2、精練習(xí)題。不搞“題海戰(zhàn)術(shù)”，在老師指導(dǎo)下，選一些源于課本的變式題，或體現(xiàn)基本概念、基本方法的基本題，通過解題來提高思維能力和解題技巧，加深對所學(xué)知識的深入理解。在解題時(shí)，要獨(dú)立思考，一題多思，一題多解，反復(fù)玩味，悟出道理。
3、加強(qiáng)審題的規(guī)范性。每每大考過后，總有同學(xué)抱怨沒考好，糾其原因是考試時(shí)沒有注意審題。審題決定了成功與否，不解決這個(gè)問題勢必影響到高考的成敗。
4、重視錯(cuò)題。錯(cuò)誤要及時(shí)尋找錯(cuò)因，及時(shí)進(jìn)行總結(jié)，三五個(gè)字，一兩句話都行，言簡意賅，切中要害，以利于吸取教訓(xùn)，力求相同的錯(cuò)誤不犯第二次。
專題09 三角函數(shù)拆角與恒等變形歸類
目錄
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc27007" 題型一：誘導(dǎo)公式 PAGEREF _Tc27007 \h 1
\l "_Tc18989" 題型二：輔助角：特殊角型 PAGEREF _Tc18989 \h 2
\l "_Tc13506" 題型三：輔助角：非特殊角型 PAGEREF _Tc13506 \h 3
\l "_Tc6227" 題型四：sinxcsx與sinxcsx型轉(zhuǎn)化 PAGEREF _Tc6227 \h 4
\l "_Tc26661" 題型五：齊次式轉(zhuǎn)化 PAGEREF _Tc26661 \h 5
\l "_Tc7121" 題型六：拆角：互補(bǔ)型拆角---缺 PAGEREF _Tc7121 \h 5
\l "_Tc8023" 題型七：拆角：互余型拆角 PAGEREF _Tc8023 \h 6
\l "_Tc24912" 題型八：拆角：二倍角型拆角 PAGEREF _Tc24912 \h 7
\l "_Tc32052" 題型九：拆角：30度型拆角 PAGEREF _Tc32052 \h 8
\l "_Tc28108" 題型十：拆角：60度型拆角 PAGEREF _Tc28108 \h 8
\l "_Tc21032" 題型十一：拆角：正切型 PAGEREF _Tc21032 \h 9
\l "_Tc14810" 題型十二：拆角：分式型 PAGEREF _Tc14810 \h 10
\l "_Tc24296" 題型十三：對偶型恒等變形求值 PAGEREF _Tc24296 \h 11
\l "_Tc19456" 題型十四：拆角求最值 PAGEREF _Tc19456 \h 11
\l "_Tc24032" 題型十五：韋達(dá)定理型恒等變形求值 PAGEREF _Tc24032 \h 12
\l "_Tc4855" 題型十六：恒等變形求角 PAGEREF _Tc4855 \h 13
題型一：誘導(dǎo)公式
誘導(dǎo)公式可簡記為：奇變偶不變，符號看象限．
“奇”“偶”指的是“k·eq \f(π,2)＋α(k∈Z)”中的k是奇數(shù)還是偶數(shù)．
“變”與“不變”是指函數(shù)的名稱的變化，若k是奇數(shù)，則正、余弦互變；若k為偶數(shù)，則函數(shù)名稱不變．
“符號看象限”指的是在“k·eq \f(π,2)＋α(k∈Z)”中，將α看成銳角時(shí)，“k·eq \f(π,2)＋α(k∈Z)”的終邊所在的象限．
1．（23-24高三 ·浙江·模擬）已知銳角滿足，則（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高三 ·浙江寧波·模擬）已知，求（ ）
A．B．C．D．
3．（15-16高三 ·吉林長春·模擬）設(shè)，那么
A．B．C．D．
4．（安徽省阜陽市2023-2024學(xué)年高三模擬質(zhì)量統(tǒng)測數(shù)學(xué)試題）若角滿足，則（ ）
A．B．C．D．
5．（2024·廣東·二模）（ ）
A．B．C．D．
題型二：輔助角：特殊角型
輔助角
asin α＋bcs α ＝eq \r(a2＋b2)sin(α＋φ)，其中tan φ＝eq \f(b,a).(不記正切這個(gè)，要會(huì)推導(dǎo)非特殊角的輔助角）
1．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高三 ·四川·階段練習(xí)）若函數(shù)在區(qū)間上的值域分別為，則下列命題錯(cuò)誤的是（ ）
A．若，則的最小值為
B．若，則的最小值為
C．若，則的取值范圍為
D．若，則的取值范圍為
3．（22-23高三 ·廣西南寧·模擬）已知函數(shù)，若在上無零點(diǎn)，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
4．（22-23高三 ·江西·階段練習(xí)）已知函數(shù)，則（ ）
A．的最小正周期是B．的圖象關(guān)于直線對稱
C．在上有4個(gè)極值點(diǎn)D．在上單調(diào)遞減
5．（23-24高三 遼寧·模擬）已知函數(shù)，若關(guān)于x的方程在區(qū)間上有且只有四個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則正數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
題型三：輔助角：非特殊角型
輔助角
輔助角范圍滿足：
1．（22-23高三 上海寶山·階段練習(xí)）若，，下列判斷錯(cuò)誤的是（ ）
A．當(dāng)時(shí)，B．當(dāng)時(shí)，
C．當(dāng)時(shí)，D．當(dāng)時(shí)，
2．（2023·河南·模擬預(yù)測）若關(guān)于的方程在內(nèi)有兩個(gè)不同的解，則的值為（ ）
A．B．C．D．
3．（23-24高三 ·江西贛州·模擬）已知是圓上兩點(diǎn)．若，則的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2023·四川雅安·一模）已知函數(shù)，設(shè)，則等于（ ）
A．B．C．D．
5．（22-23高三 遼寧大連·模擬）已知函數(shù)（，，）在區(qū)間上單調(diào)，且，則不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
題型四：sinxcsx與sinxcsx型轉(zhuǎn)化
與
的函數(shù)中一般可設(shè)進(jìn)行換元．換元時(shí)注意新元的取值范圍．
之間的互化關(guān)系
1.
2.
1．（23-24高三 ·湖北武漢·模擬）函數(shù)的最大值為（ ）
A．B．2C．D．
2．（23-24高三 ·遼寧大連·階段練習(xí)）若是方程的兩根，則的值為（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知，則（ ）
A．B．C．D．
4．（23-24高三 ·江蘇蘇州·階段練習(xí)）已知，則的值為（ ）
A．B．C．D．
5．（23-24高三 ·湖北武漢·模擬）已知，則函數(shù)的值域?yàn)椋? ）
A．B．C．D．
題型五：齊次式轉(zhuǎn)化
正切齊次求值型
給正切，利用正余弦一次分式齊次特征，可以同除余弦化為正切
二次型求正切，充分運(yùn)用“1”的代換：
（1）
（2）
1．（2024·新疆·一模）已知: ，則（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高三 遼寧大連·模擬）已知，均為銳角，，則取得最大值時(shí)，的值為（ ）
A．B．C．2D．1
3．（20-21高三 ·河南新鄉(xiāng)·階段練習(xí)）函數(shù)的最大值和最小值分別為（ ）
A． B．C．，0D．
4．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知，則（ ）
A．B．C．D．
5．（23-24高三江蘇南京·模擬）已知，則（ ）
A．B．C．D．
題型六：拆角：互補(bǔ)型拆角---缺
角度“互補(bǔ)”與“廣義互補(bǔ)余”可以用誘導(dǎo)公式轉(zhuǎn)化：
1.“互補(bǔ)”：兩個(gè)復(fù)合型角度相加為180°，可以用誘導(dǎo)公式轉(zhuǎn)化
2.“廣義互余”：兩個(gè)復(fù)合型角度的和或者差為180°+k360°，可以用誘導(dǎo)公式轉(zhuǎn)化
1.（2022秋·陜西商洛·高三陜西省山陽中學(xué)校聯(lián)考）已知，，則（ ）
A．B．C．D．
2（2023春·浙江寧波·高三?？茧A段練習(xí)）已知，則等于（ ）
A．B．C．D．
3.若，則的值為（ ）
A．B．C．D．
4.（山東省青島市青島中學(xué)2022-2023學(xué)年10月月考）已知,且,則______．
題型七：拆角：互余型拆角
角度“互余”與“廣義互余”可以用誘導(dǎo)公式轉(zhuǎn)化：
1.“互余”：兩個(gè)復(fù)合型角度相加為90°，可以用誘導(dǎo)公式轉(zhuǎn)化
2.“廣義互余”：兩個(gè)復(fù)合型角度的和或者差為90°+k360°，可以用誘導(dǎo)公式轉(zhuǎn)化
1．（23-24高三·河南洛陽·模擬）已知，則（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高三 廣東梅州·模擬）已知，則（ ）
A．B．C．D．
3．（23-24高三下·山東威?！るA段練習(xí)）已知，則（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·浙江·模擬預(yù)測）已知，，則（ ）
A．B．C．D．
5．（2024·河南信陽·模擬預(yù)測）若，則（ ）
A．B．C．D．
題型八：拆角：二倍角型拆角
二倍角公式
sin 2α＝2sin αcs α
cs 2α＝cs2α－sin2α＝2cs2α－1＝1－2sin2α
tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2α)
降冪公式：cs2α＝eq \f(1＋cs 2α,2)，sin2α＝eq \f(1－cs 2α,2)，
升冪公式：1＋cs 2α＝2 cs2α，1－cs 2α＝2sin2α
1＋cs α＝2cs2eq \f(α,2)，1－cs α＝2sin2eq \f(α,2).
1．（2024·江蘇連云港·模擬預(yù)測）已知，則（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高三·四川眉山·階段練習(xí)）已知，則的值為（ ）
A．B．C．D．
3．（23-24高三·江西·階段練習(xí)）已知角滿足，則（ ）
A．B．C．D．
4．（23-24高三·江蘇連云港·模擬）已知，求（ ）
A．B．C．D．
5．（2024·浙江·三模）已知，則（ ）
A．B．C．D．
題型九：拆角：30度型拆角
復(fù)合型角度的和與差，如果是與30°，45°或者60°等特殊角終邊相同，則可以借助特殊角的函數(shù)值來拆角求值
1．（23-24高三 ·江蘇鹽城·模擬）化簡值為（ ）
A．B．C．D．
2．（2024高三·全國·專題練習(xí)）等于（ ）
A．1B．2C．D．
3．（2024·陜西西安·一模）等于（ ）
A．B．C．D．1
4（23-24高三·重慶·模擬）（ ）
A．B．C．D．2
5．（22-23高三·河南·模擬）的值為（ ）
A．1B．C．D．
題型十：拆角：60度型拆角
常見的變角技巧有：
，
，
，
，
等．
1．（23-24高三·湖南湘潭·階段練習(xí)）的值為（ ）
A．1B．C．D．2
2．（23-24高三·內(nèi)蒙古赤峰·階段練習(xí)）計(jì)算的值為（ ）
A．1B．C．D．2
3．（2024·河北滄州·二模）化簡（ ）
A．1B．C．2D．
4．（2024·全國·模擬預(yù)測）（ ）
A．B．C．D．
5．（23-24高三·湖南·階段練習(xí)）（ ）
A．B．C．D．
題型十一：拆角：正切型
正切型公式：
tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β) (T(α＋β))
tan(α－β)＝eq \f(tan α－tan β,1＋tan αtan β) (T(α－β))
tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2α)
1．（23-24高三·重慶大足·階段練習(xí)）設(shè)，，，，若滿足條件的與存在且唯一，則（ ）
A．B．1C．2D．4
2．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測）已知，則（ ）
A．B．C．D．
3．（23-24高三下·江蘇鎮(zhèn)江·模擬）已知，，則 （ ）
A．B．C．D．
4．（2024·福建泉州·二模）若，且與存在且唯一，則（ ）
A．2B．4C．D．
5．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知,,且,,則（ ）
A．B．C．D．
題型十二：拆角：分式型
分式型求值，主要方向是把分?jǐn)?shù)的分子分母“因式分解”，再通過“約分”來達(dá)到求值的目的。
所以，通過“和、差化積”思維，利用“因式分解的重要技巧：正余余正，余余正正公式”，化成積的形式，便于約去。
1．（23-24高三·湖南長沙·階段練習(xí)）求值：（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高三·四川成都·模擬）求值（ ）
A．B．C．1D．
3．（23-24高三·遼寧·模擬）化簡的值為（ ）
A．1B．C．D．
4．（2021·廣西·一模）＝ （ ）
A．B．C．D．
5．（2023·全國·模擬預(yù)測）化簡：（ ）
A．4B．2C．D．
題型十三：對偶型恒等變形求值
常見的對稱型結(jié)構(gòu)：
為對稱結(jié)構(gòu)，可以借助消元求解
1．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知，，則（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·山西晉中·三模）已知?jiǎng)t（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·山東·模擬預(yù)測）已知，，則（ ）
A．B．C．D．
4．（23-24高三·江蘇連云港·模擬）已知，，則（ ）
A．B．C．D．
5．（22-23高三·江蘇徐州·模擬）已知，，則的值為（ ）
A．B．C．D．
題型十四：拆角求最值
1．（23-24高三·湖南·階段練習(xí)）已知，，，則的最小值是（ ）
A．B．C．D．
2．（2014高三·全國·競賽）若，，且滿足關(guān)系式，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
3．（2024高三·江蘇·專題練習(xí)）中，，則的最小值為（ ）
A．2B．3C．D．
4．（23-24高三下·新疆烏魯木齊·階段練習(xí)）已知，均為銳角，且滿足，則的最大值為（ ）
A．B．C．D．
5．（2024·山西·模擬預(yù)測）已知，，則的最小值為（ ）
A．-4B．-3C．D．2
題型十五：韋達(dá)定理型恒等變形求值
若是關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)不相等的實(shí)根，則：
1．（21-22高三·貴州遵義·階段練習(xí)）若是方程的兩根，則的值為
A．B．
C．D．
2．（22-23高三·北京西城·階段練習(xí)）已知是關(guān)于x的一元二次方程的兩根，則 ，m＝ .
3．（2023高三·全國·專題練習(xí)）已知是方程的兩根，則 .
4．（21-22高三·天津·模擬）已知，是方程的兩根，則 ．
5．（2022·江蘇南通·一模）已知，是方程的兩根，則 .
題型十六：恒等變形求角
求復(fù)合型角，
以給了函數(shù)值的角度為基角來拆角。
討論基角的范圍，確認(rèn)基角的正余弦值符號
所求復(fù)合型角的范圍，以及對應(yīng)的正（或者余）弦符號，確認(rèn)對應(yīng)復(fù)合型角度
1．（23-24高三·遼寧遼陽·模擬）已知，，且，，則（ ）
A．B．C．或D．或
2．（23-24高三·江蘇徐州·模擬）已知，，，，，則（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·黑龍江雙鴨山·模擬預(yù)測）已知，，且，則的值為（ ）
A．B．C．D．
4．（23-24高三·浙江·模擬）已知為鈍角，且，，則（ ）
A．B．C．D．
5．（23-24高三·河南·階段練習(xí)）已知，，則（ ）
A．B．C．D．

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