2、精練習(xí)題。不搞“題海戰(zhàn)術(shù)”，在老師指導(dǎo)下，選一些源于課本的變式題，或體現(xiàn)基本概念、基本方法的基本題，通過解題來提高思維能力和解題技巧，加深對所學(xué)知識的深入理解。在解題時，要獨立思考，一題多思，一題多解，反復(fù)玩味，悟出道理。
3、加強審題的規(guī)范性。每每大考過后，總有同學(xué)抱怨沒考好，糾其原因是考試時沒有注意審題。審題決定了成功與否，不解決這個問題勢必影響到高考的成敗。
4、重視錯題。錯誤要及時尋找錯因，及時進行總結(jié)，三五個字，一兩句話都行，言簡意賅，切中要害，以利于吸取教訓(xùn)，力求相同的錯誤不犯第二次。
專題15 等比數(shù)列性質(zhì)歸類
目錄
\l "_Tc31063" 題型一：等比數(shù)列定義
\l "_Tc26242" 題型二：等比數(shù)列通項公式
\l "_Tc25694" 題型三：等比數(shù)列an與sn的關(guān)系
\l "_Tc796" 題型四：構(gòu)造等比數(shù)列求通項公式
\l "_Tc25758" 題型五：等差等比“糾纏數(shù)列”
\l "_Tc13017" 題型六：等比數(shù)列“指數(shù)型中點”特性
\l "_Tc11285" 題型七：等比數(shù)列單調(diào)性
\l "_Tc8203" 題型八：不定方程型計算
\l "_Tc17111" 題型九：等比數(shù)列不等關(guān)系“平衡點”
\l "_Tc17754" 題型十：前n項和的“等距”性
\l "_Tc2118" 題型十一：等比數(shù)列最值型
\l "_Tc32404" 題型十二：性質(zhì)求范圍型
\l "_Tc17190" 題型十三：數(shù)列與導(dǎo)數(shù)
\l "_Tc4332" 題型十四：等比數(shù)列綜合
題型一：等比數(shù)列定義
1．（23-24高三上·山東·階段練習(xí)）記非常數(shù)數(shù)列的前n項和為，設(shè)甲：是等比數(shù)列；乙：（，1，且），則（ ）
A．甲是乙的充要條件B．甲是乙的充分不必要條件
C．甲是乙的必要不充分條件D．甲是乙的既不充分也不必要條件
2．（22-23高二下·遼寧鞍山·階段練習(xí)）數(shù)列的前n項和，則（ ）
A．是等差數(shù)列B．是等差數(shù)列也是等比數(shù)列
C．是等比數(shù)列D．既不是等差數(shù)列又不是等比數(shù)列
3．（2023·河南鄭州·二模）已知正項數(shù)列的前項和為，且，則（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·新疆喀什·模擬預(yù)測）已知等比數(shù)列的前n項和為，且，則（ ）
A．54B．93C．153D．162
5．（21-22高三下·北京·開學(xué)考試）若數(shù)列滿足，則“，，”是“為等比數(shù)列”的（ ）
A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件
C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件
題型二：等比數(shù)列通項公式
1．（24-25高三上·廣東·階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，前n項和為，，則等于（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高二下·內(nèi)蒙古呼和浩特·階段練習(xí)）數(shù)列滿足，，，則（ ）
A．B．C．D．
3．（23-24高三·遼寧遼陽·模擬）若等比數(shù)列滿足，則其公比為（ ）
A．B．C．D．
4．（24-25高三·全國·模擬）在公比q為整數(shù)的等比數(shù)列中，是數(shù)列的前n項和．若，，則下列說法不正確的是（ ）
A．B．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列
C．D．?dāng)?shù)列是公差為2的等差數(shù)列
5．（23-24高二下·山東青島·階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，則（ ）
A．B．C．D．
題型三：等比數(shù)列an與sn的關(guān)系
1．（2024·全國·模擬預(yù)測）記為數(shù)列的前n項和，則“為等比數(shù)列”是“”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分又不必要條件
2．（21-22高三重慶沙坪壩·模擬）設(shè)等比數(shù)列的前項和為，，若不等式對任意的恒成立，則的最小值為（ ）
A．1B．C．2D．
3．（22-23高三·浙江紹興·模擬）已知等比數(shù)列的前項和為，則點列在同一坐標(biāo)平面內(nèi)不可能的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（21-22高三·黑龍江綏化·模擬）已知數(shù)列的前n項和為，q為常數(shù)，則“數(shù)列是等比數(shù)列”為“”的（ ）條件
A．充分不必要B．必要不充分
C．充要D．既不充分也不必要
5．（21-22高三河南·階段練習(xí)）設(shè)數(shù)列的前n項和為，若，則（ ）
A．B．C．D．
題型四：構(gòu)造等比數(shù)列求通項公式
1．（21-22高三·浙江臺州·模擬）已知數(shù)列滿足：，，，則下列說法正確的是
（ ）
A．一定為無窮數(shù)列B．不可能為常數(shù)列
C．若，則可能小于1D．若，則
2．（24-25高三全國·模擬）已知數(shù)列滿足遞推公式，且，則（ ）
A．B．
C．D．
3．（23-24高三·云南大理·階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足：，且，則下列說法錯誤的是（ ）
A．存在，使得數(shù)列為等差數(shù)列B．當(dāng)時，
C．當(dāng)時，D．當(dāng)時，數(shù)列是等比數(shù)列
4．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足，數(shù)列的前項和為，則（ ）
A．B．C．D．
5．（20-21高三·海南海口·階段練習(xí)）已知函數(shù)的定義域為，當(dāng)時，；對任意的，成立.若數(shù)列滿足，且，則的值為（ ）
A．B．C．D．
題型五：等差等比“糾纏數(shù)列”
1．（2023·四川南充·模擬預(yù)測）若 分別是與的等差中項和等比中項， 則的值為（ ）
A．B．C．D．
2．（21-22高三·黑龍江齊齊哈爾·模擬）是公比不為1的等比數(shù)列的前n項和，是和的等差中項，是和的等比中項，則的最大值為（ ）
A．B．C．D．
3．（14-15高三·廣東東莞·模擬）已知， ，是 、的等差中項，正數(shù) 是、 的等比中項，那么、 、、 的從小到大的順序關(guān)系是（ ）
A．B．
C．D．
4．（10-11高三·福建三明·階段練習(xí)）△中，角成等差，邊成等比，則△一定是
A．等邊三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形
5．（21-22高三寧夏銀川·階段練習(xí)）若四個正數(shù)成等差數(shù)列，是和的等差中項，是和的等比中項，則和的大小關(guān)系為（ ）
A．B．C．D．
題型六：等比數(shù)列“指數(shù)型中點”特性
1．（23-24高三·北京·模擬）等比數(shù)列的公比為，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充分必要條件D．既不充分又不必要條件
2．（22-23高三·江蘇蘇州·模擬）已知等差數(shù)列公差，數(shù)列為正項等比數(shù)列，已知，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（21-22高三·全國·模擬）已知等比數(shù)列中，公比q＝2，若，則等于（ ）
A．B．C．D．
4．（2021·浙江杭州·模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列公差不為0，正項等比數(shù)列，，，則以下命題中正確的是（ ）
A．B．C．D．
5．（20-21高按·浙江·模擬）已知數(shù)列是公差不為零的等差數(shù)列，是正項等比數(shù)列，若，，則（ ）
A．B．C．D．
題型七：等比數(shù)列單調(diào)性
1．（23-24高三山西晉城模擬）已知等比數(shù)列滿足，公比，且，，則當(dāng)最小時，（ ）
A．1012B．1013C．2022D．2023
2．（23-24高三·北京順義模擬）數(shù)列是等比數(shù)列，則對于“對于任意的，”是“是遞增數(shù)列”的（ ）條件
A．充分不必要B．必要不充分C．充分必要D．不充分也不必要
3．（23-24高三湖北·開學(xué)考試）已知數(shù)列是等比數(shù)列，則“存在正整數(shù)，對于恒成立”是：“為遞減數(shù)列”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件
4．（23-24高三下·山東·開學(xué)考試）已知數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，則“”是“是單調(diào)遞減數(shù)列”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
5．（23-24高三上·安徽合肥·階段練習(xí)）已知數(shù)列是無窮項等比數(shù)列，公比為，則“”是“數(shù)列單調(diào)遞增”的（ ）
A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件
C．充分必要條件D．既不充分又不必要條件
題型八：不定方程型計算
1．（23-24高三·廣東揭陽·階段練習(xí)）已知數(shù)列為等比數(shù)列，為數(shù)列的前n項和.若成等差數(shù)列，則（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高三·吉林松原·模擬）設(shè)等比數(shù)列 的前 項和為 ，且 ，則 的公比 為（ ）
A．1或 B．1或3C．或 D．或3
3．（23-24高三·河南省直轄縣級單位·階段練習(xí)）等比數(shù)列的前項和為，且，則（ ）
A．B．C．D．
4．（23-24高三上·河南三門峽·階段練習(xí)）已知正項等比數(shù)列的前項和為，若，，成等差數(shù)列，則的最小值為（ ）
A．8B．9C．10D．12
5．（23-24高三上·四川成都·階段練習(xí)）已知等比數(shù)列的前項和為，且數(shù)列是等差數(shù)列，則（ ）
A．1或B．1或C．2或D．或
題型九：等比數(shù)列不等關(guān)系“平衡點”
1．（21-22高三·湖北·階段練習(xí)）設(shè)等比數(shù)列{}的公比為q，其前n項和為，前 n項積為，并滿足條件，，下列結(jié)論不正確的是（ ）
A．B．
C．是數(shù)列{}中的最大值D．?dāng)?shù)列{}無最小值
2．（22-23高三·廣東深圳·模擬）設(shè)等比數(shù)列的公比為，其前項和為，前項之積為，且滿足，，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．B．
C．是數(shù)列中的最大值D．
3．（22-23高三·遼寧·模擬）設(shè)等比數(shù)列的公比為，其前項和為，前項積為，且滿足條件，，，則下列選項不正確的是（ ）
A．為遞減數(shù)列B．
C．是數(shù)列中的最大項D．
4．（20-21高三河南鄭州·模擬）設(shè)等比數(shù)列的公比為，其前項和為，前項積為，并且滿足條件，，，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A． B． C．的最大值為 D．的最大值為
5．（2021高三·全國·專題練習(xí)）設(shè)等比數(shù)列的公比為q，前n項和為，前n項積為，并滿足條件，，則下列結(jié)論中不正確的有（ ）
A．q>1
B．
C．
D．是數(shù)列中的最大項
題型十：前n項和的“等距”性
1．（20-21高三·黑龍江哈爾濱·開學(xué)考試）設(shè)等比數(shù)列的前n項和為，若，則（ ）
A．B．C．4D．5
2．（21-22高三·河北唐山·模擬）設(shè)是等比數(shù)列的前項和，若，則（ ）
A．B．C．D．
3．（23-24高三·河南·開學(xué)考試）已知等比數(shù)列的前項和為，若，則（ ）
A．324B．420C．480D．768
4．（21-22高三下·江西·開學(xué)考試）設(shè)等比數(shù)列的前項和為，若，則等于（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·云南昆明·模擬預(yù)測）已知正項等比數(shù)列的前項和為，若，則的最小值為（ ）
A．8B．C．D．10
題型十一：等比數(shù)列最值型
1．（2023·江西贛州·一模）若等比數(shù)列的公比為，其前項和為，前項積為，并且，則下列正確的是（ ）
A．B．
C．的最大值為D．的最大值為
2．（21-22高三四川成都·階段練習(xí)）在各項都為正數(shù)的等比數(shù)列中，已知，其前項積為，且，則取得最大值時，的值是（ ）
A．9B．8或9C．10或11D．9或10
3．（2023高三·全國·專題練習(xí)）設(shè)首項為正且大于1的無窮等比數(shù)列的公比為，前項和為，若，則（ ）
A．?dāng)?shù)列無最大項B．?dāng)?shù)列有最小項為
C．?dāng)?shù)列是遞增數(shù)列，D．?dāng)?shù)列最大值為
4．（23-24高三·福建漳州·模擬）已知正項等比數(shù)列的前項積為，且，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．若，則B．若，則
C．若，則D．若，則
5．（22-23高三江西萍鄉(xiāng)·階段練習(xí)）已知數(shù)列為等比數(shù)列，函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，，若，的公比，則當(dāng)?shù)那绊棾朔e最小時，的值為（ ）
A．B．C．或D．或
題型十二：性質(zhì)求范圍型
1．（24-25高三上·湖南長沙·階段練習(xí)）已知等比數(shù)列 的公比為 ， 前 項積為 ， 若 ， 且 ， ， 均有 ，則 的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知等比數(shù)列的前5項積為32，，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
3．（22-23高三·河南南陽·模擬）已知正項數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，數(shù)列的通項公式為．若滿足的正整數(shù)n恰有3個，則的取值范圍為 ．
4．（2023上海嘉定·三模）已知是遞增的等比數(shù)列，且，那么首項的取值范圍是 .
5.（21-22·河南·模擬）已知，，，，，成等差數(shù)列，，，，成等比數(shù)列，則的最大值是（ ）
A．B．C．D．
題型十三：數(shù)列與導(dǎo)數(shù)
1．（22-23高三下·河北石家莊·階段練習(xí)）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時，.若存在等差數(shù)列，，，，且，使得數(shù)列為等比數(shù)列，則的最小值為（ ）
A．B．
C．D．
2．（20-21高三上·全國·階段練習(xí)，多選）已知等比數(shù)列首項，公比為q，前n項和為，前n項積為，函數(shù)，若，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．為單調(diào)遞增的等差數(shù)列
B．
C．為單調(diào)遞增的等比數(shù)列
D．使得成立的n的最大值為6
3．（23-24高三·四川成都模擬）牛頓數(shù)列是牛頓利用曲線的切線和數(shù)列的極限探求函數(shù)的零點時提出的，在航空航天領(lǐng)域中應(yīng)用廣泛.已知牛頓數(shù)列的遞推關(guān)系為：是曲線在點處的切線在軸上的截距，其中.
（1）若，并取，則的通項公式為 ；
（2）若取，且為單調(diào)遞減的等比數(shù)列，則可能為 .
4．（2025·全國·模擬預(yù)測）若，的解從小到大排成，那么若．則的整數(shù)部分是 ．
5．（24-25高三上·上海·開學(xué)考試）已知實數(shù)成公比為的等比數(shù)列，拋物線上每一點到直線的距離均大于，則的取值范圍是 ．
題型十四：等比數(shù)列綜合
1．（2024·河北·一模）已知等差數(shù)列的公差與等比數(shù)列的公比相等，且，，，則 ；若數(shù)列和的所有項合在一起，從小到大依次排列構(gòu)成一個數(shù)列，數(shù)列的前項和為，則使得成立的的最小值為 ．
2．（23-24高三下·山東·開學(xué)考試）拋物線與橢圓有相同的焦點，分別是橢圓的上、下焦點，P是橢圓上的任一點，I是的內(nèi)心，交y軸于M，且，點是拋物線上在第一象限的點，且在該點處的切線與x軸的交點為，若，則 ．
3．（20-21高三·上海寶山·模擬）已知各項均不為零的數(shù)列的前項和為，，，，且，則的最大值等于 .
4．（2024高三·全國·專題練習(xí)）歐拉函數(shù)的函數(shù)值等于所有不超過且與互質(zhì)的正整數(shù)的個數(shù)（公約數(shù)只有1的兩個整數(shù)稱為互質(zhì)整數(shù)），例如：，．記，數(shù)列的前項和為，若恒成立，則實數(shù)的取值范圍為 ．

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