一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）
1. 集合，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因?yàn)?，所?
故選：A.
2. 設(shè)函數(shù)，則（ ）
A. B. C. 1D.
【答案】D
【解析】因?yàn)椋?br>所以.
故選：D.
3. 函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>因?yàn)楹瘮?shù)在上為增函數(shù)，又因?yàn)楹瘮?shù)在上為增函數(shù)，
故函數(shù)在上增函數(shù).
因?yàn)?，則.
由零點(diǎn)存在定理可知，函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是.
故選：B.
4. 將函數(shù)的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向右平移個(gè)單位長度，得到的圖象，則函數(shù)的解析式為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】將函數(shù)的圖象保持縱坐標(biāo)不變，先將橫坐標(biāo)縮短為原來的，
得到，再向右平移個(gè)單位長度后得到.
故選：D.
5. 已知，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因?yàn)?，，?br>所以.
故選：A.
6. 已知，若，則的值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
又
∴，
則.
故選：D.
7. 荀子《勸學(xué)》中說：“不積跬步，無以至千里；不積小流，無以成江?！蔽覀儼芽醋髅刻斓摹斑M(jìn)步”率是0.01，一年后的值約為；把看作每天的“退步”率是0.01，一年后的值約為，此時(shí)一年后的“進(jìn)步”值是“退步”值的倍.那么，大約經(jīng)過（ ）天，“進(jìn)步”值是“退步”值的20倍.（參考數(shù)據(jù)：）
A. 130天B. 149天C. 120天D. 155天
【答案】B
【解析】設(shè)經(jīng)過x天“進(jìn)步”的值是“退步”的值的20倍，則，
.
故選：B.
8. 已知函數(shù)，若函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（ ）
A. B. C. 或D.
【答案】C
【解析】由函數(shù)解析式可畫出函數(shù)圖象如圖：
若函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)，可得函數(shù)與函數(shù)有兩個(gè)交點(diǎn)，
可得或.
故選：C.
二、多項(xiàng)選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求的.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）
9. 已知向量，，是三個(gè)非零向量，則下列結(jié)論正確的有（ ）
A. 若，則B. 若，，則
C. 若，則D. 若，則
【答案】BD
【解析】A：，當(dāng)，方向相反時(shí)，錯(cuò)誤；
B：，，且，，是三個(gè)非零向量，則有，正確；
C：知：，不一定有，錯(cuò)誤；
D：即，可得，即，正確.
故選：BD.
10. 記的內(nèi)角的對邊分別為，若，則（ ）
A. B.
C. 的面積為 D. 外接圓的面積為
【答案】AD
【解析】的內(nèi)角的對邊分別為，若，
則，由，所以，故A正確；
因?yàn)?，所以，解得，故B錯(cuò)誤；
，故C錯(cuò)誤；
設(shè)外接圓的半徑為，因?yàn)?，所以?br>外接圓的面積為，故D正確.
故選：AD.
11. 下列命題為真命題的是（ ）
A. 若，則
B. “”是“”必要不充分條件
C. 若，且，則的最小值為
D. 若命題“，使得成立”是假命題，則的取值范圍是
【答案】BCD
【解析】對于A，當(dāng)時(shí)，，A錯(cuò)誤；
對于B，，而，則或，
因此“”是“”的必要不充分條件，B正確；
對于C，依題意，，
，當(dāng)且僅當(dāng)，
即時(shí)取等號(hào)，C正確；
對于D，由題可知“”為真命題，當(dāng)時(shí)，，符合題意；
當(dāng)時(shí)，則解得，所以的取值范圍是，D正確.
故選：BCD.
三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）
12. 已知向量，且，則實(shí)數(shù)__________.
【答案】
【解析】因?yàn)?，則，
因?yàn)?，所以，則.
13. 圓心角為的扇形的弧長為，則該扇形的面積為__________.
【答案】
【解析】將化成弧度為，即圓心角，
則扇形的弧長為，所以，
所以該扇形的面積為.
14. 筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，既經(jīng)濟(jì)又環(huán)保.明朝科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政全書》中用圖畫描繪了筒車的工作原理（圖1）.假定在水流量穩(wěn)定的情況下，筒車上的每一個(gè)盛水筒都做勻速圓周運(yùn)動(dòng).如圖2，將筒車抽象為一個(gè)半徑為的圓，設(shè)筒車按逆時(shí)針方向每旋轉(zhuǎn)一周用時(shí)120秒，當(dāng)時(shí)，盛水筒位于點(diǎn)，經(jīng)過秒后運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，點(diǎn)的縱坐標(biāo)滿足，則當(dāng)筒車旋轉(zhuǎn)90秒時(shí)，盛水筒對應(yīng)的點(diǎn)的縱坐標(biāo)為__________.
【答案】
【解析】因?yàn)橥曹嚢茨鏁r(shí)針方向每旋轉(zhuǎn)一周用時(shí)120秒，所以，得，
所以.
因?yàn)楫?dāng)時(shí)，盛水筒M位于點(diǎn)，所以，
所以.
因?yàn)?，所以，?
因?yàn)?，所以，所?
所以.
四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）
15. 已知.
（1）求的值；
（2）已知，求的值.
解：（1）因?yàn)樗?br>則
所以.
（2）由（1）可得
所以
16. 已知函數(shù).
（1）求的最小正周期和對稱軸方程；
（2）求在上的最大值和最小值.
解：（1）
，
所以函數(shù)的最小正周期為.
令，，解得，，
所以函數(shù)圖象的對稱軸方程為，.
（2）當(dāng)時(shí)，，
則，進(jìn)而可得，，
所以.
當(dāng)時(shí)，即時(shí)，取最小值.
當(dāng)時(shí)，即時(shí)，取最大值.
17. 在中，內(nèi)角的對邊分別為，已知.
（1）求角；
（2）若的面積為為邊上的中點(diǎn)，求.
解：（1）由正弦定理，
所以，
因?yàn)?，所以?br>又因?yàn)?
（2）因?yàn)锳D為BC邊上的中線，所以，
所以.
又因?yàn)?，所?
由余弦定理，所以，所以，
所以，所以.
18. 已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)是奇函數(shù)，.
（1）求的值；
（2）判斷函數(shù)的單調(diào)性，并用定義證明；
（3）當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
解：（1）因?yàn)樵诙x域?yàn)樯鲜瞧婧瘮?shù)，
所以，即，∴.
又∵，即，∴.
則，由，
則當(dāng)，原函數(shù)為奇函數(shù).
（2）由（1）知，
任取，設(shè)，則，
因?yàn)楹瘮?shù)在上是增函數(shù)，，∴.
又，
∴，即，
∴在上為減函數(shù).
（3）因是奇函數(shù)，從而不等式：，等價(jià)于，
因?yàn)闉闇p函數(shù)，由上式推得：，
即對一切有：恒成立.
設(shè)，
令，則有，
∴，
∴，即k的取值范圍為.
19. 在平面四邊形中，已知，且， ，是線段（包括端點(diǎn)）上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).
（1）當(dāng)時(shí)，
①求值；
②若，求；
（2）求的最小值.
解：（1）①因?yàn)?，且?br>所以，，且，，
所以四邊形為直角梯形.
所以以A為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，
當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋?br>所以，，，，
所以，，
因此；
②設(shè)，即點(diǎn)P的坐標(biāo)為，
則，，
因?yàn)椋?br>所以當(dāng)時(shí)，，即.
（2）設(shè)，，又，
則，
所以，當(dāng)時(shí)取到等號(hào)，
因此的最小值為3.

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