2、精練習(xí)題。不搞“題海戰(zhàn)術(shù)”，在老師指導(dǎo)下，選一些源于課本的變式題，或體現(xiàn)基本概念、基本方法的基本題，通過解題來提高思維能力和解題技巧，加深對(duì)所學(xué)知識(shí)的深入理解。在解題時(shí)，要獨(dú)立思考，一題多思，一題多解，反復(fù)玩味，悟出道理。
3、加強(qiáng)審題的規(guī)范性。每每大考過后，總有同學(xué)抱怨沒考好，糾其原因是考試時(shí)沒有注意審題。審題決定了成功與否，不解決這個(gè)問題勢必影響到高考的成敗。
4、重視錯(cuò)題。錯(cuò)誤要及時(shí)尋找錯(cuò)因，及時(shí)進(jìn)行總結(jié)，三五個(gè)字，一兩句話都行，言簡意賅，切中要害，以利于吸取教訓(xùn)，力求相同的錯(cuò)誤不犯第二次。
專題12 三角函數(shù)與解三角形大題歸類
目錄
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc7796" 題型一：圖像求解析式及性質(zhì) PAGEREF _Tc7796 \h 1
\l "_Tc22592" 題型二：“零點(diǎn)”求參 PAGEREF _Tc22592 \h 5
\l "_Tc6380" 題型三：“零點(diǎn)”和型性質(zhì) PAGEREF _Tc6380 \h 8
\l "_Tc10588" 題型四：解三角形：正弦定理邊化角型求角 PAGEREF _Tc10588 \h 12
\l "_Tc11720" 題型五：解三角形：角化邊型余弦定理求角 PAGEREF _Tc11720 \h 15
\l "_Tc10359" 題型六：最值：不對(duì)稱型最值 PAGEREF _Tc10359 \h 17
\l "_Tc32015" 題型七：最值：比值型最值 PAGEREF _Tc32015 \h 20
\l "_Tc8953" 題型八：最值：三角函數(shù)角度型最值 PAGEREF _Tc8953 \h 23
\l "_Tc6533" 題型九：三大線：中點(diǎn)與中線 PAGEREF _Tc6533 \h 25
\l "_Tc10128" 題型十：三大線：角平分線型 PAGEREF _Tc10128 \h 29
\l "_Tc30948" 題型十一：三大線：三角形高型 PAGEREF _Tc30948 \h 32
\l "_Tc25019" 題型十二：定比分點(diǎn)雙三角形 PAGEREF _Tc25019 \h 35
\l "_Tc2670" 題型十三：定比分點(diǎn)最值范圍型 PAGEREF _Tc2670 \h 38
\l "_Tc14750" 題型十四：四邊形中解三角形 PAGEREF _Tc14750 \h 42
\l "_Tc30566" 題型十五：四邊形最值與范圍 PAGEREF _Tc30566 \h 45
\l "_Tc18038" 題型十六：解三角形中的壓軸證明題（19題） PAGEREF _Tc18038 \h 48
題型一：圖像求解析式及性質(zhì)
已知的部分圖象求其解析式時(shí)
比較容易看圖得出，困難的是求待定系數(shù)和，常用如下兩種方法：
(1)由即可求出；確定時(shí)，若能求出離原點(diǎn)最近的右側(cè)圖象上升(或下降)的“零點(diǎn)”橫坐標(biāo)，則令(或)，即可求出.
(2)代入點(diǎn)的坐標(biāo)，利用一些已知點(diǎn)(最高點(diǎn)、最低點(diǎn)或“零點(diǎn)”)坐標(biāo)代入解析式，再結(jié)合圖形解出和，若對(duì)，的符號(hào)或?qū)Φ姆秶幸?，則可用誘導(dǎo)公式變換使其符合要求.
1．（2024·北京東城·二模）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示.
(1)求的值；
(2)從下列三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使函數(shù)存在，并求函數(shù)在上的最大值和最小值.
條件①：函數(shù)是奇函數(shù)；
條件②：將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度后得到的圖象；
條件③：.
注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.
【答案】(1)2(2)最大值為1，最小值為
【分析】（1）根據(jù)題意可得，即可得的值；
（2）若選條件①：根據(jù)題意結(jié)合三角函數(shù)的奇偶性可得，以為整體，結(jié)合正弦函數(shù)有界性分析求解；若選條件②：根據(jù)題意結(jié)合圖象變換可得，以為整體，結(jié)合正弦函數(shù)有界性分析求解；若選條件③：根據(jù)題意代入，結(jié)合正弦函數(shù)值的符號(hào)分析判斷.
【詳解】（1）設(shè)的最小正周期為，
由題意可得：，即，且，所以.
（2）由（1）可知：，
若選條件①：函數(shù)是奇函數(shù)，
且，則，可得，解得，則，
又因?yàn)椋瑒t，可知：當(dāng)，即時(shí)，取到最小值；
當(dāng)，即時(shí)，取到最大值；
若選條件②：將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度后，
得到，且，則，
可得，解得，則，
又因?yàn)椋瑒t，可知：當(dāng)，即時(shí)，取到最小值；
當(dāng)，即時(shí)，取到最大值；
若選條件③：因?yàn)椋矗?br>且，則，
可知，即，不合題意，舍去.
2．（2024·甘肅·一模）如圖，角的始邊為軸非負(fù)半軸，終邊與單位圓交于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線，垂足為到直線的距離為MN.若將MN關(guān)于角的函數(shù)關(guān)系記為y=fx.

(1)求y=fx的解析式；
(2)將圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的（縱坐標(biāo)不變），再將所得圖象向左平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)的圖象，求在的單調(diào)遞增區(qū)間.
【答案】(1)(2)和
【分析】
（1）根據(jù)條件得到直線的方程，利于點(diǎn)到直線的距離公式進(jìn)行計(jì)算即可;
（2）根據(jù)函數(shù)圖象的變換規(guī)則得到函數(shù)解析式后，整體代入法求解單調(diào)區(qū)間即可.
【詳解】（1）可知，
又直線的方程為，
故根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式，即.
（2）可知，由，
得，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和
3．（23-24高三上·安徽·階段練習(xí)）函數(shù)的部分圖象如圖所示.
(1)求函數(shù)的解析式；
(2)將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位，再將所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象，求函數(shù)在上的值域.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根據(jù)圖象易得和周期，結(jié)合可得結(jié)果；
（2）根據(jù)平移和伸縮變換可得，進(jìn)而由整體法即可求解函數(shù)的值域.
【詳解】（1）觀察圖象可得，函數(shù)的周期，解得，
即，由，得，即，，
而，則，所以函數(shù)的解析式是.
（2）將的圖象向左平移個(gè)單位長度，
可得到函數(shù)的圖象，再將所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象，則，
當(dāng)時(shí)，，則，所以，
因此在上的值域?yàn)?
4．（2023·山西·模擬預(yù)測）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示.

(1)求的解析式；
(2)將的圖象向右平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)的圖象，求在上的值域.
【答案】(1)(2).
【分析】（1）由圖可知，根據(jù)最小正周期求得，由圖象經(jīng)過點(diǎn)求得，即可得出；
（2）利用圖象平移規(guī)律得，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求得值域.
【詳解】（1）由圖可知，
的最小正周期，則，即.
因?yàn)榈膱D象經(jīng)過點(diǎn)，所以，
解得，因?yàn)?，所以，?
（2）由（1）結(jié)合題意可得.
因?yàn)?，所?當(dāng)，即時(shí)，取得最大值；
當(dāng)，即時(shí)，取得最小值.故在上的值域?yàn)?
題型二：“零點(diǎn)”求參
零點(diǎn)處，令sin(ωx＋φ) ＝0，ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，或者cs(ωx＋φ) ＝0，ωx＋φ＝++kπ可求得對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)；
正弦“第一零點(diǎn)”：；
正弦“第二零點(diǎn)”：
余弦“第一零點(diǎn)”：；
余弦“第二零點(diǎn)”：
1．（23-24廣東深圳·階段練習(xí)）函數(shù)的部分圖象如圖所示．

(1)求函數(shù)的解析式；
(2)將函數(shù)的圖象先向右平移個(gè)單位，再將所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象，求在上的最大值和最小值；
(3)若關(guān)于的方程在上有兩個(gè)不等實(shí)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】(1)；(2)，；(3)．
【分析】（1）利用函數(shù)圖象的頂點(diǎn)求出，利用周期求出，由特殊點(diǎn)求出，即可求出解析式；
（2）利用三角函數(shù)圖象變換求得，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)，利用換元法求得最值；
（3）結(jié)合函數(shù)的定義域和三角函數(shù)的性質(zhì)即可確定其值域，由圖象即求.
【詳解】（1）由函數(shù)的部分圖象可知，
，，，又，
，解得，由可得，；
（2）將向右平移個(gè)單位，得到，
再將所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的，得到，令，由，可得，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
又，，，可得，；
（3）因?yàn)殛P(guān)于的方程在上有兩個(gè)不等實(shí)根，
即與的圖象在有兩個(gè)交點(diǎn).
由圖象可知符合題意的的取值范圍為.
2．（2024·廣東廣州·模擬預(yù)測）已知函數(shù).
(1)若時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(2)將函數(shù)的圖象的橫坐標(biāo)縮小為原來的，縱坐標(biāo)不變，再將其向右平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象.若，函數(shù)有且僅有4個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）利用三角恒等變形，轉(zhuǎn)化為正弦型函數(shù)，然后利用相位整體思想，結(jié)合正弦曲線，求出最值，即可得到答案；
（2）根據(jù)伸縮和平移變換，得到新的函數(shù)解析式，再同樣把相位看成一個(gè)整體，利用正弦曲線，數(shù)形結(jié)合，就可以判定端點(diǎn)值的取值范圍，從而得到解答.
【詳解】（1）因?yàn)椋?br>當(dāng)時(shí)，可得，當(dāng)，即時(shí)，取得最小值，
因?yàn)闀r(shí)，恒成立，所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.
（2）由圖象的橫坐標(biāo)縮小為原來的，可得：，
再將其向右平移，可得：，即函數(shù)，
因?yàn)?，所以，在給定區(qū)間的正弦函數(shù)的零點(diǎn)是，
再由函數(shù)有且僅有4個(gè)零點(diǎn)，則滿足，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍.
3．（23-24·安徽蚌埠·期末）已知函數(shù).
(1)求的單調(diào)遞減區(qū)間；
(2)將y=fx的圖象上的各點(diǎn)縱坐標(biāo)保持不變，橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，再向右平移個(gè)單位得到y(tǒng)=gx的圖象，當(dāng)時(shí)，方程有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）結(jié)合降冪公式和輔助角公式化簡，結(jié)合整體法可求的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）結(jié)合平移法則易得，由求出范圍，進(jìn)而得到的范圍.
【詳解】（1）因?yàn)椋?br>由，解得，
所以的遞減區(qū)間為；
（2）由（1）知，那么將圖象上各點(diǎn)縱坐標(biāo)保持不變，
橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，再向右平移個(gè)單位，得到．
當(dāng)時(shí)，，
由方程有解，可得實(shí)數(shù)的取值范圍為．
4．（2023·安徽亳州·模擬預(yù)測）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示.

(1)求函數(shù)的解析式；
(2)將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象，若方程在上有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的圖象求得A和，再將代入求解；
（2）由（1）得到，再令，轉(zhuǎn)化為二次方程求解.
【詳解】（1）解：由函數(shù)的圖象知：，則，
所以，，因?yàn)椋?br>所以，則，又因?yàn)?，則，所以；
（2）由題意得：，令，則化為：，即在上有解，由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)得：，
所以.
題型三：“零點(diǎn)”和型性質(zhì)
零點(diǎn)求和型，多利用三角函數(shù)對(duì)稱軸對(duì)稱性求解
對(duì)稱性： 換元思想，將y＝Asin(ωx＋φ)中的“ωx＋φ”看成y＝sin x中的“x”，采用整體代入求解．
對(duì)稱軸：最值處，令sin(ωx＋φ) ＝1，則ωx＋φ＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，可求得對(duì)稱軸方程；
1．（21-22廣東佛山·階段練習(xí)）已知數(shù)的相鄰兩對(duì)稱軸間的距離為.
(1)求的解析式；
(2)將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度，再把各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小為原來的（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象，當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的值域；
(3)對(duì)于第（2）問中的函數(shù)，記方程在上的根從小到大依次為，若，試求與的值.
【答案】(1)(2)(3)
【分析】（1）先整理化簡得，利用周期求得，即可得到；
（2）利用圖像變換得到，用換元法求出函數(shù)的值域；
（3）由方程，得到，借助于正弦函數(shù)的圖象，求出與的值.
【詳解】（1）由題意，函數(shù)
因?yàn)楹瘮?shù)圖象的相鄰兩對(duì)稱軸間的距離為，所以，可得.故
（2）將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度，可得的圖象.
再把橫坐標(biāo)縮小為原來的，得到函數(shù)的圖象.
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，最小值為，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，最大值為，故函數(shù)的值域.
（3）由方程，即，即，因?yàn)椋傻茫?br>設(shè)，其中，即，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象，
可得方程在區(qū)間有5個(gè)解，即， 其中，
即
解得
所以. 綜上，
【點(diǎn)睛】（1）三角函數(shù)問題通常需要把它化為“一角一名一次”的結(jié)構(gòu)，借助于或的性質(zhì)解題；
（2）求y=Asin(ωx+φ)+B的值域通常用換元法；
2．（22-23江西萍鄉(xiāng)·期中）函數(shù)的部分圖象如圖所示．

(1)求函數(shù)的解析式；
(2)將函數(shù)的圖象先向右平移個(gè)單位，再將所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象，若關(guān)于的方程在上有兩個(gè)不等實(shí)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍，并求的值．
【答案】(1)(2)，
【分析】（1）根據(jù)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)計(jì)算即可；
（2）先根據(jù)三角函數(shù)的圖像變換得，結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性、對(duì)稱性可判定的取值范圍與的值.
【詳解】（1）由圖可知，，∵，∴，∴，又，
∴，，∴，由可得，∴；
（2）將向右平移個(gè)單位得到，
再將所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的，得到，令，則，
易知函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
又，，，∴；由對(duì)稱性可知，
∴，∴，∴．
3．（2023·陜西安康·一模）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示.
(1)求函數(shù)的解析式；
(2)將函數(shù)圖象上所有的點(diǎn)向右平移個(gè)單位長度，再將所得圖象上每一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象.當(dāng)時(shí)，方程恰有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，，求實(shí)數(shù)a的取值范圍以及的值.
【答案】(1)(2)，
【分析】（1）由三角函數(shù)圖象的最大值與最小值，求出，得到最小正周期，求出，再代入特殊點(diǎn)的坐標(biāo)，求出，得到函數(shù)解析式；
（2）先根據(jù)平移變換和伸縮變換得到，令，換元后利用整體法求出函數(shù)的單調(diào)性和端點(diǎn)值，得到，再根據(jù)對(duì)稱性得到，相加后得到，求出答案.
【詳解】（1）由圖示得：，解得：，又，所以，所以，所以.
又因?yàn)檫^點(diǎn)，所以，即，
所以，解得，又，所以，所以.
（2）圖象上所有的點(diǎn)向右平移個(gè)單位長度，得到，
將所得圖象上每一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍（縱坐標(biāo)不變），得到，
當(dāng)時(shí)，，
令，則，令，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，
,所以時(shí)，.當(dāng)時(shí)，方程恰有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.因?yàn)橛腥齻€(gè)不同的實(shí)數(shù)根，且關(guān)于對(duì)稱，關(guān)于對(duì)稱，則，
兩式相加得：，
即，所以.
4．（23-24高三上·吉林白城·階段練習(xí)）已知函數(shù)為奇函數(shù)，且圖象的相鄰兩條對(duì)稱軸間的距離為.
(1)求的解析式與單調(diào)遞減區(qū)間；
(2)將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度，再把橫坐標(biāo)縮小為原來的（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象，當(dāng)時(shí)，求方程的所有根的和.
【答案】(1)，(2).
【分析】（1）利用恒等變換化簡后，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)求解；
（2）利用圖象變換法,求得的函數(shù)表達(dá)式，解方程求得的值，利用換元思想，結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)分析求出即可.
【詳解】（1）由題意可得：因?yàn)閳D象的相鄰兩條對(duì)稱軸間的距離為，所以的最小正周期為，即可得，
又為奇函數(shù)，則，又，所以，故.
令，得，
所以函數(shù)的遞減區(qū)間為.
（2）將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度，可得的圖象，
再把橫坐標(biāo)縮小為原來的，得到函數(shù)的圖象，
又，則或，即或.
令，當(dāng)時(shí)，，
畫出的圖象如圖所示：
的兩個(gè)根對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，即，有，在上有兩個(gè)不同的根，所以；又的根為，
所以方程在內(nèi)所有根的和為.
題型四：解三角形：正弦定理邊化角型求角
對(duì)于sin（）與cs（） 簡稱為“正余余正，余余正正”
恒等變形和化簡求角中，有如下經(jīng)驗(yàn)：
SinC=Sin(A+B)=sinAcsB+csAsinB:正用。逆用；見A與B的正余或者余正，不夠，找sinC拆
邊的齊次式，正弦定理轉(zhuǎn)為角的正弦；
csC=-cs(A+B)=-[csAcsB-sinAsinC]
1．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，且
(1)求；
(2)設(shè)為邊的中點(diǎn)，，求線段長度的最大值.
【答案】(1)(2).
【分析】（1）由題設(shè)條件重新組合后將證明替換成，再利用正、余弦定理即可求得；
（2）利用三角形中線的向量表達(dá)式和向量數(shù)量積的定義式，可推得，根據(jù)余弦定理和基本不等式求得，代入即可計(jì)算得到.
【詳解】（1）由，得(*).因?yàn)?，所以?br>由正弦定理，得，代入（*）得，.
由正弦定理，得，由余弦定理的推論，得.
（2）由余弦定理，得，即，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故得.又，兩邊平方可得，
，所以，即線段長度的最大值為.
2．（2024·四川南充·模擬預(yù)測）在中，.
(1)求；
(2)若，求周長的最大值.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）利用正弦定理將角化邊，再由余弦定理計(jì)算可得；
（2）利用余弦定理及基本不等式求出的最大值，即可得解.
【詳解】（1）因?yàn)?，由正弦定理可得，即?br>由余弦定理，，.
（2）因?yàn)?，即?，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)， ，即，
又，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
周長，即周長的最大值為
3．（2024·遼寧沈陽·模擬預(yù)測）在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且.
(1)求角A的大小；
(2)若為銳角三角形，點(diǎn)F為的垂心，，求的取值范圍.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）由正弦定理及余弦定理可得的值，再由角的范圍，可得角的大??；
（2）設(shè)，分別在兩個(gè)三角形中，由正弦定理可得，的表達(dá)式，由輔助角公式可得的取值范圍．
【詳解】（1）因?yàn)?，所以?br>所以，由正弦定理可得，由余弦定理可得，，可得；
（2）延長交于，延長交于，延長交于，，
根據(jù)題意可得，，因?yàn)?，所以?br>設(shè)，，在中，由正弦定理可得，
即，可得，同理在中，可得，
所以，
因?yàn)椋?，所以，所以?br>4．（23-24·天津·階段練習(xí)）在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，已知.
(1)求的值；(2)若.
（i）求的面積；（ii）求的值.
【答案】(1)2 (2)（i）；（ii）
【分析】（1）由正弦定理和兩角和的正弦公式化簡已知式即可得出答案；
（2）（i）由正弦定理和余弦定理可得，再由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系和三角形的面積公式即可得出答案；（ii）由二倍角的正弦和余弦公式求出，再利用兩角和的正弦公式計(jì)算即得.
【詳解】（1）由正弦定理，
即，，所以.
（2）（i）由（1）知，即，又，由余弦定理，得，
解得，，則，.
（ii），
.
題型五：解三角形：角化邊型余弦定理求角
余弦定理：
1.若式子含有的2次齊次式，優(yōu)先考慮余弦定理，“角化邊”
2.面積和2次齊次式，可構(gòu)造余弦定理
1．（2025·廣東·一模）在△中，角的對(duì)邊分別為，已知
(1)求 ;
(2)若 分別為邊 上的中點(diǎn)，為 的重心，求 的余弦值.
【答案】(1)(2)
【分析】(1)根據(jù)二倍角公式將已知條件變形轉(zhuǎn)化，再根據(jù)正弦定理邊角互化，帶入到余弦定理即可求得；
(2)根據(jù)已知設(shè) ，表達(dá)出，再根據(jù)余弦定理可求得結(jié)果.
【詳解】（1）因?yàn)椋?br>所以，
即
由正弦定理得 ，由余弦定理得 ，因?yàn)?br>（2）設(shè) ，依題意可得
所以
所以.
2．（23-24·陜西咸陽·階段練習(xí)）在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知．
(1)求角A的大?。?br>(2)若，，求的面積；
(3)若，，D為BC的中點(diǎn)，求AD的長．
【答案】(1)(2)(3)
【分析】（1）根據(jù)正弦定理邊角互化，結(jié)合余弦定理即可求解；
（2）根據(jù)余弦定理得的值，進(jìn)而根據(jù)三角形面積公式即可求解；
（3）根據(jù)三角形的中線的向量表達(dá)形式，結(jié)合向量模長公式即可求解
【詳解】（1），即．
即,也即
由余弦定理可得，由，故
（2）由，，由余弦定理可得：
解得：，所以
（3）由余弦定理可得：，解得又D為BC的中點(diǎn)，則
兩邊平方可得：所以AD的長
3．（2024·江西·模擬預(yù)測）的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且b是a，c的等比中項(xiàng)．
(1)求B的最大值：
(2)若C為鈍角，求的取值范圍．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根據(jù)等比中項(xiàng)及余弦定理得，根據(jù)基本不等式及余弦函數(shù)性質(zhì)可得結(jié)果；
（2）依題意設(shè)，，根據(jù)三角形三邊關(guān)系及條件求出，利用正弦定理及兩角和正弦公式。誘導(dǎo)公式化簡得，從而可得結(jié)果.
【詳解】（1）因?yàn)閎是a，c的等比中項(xiàng)，所以．由余弦定理可知，
則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．
又，根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)且，故B的最大值為．
（2）由已知可設(shè)，，則，所以，解得．，
所以的取值范圍為．
4．（2024·江蘇鹽城·模擬預(yù)測）在中，已知角，，所對(duì)的邊分別為，，，．
(1)求角的大??；
(2)若為銳角三角形，求的取值范圍．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）由二倍角的正弦和余弦公式，結(jié)合余弦定理將角轉(zhuǎn)化為邊，可將式子變形為，再利用余弦定理即可求解；
（2）利用正弦定理將邊轉(zhuǎn)化為角，再結(jié)合三角恒等變換可得，根據(jù)銳角三角形可得的取值范圍，結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可求解.
【詳解】（1）在中，
，
因?yàn)椋裕?br>化簡得，由余弦定理得，又，所以；
（2）由正弦定理知，
由為銳角三角形可知，而，所以得，
所以，所以，即 ，
則的取值范圍為.
題型六：最值：不對(duì)稱型最值
非對(duì)稱型結(jié)構(gòu)
結(jié)構(gòu)特征：
“非齊次或者不對(duì)稱結(jié)構(gòu)”，用正弦定理消角化一，角度范圍是否受限，是關(guān)鍵計(jì)算點(diǎn)
1．（13-14高三下·山東東營·階段練習(xí)）在中，角所對(duì)的邊分別為，且滿足
(1)求角B的值；
(2)若且，求的取值范圍.
【答案】(1)或(2)
【分析】（1）利用二倍角公式和兩角和與差的余弦公式化簡，可求出角B的值；
（2）根據(jù)條件，可求出角B的值以及角A的范圍，利用正弦定理可得到，將代入，用輔助角公式化簡，結(jié)合A的范圍即可求出結(jié)果.
【詳解】（1）在中，，，
，，
，，即，又，
所以，解得或.
（2）∵且，∴，
由正弦定理得，所以，.
故，
∵，∴，，又易知函數(shù)在上單調(diào)遞增，
于是當(dāng)，即時(shí)的最小值為，當(dāng)，即時(shí)的最大值為.所以，即的取值范圍.
2．（2024·廣東湛江·一模）已知在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且．
(1)求A；
(2)若外接圓的直徑為，求的取值范圍．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）由兩角和與差的余弦公式、正弦定理化簡已知式即可得出答案；
（2）由正弦定理可得，由兩角差的正弦公式和輔助角公式可得，再由三角函數(shù)的性質(zhì)求解即可.
【詳解】（1）由可得：，所以，
所以，
，
，由正弦定理可得，
因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)椋?
（2）由正弦定理可得，所以，
故，又，所以，
所以，又，所以，所以，所以的取值范圍為.
3．（22-23河南省直轄縣級(jí)單位）已知為銳角三角形，角的對(duì)邊分別為，且.
(1)求角的大小；
(2)若，求的取值范圍.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根據(jù)余弦定理化簡原式得到，結(jié)合即可得到答案；
（2）根據(jù)正弦定理和輔助角公式化簡，結(jié)合與三角函數(shù)值域相關(guān)知識(shí)求解答案即可.
【詳解】（1）在中，由余弦定理得，，
所以，所以，
又因?yàn)闉殇J角三角形，所以，所以.
（2）在中，由正弦定理得，，
所以
，
因?yàn)闉殇J角三角形，所以，解得，
所以，則，所以的取值范圍為.
4．（2021·江蘇南通·一模）在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充到下面的問題中并作答．
問題：在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且____．
(1)求角C；
(2)若，求的取值范圍．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根據(jù)三角恒等變換，結(jié)合正余弦定理邊角互化，即可逐一求解，
（2）根據(jù)正弦定理可得，進(jìn)而根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)即可求解.
【詳解】（1）若選①：，則，
∴∴
∵，，∴，∵，∴.
若選②：，由正弦定理得，
∴，∴，∵，∴．
若選③：，則，由正弦定理得，∴∴，∴，∵，∴．
（2）由正弦定理得，故，
則，
，
由于，，，
∴.
題型七：最值：比值型最值
最值范圍：分式比值型
化邊為角型
通過正余弦定理，把邊轉(zhuǎn)化為角。
利用特殊角，消角，以分母角度為住元，消去分子角度，轉(zhuǎn)化為分母角度的單變量函數(shù)形式
對(duì)單變量（單角）求最值。
1．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為．
(1)求角的大?。?br>(2)求的最小值．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）法一：利用余弦定理化角為邊，進(jìn)而可得出答案；
法二：利用正弦定理化邊為角，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理結(jié)合兩角和的正弦公式化簡即可得解；
（2）利用正弦定理化角為邊，再根據(jù)余弦定理結(jié)合基本不等式即可得出答案.
【詳解】（1）解法一：，由余弦定理，得，
，又，；
解法二：，由正弦定理得，又，
，
又，；
（2）由余弦定理，得，由正弦定理，得，又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
的最小值為．
2．（2023·全國·模擬預(yù)測）在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，設(shè)的面積為S，．
(1)當(dāng)時(shí)，若，求角A；
(2)當(dāng)時(shí)，求的最大值.
【答案】(1)；(2)．
【分析】（1）由正弦定理化邊為角，再利用已知角將其轉(zhuǎn)化成角的三角方程，求解即得；
（2）由余弦定理和基本不等式求得的范圍，利用面積公式將所求式轉(zhuǎn)化成角的三角函數(shù)式，從而求出其范圍，得最大值.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，即，由正弦定理得，，
因，故，化簡得，從而，由于，所以．
（2）當(dāng)時(shí)，，由余弦定理得，，所以（*），即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
即，又由（*）可得：．
因?yàn)椋裕?br>由于,，故,此時(shí)正切函數(shù)為增函數(shù)，
且時(shí)，，所以，
所以當(dāng)時(shí)，的最大值為．
3．（2023·浙江·模擬預(yù)測）已知中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，且滿足.
(1)若，求；
(2)求的取值范圍.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）解法一：根據(jù)題意，由正弦定理得到，再由余弦定理得到，聯(lián)立方程組得到，再由余弦定理求得，即可求解；
解法二：根據(jù)題意，由正弦定理化簡得到，進(jìn)而得到，即可求解；
（2）由（1）得到，求得，結(jié)合三角形的邊的關(guān)系，得到，設(shè)，得出函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.
【詳解】（1）解法一：因?yàn)?，由正弦定理得，可得，即?br>又因?yàn)?，由余弦定理得，即?br>聯(lián)立方程組，可得，即，所以，
由余弦定理定理得，
因?yàn)?，所?
解法二：因?yàn)?，由正弦定理得?br>整理得，
又因?yàn)?，可得，所以?br>即，可得，即，
因?yàn)椋?，所以，所?
（2）由（1）知，可得，且，所以，
由三角形三邊關(guān)系，可得，可得，令，可得，其中，
所以函數(shù)，所以，所以的取值范圍是.
4．（22-23 安徽六安 ）從條件①；②中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，并加以解答.在中：內(nèi)角的對(duì)邊分別為，______.
(1)求角的大?。?br>(2)設(shè)為邊的中點(diǎn)，求的最大值.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）若選①，利用正弦定理邊化角，結(jié)合輔助角公式可整理得到，由角的范圍可求得；
若選②，利用二倍角和輔助角公式可化簡求得，由角的范圍可求得；
（2）由，平方后可用表示出，結(jié)合基本不等式可求得最大值.
【詳解】（1）若選條件①：由正弦定理得：，
，
，，，即，，
又，，，解得：；
若選條件②：，
，，
，，，解得：.
（2），，
即，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），
的最大值為.
題型八：最值：三角函數(shù)角度型最值
銳鈍角限制型
注意銳角三角形，或者鈍角三角形對(duì)角的范圍的限制，如果有這樣限制，要對(duì)每個(gè)角都要用不等式范圍求解
1．（2023·安徽·二模）在中，．
(1)若，判斷的形狀；
(2)求的最大值．
【答案】(1)是直角三角形(2)
【分析】（1）利用正弦定理把化為，再利用余弦定理可得，再由，即可求出，，代入正弦的和角公式可知，從而可判斷為直角三角形；
（2）由（1）中的，可得，再利用正切的差角公式可得，結(jié)合基本不等式求解即可.
【詳解】（1）設(shè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，
由及正弦定理得：，
，
，．
，，
是直角三角形．
（2）由（1）知，，
，且，
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，的最大值為．
2．（2023·陜西榆林·三模）已知分別為的內(nèi)角所對(duì)的邊，，且．
(1)求；
(2)求的取值范圍．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）利用向量的數(shù)量積的定義及正弦定理的邊角化即可求解；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論及三角形的內(nèi)角和定理，利用誘導(dǎo)公式、兩角和的正弦公式及降冪公式，結(jié)合輔助角公式及三角函數(shù)的性質(zhì)即可解.
【詳解】（1），
由及正弦定理，得，
得，代入得，又因?yàn)?，所以?br>（2）由（1）知，所以. 所以，
因?yàn)?所以，所以，
所以，故的取值范圍是.
3．（2023·浙江嘉興·二模）在中，角所對(duì)的邊分別是.已知.
(1)若，求；
(2)求的取值范圍.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根據(jù)正弦定理和三角恒等變換化簡可得，則，進(jìn)而求解；
（2）由（1），根據(jù)平方差公式、正、余弦定理和二倍角的正弦、余弦公式化簡可得，結(jié)合即可求解.
【詳解】（1）由正弦定理得，又，
得，，
，所以或，
得或(舍去)，若，則；
（2），
由正弦定理，得，
由（1）知，得，又，
所以，即，
而，所以，得，
故，即.
4．（2023·云南紅河·二模）記的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，已知．
(1)證明：；
(2)求的最大值．
【答案】(1)證明見解析(2)
【分析】（1）利用正弦定理化角為邊，再根據(jù)余弦定理結(jié)合基本不等式求出的范圍，即可得的范圍，即可得證；
（2）根據(jù)二倍角的余弦公式可得，設(shè)，，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最值即可.
【詳解】（1）因?yàn)?，所以?br>因?yàn)椋?br>即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，又因?yàn)?，所以?br>（2），設(shè)，則，
因?yàn)?，所以，設(shè)，由，得，
當(dāng)，，單調(diào)遞增；當(dāng)，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，取得最大值為，所以的最大值為.
題型九：三大線：中點(diǎn)與中線
中線的處理方法
1.向量法：
補(bǔ)全為平行四邊形。再轉(zhuǎn)而在新三角形中用正余弦定理
1．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，，且滿足______．
請(qǐng)從以下三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知條件補(bǔ)充在題目上，并完成下面問題：
①外接圓半徑；
②；
③．
(1)求銳角；
(2)求的BC邊上的中線的最大值．
注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．
【答案】(1)條件選擇見解析，(2)
【分析】(1) 若選①，由正弦定理求解；
若選②，由正弦定理得，則有，即可得答案；
若選③，利用二倍角公式化簡得，則有，即可得答案；
(2)由余弦定理及基本不等式可得，設(shè)BC的中點(diǎn)為M，則，等式兩邊平方可得：，即可得答案.
【詳解】（1）解：若選①，由，解得，又A為銳角，故；
若選②，由正弦定理得，即，
又，所以，則，又A為銳角，故；
若選③，由，則有，即， 又A為銳角，所以，所以，故；綜上所述；
（2）解：由余弦定理可得，所以，
因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以．
設(shè)BC的中點(diǎn)為M，則，
等式兩邊平方可得：
，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，
即BC邊上的中線的最大值為．
2．（2023·湖北·模擬預(yù)測）在中，，點(diǎn)D在邊上，.
(1)若，求的值，
(2)若，且點(diǎn)D是邊的中點(diǎn)，求的值.
【答案】(1)或(2)
【分析】（1）由余弦定理列出方程，求出的值；
（2）作出輔助線，得到，由余弦定理求出，從而求得答案.
【詳解】（1）在中，由余弦定理得：，
所以，解得或，
經(jīng)檢驗(yàn)均符合要求；
（2）在中，過D作的平行線交于E，因?yàn)辄c(diǎn)D是邊的中點(diǎn)，所以點(diǎn)E為AC的中點(diǎn)，
在中，，
又，所以.由余弦定理得：，
所以，所以或（舍去），
故.
3．（22-23高三上·湖北十堰·階段練習(xí)）在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別是，且.
(1)求；
(2)若是邊的中點(diǎn)，且，求面積的最大值.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根據(jù)正弦定理角化邊，結(jié)合余弦定理求解即可；
（2）由題知，進(jìn)而得，再結(jié)合基本不等式得，再根據(jù)面積公式求解即可.
【詳解】（1）解：因?yàn)?，所以?br>所以，.因?yàn)?，所?
（2）解：因?yàn)槭沁叺闹悬c(diǎn)，所以，
所以，
因?yàn)?，且，所?
因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以.
則的面積.所以，面積的最大值.
4．（2022·全國·模擬預(yù)測）在①，②，③且這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，并解答.
在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，______.
(1)求證：△ABC是等腰三角形；
(2)若D為邊BC的中點(diǎn)，且，求△ABC周長的最大值.
【答案】(1)條件選擇見解析，證明見解析(2)
【分析】（1）條件①利用正弦定理進(jìn)行邊角互換得到，然后利用三角形內(nèi)角和和誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡得到，即可得到△ABC是等腰三角形；
條件②利用商的關(guān)系化簡得到，然后利用正弦定理得到，即可得到△ABC是等腰三角形；
條件③利用正弦定理和二倍角公式得到，即可得到，△ABC是等腰三角形；
（2）利用余弦定理和得到，然后利用基本不等式求周長的最大值即可.
【詳解】（1）方案一：選條件①.
由及正弦定理，得，
所以，即，
又，，所以或（不合題意，舍去），故△ABC是等腰三角形.
方案二：選條件②.
由，得，
所以，由正弦定理，得，故，所以△ABC為等腰三角形.
方案三：選條件③.
由及正弦定理，得所以，得，
又，，所以或，又，故， 所以△ABC為等腰三角形.
（2）由（1）知，△ABC為等腰三角形，且.
在△ABD中，由余弦定理，得，化簡得.
設(shè)△ABC的周長為l，則，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)， 所以△ABC周長的最大值.
題型十：三大線：角平分線型
三角形角平分線的處理方法：
角平分線定理（大題中，需要證明，否則可能會(huì)扣過程分）：
1．（2022·四川綿陽·二模）在中，角所對(duì)的邊分別為，且.
(1)求角的大??；
(2)若角的平分線交于且，求的最小值.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）化簡得到，根據(jù)正弦定理計(jì)算得到，得到角度.
（2）設(shè)，，確定，計(jì)算，再利用均值不等式計(jì)算得到答案.
【詳解】（1），即，即.
由正弦定理得，，，故.
，，故，又，故，故；
（2），設(shè)，，
根據(jù)向量的平行四邊形法則：，
即，，又，
故，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故的最小值為.
2．（22-23高三上·山西呂梁·期末）在銳角中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且滿足：
(1)求角的大??；
(2)若，角與角的內(nèi)角平分線相交于點(diǎn)，求面積的取值范圍．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根據(jù)正弦邊化角，并結(jié)合恒等變換得，再結(jié)合題意得，進(jìn)而根據(jù)內(nèi)角和定理得答案；
（2）由題，結(jié)合（1）得，設(shè)，則，進(jìn)而根據(jù)銳角三角形得，在中，由正弦定理得，進(jìn)而，再根據(jù)三角函數(shù)性質(zhì)求范圍即可.
【詳解】（1）解：因?yàn)?br>所以，即
所以，
所以，即，
因?yàn)樵阡J角中，，所以，即，
因?yàn)椋?，解得所?br>（2）解：因?yàn)椋桥c角的內(nèi)角平分線相交于點(diǎn)，所以，
所以所以，
設(shè)，則，因?yàn)闉殇J角三角形，
所，解得
所以，在中，由正弦定理得，
所以，面積
因?yàn)椋?，所以，所以?br>所以，面積的取值范圍是.
3．（2023·云南曲靖·一模）在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊長依次是a，b，c，，．
(1)求角B的大?。?br>(2)當(dāng)△ABC面積最大時(shí)，求∠BAC的平分線AD的長．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）由正弦定理角化邊，再應(yīng)用余弦定理可解得角B.（2）由余弦定理與重要不等式可得△ABC面積最大時(shí)a、c的值，在△ABD中應(yīng)用正弦定理可解得AD的值.
【詳解】（1）∵，∴由正弦定理可得，
∴由余弦定理得，又∵，∴．
（2）在△ABC中，由余弦定理得，即．∵，，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
∴，當(dāng)且僅當(dāng)a＝c＝2時(shí)，，
又∵△ABC面積為，∴當(dāng)且僅當(dāng)a＝c＝2時(shí)△ABC面積最大．
當(dāng)a＝c＝2時(shí)，．又∵為的角平分線，∴
∴在△ABD中，，∴在△ABD中，由正弦定理得．
4．（2023·山東·模擬預(yù)測）已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，，，，且．
(1)求的大?。?br>(2)若的平分線交于點(diǎn)，且，求的取值范圍．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）利用正弦定理化邊為角，結(jié)合三角恒等變換整理得，再根據(jù)角的范圍分析運(yùn)算；
（2）根據(jù)三角形的面積關(guān)系整理得，結(jié)合基本不等式求范圍.
【詳解】（1）∵，由正弦定理可得，
則，可得，
整理得，注意到，且，則，且，可得或，
解得或（舍去），故.
（2）若的平分線交于點(diǎn)，則，
∵，則，
即，整理得，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故的取值范圍為.
題型十一：三大線：三角形高型
三角形高的處理方法：
1.等面積法：兩種求面積公式
如
2.三角函數(shù)法：
1．（2023·全國·模擬預(yù)測）在銳角三角形中，，．
(1)求．
(2)求邊上的高的取值范圍．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理結(jié)合正弦定理化角為邊，再根據(jù)余弦定理即可得解；
（2）設(shè)邊上的高為，則，再利用正弦定理及三角函數(shù)求出的范圍，即可得解，注意三角形為銳角三角形.
【詳解】（1）設(shè)的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，
因?yàn)?，?br>所以，由正弦定理，得，整理得，
由余弦定理得，又，所以；
（2）設(shè)邊上的高為，則，
由正弦定理，得，由為銳角三角形，
得，得，則，所以，從而，故邊上的高的取值范圍是．
2．（2023·山西大同·模擬預(yù)測）記銳角△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知．
(1)證明：；
(2)若AD是BC邊上的高，且，求的取值范圍．
【答案】(1)證明見解析(2)
【分析】（1）利用三角恒等變換，將已知條件化為，根據(jù)正余弦邊角關(guān)系證明結(jié)論；
（2）設(shè)，，則，根據(jù)（1）結(jié)論有，利用余弦定理及銳角三角形的性質(zhì)求范圍，進(jìn)而求范圍.
【詳解】（1）由題意得
，即，
由正弦定理得.
（2）設(shè)，，則，由（1）知：，∴，
由，又，
對(duì)于函數(shù)且，有，則在上，遞減；在上，遞增，
所以，故，
則.
3．（2020·遼寧·一模）的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，已知，.
(1)求及；
(2)若，求邊上的高.
【答案】(1)，(2)
【分析】（1）正弦邊角關(guān)系及和角正弦公式得，結(jié)合三角形內(nèi)角的性質(zhì)求，再應(yīng)用二倍角公式有，進(jìn)而確定大??；
（2）應(yīng)用余弦定理及求得、，正弦定理求，即可求邊上的高.
【詳解】（1）因?yàn)椋烧叶ɡ淼茫?br>所以，又，所以，又，則.
因?yàn)椋?，又，所以，因?yàn)?，所?
（2）由（1）及余弦定理，得.
將，代入，得，解得或（舍去），則.
因?yàn)椋裕O(shè)邊上的高為，則.
4．（2023·安徽·模擬預(yù)測）在中，角，，的對(duì)邊分別是，，，且滿足．
(1)求；
(2)若，是邊上的高，求的最大值．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）將兩邊同乘，再由正弦定理將邊化角，最后由兩角和的正弦公式及誘導(dǎo)公式計(jì)算可得；
（2）利用余弦定理及基本不等式求出的最大值，即可求出面積的最大值，再根據(jù)求出的最大值.
【詳解】（1）解：因?yàn)?，所以?br>由正弦定理可得，即，
因?yàn)椋裕?，則.
（2）解：因?yàn)?，，由余弦定理，即?br>所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
所以，又，所以，
故的最大值為.
題型十二：定比分點(diǎn)雙三角形
三大線型引申：定比分點(diǎn)型
如圖，若BD=tBC型，稱D為定比分點(diǎn)，可以從以下思維入手：
雙三角形余弦定理：
（1）ABD中，AB2=BD2+AD2-2BD ADcs
（2）ACD中，AC2=CD2+AD2-2CD ADcs(Π-）
2.向量法：
1．（22-23高三下·河北衡水·階段練習(xí)）記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知，是邊上的一點(diǎn)，且.
(1)證明：；
(2)若，求.
【答案】(1)證明見解析(2)
【分析】（1）分別在和中利用正弦定理表示出，代入已知等式化簡整理即可得到結(jié)果；
（2）根據(jù)，在和利用余弦定理可整理得到；在中，利用余弦定理可得，進(jìn)而得到，代入中即可求得結(jié)果.
【詳解】（1）證明：在中，由正弦定理得：，
在中，由正弦定理得：，
在中，，
所以，
，所以.
（2）由，得，
在中，由余弦定理得：，
在中，由余弦定理得：，
，，即，
整理可得：；
在中，由余弦定理得：，則，
，，即，
.
2．（2023·全國·模擬預(yù)測）記的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，．已知，為上一點(diǎn)，．
(1)求的值．
(2)若，求與的大?。?br>【答案】(1)(2)
【分析】（1）利用余弦定理化角為邊，再利用余弦定理可求得，在和中，分別利用正弦定理求出，再根據(jù)，化簡整理即可得解；
（2）在和中，分別利用余弦定理求出，再根據(jù)可得，化簡即可得解.
【詳解】（1）因?yàn)椋裕?br>則．由正弦定理，得，
則由余弦定理得又因?yàn)?，所以?br>在中，由正弦定理，得，則，
同理，在中，由正弦定理，得，由，得，又因?yàn)?，所以?br>則，即，
所以，即；
（2）由（1）可知，，因?yàn)椋?，?br>在中，由余弦定理得，
在中，由余弦定理得，
由，得，
又因?yàn)椋?，所以，所以?br>又，所以．
3．（2024·重慶·三模）已知分別為的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊，為的面積，且滿足.
(1)求；
(2)若，且，求的余弦值.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）利用面積公式和余弦定理化簡已知條件得，然后利用輔助角公式及正弦函數(shù)性質(zhì)求解角即可；
（2）由向量的數(shù)量積運(yùn)算律得，將代入求得，利用余弦定理求得，再利用向量運(yùn)算得，從而求得，最后利用余弦定理求解即可.
【詳解】（1）由面積公式和余弦定理可得：，
，，
，.
（2）由及得，，化簡得，將代入上式整理得：，所以，
所以，解得.
，
三點(diǎn)共線，且，所以.
4．（2023·廣東汕頭·一模）如圖，在中，D是邊上的一點(diǎn)，，．
(1)證明：；
(2)若D為靠近B的三等分點(diǎn)，，，，為鈍角，求．
【答案】(1)證明見解析.(2).
【分析】（1）在和中分別用正弦定理表示出，相比即可證明結(jié)論；
（2）利用（1）的結(jié)論可求得，繼而由余弦定理求得的長，即可得長，從而求得的長，即可求得答案.
【詳解】（1）證明：在中，，
在中，,
由于,故，
所以.
（2）因?yàn)?，故，由為鈍角，故為銳角，
又，且D為靠近B的三等分點(diǎn)，，，
故，
故,
故，則,
故.
題型十三：定比分點(diǎn)最值范圍型
面積最值，一般符合“齊次對(duì)稱結(jié)構(gòu)”，可以直接用余弦定理加均值不等式。
“齊次對(duì)稱結(jié)構(gòu)”，用余弦定理加均值，如果用正弦定理化角，計(jì)算量稍大
用正線定理，要注意角度的范圍。
1．（2023·全國·模擬預(yù)測）在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中，并解答問題．
在銳角中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且______．
(1)求；
(2)若，，求線段長的最大值．
注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）先選條件，并利用正弦定理或余弦定理將已知條件轉(zhuǎn)化，得到角的三角函數(shù)值，再結(jié)合角的取值范圍即可求得角的大?。?br>（2）先利用余弦定理建立關(guān)于的方程，再利用向量的線性運(yùn)算將轉(zhuǎn)化為與，的關(guān)系，兩邊同時(shí)平方即可將用表示，最后利用是銳角三角形及換元法,利用基本不等式求長的最大值即可．
【詳解】（1）方案一：選條件①．由正弦定理得，
∴，∵，∴，即，∵，∴．
方案二：選條件②．由正弦定理得，即，
∴，∵，∴．
方案三：選條件③．由余弦定理得，∴，∴，∵，∴．
（2）由，得，∵，∴，即，兩邊同時(shí)平方得，
∴．令，則，，
令，則，，在銳角中，∴，∴，
∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
∴線段長的最大值為．
2．（2023·全國·模擬預(yù)測）在銳角三角形中，角，，的對(duì)邊分別為，，，且．
(1)求；
(2)若是線段上靠近的三等分點(diǎn)，，求的最大值．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）利用正余弦定理解三角形即可；
（2）把D是線段AC上靠近A的三等分點(diǎn)轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系，再把向量平方可得到邊長關(guān)系轉(zhuǎn)化為t的范圍,
最后結(jié)合基本不等式即可求BD的最大值
【詳解】（1），
∴，
∴．又，．
（2）方法1：由（1）得，∵，則，∴，
∴， ∴，
令，則， 令，則，
在銳角三角形中，∴，即，
（另解：，
∵，，解得，∴，，即）
∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
∴，∴的最大值為．
方法2：在中，由余弦定理可得，在中，由余弦定理可得，∵，∴．
∵，∴，，．
∵，，解得，∴，
∴，∴，∴的最大值為．
3．（2023·青海西寧·二模）在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，，，且.
(1)求角的大??；
(2)若，是邊上的一點(diǎn)，且，求線段的最大值.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）由正弦定理得到，由輔助角公式求出答案；
（2）由正弦定理得到，由余弦定理得到，從而求出，得到答案.
【詳解】（1）因?yàn)?，由正弦定理得，又，所以，所以，即，，又?br>所以，所以，所以；
（2）在中，由正弦定理得，所以.
因?yàn)?，所以，在中，由余弦定理?br>，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，
所以，即線段的最大值為.
4．（2024·河北衡水·一模）在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別是，三角形面積為，若為邊上一點(diǎn)，滿足，且.
(1)求角；
(2)求的取值范圍.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）結(jié)合面積公式、正弦定理及兩角和的正弦公式化簡可得，進(jìn)而求解即可；
（2）在中由正弦定理可得，在中，可得，進(jìn)而得到，結(jié)合三角恒等變化公式化簡可得，進(jìn)而結(jié)合正弦函數(shù)的圖象及性質(zhì)求解即可.
【詳解】（1），，即，
由正弦定理得，，，
，，，由，得.
（2）由（1）知，，因?yàn)?，所以，?br>在中，由正弦定理得，即，在中，，
，，,
，
，，，所以的取值范圍為.

題型十四：四邊形中解三角形
四邊形，一般適當(dāng)?shù)倪B接對(duì)角線，分解為有公共邊倆三角形。如果是有外接圓，則要充分運(yùn)用對(duì)角互補(bǔ)這個(gè)隱形條件
1．（23-24高三下·北京海淀·開學(xué)考試）如圖，在平面四邊形中，，，，.

(1)求線段的長度；
(2)求的值.
【答案】(1)；(2).
【分析】（1）根據(jù)三角形面積公式求出，再利用余弦定理求出線段的長度.
（2）在中，中利用正弦定理，通過，可以求出的值.
【詳解】（1）因?yàn)?，得，在中，由余弦定理可得：?
故線段的長度.
（2）由（1）知，，在中，由正弦定理可得：,
即， 得，又，所以,
在中，由正弦定理可得：,即， .
所以的值為.
2．（23-24高三上·安徽·階段練習(xí)）如圖，平面四邊形的對(duì)角線分別為，，其中，，．

(1)若，的面積為，求的面積；
(2)若，，求的值．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）在中，根據(jù)正弦定理求得，再利用余弦定理求得，由誘導(dǎo)公式得，接著利用面積公式求得，從而可求得；
（2）在中，由正弦定理得，在中，由正弦定理得，由誘導(dǎo)公式可得，進(jìn)而利用同角平方關(guān)系即可求解.
【詳解】（1）由題意得，，，在中，由余弦定理得，．由余弦定理得，，
∵，∴，∴，故，
∴．
（2）在中，由正弦定理得，，∴．
在中，，，由正弦定理得，，
∴．∵，∴，∴，
∴，又，解得．
3．（23-24高三上·江蘇南通·階段練習(xí)）在平面四邊形ABCD中，
(1)若，求；
(2)若求.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）先結(jié)合已知條件、數(shù)量積的定義求出，再在三角形運(yùn)用余弦定理即可求解.
（2）畫出圖形，設(shè)，先得出，，再在中，運(yùn)用正弦定理，由此即可得解.
【詳解】（1）在中，，所以，
所以，在中，由余弦定理得.
因?yàn)椋獾?
（2）如圖所示： 設(shè)，則，
在中，因?yàn)?，所以，在中，，由正弦定理，得，即，所以，即?br>整理得，所以，即.
4．（23-24高三上·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）2023年8月27日，哈爾濱馬拉松在哈爾濱音樂公園音樂長廊鳴槍開跑，比賽某補(bǔ)給站平面設(shè)計(jì)圖如圖所示，根據(jù)需要，在設(shè)計(jì)時(shí)要求，，

(1)若，，求的值；
(2)若，四邊形ABCD面積為4，求的值．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）中求出BD，在中，由正弦定理求出，根據(jù)即可求；
（2）在、中，分別由余弦定理求出，兩式相減可得與的關(guān)系式；又由的與的關(guān)系式；兩個(gè)關(guān)系式平方后相加即可求出﹒
【詳解】（1）在中，∵，則∴．
在中，由正弦定理得，，∴．
由，得，∴，∴．
（2）在、中，由余弦定理得，，
，
從而①，
由得，②，
得，，
即，∴．
題型十五：四邊形最值與范圍
1．（2023·廣東惠州·一模）平面多邊形中，三角形具有穩(wěn)定性，而四邊形不具有這一性質(zhì)．如圖所示，四邊形的頂點(diǎn)在同一平面上，已知．
(1)當(dāng)長度變化時(shí)，是否為一個(gè)定值？若是，求出這個(gè)定值；若否，說明理由．
(2)記與的面積分別為和，請(qǐng)求出的最大值．
【答案】(1)為定值，定值為1(2)14
【分析】（1）法一：在中由余弦定理得，在中由余弦定理得，兩式相減可得答案；法二：在中由余弦定理得
，在中由余弦定理得，兩式相減可得答案；
（2）由面積公式可得，令轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)配方求最值即可．
【詳解】（1）法一：在中，由余弦定理，
得，即①，
同理，在中，，即②，
①②得，所以當(dāng)長度變化時(shí)，為定值，定值為1；
法二：在中，由余弦定理
得，即，
同理，在中，，所以，
化簡得，即，所以當(dāng)長度變化時(shí)，為定值，定值為1；
（2），令，
所以，所以，即時(shí)， 有最大值為14．
2．（2023·江蘇南通·模擬預(yù)測）如圖，在平面四邊形ABCD中，，，，．
(1)若，求；
(2)記 與 的面積分別記為和，求的最大值．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）先求出BD，再運(yùn)用余弦定理求出 ，再利用兩角和公式求解；
（2）先運(yùn)用余弦定理求出 與 的關(guān)系，再根據(jù)三角形面積公式求解.
【詳解】（1）∵，∴，，，，，∴
；
（2）設(shè)，，∴，
∴，∴，①


，
當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)取最大值 ；綜上， ， 的最大值是 .
3．（23-24高三上·上海楊浦·期中）“我將來要當(dāng)一名麥田里的守望者，有那么一群孩子在一大塊麥田里玩，幾千幾萬的小孩子，附近沒有一個(gè)大人，我是說，除了我.”《麥田里的守望者》中的主人公霍爾頓將自己的精神生活寄托于那廣闊無垠的麥田.假設(shè)霍爾頓在一塊平面四邊形的麥田里成為守望者.如圖所示，為了分割麥田，他將B、D連接，經(jīng)測量知，.
(1)霍爾頓發(fā)現(xiàn)無論多長，都為一個(gè)定值.請(qǐng)你證明霍爾頓的結(jié)論，并求出這個(gè)定值；
(2)霍爾頓發(fā)現(xiàn)小麥的生長和發(fā)育與分割土地面積的平方和呈正相關(guān)關(guān)系.記與的面積分別為和，為了更好地規(guī)劃麥田，請(qǐng)你幫助霍爾頓求出的最大值.
【答案】(1)證明見解析，(2)
【分析】（1）利用余弦定理，整理等式，可得答案；
（2）利用三角形面積公式，結(jié)合三角函數(shù)恒等式，可得答案.
【詳解】（1）在中，
在中，
則為定值.
（2）
，
因?yàn)樵O(shè)
則，
所以，當(dāng)時(shí)，取得最大值，即時(shí)，的最大值為.
4．（2024·四川自貢·一模）如圖，在平面四邊形中，角.設(shè).
(1)用表示四邊形對(duì)角線的長；
(2)是否存在使四邊形對(duì)角線最長，若存在求出及四邊形對(duì)角線最長的值，若不存在請(qǐng)說明理由.
【答案】(1)(2)存在，，的最大值為
【分析】（1）根據(jù)余弦定理求得關(guān)于的表達(dá)式.
（2）根據(jù)三角函數(shù)的最值等知識(shí)求得正確答案.
【詳解】（1）設(shè)，在三角形中，由正弦定理得，
由余弦定理得，在中，，所以，
在三角形中，由余弦定理得
.
（2）存在，理由如下：由（1）得，
所以當(dāng)時(shí)，取得最大值為，此時(shí).
題型十六：解三角形中的壓軸證明題（19題）
1．（2024·河北·二模）若內(nèi)一點(diǎn)滿足，則稱點(diǎn)為的布洛卡點(diǎn)，為的布洛卡角．如圖，已知中，，，，點(diǎn)為的布洛卡點(diǎn)，為的布洛卡角．
(1)若，且滿足，求的大?。?br>(2)若為銳角三角形．
（ⅰ）證明：．
（ⅱ）若平分，證明：．
【答案】(1)(2)（?。┳C明見解析；（ⅱ）證明見解析.
【分析】（1）先判斷與相似，進(jìn)而得到，應(yīng)用余弦定理求出的值即可；
（2）（?。┰趦?nèi)，三次應(yīng)用余弦定理以及三角形的面積公式得：，針對(duì)分別在、和內(nèi)，三次應(yīng)用余弦定理以及三角形的面積公式，且表示出三角形的面積，由余弦定理形式相加，再化簡整理得：，即可得證；（ⅱ）得出與的等量關(guān)系，再利用余弦定理和三角形的面積公式，平分，將代入，化簡整理即可得證.
【詳解】（1）若，即，得，點(diǎn)滿足，則，在和中，，，
所以與相似，且，所以，即，由余弦定理得：cs∠ABC=a2+c2?b22ac，且，，得，且，所以；
（2）（?。┰趦?nèi)，應(yīng)用余弦定理以及三角形的面積公式得：
，，
，三式相加可得：①
在內(nèi)，應(yīng)用余弦定理以及三角形的面積公式得：，
在和內(nèi)，同理：，，
三式相等：，
因?yàn)?，由等比性質(zhì)得：②
由①②式可證得：；
（ⅱ）因?yàn)椋?br>即，所以，在中，
分別由余弦定理得：，，，
三式相加整理得，，
將代入得：
若平分，則，，
所以③
又由余弦定理可得：④
由③-④得：所以，所以.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)表示出三角形得面積，在中，由余弦定理相加，得出與的等量關(guān)系，是解決本題的關(guān)鍵.
2．（2023·全國·模擬預(yù)測）在中，角、、的對(duì)邊分別為、、，且.
(1)求的最大值；
(2)求證：在線段上恒存在點(diǎn)，使得.
【答案】(1)的最大值是；(2)證明見解析.
【分析】（1）設(shè)，，則，由可得，再由余弦定理將其化為用表示的不等式，即可得出的取值范圍；
（2）設(shè)，求出的取值范圍，證明恒存在，使成立即可.
【詳解】（1）設(shè)，，則，，又，
. 由可得，，
，
由余弦定理，得
整理得，
因式分解，又，
所以，，即，故的最大值是.
（2）如圖，設(shè)，,
則,又，
所以，，
由題意，且，即，
而對(duì)給定的來說，是定值，
因此恒存在，使.
在中，由正弦定理可得，則；
在中，由正弦定理可得，則；
由存在，可得存在，即.
因此，在線段上恒存在點(diǎn)，使得.
3．（23-24高三下·重慶·開學(xué)考試）如果函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，可記為．若，則表示曲線，直線以及軸圍成的“曲邊梯形”的面積．
(1)若，且，求；
(2)已知，證明：，并解釋其幾何意義；
(3)證明：，．
【答案】(1)
(2)答案見解析
(3)證明見解析
【分析】（1）由基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和題中定積分的含義得到.
（2）先由定積分的預(yù)算得到，再分別構(gòu)造函數(shù)和，利用導(dǎo)數(shù)分析單調(diào)性，證明結(jié)論；幾何意義由題干中定積分的含義得到.
（3）先由二倍角公式化簡得到，再由定積分的意義得到，最后根據(jù)求導(dǎo)與定積分的運(yùn)算得到，最后得證.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以設(shè)，又，代入上式可得，所以，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，設(shè)，同理可得，綜上，.
（2）因?yàn)?，所以，設(shè)，則恒成立，所以在上單調(diào)遞增，所以，故，即；設(shè)，，則恒成立，所以?x在上單調(diào)遞增，，所以，綜上，.
幾何意義：當(dāng)時(shí)，曲線與直線（軸），以及軸圍成的“曲邊面積”大于直線（軸），以及軸，直線圍成的矩形面積，小于（軸），以及軸，直線圍成的矩形面積.
（3）因?yàn)?，所以，設(shè)，則，所以，
故.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：1、由題干得到求導(dǎo)與定積分互為逆運(yùn)算；2、證明不等式時(shí)可作差構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)分析其單調(diào)性；3、利用定積分的幾何意義得到要證明的不等式間關(guān)系，再利用求導(dǎo)與定積分運(yùn)算得出最后結(jié)果.
4．（2024·浙江舟山·模擬預(yù)測）阿基米德螺線廣泛存在于自然界中，具有重要作用．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，螺線與坐標(biāo)軸依次交于點(diǎn)，并按這樣的規(guī)律繼續(xù)下去．
(1)求．
(2)求證：不存在正整數(shù)，使得三角形的面積為2022;
(3)求證：對(duì)于任意正整數(shù)，三角形為銳角三角形．
【答案】(1)5；4(2)證明見解析(3)證明見解析
【分析】（1）利用給定定義結(jié)合兩點(diǎn)間距離公式求解即可.
（2）將原三角形合理拆分，利用直角三角形的性質(zhì)求出面積，結(jié)合完全平方數(shù)的性質(zhì)證明即可.
（3）利用給定定義確定最大角，利用余弦定理判定其為銳角即可.
【詳解】（1）由兩點(diǎn)間距離公式得，
由題意得，，所以.
（2），，而不可能等于，
故不存在正整數(shù)，使得三角形的面積為.
（3），，，
因?yàn)?，所以在三角形中?br>為最大角，由余弦定理得，，則為銳角，
即三角形為銳角三角形．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查新定義問題，解題關(guān)鍵是合理利用給定定義，找到最大角，然后利用余弦定理得到其為銳角即可．

相關(guān)試卷

專題17 數(shù)列綜合大題歸類：求和，放縮不等式（16題型提分練）（講練）--2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)高分沖刺：

這是一份專題17 數(shù)列綜合大題歸類：求和，放縮不等式（16題型提分練）（講練）--2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)高分沖刺，文件包含專題17數(shù)列綜合大題歸類求和放縮不等式原卷版docx、專題17數(shù)列綜合大題歸類求和放縮不等式解析版docx等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共62頁， 歡迎下載使用。

專題11 解三角形綜合壓軸小題歸類（講練）--2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)高分沖刺：

這是一份專題11 解三角形綜合壓軸小題歸類（講練）--2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)高分沖刺，文件包含專題11解三角形綜合壓軸小題歸類原卷版docx、專題11解三角形綜合壓軸小題歸類解析版docx等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共65頁， 歡迎下載使用。

專題10 三角函數(shù)求w范圍歸類（講練）--2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)高分沖刺：

這是一份專題10 三角函數(shù)求w范圍歸類（講練）--2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)高分沖刺，文件包含專題10三角函數(shù)求w范圍歸類原卷版docx、專題10三角函數(shù)求w范圍歸類解析版docx等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共57頁， 歡迎下載使用。

英語朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

專題09 三角函數(shù)拆角與恒等變形歸類（講練）--2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)高分沖刺

專題09 三角函數(shù)拆角與恒等變形歸類（講練）--2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)高分沖刺
專題08 導(dǎo)數(shù)壓軸大題歸類（講練）--2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)高分沖刺

專題08 導(dǎo)數(shù)壓軸大題歸類（講練）--2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)高分沖刺
專題07 比大小歸類（講練）--2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)高分沖刺

專題07 比大小歸類（講練）--2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)高分沖刺
專題01 集合綜合歸類（講練）--2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)高分沖刺

專題01 集合綜合歸類（講練）--2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)高分沖刺
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識(shí)產(chǎn)權(quán)，請(qǐng)掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎(jiǎng)勵(lì)，申請(qǐng) 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
高考專區(qū)
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊(cè)
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊(cè)

手機(jī)號(hào)注冊(cè)
手機(jī)號(hào)碼

手機(jī)號(hào)格式錯(cuò)誤

手機(jī)驗(yàn)證碼 獲取驗(yàn)證碼

手機(jī)驗(yàn)證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個(gè)字符，數(shù)字、字母或符號(hào)

注冊(cè)即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊(cè)協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊(cè)
手機(jī)號(hào)注冊(cè)
微信注冊(cè)

注冊(cè)成功

返回
頂部