一、選擇題
1．( )
A.B.C.D.
2．已知向量,,若,則( )
A.B.C.1D.2
3．已知命題,;命題,,則( )
A.p和q都是真命題B.和q都是真命題
C.p和都是真命題D.和都是真命題
4．記為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和.若,則公差d為( )
A.2B.C.1D.
5．圓與圓的公共弦的弦長等于( )
A.2B.4C.D.
6．設(shè)經(jīng)過點(diǎn)的直線與拋物線相交于A,B兩點(diǎn),若線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2,則( )
A.4B.5C.6D.7
7．已知函數(shù)在R上單調(diào)遞增,則a的取值范圍是( )
A.B.C.D.
8．設(shè)雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為,,過做平行于y軸的直線交C于A,B兩點(diǎn),若,,則C的離心率為( )
A.B.C.D.1
二、多項(xiàng)選擇題
9．有一組樣本數(shù)據(jù),,,其中是最小值,是最大值,則( )
A.,,,的平均數(shù)等于,,,的平均數(shù)
B.,,,的中位數(shù)等于,,,的中位數(shù)
C.,,,的標(biāo)準(zhǔn)差不小于,,,的標(biāo)準(zhǔn)差
D. ,,,的極差不大于,,,的極差
10．對于函數(shù)和,下列結(jié)論中,下列正確的有( )
A.與有相同零點(diǎn)
B.與有相同最大值
C.與有相同的最小正周期
D.與的圖象有相同的對稱軸
11．已知定點(diǎn),,動(dòng)點(diǎn)P到B的距離和它到直線的距離的比是常數(shù),則下列說法正確的( )
A.點(diǎn)P的軌跡方程為：
B.P,A,B不共線時(shí),面積的最大值為
C.存在點(diǎn)P,使得
D.O為坐標(biāo)原點(diǎn),的最小值為4
三、填空題
12．已知直線,,,若且,則_______________.
13．已知等差數(shù)列,,,則________________.
14．已知,是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn),P為橢圓C上一點(diǎn),且.若的面積為16,則_____________.
四、解答題
15．已知圓E經(jīng)過點(diǎn),,且過直線與直線的交點(diǎn)C.
(1)求圓E的方程;
(2)求過點(diǎn)的圓E的切線方程.
16．記的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知.
(1)求A;
(2)若邊上的高為2,且的平分線交邊于D,,求.
17．如圖,在直三棱柱中,是邊長為2的正三角形,,D為中點(diǎn),點(diǎn)E在棱上,且,.
(1)當(dāng)時(shí),求證：平面;
(2)當(dāng)時(shí),求直線與平面所成角的正弦值.
18．已知橢圓的長軸長為,離心率為,斜率為k的直線l與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A,B.
(1)求橢圓的方程;
(2)若直線l的方程為：,橢圓上點(diǎn)關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)N（與M不重合）在橢圓上,求t的值;
(3)設(shè),直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為C,直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為D,若點(diǎn)C,D和點(diǎn)三點(diǎn)共線,求k的值.
19．函數(shù)的定義域?yàn)?如果存在區(qū)間,使得在區(qū)間上單調(diào),且函數(shù)的值域是,則稱區(qū)間是函數(shù)的一個(gè)“優(yōu)美區(qū)間”.
(1)判斷函數(shù)是否存在“優(yōu)美區(qū)間”？（直接寫出結(jié)論,不要求證明）;
(2)求函數(shù)的“優(yōu)美區(qū)間”;
(3)如果函數(shù)在R上存在“優(yōu)美區(qū)間”,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
參考答案
1．答案：C
解析：,
故選：C.
2．答案：D
解析：因?yàn)?所以,
所以即,故,
故選：D.
3．答案：B
解析：對于p而言,取,則有,故p是假命題,是真命題,
對于q而言,取,則有,故q是真命題,是假命題,
綜上,和q都是真命題.
故選：B.
4．答案：A
解析：由等差數(shù)列前項(xiàng)n和公式：,
可得：.
故選：A.
5．答案：D
解析：圓,圓心為,半徑為;
圓,圓心為,半徑為;
圓心距,,兩圓相交,
聯(lián)立兩圓方程,得,
即公共弦所在直線的方程為,
故圓心到公共弦的距離為,
公共弦長為：.
故選：D.
6．答案：C
解析：設(shè),,A,B中點(diǎn)橫坐標(biāo)為,則,解得：;
.
故選：C.
7．答案：B
解析：因?yàn)樵赗上單調(diào)遞增,且時(shí),單調(diào)遞增,
則需滿足,解得,
即a的范圍是.
故選：B.
8．答案：A
解析：如圖所示,因?yàn)殡p曲線關(guān)于x軸對稱,
所以,,
由雙曲線的定義得：,
由直角三角形得：
所以離心率.
故選：A.
9．答案：BD
解析：取,,,
,,,的平均數(shù)等于2,,,,,的平均數(shù),選項(xiàng)A錯(cuò)誤;
,,,的標(biāo)準(zhǔn)差為0,,,,的標(biāo)準(zhǔn)差,選項(xiàng)C錯(cuò)誤;
不妨設(shè),
則,,,的中位數(shù)等于,,,,的中位數(shù)等于,
,,,的中位數(shù)等于,,,的中位數(shù),B正確;
,,,的極差為,,,,的極差為,
則,,,的極差不大于,,,的極差,D正確.
故選:BD.
10．答案：BC
解析：A選項(xiàng),令,解得,,即為零點(diǎn),
令,解得,,即為零點(diǎn),
顯然,零點(diǎn)不同,A選項(xiàng)錯(cuò)誤;
B選項(xiàng),顯然,B選項(xiàng)正確;
C選項(xiàng),根據(jù)周期公式,,的周期均為,C選項(xiàng)正確;
D選項(xiàng),根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)的對稱軸滿足,,
的對稱軸滿足,,
顯然,圖像的對稱軸不同,D選項(xiàng)錯(cuò)誤.
故選：BC.
11．答案：BD
解析：選項(xiàng)A,設(shè),則,平方整理得,即為P點(diǎn)軌跡方程,A錯(cuò);
選項(xiàng)B,由軌跡方程知P點(diǎn)軌跡是橢圓,,,由于,橢圓的焦點(diǎn)是A,B,
當(dāng)P點(diǎn)為橢圓短軸頂點(diǎn)時(shí),面積最大,此時(shí)面積為,B正確;
選項(xiàng)C,由于,因此以為直徑的圓與橢圓沒有交點(diǎn),因此不存在P,使得,C錯(cuò);
選項(xiàng)D,如圖,作,C為垂足,則,,
當(dāng)且僅當(dāng)O,P,C共線時(shí),取得最小值4,即的最小值為4,D正確.
故選：BD.
12．答案：
解析：因?yàn)橹本€,,且,
所以,解得,經(jīng)檢驗(yàn)成立,
因?yàn)橹本€,,且,
所以,解得,
所以.
故答案為：.
13．答案：8
解析：在等差數(shù)列中,.
故答案為：8.
14．答案：4
解析：,
,①
又,
②
①②得：,
的面積為16,
,
.
故答案為：4.
15．答案：(1)
(2)或
解析：(1)由,解得,,即點(diǎn),
設(shè)圓E的方程為,
依題意,,解得,
所以圓E的方程為,即.
(2)由,得點(diǎn)P在圓外,
圓E的圓心到直線的距離為2,則過點(diǎn)P的圓E切線方程可以是;
當(dāng)切線斜率存在,設(shè)切線方程為,即,
由,解得,切線方程為,
所以過點(diǎn)的圓E的切線方程為或.
16．答案：(1);
(2).
解析：(1)因?yàn)?
所以由正弦定理得,
又,所以,所以,
又
所以,故,
所以,又,所以.
(2)由題可得①,
又因?yàn)?是的平分線,所以,,
因?yàn)?所以,所以由正弦定理得②,
又由余弦定理得③,
所以由①②③計(jì)算可得,,,
所以由即
得.
17．答案：(1)證明見解析
(2)
解析：(1)取的中點(diǎn),連接,
因?yàn)槿庵鶠橹崩庵?且為正三角形,
以、、所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,
根據(jù)已知條件得、、、、,
當(dāng)時(shí),,則,
所以,,,
所以,,
所以,,
又,、平面,所以平面.
(2)易知,則,
當(dāng)時(shí),點(diǎn),,,
設(shè)平面的法向量為,則,
取,可得,
所以,
故當(dāng)時(shí),求直線與平面所成角的正弦值為.
18．答案：(1)
(2)
(3)
解析：(1)橢圓的長軸長為,離心率為,
則,,則,則,
則橢圓的方程為.
(2)設(shè)橢圓上點(diǎn)關(guān)于直線l的對稱點(diǎn),
則,
解之得,則,
由N在橢圓上,可得,
整理得,解之得或,
當(dāng)時(shí)與點(diǎn)M重合,舍去,
則.
(3)設(shè),,,,則,,
又,則,直線的方程為,
由,整理得,
則,則,
又,則,
則,則,
令則,直線的方程為,
由,整理得,
則,則,
又,則,
則,則,
則,
,
由點(diǎn)C,D和點(diǎn)三點(diǎn)共線,可得,
則,
整理得,則.
19．答案：(1)不存在
(2)
(3)
解析：(1)函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增,若存在“優(yōu)美區(qū)間”,則,
所以,方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解,即,
由于,故方程無解,
所以,函數(shù)在區(qū)間上不存在“優(yōu)美區(qū)間”.
(2)因?yàn)?在上單調(diào)遞增.
若函數(shù)存在“優(yōu)美區(qū)間”,則,
即方程有兩解,解得,,
故函數(shù)的“優(yōu)美區(qū)間”為.
(3)假設(shè)函數(shù)在R上存在“優(yōu)美區(qū)間”是,
因?yàn)楹瘮?shù)在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增.
①若,則,即有兩個(gè)不相等的非負(fù)實(shí)數(shù)根,
則,
設(shè)此時(shí)方程兩根分別為、,則;
②若,則,即,
所以,即方程有兩個(gè)不相等的非正實(shí)根,
則,
設(shè)此時(shí)方程兩根分別為、,則,即.
綜上,a的取值范圍是.

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