專題13 向量線性運算及三大定理與四心歸類（講練）--2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)高分沖刺-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

2、精練習(xí)題。不搞“題海戰(zhàn)術(shù)”，在老師指導(dǎo)下，選一些源于課本的變式題，或體現(xiàn)基本概念、基本方法的基本題，通過解題來提高思維能力和解題技巧，加深對所學(xué)知識的深入理解。在解題時，要獨立思考，一題多思，一題多解，反復(fù)玩味，悟出道理。
3、加強審題的規(guī)范性。每每大考過后，總有同學(xué)抱怨沒考好，糾其原因是考試時沒有注意審題。審題決定了成功與否，不解決這個問題勢必影響到高考的成敗。
4、重視錯題。錯誤要及時尋找錯因，及時進(jìn)行總結(jié)，三五個字，一兩句話都行，言簡意賅，切中要害，以利于吸取教訓(xùn)，力求相同的錯誤不犯第二次。
專題13 向量線性運算及三大定理與四心歸類
目錄
\l "_Tc4571" 題型一：線性運算：等分點型
\l "_Tc9017" 題型二：線性運算：四邊形等分點型
\l "_Tc25822" 題型三：線性運算：基底非同一起點
\l "_Tc16733" 題型四：三大定理：奔馳定理
\l "_Tc32648" 題型五：三大定理：極化恒等式
\l "_Tc25152" 題型六：三大定理：等和線基礎(chǔ)
\l "_Tc23010" 題型七：等和線三角換元型
\l "_Tc27980" 題型八：等和線系數(shù)不是1構(gòu)造型
\l "_Tc30478" 題型九：等和線均值型
\l "_Tc13560" 題型十：等和線二次型
\l "_Tc13338" 題型十一：等和線系數(shù)差型
\l "_Tc27842" 題型十二：四心向量：外心
\l "_Tc16015" 題型十三：四心向量：內(nèi)心
\l "_Tc15373" 題型十四：四心向量：垂心
\l "_Tc30805" 題型十五：四心向量：重心
題型一：線性運算：等分點型
1．（23-24·河北唐山·階段練習(xí)）如圖，中，為邊的中點，為的中點，則（）

A．B．
C．D．
2．（23-24四川樂山·階段練習(xí)）如圖，已知點是的重心，過點作直線分別與，兩邊交于，兩點，設(shè)，，則的最小值為（）
A．B．4C．D．3
3．（23-24·陜西渭南·階段練習(xí)）如圖，在中，已知，P為上一點，且滿足，則實數(shù)m的值為（）

A．B．C．D．
4．（23-24天津·階段練習(xí)）如圖，在中，，，為上一點，且，若，，則的值為（）

A．B．C．D．
5．（23-24甘肅臨夏·階段練習(xí)）如圖，在中，點O是BC的中點，，分別連接MO、NO并延長，與邊AB的延長線分別交于P，Q兩點，若，則（）

A．2B．1C．－2D．－1
題型二：線性運算：四邊形等分點型
1．（23-24·江蘇蘇州·階段練習(xí)）在平行四邊形中，，分別在邊，上，，，與相交于點，記，，則（）
A．B．C．D．
2．（23-24山西·階段練習(xí)）如圖，在正方形中，,和相交于點G，且F為上一點（不包括端點），若，則的最小值為（）
A．B．C．D．15
3．（23-24寧夏銀川·）如圖所示的矩形中，，滿足，，為的中點，若，則的值為（）
A．B．C．D．2
4．（23-24陜西咸陽）如圖所示，在正方形中，為的中點，為的中點，若，則（）

A．B．C．D．
5．（23-24新疆烏魯木齊·模擬）如圖，在平行四邊形中，，，與交于點.設(shè)，，若，則（）
A．B．C．D．
題型三：線性運算：基底非同一起點
1．（23-24·四川成都·）在正六邊形ABCDEF中，，則（）
A．B．C．D．1
2．（23-24浙江·階段練習(xí)）已知六邊形ABCDEF為正六邊形，且，，以下不正確的是（）

A．B．
C．D．
3．（23-24重慶巴南·階段練習(xí)）如圖，矩形中，點是線段上靠近的三等分點，點是線段的中點，則（）
A．B．
C．D．
4．（23-24高三河南·階段練習(xí)）已知為等邊三角形，分別以CA，CB為邊作正六邊形，如圖所示，則（）
A．B．
C．D．
5．（22-23甘肅天水·階段練習(xí)）如圖，四邊形是平行四邊形，點分別為的中點，若以向量為基底表示向量，則下列結(jié)論正確的是（）

A．B．
C．D．
題型四：三大定理：奔馳定理
1．（23-24甘肅）“奔馳定理”因其幾何表示酷似奔馳的標(biāo)志得來，是平面向量中一個非常優(yōu)美的結(jié)論.它的具體內(nèi)容是：已知是內(nèi)一點，，，的面積分別為，，，且.若為的垂心，，則（）

A．B．C．D．
2．（23-24河北）平面向量中有一個非常優(yōu)美的結(jié)論：已知O為內(nèi)的一點，，，的面積分別為，，，則．因其幾何表示酷似奔馳的標(biāo)志，所以稱為“奔馳定理”．已知O為的內(nèi)心，三個角對應(yīng)的邊分別為a，b，c，已知，，，則（）
A．B．C．D．
3．（2024上?！ｎ}練習(xí)）“奔馳定理”因其幾何表示酷似奔馳的標(biāo)志得來，是平面向量中一個非常優(yōu)美的結(jié)論．奔馳定理與三角形四心（重心、內(nèi)心、外心、垂心）有著神秘的關(guān)聯(lián)．它的具體內(nèi)容是：已知是內(nèi)一點，的面積分別為，且．以下命題錯誤的是（）
A．若，則為的重心
B．若為的內(nèi)心，則
C．若，為的外心，則
D．若為的垂心，，則
4．（2023高三河南南陽·階段練習(xí)）奔馳定理：已知是內(nèi)的一點，，，的面積分別為，，，則．“奔馳定理”是平面向量中一個非常優(yōu)美的結(jié)論，因為這個定理對應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車（Mercedes benz）的lg很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”若是銳角內(nèi)的一點，，，是的三個內(nèi)角，且點滿足，則必有（）
A．
B．
C．
D．
5．（2022·安徽·三模）平面上有及其內(nèi)一點O，構(gòu)成如圖所示圖形，若將，，的面積分別記作，，，則有關(guān)系式．因圖形和奔馳車的很相似，常把上述結(jié)論稱為“奔馳定理”．已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若滿足，則O為的（）
A．外心B．內(nèi)心C．重心D．垂心
題型五：三大定理：極化恒等式
1.（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）正方形的邊長是2，是的中點，則（）
A．B．3C．D．5
2.（江蘇·高考真題）如圖，在中，是的中點，是上的兩個三等分點，，，則的值是 .
3.如圖,在中,已知,點分別在邊上,
且,若為的中點,則的值為________
4.（23-24高三·湖南長沙·階段練習(xí)）向量的數(shù)量積可以表示為：以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對角線”與“差對角線”平方差的四分之一，即如圖所示，，我們稱為極化恒等式. 已知在中，是中點，，，則（）
A．B．16C．D．8
5.（21-22·重慶沙坪壩·階段練習(xí)）向量的數(shù)量積可以表示為：以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對角線”與“差對角線”平方差的四分之一.即如圖所示：，我們稱為極化恒等式.在△中，
是中點，，，則（）
A．32B．-32C．16D．-16
題型六：三大定理：等和線基礎(chǔ)
1.（2023·江西吉安·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，半徑為的扇形的圓心角為120°，點C在弧上，且，若，則________.
2.（2023春·浙江溫州·?？奸_學(xué)考試）兩個單位向量且，點在弧上動，若，則的取值范圍是___________________
3.正六邊形中，令，，是△內(nèi)含邊界的動點（如圖），，則的最大值是（）
A．1B．3C．4D．5
4.已知是的外心，，則，則的取值范圍是
A．B．C．D．
5.已知在中，，，，P為BC上任意一點（含B，C），以P為圓心，1為半徑作圓，Q為圓上任意一點，設(shè)，則的最大值為
A．B．C．D．
題型七：等和線三角換元型
1.（2023·全國·高一假期作業(yè)）如圖，扇形的半徑為1，且，點C在弧上運動，若，則的最大值是（）
A．B．C．1D．2
2.（2023春·湖北湖北省紅安縣第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，扇形的半徑為1，且，點C在弧上運動，若，則的最小值是（）
A．B．C．1D．2
3.（2023春·重慶萬州·萬州外國語學(xué)校天子湖校區(qū)?？茧A段練習(xí)）如圖，在半徑為的圓中，點為圓上的定點，且，點為圓上的一個動點，若，則的取值范圍是________．
4.在直角梯形.中，，分別為的中點，以為圓心，為半徑的圓交于，點在上運動（如圖）.若，其中，則的最大值是________.
5.已知正三角形的邊長為2，D是邊的中點，動點P滿足，且，其中，則的最大值為___________．
題型八：等和線系數(shù)不是1構(gòu)造型
1.如圖，邊長為2的等邊三角形的外接圓為圓，為圓上任一點，若，則的最大值為（）
A．B．2C．D．1
2.（23-24·安徽蕪湖·階段練習(xí)）如圖，已知點是的重心，過點作直線分別與，兩邊交于，兩點，設(shè)，，則的最小值為（）

A．9B．4C．3D．
3.（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知是內(nèi)一點，且，點在內(nèi)（不含邊界），若，則的取值范圍是
A．B．C．D．
4.（20-21·福建·階段練習(xí)）已知平行四邊形中，點E，F(xiàn)分別在邊上，連接交于點M，且滿足，則（）
A．B．1C．D．
題型九：等和線均值型
1.（2023春·四川眉山校考階段練習(xí)）已知點G是的重心，過點G作直線分別與兩邊相交于點M，N兩點（點M，N與點B，C不重合），設(shè)，，則的最小值為．
2.（2023春·重慶·校聯(lián)考階段練習(xí)）在中，點D滿足，過點D的直線交線段AB于點M、交線段AC的延長線于點N，記，，則的最小值為 .
3.（2023春·山東菏澤統(tǒng)考模擬）在中，點是線段上的點，且滿足，過點的直線分別交直線于點，且，，其中且，若的最小值為 .
4.（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知A、B、P是直線上三個相異的點，平面內(nèi)的點，若正實數(shù)x、y滿足，則的最小值為 .
5.（23-24高三·天津武清·階段練習(xí)）在中，，E是線段上的動點（與端點不重合），設(shè)，則的最小值是（）
A．10B．4C．7D．13
題型十：等和線二次型
1.（23-24·陜西西安·階段練習(xí)）點是所在平面內(nèi)一點，若，，則的最小值為（）
A．B．1C．D．
2.（2019秋·江蘇蘇州·?？茧A段練習(xí)）如圖，在正方形中，為的中點，是以為圓心，為半徑的圓弧上的任意一點，設(shè)，則的最小值為．
3.（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知的邊的中點為，點在所在平面內(nèi)，且，若，則（）
A．5B．10C．20D．30
4.（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知為雙曲線上不同三點，且滿足（為坐標(biāo)原點），直線的斜率記為，則的最小值為
A．8B．4C．2D．1
5.（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在中，為邊上不同于，的任意一點，點滿足.若，則的最小值為 .

題型十一：等和線系數(shù)差型
1.（四川資陽·統(tǒng)考一模）如圖，在直角梯形中，，∥，，，圖中圓弧所在圓的圓心為點C，半徑為，且點P在圖中陰影部分（包括邊界）運動．若，其中，則的最大值為
A．B．
C．2D．
2.（安徽合肥·統(tǒng)考一模）已知向量、、滿足,若對于每一個確定的
的最大值和最小值分別為、，則對于任意的，的最小值為（）
A．B．C．D．
3.在中，點滿足.若存在點，使得，且，則的取值范圍是___．
4.（22-23高三·河北唐山·階段練習(xí)）如圖，在中，是線段上的一點，且，過點的直線分別交直線，于點，，若，，則的最小值是（）

A．B．C．D．
題型十二：四心向量：外心
1.（2023春·江蘇無錫·錫東高中校考階段練習(xí)）在中，，，，角是銳角，為的外心，若，其中，則點的軌跡所對應(yīng)圖形的面積是．
2.（2023春·廣東佛山·南海中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，O為的外心，，，為鈍角，是邊的中點，則 .

3.（2023春·吉林長春·東北師大附中校考階段練習(xí)）已知點O是△ABC的外心，AB＝4，AC＝2，∠BAC為鈍角，M是邊BC的中點，則．
4.（2023春·江西宜春·江西省清江中學(xué)校考階段練習(xí)）設(shè)為的外心a，b，c分別為角A，B，C的對邊，若，，則．
5.（2023春·遼寧·葫蘆島第一高級中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知為的外心，，，分別為內(nèi)角，，的對邊，且，則的取值范圍是 .
題型十三：四心向量：內(nèi)心
1.（2022春·甘肅蘭州·蘭州市第二中學(xué)?？寄M）在面上有及內(nèi)一點滿足關(guān)系式：即稱為經(jīng)典的“奔馳定理”，若的三邊為，，，現(xiàn)有，則為的心.
2.（2023浙江·模擬預(yù)測）已知中，，是的內(nèi)心，是內(nèi)部（不含邊界）的動點，若，則的取值范圍是（）
A．B．C．D．
3.（2022·貴州安順·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知O是平面上的一個定點，A?B?C是平面上不共線的三點，動點P滿足，則點P的軌跡一定經(jīng)過的（）
A．重心B．外心C．內(nèi)心D．垂心
4.（2023·全國·專題練習(xí)）已知所在的平面上的動點滿足，則直線一定經(jīng)過的（）
A．重心B．外心C．內(nèi)心D．垂心
5.（2023春·全國·專題練習(xí)）已知，是其內(nèi)心，內(nèi)角所對的邊分別，則（）
A．B．
C．D．
題型十四：四心向量：垂心
1.（2023·全國·高三專題練習(xí)）奔馳定理：已知是內(nèi)的一點，若、、的面積分別記為、、，則．“奔馳定理”是平面向量中一個非常優(yōu)美的結(jié)論，這個定理對應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車的很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”.如圖，已知是的垂心，且，則( )
A．B．C．D．
2.（2023春·浙江紹興·?？茧A段練習(xí)）奔馳定理：已知點O是內(nèi)的一點，若的面積分別記為，則．“奔馳定理”是平面向量中一個非常優(yōu)美的結(jié)論，因為這個定理對應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車的lg很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”．如圖，已知O是的垂心，且，則（）
A．B．C．D．
3.（2020·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)是平面上一定點，A、B、C是平面上不共線的三點，動點P滿足，，則動點P的軌跡一定通過△ABC的
A．外心B．內(nèi)心C．重心D．垂心
4.（2023·江蘇·專題練習(xí)）已知點為所在平面內(nèi)的動點，且滿足，則點的軌跡一定通過的（）
A．垂心B．內(nèi)心C．外心D．重心
5.（2020春·天津和平·耀華中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知點O為△ABC所在平面內(nèi)一點，且，則O一定為△ABC的（）
A．外心B．內(nèi)心C．垂心D．重心
題型十五：四心向量：重心
1.（2023·全國·專題練習(xí)）在中，，，且，，則點的軌跡一定通過的（）
A．重心B．內(nèi)心
C．外心D．垂心
2.（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知的三個內(nèi)角分別為為平面內(nèi)任意一點，動點滿足則動點P的軌跡一定經(jīng)過的（）
A．重心B．垂心C．內(nèi)心D．外心
3.（2021春·重慶渝中重慶復(fù)旦中學(xué)校考階段練習(xí)）設(shè)是內(nèi)任意一點，表示的面積，，，，定義.若是的重心，，則（）
A．點與點重合B．點在內(nèi)
C．點在內(nèi)D．點在內(nèi)
4.（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)的內(nèi)角的對邊分別為，點為的重心且滿足向量，若，則實數(shù)
A．3B．2C．D．

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