注意事項(xiàng)：
1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名和座位號(hào)填寫在答題卡上。
2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡的相應(yīng)位置上。寫在本試卷上無(wú)效。
3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。
選擇題（共8小題，每小題5分，共40分，每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。）
1．若復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
2．已知正方體的棱長(zhǎng)為2，E，F(xiàn)分別是棱AD，上的動(dòng)點(diǎn)，若正方體的外接球的球心是，三棱錐的外接球的球心是，則的最大值是（ ）
A．B．C．D．
3．若，則（ ）
A．1B．-1C．2D．-2
4．底面圓周長(zhǎng)為，母線長(zhǎng)為4的圓錐內(nèi)切球的體積為（ ）
A．B．C．D．
5．已知函數(shù)，若將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)的圖象，若關(guān)于的方程在上有且僅有兩個(gè)不相等的實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
6．已知圓錐在正方體內(nèi)，，且垂直于圓錐的底面，當(dāng)該圓錐的底面積最大時(shí)，圓錐的體積為（ ）
A．B．C．D．
7．在中，角的對(duì)邊分別為，若，則（ ）
A．6B．4C．3D．2
8．三棱錐滿足，二面角的大小為，，，，則三棱錐外接球的體積為（ ）
A．B．C．D．
二．多選題（共3小題，每題6分，共18分。在每題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得3分，有選錯(cuò)的得0分。）
9．已知函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．若的最小正周期是，則
B．當(dāng)時(shí)，的對(duì)稱中心的坐標(biāo)為
C．當(dāng)時(shí)，
D．若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則
10．某次數(shù)學(xué)考試后，為分析學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，某校從某年級(jí)中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生的成績(jī)，整理得到如圖所示的頻率分布直方圖．為進(jìn)一步分析高分學(xué)生的成績(jī)分布情況，計(jì)算得到這100名學(xué)生中，成績(jī)位于內(nèi)的學(xué)生成績(jī)方差為12，成績(jī)位于內(nèi)的同學(xué)成績(jī)方差為10．則（ ）
A．
B．估計(jì)該年級(jí)學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)約為77.14
C．估計(jì)該年級(jí)成績(jī)?cè)?0分及以上的學(xué)生成績(jī)的平均數(shù)為87.50
D．估計(jì)該年級(jí)成績(jī)?cè)?0分及以上的學(xué)生成績(jī)的方差為30.25
11．如圖所示，在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，點(diǎn)為側(cè)棱上的動(dòng)點(diǎn)，為線段中點(diǎn).則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．存在點(diǎn)，使得平面
B．周長(zhǎng)的最小值為
C．三棱錐的外接球的體積為
D．平面與平面的夾角正弦值的最小值為
三．填空題（共3小題，每題5分，共15分。）
12．已知某圓錐的體積為.側(cè)面展開圖為一個(gè)半圓，則該圓錐的內(nèi)切球的體積為
13．意大利畫家達(dá)·芬奇提出：固定項(xiàng)鏈的兩端，使其在重力的作用下自然下垂，那么項(xiàng)鏈所形成的曲線是什么？這就是著名的“懸鏈線問題”.雙曲余弦函數(shù)，就是一種特殊的懸鏈線函數(shù)，其函數(shù)表達(dá)式為，相應(yīng)的雙曲正弦函數(shù)的表達(dá)式為.設(shè)函數(shù)，若實(shí)數(shù)m滿足不等式，則m的取值范圍為 .
14．在四棱錐中，底面ABCD是平行四邊形，E是棱PA的中點(diǎn)，F(xiàn)在棱BC上，滿足，G在棱PB上，滿足D，E，F(xiàn)，G四點(diǎn)共面，則的值為 ．
四．解答題（共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過程或演算步驟。）
（14分）15．若函數(shù)和的定義域相同，值域也相同，則稱和是"同域函數(shù)".
(1)判斷函數(shù)與是否為"同域函數(shù)"，并說(shuō)明理由；
(2)若函數(shù)和，且是"同域函數(shù)"，求的值.
（15分）16．如圖，在直四棱柱中，底面是邊長(zhǎng)為的菱形，，，，分別為，的中點(diǎn).
(1)證明：平面；
(2)求四棱柱被平面截得的截面周長(zhǎng)；
(3)求直線與平面所成角的正切值.
（14分）17．已知.
(1)求的單調(diào)遞增區(qū)間；
(2)若，，求滿足不等式的x的取值范圍.
（16分）18．某市為了創(chuàng)建文明城市，共建美好家園，隨機(jī)選取了100名市民，就該城市創(chuàng)建的推行情況進(jìn)行問卷調(diào)查，并將這100人的問卷根據(jù)其滿意度評(píng)分值（百分制）按照，，…，分成5組，制成如圖所示頻率分布直方圖.
(1)求圖中x的值；
(2)求這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)、平均數(shù)；
(3)已知滿意度評(píng)分值在內(nèi)的男生數(shù)與女生數(shù)的比為3：2，若在滿意度評(píng)分值為的人中按照性別采用分層抽樣的方法抽取5人，并分別依次進(jìn)行座談，求前2人均為男生的概率.
（18分）19．《九章算術(shù)》是我國(guó)古代的一部數(shù)學(xué)經(jīng)典著作，在其中一篇《商功》中有如下描述：“斜解立方，得兩塹堵”，塹堵是底面為直角三角形的直三棱柱．如圖，在塹堵中，，，，，為棱的中點(diǎn)，為棱的中點(diǎn)．
(1)證明：平面平面；
(2)求二面角的正切值；
(3)求與平面所成角的正弦值．?dāng)?shù)學(xué)答案
1．D【詳解】因?yàn)椋?br>所以，
所以，所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，位于第四象限．
2．C【詳解】如下圖所示：
設(shè)BC的中點(diǎn)為G，的中點(diǎn)為H，的外接圓圓心為M，的外接圓圓心為N，
易得，，
過M，N分別作平面，平面ABCD的垂線，交點(diǎn)即為，
又為GH的中點(diǎn)，所以當(dāng)MG和NG最小時(shí)，取得最大值．
設(shè)，，由，可得，
整理得，故當(dāng)，
即F為的中點(diǎn)時(shí)，MG取得最小值，
同理可得NG的最小值也是，
此時(shí)，，G三點(diǎn)共線，．
3．B【詳解】由題意得，
則
4．C【詳解】由題意可知，圓錐的母線，底面半徑，
根據(jù)題意可作圓錐與其內(nèi)切球的軸截面如圖所示：
根據(jù)圓錐和球的對(duì)稱性可知，球的截面為圓，即為等腰的內(nèi)切圓，
即，，，，
在中，，由，，則，
在中，，即，
可得，解得，即內(nèi)切球的半徑，
故內(nèi)切球體積為.
5．B 【詳解】將函數(shù)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)，
即，
∵，∴，
∵在上有且僅有兩個(gè)不相等的實(shí)根，
∴，解得，
即實(shí)數(shù)的取值范圍是，
6．C【詳解】如圖所示，取的中點(diǎn)，分別記為，，
連接.
根據(jù)正方體的性質(zhì)易知六邊形為正六邊形，
此時(shí)的中點(diǎn)為該正六邊形的中心，且平面，
當(dāng)圓錐底面內(nèi)切于正六邊形時(shí)，該圓錐的底面積最大.
設(shè)此時(shí)圓錐的底面圓半徑為，因?yàn)椋裕?br>所以，圓錐的底面積，圓錐的高，
所以圓錐的體積.
7．B【詳解】因?yàn)椋?，而?br>在中，，所以，故，
由余弦定理得，代入得，
，故，
故，故B正確.
8．C【詳解】設(shè)，則，
因?yàn)?br>，
所以，解得：，
即，可知，
過作，連接，則，
可知，且二面角的平面角為，
則為等邊三角形，即，
設(shè)，因?yàn)椋?br>即，解得：或，
可知點(diǎn)與點(diǎn)A重合或與點(diǎn)B重合，兩者是對(duì)稱結(jié)構(gòu)，不妨取點(diǎn)E與點(diǎn)A重合，
則，，由，平面，則平面，
且為二面的平面角，可知為等邊三角形，
可將三棱錐補(bǔ)充直棱柱，如圖所示，
為底面正的外心，即，
為的外接球球心，可知，且，
則三棱錐的外接球半徑，
所以外接球的體積.
9．AD
【詳解】解:對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)?shù)淖钚≌芷谑牵矗?，則，故A選項(xiàng)正確；
對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，所以令，解得：，所以函數(shù)的對(duì)稱中心的坐標(biāo)為，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，，，由于在單調(diào)遞增，故，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于D選項(xiàng)，令，解得： 所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為：，因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞增，所以，解得：，另一方面，，，所以，即，又因?yàn)?，所以，故，故D選項(xiàng)正確.
10．BCD
【詳解】A項(xiàng)，在頻率分布直方圖中，所有直方圖的面積之和為1，
則，解得，故A錯(cuò)誤；
項(xiàng)，前兩個(gè)矩形的面積之和為
前三個(gè)矩形的面積之和為.
設(shè)該年級(jí)學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)為，則，
根據(jù)中位數(shù)的定義可得，解得，
所以，估計(jì)該年級(jí)學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)約為，故B正確；
C項(xiàng)，估計(jì)成績(jī)?cè)?0分以上的同學(xué)的成績(jī)的平均數(shù)為
分，故C正確；
D項(xiàng)，估計(jì)該年級(jí)成績(jī)?cè)?0分及以上的學(xué)生成績(jī)的方差為
，故D正確.
11．ACD
【詳解】A：由題意知，，又平面，
所以平面，由平面，得；
當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，又四邊形為正方形，為的中點(diǎn)，
所以，由平面，所以平面，故A正確；
B：將平面和平面沿鋪成一個(gè)平面，如圖，連接，交于，
此時(shí)三點(diǎn)共線，取得最小值，即的周長(zhǎng)取得最小值，
又，
所以的周長(zhǎng)的最小值為，故B錯(cuò)誤；
C：易知中，，取的中點(diǎn)，過作平面，如圖
，
則三棱錐的外接球的球心必在上，且，
所以球的半徑為，其體積為，故C正確；
D：易知兩兩垂直，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，
則，設(shè)，
所以，
易知為平面的一個(gè)法向量，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
則，令，得，所以，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，設(shè)平面與平面所成角為，
則，所以，故D正確.
12．/
【詳解】
設(shè)圓錐的底面半徑為，母線長(zhǎng)為，高為.
因?yàn)閳A錐的側(cè)面展開圖為半圓，所以側(cè)面展開圖的扇形弧長(zhǎng)為，則，
從而，則圓錐的體積，解得.
作出圓錐的軸截面，如圖所示，其中圓錐內(nèi)切球的球心為，半徑為.
則,解得，
則該圓錐的內(nèi)切球的體積為.
13．
【詳解】由題意可知，的定義域?yàn)镽，
因?yàn)?，所以為奇函?shù).
因?yàn)椋以赗上為減函數(shù)，
所以由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知在R上為增函數(shù).
又，所以，
所以，解得.
14．/0.75
【詳解】
如圖，延長(zhǎng)DF，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q，連接EQ，EQ與PB的交點(diǎn)即為G.
理由如下：設(shè)D，E，F(xiàn)共面，因，則平面，
又因平面，故三點(diǎn)共線，即.
取AB的中點(diǎn)M，連接EM，因，由可得,
因,則,又E是棱PA的中點(diǎn)，則,則得,
故有，又，所以，故．
15．(1)不是，理由見解析； (2).
【詳解】（1）函數(shù)y=x2?2x與不是"同域函數(shù)"，理由如下：
函數(shù)y=x2?2x與的定義域均為R，
由，可知y=x2?2x的值域?yàn)椋?br>由，可知的值域?yàn)椋?br>則y=x2?2x與的值域不相同，
所以函數(shù)y=x2?2x與不是"同域函數(shù)".
（2）由，得，
因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以，
得的值域?yàn)椋?br>由題意得的解集為，
則是關(guān)于的方程的兩個(gè)解，
得，得，所以，且，
易得，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)是增函數(shù)，則的值域?yàn)椋环项}意.
當(dāng)0

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