陰影圖形的面積．
變式3-9．（2021·湖北荊門·統(tǒng)考中考真題）如圖，將一副三角板在平行四邊形ABCD中作如下擺放，設(shè)，那么（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】延長EG交AB于H，根據(jù)平行四邊形與三角板的性質(zhì)，，DC//AB，得到∠DEH=∠BHE=60°，再由平角的定義，計算出結(jié)果．
【詳解】解：如圖，延長EG交AB于H，
∵∠BMF=∠BGE=90°，
∴MF//EH，
∴∠BFM=∠BHE，
∵，
∴∠BFM=∠BHE=60°，
∵在平行四邊形ABCD中，DC//AB，
∴∠DEH=∠BHE=60°，
∵∠GEN=45°，
∴，
故選：C．
【點睛】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)與一副特殊三角形板的性質(zhì)，關(guān)鍵在于作出輔助線，利用平行四邊形的性質(zhì)進行求解．
變式3-10．（2022·安徽·統(tǒng)考中考真題）如圖，平行四邊形OABC的頂點O是坐標(biāo)原點，A在x軸的正半軸上，B，C在第一象限，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點C，的圖象經(jīng)過點B．若，則________．
【答案】3
【分析】過點C作CD⊥OA于D，過點B作BE⊥x軸于E，先證四邊形CDEB為矩形，得出CD=BE，再證Rt△COD≌Rt△BAE（HL），根據(jù)S平行四邊形OCBA=4S△OCD=2，再求S△OBA=即可．
【詳解】解：過點C作CD⊥OA于D，過點B作BE⊥x軸于E，
∴CD∥BE，
∵四邊形ABCO為平行四邊形，
∴ ，即，OC=AB，
∴四邊形CDEB為平行四邊形，
∵CD⊥OA，
∴四邊形CDEB為矩形，
∴CD=BE，
∴在Rt△COD和Rt△BAE中，
，
∴Rt△COD≌Rt△BAE（HL），
∴S△OCD=S△ABE，
∵OC=AC，CD⊥OA，
∴OD=AD，
∵反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點C，
∴S△OCD=S△CAD=，
∴S平行四邊形OCBA=4S△OCD=2，
∴S△OBA=，
∴S△OBE=S△OBA+S△ABE=，
∴．
故答案為3．
【點睛】本題考查反比例函數(shù)k的幾何意義，平行四邊形的性質(zhì)與判定，矩形的判定與性質(zhì)，三角形全等判定與性質(zhì)，掌握反比例函數(shù)k的幾何意義，平行四邊形的性質(zhì)與判定，矩形的判定與性質(zhì)，三角形全等判定與性質(zhì)．
變式3-11．（2022·江蘇連云港·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，．利用尺規(guī)在、上分別截取、，使；分別以、為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧在內(nèi)交于點；作射線交于點．若，則的長為_________．
【答案】
【分析】如圖所示，過點H作HM⊥BC于M，由作圖方法可知，BH平分∠ABC，即可證明∠CBH=∠CHB，得到，從而求出HM，CM的長，進而求出BM的長，即可利用勾股定理求出BH的長．
【詳解】解：如圖所示，過點H作HM⊥BC于M，
由作圖方法可知，BH平分∠ABC，
∴∠ABH=∠CBH，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴，
∴∠CHB=∠ABH，∠C=180°-∠ABC=30°，
∴∠CBH=∠CHB，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案為：．
【點睛】本題主要考查了角平分線的尺規(guī)作圖，平行四邊形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)與判定等等，正確求出CH的長是解題的關(guān)鍵．
變式3-12．（2022·貴州畢節(jié)·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，點P為邊上任意一點，連接，以，為鄰邊作平行四邊形，連接，則長度的最小值為_________．
【答案】##2.4
【分析】利用勾股定理得到BC邊的長度，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，得知OP最短即為PQ最短，利用垂線段最短得到點P的位置，再證明利用對應(yīng)線段的比得到的長度，繼而得到PQ的長度．
【詳解】解：∵，
∴，
∵四邊形APCQ是平行四邊形，
∴PO＝QO，CO＝AO，
∵PQ最短也就是PO最短，
∴過O作BC的垂線，
∵,
∴,
∴，
∴，
∴，
∴則PQ的最小值為，
故答案為：．
【點睛】考查線段的最小值問題，結(jié)合了平行四邊形性質(zhì)和相似三角形求線段長度，本題的關(guān)鍵是利用垂線段最短求解，學(xué)生要掌握轉(zhuǎn)換線段的方法才能解出本題．
變式3-13．（2022·黑龍江牡丹江·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點，，將平行四邊形OABC繞點O旋轉(zhuǎn)90°后，點B的對應(yīng)點坐標(biāo)是______．
【答案】或
【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)可得： BM = B1M1 = B2M2 = 3，∠AOA1 =∠AOA2 = 90°，可得B1和B2的坐標(biāo)，即是B'的坐標(biāo)．
【詳解】解：∵A(-1，2)， OC= 4，
∴ C(4，0)，B(3，2)，M(0，2)， BM = 3，
AB//x軸，BM= 3．
將平行四邊形OABC繞點O分別順時針、逆時針旋轉(zhuǎn)90°后，
由旋轉(zhuǎn)得：OM=OM1=OM2=2，
∠AOA1=∠AOA2=90°
BM=B1M1=B2M2=3，
A1B1⊥x軸，A2B2⊥x軸，
∴B1和B2的坐標(biāo)分別為： (-2，3)， (2，-3)，
∴B'即是圖中的B1和B2，坐標(biāo)就是， B' (-2， 3)， (2，-3)，
故答案為： (-2，3)或 (2， -3)．
【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正確的識別圖形是解題的關(guān)鍵．
變式3-14．（2022·遼寧·統(tǒng)考中考真題）如圖，直線y＝2x+4與x軸交于點A，與y軸交于點B，點D為OB的中點，?OCDE的頂點C在x軸上，頂點E在直線AB上，則?OCDE的面積為_______．
【答案】2
【分析】根據(jù)一次函數(shù)解析式求出點的坐標(biāo)，根據(jù)題意以及平行四邊形的性質(zhì)得出點的坐標(biāo)，從而得出點的坐標(biāo)，然后運用平行四邊形面積計算公式計算即可．
【詳解】解：當(dāng)x＝0時，y＝2×0+4＝4，
∴點B的坐標(biāo)為（0，4），OB＝4．
∵點D為OB的中點，
∴OD＝OB＝×4＝2．
∵四邊形OCDE為平行四邊形，點C在x軸上，
∴DE∥x軸．
當(dāng)y＝2時，2x+4＝2，
解得：x＝﹣1，
∴點E的坐標(biāo)為（﹣1，2），
∴DE＝1，
∴OC＝1，
∴?OCDE的面積＝OC?OD＝1×2＝2．
故答案為：2．
【點睛】本題考查了一次函數(shù)以及平行四邊形的性質(zhì)，根據(jù)題意得出圖中各點的坐標(biāo)是解本題的關(guān)鍵．
考查題型四 利用平行線的性質(zhì)證明
典例4．（2022·廣西桂林·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平行四邊形ABCD中，點E和點F是對角線BD上的兩點，且BF＝DE．
(1)求證：BE＝DF；
(2)求證：ABE≌CDF．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
【分析】（1）根據(jù)，得到，得到；
（2）根據(jù)，，，得到ABE≌CDF．
（1）
∵
∴
∴
（2）
∵四邊形ABCD是平行四邊形
∴,
∴
∵
∴ABE≌CDF（SAS）．
【點睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行四邊形、全等三角形的相關(guān)知識．
變式4-1．（2022·廣西梧州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，E，G，H，F(xiàn)分別是上的點，且．求證：．
【答案】證明過程見解析
【分析】先由四邊形ABCD為平行四邊形得到∠A=∠C，AB=CD，進而根據(jù)BE=DH得到AE=CH，最后再證明△AEF≌△CHG即可．
【詳解】證明：∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴∠A=∠C，AB=CD，
又已知BE=DH，
∴AB-BE=CD-DH，
∴AE=CH，
在△AEF和△CHG中
，
∴△AEF≌△CHG(SAS)，
∴EF=HG．
【點睛】本題考察了平行四邊形的性質(zhì)和三角形全等的判定方法，屬于基礎(chǔ)題，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．
變式4-2．（2022·湖南永州·統(tǒng)考中考真題）如圖，是平行四邊形的對角線，平分，交于點．
(1)請用尺規(guī)作的角平分線，交于點（要求保留作圖痕跡，不寫作法，在確認(rèn)答案后，請用黑色筆將作圖痕跡再填涂一次）；
(2)根據(jù)圖形猜想四邊形為平行四邊形，請將下面的證明過程補充完整．
證明：∵四邊形是平行四邊形，
∴
∵______（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）
又∵平分，平分，
∴，
∴
∴______（______）（填推理的依據(jù)）
又∵四邊形是平行四邊形
∴
∴四邊形為平行四邊形（______）（填推理的依據(jù)）．
【答案】(1)詳見解析
(2)∠DBC；BF；內(nèi)錯角相等，兩直線平行；兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形
【分析】（1）根據(jù)作角平分線的步驟作平分即可；
（2）結(jié)合圖形和已有步驟合理填寫即可；
（1）
解：如圖，根據(jù)角平分線的作圖步驟，得到DE，即為所求；
（2）
證明：∵四邊形是平行四邊形，
∴
∵．（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）.
又∵平分，平分，
∴，
∴．
∴（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）（填推理的依據(jù)）
又∵四邊形是平行四邊形．
∴，
∴四邊形為平行四邊形（兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形）（填推理的依據(jù)）．
【點睛】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)，掌握相關(guān)性質(zhì)并靈活應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．
變式4-3．（2022·內(nèi)蒙古·中考真題）如圖，在平行四邊形中，點O是的中點，連接并延長交的延長線于點E，連接，．
(1)求證：四邊形是平行四邊形；
(2)若，判斷四邊形的形狀，并說明理由．
【答案】(1)見解析
(2)四邊形是菱形．理由見解析
【分析】（1）證△ABO≌△DEO（AAS），得OB=OE，再由平行四邊形的判定即可得出結(jié)論；
（2）由平行四邊形的性質(zhì)得AB=CD，再證AB=BD，然后由菱形的判定即可得出結(jié)論．
【詳解】（1）證明：∵四邊形是平行四邊形
∴
∴
∵點O是的中點
∴
在和中
∴（AAS）
∴
∴四邊形是平行四邊形
（2）四邊形是菱形.
理由：∵四邊形是平行四邊形
∴
∵
∴
∵四邊形是平行四邊形
∴四邊形是菱形
【點睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及菱形的判定等知識，熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
變式4-4．（2021·四川廣元·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平行四邊形中，E為邊的中點，連接，若的延長線和的延長線相交于點F．
（1）求證：；
（2）連接和相交于點為G，若的面積為2，求平行四邊形的面積．
【答案】（1）證明見解析；（2）24．
【分析】（1）根據(jù)E是邊DC的中點，可以得到，再根據(jù)四邊形ABCD是平行四邊形，可以得到，再根據(jù)，即可得到，則答案可證；
（2）先證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出，，進而得出，由得，則答案可解．
【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴，，
∴，
∵點E為DC的中點，
∴，
在和中

∴，
∴，
∴；
（2）∵四邊形ABCD是平行四邊形，點E為DC的中點，
∴，，
∴，，
∴，
∵的面積為2，
∴，即，
∵
∴，
∴，
∴，
∴．
【點睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．
考查題型五 利用平行線的性質(zhì)與判定求解
典例5．（2022·內(nèi)蒙古赤峰·統(tǒng)考中考真題）如圖，剪兩張對邊平行的紙條，隨意交叉疊放在一起，重合部分構(gòu)成一個四邊形，其中一張紙條在轉(zhuǎn)動過程中，下列結(jié)論一定成立的是（ ）
A．四邊形周長不變B．
C．四邊形面積不變D．
【答案】D
【分析】由平行四邊形的性質(zhì)進行判斷，即可得到答案．
【詳解】解：由題意可知，
∵，，
∴四邊形是平行四邊形，
∴；故D符合題意；
隨著一張紙條在轉(zhuǎn)動過程中，不一定等于，四邊形周長、面積都會改變；故A、B、C不符合題意；
故選：D
【點睛】本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握平行四邊形對邊相等．
變式5-1．（2022·內(nèi)蒙古包頭·中考真題）如圖，在邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，A，B，C，D四個點均在格點上，與相交于點E，連接，則與的周長比為（ ）
A．1：4B．4：1C．1：2D．2：1
【答案】D
【分析】運用網(wǎng)格圖中隱藏的條件證明四邊形DCBM為平行四邊形，接著證明，最后利相似三角形周長的比等于相似比即可求出．
【詳解】如圖：由題意可知，，，
∴，
而，
∴四邊形DCBM為平行四邊形，
∴，
∴，，
∴，
∴．
故選：D．
【點睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)及勾股定理，熟練掌握相關(guān)知識并正確計算是解題關(guān)鍵．
變式5-2．（2021·黑龍江·統(tǒng)考中考真題）如圖，平行四邊形的對角線、相交于點E，點O為的中點，連接并延長，交的延長線于點D，交于點G，連接、，若平行四邊形的面積為48，則的面積為（ ）
A．5.5B．5C．4D．3
【答案】C
【分析】由題意易得，進而可得，則有，然后根據(jù)相似比與面積比的關(guān)系可求解．
【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，
∴，AE=EF，，
∵平行四邊形的面積為48，
∴，
∵點為的中點，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∵和同高不同底，
∴，
故選C．
【點睛】本題主要考查相似三角形的性質(zhì)與判定、平行四邊形的性質(zhì)及三角形中位線，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定、平行四邊形的性質(zhì)及三角形中位線是解題的關(guān)鍵．
變式5-3．（2021·江西·中考真題）如圖，將沿對角線翻折，點落在點處，交于點，若，，，，則的周長為______．
【答案】4a+2b
【分析】根據(jù)題意并利用折疊的性質(zhì)可得出∠ACE=∠ACB=2∠ECD，計算可得到∠ECD=20，∠ACE=∠ACB=40，利用三角形的外角性質(zhì)得到∠CFD=∠D=80，再等角對等邊即可求解．
【詳解】解：由折疊的性質(zhì)可得：∠ACE=∠ACB，
∵∠ACE=2∠ECD，
∴∠ACE=∠ACB=2∠ECD，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠FAC=∠FCA，∠B+∠BCD=180，即∠B+∠ACE+∠ACB+∠ECD=180，
∴∠ECD=20，∠ACE=∠ACB=40=∠FAC，
∠CFD=∠FAC+∠FCA=80=∠B=∠D，
∴AF=CF=CD=a，即AD=a+b，
則?ABCD的周長為2AD+2CD=4a+2b，
故答案為：4a+2b．
【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，正確的識別圖形是解題的關(guān)鍵．
變式5-4．（2022·四川內(nèi)江·統(tǒng)考中考真題）如圖，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，點E、F分別是AB、DC上的動點，EF∥BC，則AF+CE的最小值是 _____．
【答案】10
【分析】延長BC到G，使CG＝EF，連接FG，證明四邊形EFGC是平行四邊形，得出CE＝FG，得出當(dāng)點A、F、G三點共線時，AF+CE的值最小，根據(jù)勾股定理求出AG即可．
【詳解】解：延長BC到G，使CG＝EF，連接FG，
∵，EF＝CG，
∴四邊形EFGC是平行四邊形，
∴CE＝FG，
∴AF+CE＝AF+FG，
∴當(dāng)點A、F、G三點共線時，AF+CE的值最小為AG，
由勾股定理得，AG＝＝＝10，
∴AF+CE的最小值為10，
故答案為：10．
【點睛】本題主要考查了勾股定理，平行四邊形的判定和性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線，得出當(dāng)A、F、G三點共線時，AF+CE的值最小，是解題的關(guān)鍵．
變式5-5．（2021·山西·統(tǒng)考中考真題）綜合與實踐，問題情境：數(shù)學(xué)活動課上，老師出示了一個問題：如圖①，在中，，垂足為，為的中點，連接，，試猜想與的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；
獨立思考：（1）請解答老師提出的問題；
實踐探究：（2）希望小組受此問題的啟發(fā)，將沿著（為的中點）所在直線折疊，如圖②，點的對應(yīng)點為，連接并延長交于點，請判斷與的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；
問題解決：（3）智慧小組突發(fā)奇想，將沿過點的直線折疊，如圖③，點A的對應(yīng)點為，使于點，折痕交于點，連接，交于點．該小組提出一個問題：若此的面積為20，邊長，，求圖中陰影部分（四邊形）的面積．請你思考此問題，直接寫出結(jié)果．
【答案】（1）；見解析；（2），見解析；（3）．
【分析】（1）如圖，分別延長，相交于點P，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，，利用AAS可證明△PDF≌△BCF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)可得，即可得；
（2）根據(jù)折疊性質(zhì)可得∠CFB=∠C′FB=∠CFC′，F(xiàn)C=FC′，可得FD=FC′，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠FDC′=∠FC′D，根據(jù)三角形外角性質(zhì)可得∠CFC′=∠FDC′+∠FC′D，即可得出∠C′FB=∠FC′D，可得DG//FB，即可證明四邊形DGBF是平行四邊形，可得DF=BG=，可得AG=BG；
（3）如圖，過點M作MQ⊥A′B于Q，根據(jù)平行四邊形的面積可求出BH的長，根據(jù)折疊的性質(zhì)可得A′B=AB，∠A=∠A′，∠ABM=∠MBH，根據(jù)可得A′B⊥AB，即可證明△MBQ是等腰直角三角形，可得MQ=BQ，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得∠A=∠C，即可得∠A′=∠C，進而可證明△A′NH∽△CBH，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得A′H、NH的長，根據(jù)NH//MQ可得△A′NH∽△A′MQ，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求出MQ的長，根據(jù)S陰=S△A′MB-S△A′NH即可得答案．
【詳解】（1）．
如圖，分別延長，相交于點P，
∵四邊形是平行四邊形，
∴，
∴，,
∵為的中點，
∴，
在△PDF和△BCF中，，
∴△PDF≌△BCF，
∴，即為的中點，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）．
∵將沿著所在直線折疊，點的對應(yīng)點為，
∴∠CFB=∠C′FB=∠CFC′，，
∵為的中點，
∴，
∴，
∴∠FDC′=∠FC′D，
∵=∠FDC′+∠FC′D，
∴，
∴∠FC′D=∠C′FB，
∴，
∵四邊形為平行四邊形，
∴，DC=AB，
∴四邊形為平行四邊形，
∴，
∴，
∴．
（3）如圖，過點M作MQ⊥A′B于Q，
∵的面積為20，邊長，于點，
∴BH=50÷5=4，
∴CH=，A′H=A′B-BH=1，
∵將沿過點的直線折疊，點A的對應(yīng)點為，
∴A′B=AB，∠A=∠A′，∠ABM=∠MBH，
∵于點，AB//CD，
∴，
∴∠MBH=45°，
∴△MBQ是等腰直角三角形，
∴MQ=BQ，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠A=∠C，
∴∠A′=∠C，
∵∠A′HN=∠CHB，
∴△A′NH∽△CBH，
∴，即，
解得：NH=2，
∵，MQ⊥A′B，
∴NH//MQ，
∴△A′NH∽△A′MQ，
∴，即，
解得：MQ=，
∴S陰=S△A′MB-S△A′NH=A′B·MQ-A′H·NH=×5×-×1×2=．
【點睛】本題考查折疊的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)及相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)及判定定理是解題關(guān)鍵．
知識點二 三角形中位線
三角形中位線概念：連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形中位線。
三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半。
幾何描述：
∵DE是△ABC的中位線
∴DE∥BC,DE=BC
三角形中位線定理的作用：
位置關(guān)系：可以證明兩條直線平行。
數(shù)量關(guān)系：可以證明線段的倍分關(guān)系。
常用結(jié)論：任一個三角形都有三條中位線，由此有：
結(jié)論1：三條中位線組成一個三角形，其周長為原三角形周長的一半。
結(jié)論2：三條中位線將原三角形分割成四個全等的三角形。
結(jié)論3：三條中位線將原三角形劃分出三個面積相等的平行四邊形。
結(jié)論4：三角形一條中線和與它相交的中位線互相平分。
結(jié)論5：三角形中任意兩條中位線的夾角與這夾角所對的三角形的頂角相等。
考查題型六 與三角形中位線有關(guān)的計算
典例6．（2022·河南·統(tǒng)考中考真題）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，點E為CD的中點．若OE＝3，則菱形ABCD的周長為（ ）
A．6B．12C．24D．48
【答案】C
【分析】由菱形的性質(zhì)可得出BO=DO，AB=BC=CD=DA，再根據(jù)中位線的性質(zhì)可得，結(jié)合菱形的周長公式即可得出結(jié)論．
【詳解】解：∵四邊形ABCD為菱形，
∴BO=DO，AB=BC=CD=DA，
∵OE=3，且點E為CD的中點，
是的中位線，
∴BC=2OE=6．
∴菱形ABCD的周長為:4BC=4×6=24．
故選：C．
【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)以及中位線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是求出BC=6．
變式6-1．（2022·廣東·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，點D，E分別為，的中點，則（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】D
【分析】利用中位線的性質(zhì)：平行三角形的第三邊且等于第三邊的一半即可求解．
【詳解】∵D、E分別為AB、AC的中點，
∴DE為△ABC的中位線，
∴，
∵BC=4，
∴DE=2，
故選：D．
【點睛】本題考查了中位線的判定與性質(zhì)，掌握中位線的判定與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．
變式6-2．（2022·廣東廣州·統(tǒng)考中考真題）如圖，正方形ABCD的面積為3，點E在邊CD上， 且CE = 1，∠ABE的平分線交AD于點F，點M，N分別是BE，BF的中點，則MN的長為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】如圖，連接EF，先證明 再求解 可得 再求解 可得為等腰直角三角形，求解 再利用三角形的中位線的性質(zhì)可得答案．
【詳解】解：如圖，連接EF，
∵正方形ABCD的面積為3，

∵
∴
∴
∴

∵平分

∴
∴
∴為等腰直角三角形，

∵分別為的中點，

故選D
【點睛】本題考查的是正方形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的定義，三角形的中位線的性質(zhì)，求解是解本題的關(guān)鍵．
變式6-3．（2021·海南·統(tǒng)考中考真題）如圖，在菱形中，點分別是邊的中點，連接．若菱形的面積為8，則的面積為（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【分析】連接，相交于點，交于點，先根據(jù)菱形的性質(zhì)可得，再根據(jù)三角形中位線定理可得，然后根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)可得，從而可得，最后利用三角形的面積公式即可得．
【詳解】解：如圖，連接，相交于點，交于點，
四邊形是菱形，且它的面積為8，
，
點分別是邊的中點，
，
，，
，
，
，
則的面積為，
故選：B．
【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)、三角形中位線定理、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識點，熟練掌握菱形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
變式6-4．（2021·湖南湘西·統(tǒng)考中考真題）如圖，將一條對邊互相平行的紙帶進行兩次折疊，折痕分別為、，若，，則的度數(shù)是____．
【答案】40°
【分析】如圖，由折疊的性質(zhì)可得，進而可得，然后易得四邊形是平行四邊形，最后根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可求解．
【詳解】解：如圖所示：
∵，
由折疊的性質(zhì)可得，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴四邊形是平行四邊形，
∴；
故答案為40°．
【點睛】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)與判定、平行線的性質(zhì)及折疊的性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)與判定、平行線的性質(zhì)及折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
變式6-5．（2022·上?！そy(tǒng)考中考真題）如圖，在△ABC中，∠A=30°，∠B=90°，D為AB中點，E在線段AC上，，則_____．
【答案】或
【分析】由題意可求出，取AC中點E1，連接DE1，則DE1是△ABC的中位線，滿足，進而可求此時，然后在AC上取一點E2，使得DE1＝DE2，則，證明△DE1E2是等邊三角形，求出E1E2＝，即可得到，問題得解．
【詳解】解：∵D為AB中點，
∴，即，
取AC中點E1，連接DE1，則DE1是△ABC的中位線，此時DE1∥BC，，
∴，
在AC上取一點E2，使得DE1＝DE2，則，
∵∠A=30°，∠B=90°，
∴∠C=60°，BC＝，
∵DE1∥BC，
∴∠DE1E2=60°，
∴△DE1E2是等邊三角形，
∴DE1＝DE2＝E1E2＝，
∴E1E2＝，
∵，
∴，即，
綜上，的值為：或，
故答案為：或．
【點睛】本題考查了三角形中位線的性質(zhì)，平行線分線段成比例，等邊三角形的判定和性質(zhì)以及含30°角的直角三角形的性質(zhì)等，根據(jù)進行分情況求解是解題的關(guān)鍵．
變式6-6．（2022·江蘇揚州·統(tǒng)考中考真題）“做數(shù)學(xué)”可以幫助我們積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗．如圖，已知三角形紙片，第1次折疊使點落在邊上的點處，折痕交于點；第2次折疊使點落在點處，折痕交于點．若，則_____________．
【答案】6
【分析】根據(jù)第一次折疊的性質(zhì)求得和，由第二次折疊得到，，進而得到，易得MN是的中位線，最后由三角形的中位線求解．
【詳解】解：∵已知三角形紙片，第1次折疊使點落在邊上的點處，折痕交于點，
∴，．
∵第2次折疊使點落在點處，折痕交于點，
∴，，
∴，
∴．
∵，
∴MN是的中位線，
∴，．
∵，，
∴．
故答案為：6．
【點睛】本題主要考查了折疊的性質(zhì)和三角形中位線的性質(zhì)，理解折疊的性質(zhì)，三角形的中位線性質(zhì)是解答關(guān)鍵．
變式6-7．（2021·江蘇南京·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，的邊的中點C，D的橫坐標(biāo)分別是1，4，則點B的橫坐標(biāo)是_______．
【答案】6
【分析】根據(jù)中點的性質(zhì)，先求出點A的橫坐標(biāo)，再根據(jù)A、D求出B點橫坐標(biāo)．
【詳解】設(shè)點A的橫坐標(biāo)為a，點B的橫坐標(biāo)是b；
點的橫坐標(biāo)是0，C的橫坐標(biāo)是1 ，C，D是的中點
得
得
點B的橫坐標(biāo)是6．
故答案為6．
【點睛】本題考查了中點的性質(zhì)，平面直角坐標(biāo)系，三角形中線的性質(zhì)，正確的使用中點坐標(biāo)公式并正確的計算是解題的關(guān)鍵．
變式6-8．（2022·湖南長沙·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，對角線AC，BD相交于點O，．
(1)求證：；
(2)若點E，F(xiàn)分別為AD，AO的中點，連接EF，，求BD的長及四邊形ABCD的周長．
【答案】(1)見解析
(2)，四邊形ABCD的周長為
【分析】（1）根據(jù)對角線互相垂直的平行四邊形是菱形即可得證；
（2）根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)可得，進而可得的長，中，勾股定理求得，根據(jù)菱形的性質(zhì)即可求解．
【詳解】（1）證明：四邊形是平行四邊，，
四邊形是菱形，
；
（2）解：點E，F(xiàn)分別為AD，AO的中點，
是的中位線，
，
，
，
四邊形是菱形，
，
，
在中，，，
，
菱形形的周長為．
【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)與判定，三角形中位線的性質(zhì)，勾股定理，掌握菱形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．
考查題型七 利用三角形中位線解決三角形面積問題
典例7．（2021·四川內(nèi)江·統(tǒng)考中考真題）如圖，在邊長為的等邊中，分別取三邊的中點，，，得△；再分別取△三邊的中點，，，得△；這樣依次下去，經(jīng)過第2021次操作后得△，則△的面積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先根據(jù)三角形中位線定理計算，再總結(jié)規(guī)律，根據(jù)規(guī)律解答即可得．
【詳解】解：點，分別為，的中點，
，
點，分別為，的中點，
，
，
，
△的面積，
故選D．
【點睛】本題考查了三角形中位線定理，解題的關(guān)鍵是掌握三角形中位線定理．
變式7-1．（2021·四川遂寧·統(tǒng)考中考真題）如圖，在△ABC中，點D、E分別是AB、AC的中點，若△ADE的面積是3cm2，則四邊形BDEC的面積為（ ）
A．12cm2B．9cm2C．6cm2D．3cm2
【答案】B
【分析】由三角形的中位線定理可得DE=BC，DE∥BC，可證△ADE∽△ABC，利用相似三角形的性質(zhì)，即可求解．
【詳解】解：∵點D，E分別是邊AB，AC的中點，
∴DE=BC，DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∵S△ADE=3，
∴S△ABC=12，
∴四邊形BDEC的面積=12-3=9(cm2)，
故選：B．
【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形中位線定理，掌握相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
變式7-2．（2021·黑龍江·統(tǒng)考中考真題）如圖，平行四邊形的對角線相交于點，點為的中點，連接并延長，交的延長線于點，交于點，連接、，若平行四邊形的面積為48，則的面積為（ ）
A．4B．5C．2D．3
【答案】C
【分析】由題意易得，進而可得，則有，然后根據(jù)相似比與面積比的關(guān)系可求解．
【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，
∴，AE=EF，，
∵平行四邊形的面積為48，
∴，
∵點為的中點，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∵和同高不同底，
∴，
故選C．
【點睛】本題主要考查相似三角形的性質(zhì)與判定、平行四邊形的性質(zhì)及三角形中位線，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定、平行四邊形的性質(zhì)及三角形中位線是解題的關(guān)鍵．
變式7-4．（2020·四川內(nèi)江·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，D、E分別是AB和AC的中點，，則（ ）
A．30B．25C．22．5D．20
【答案】D
【分析】首先判斷出△ADE∽△ABC，然后根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方即可求出△ABC的面積．
【詳解】解：根據(jù)題意，點D和點E分別是AB和AC的中點，則DE∥BC且DE=BC，故可以判斷出△ADE∽△ABC,根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方，可知：=1：4，則：=3：4，題中已知，故可得=5，=20
故本題選擇D
【點睛】本題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是得出DE是中位線，從而判斷△ADE∽△ABC，然后掌握相似三角形的面積比等于相似比的平方即可求解本題．
變式7-5．（2020·遼寧·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形是矩形，延長到點，使，連接，點是的中點，連接，，得到；點是的中點，連接，，得到；點是的中點，連接，，得到；…；按照此規(guī)律繼續(xù)進行下去，若矩形的面積等于2，則的面積為_________．（用含正整數(shù)的式子表示）
【答案】
【分析】先計算出、、的面積，然后再根據(jù)其面積的表達式找出其一般規(guī)律進而求解．
【詳解】解：∵，
∴面積是矩形ABCD面積的一半，∴梯形BCDE的面積為，
∵點是的中點，∴
∴，
，
∴，
∵點是的中點，由中線平分所在三角形的面積可知，
∴，
且，
∴
∴，
同理可以計算出：
，
且，
∴，
∴，
故、、的面積分別為：，
觀察規(guī)律，其分母分別為2,4,8，符合，分子規(guī)律為，
∴的面積為．
故答案為：．
【點睛】本題考查了三角形的中線的性質(zhì)，三角形面積公式，矩形的性質(zhì)等，本題的關(guān)鍵是能求出前面三個三角形的面積表達式，進而找出規(guī)律求解．

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