2023屆云南省昆明市“三診一模”高三復(fù)習(xí)教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題試題 一、單選題1．已知集合，，則（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)求解集合B，再求交集即可得結(jié)果.【詳解】由題意可得：，故.故選：A.2．歐拉公式：將復(fù)指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)聯(lián)系起來，在復(fù)變函數(shù)中占有非常重要的地位，根據(jù)歐拉公式，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的象限為（    ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義結(jié)合象限角的三角函數(shù)值的符號(hào)分析判斷【詳解】由題意可得：對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，∵，則，故位于第二象限.故選：B.3．某單位職工參加某APP推出的“二十大知識(shí)問答競(jìng)賽”活動(dòng)，參與者每人每天可以作答三次，每次作答20題，每題答對(duì)得5分，答錯(cuò)得0分，該單位從職工中隨機(jī)抽取了10位，他們一天中三次作答的得分情況如圖：根據(jù)圖，估計(jì)該單位職工答題情況，則下列說法正確的是（    ）A．該單位職工一天中各次作答的平均分保持一致B．該單位職工一天中各次作答的正確率保持一致C．該單位職工一天中第三次作答得分的極差小于第二次的極差D．該單位職工一天中第三次作答得分的標(biāo)準(zhǔn)差小于第一次的標(biāo)準(zhǔn)差【答案】D【分析】根據(jù)給出統(tǒng)計(jì)圖數(shù)據(jù)，分別計(jì)算出三次作答的平均分、正確率、極差、標(biāo)準(zhǔn)差，即可作出判斷．【詳解】由題可得，該單位抽取的10位員工三次作答的得分分別為： 1號(hào)員工2號(hào)員工3號(hào)員工4號(hào)員工5號(hào)員工6號(hào)員工7號(hào)員工8號(hào)員工9號(hào)員工10號(hào)員工第一次作答65808580909090859090第二次作答80859090959095909595第三次作答8590959510010010095100100 對(duì)于A：第一次作答的平均分為：，第二次作答的平均分：，第三次作答的平均分：，故該單位職工一天中各次作答的平均分不一致，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：第一次作答的正確率： ，第二次作答的正確率： ，第三次作答的正確率： ，故該單位職工一天中各次作答的正確率不一致，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：該單位職工一天中第三次作答得分的極差：，該單位職工一天中第二次作答得分的極差：，故該單位職工一天中第三次作答得分的極差等于第二次的極差，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：該單位職工一天中第三次作答得分的標(biāo)準(zhǔn)差：，該單位職工一天中第一次作答得分的標(biāo)準(zhǔn)差：，故該單位職工一天中第三次作答得分的標(biāo)準(zhǔn)差小于第一次的標(biāo)準(zhǔn)差，故D正確，故選：D．4．已知和均為等差數(shù)列，，，，則數(shù)列的前50項(xiàng)的和為（    ）A．5000 B．5050 C．5100 D．5150【答案】B【分析】由題設(shè)易知為等差數(shù)列，結(jié)合已知求公差，應(yīng)用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式求和即可.【詳解】由題設(shè)也為等差數(shù)列，且公差為、公差的和，又，，故，所以前50項(xiàng)和為.故選：B5．已知直線與圓：交于兩點(diǎn)，則（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)垂徑定理求弦長，再結(jié)合余弦定理運(yùn)算求解.【詳解】圓：的圓心為，半徑，∵圓心到直線的距離，則，可得，且，∴.故選：D.6．函數(shù)在區(qū)間上的圖象大致為（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性排除B、D，再取特值排除C.【詳解】對(duì)于函數(shù)，∵，故為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，B、D錯(cuò)誤；又∵，且，故，C錯(cuò)誤；故選：A.7．已知函數(shù)，的定義域均為，為偶函數(shù)且，，則 （    ）A．21 B．22 C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意證明，結(jié)合對(duì)稱性分析運(yùn)算即可.【詳解】∵為偶函數(shù)且，則，故關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，又∵，則，則是以周期為4 的周期函數(shù)，故關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，∴，則，又∵，則，故.故選：C.8．某機(jī)床廠工人利用實(shí)心的圓錐舊零件改造成一個(gè)正四棱柱的新零件，且正四棱柱的中心在圓錐的軸上，下底面在圓錐的底面內(nèi)．已知該圓錐的底面圓半徑為3cm，高為3cm，則該正四棱柱體積（單位：）的最大值為（    ）A． B．8 C． D．9【答案】B【分析】設(shè)，借助于圓錐的軸截面分析可得，利用柱體體積公式可求得，求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)求最值.【詳解】顯然當(dāng)正四棱柱的上底面頂點(diǎn)在圓錐表面時(shí)的體積較大，如圖，借助于圓錐的軸截面，由題意可得：，設(shè)，則，可得，故該正四棱柱體積，構(gòu)建，則，∵，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，∴，故該正四棱柱體積的最大值為8（）.故選：B.【點(diǎn)睛】方法定睛：利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題的一般步驟(1)建模：分析實(shí)際問題中各量之間的關(guān)系，列出實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型，寫出實(shí)際問題中變量之間的函數(shù)關(guān)系式y＝f(x)．(2)求導(dǎo)：求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f ′(x)，解方程f ′(x)＝0.(3)求最值：比較函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)和使f ′(x)＝0的點(diǎn)的函數(shù)值的大小，最大(小)者為最大(小)值．(4)作答：回歸實(shí)際問題作答． 二、多選題9．已知，，設(shè)，，，則下列正確的是（    ）A．若，則B．若，則C．以，為鄰邊的平行四邊形的面積為D．若，則的最大值為【答案】BCD【分析】對(duì)A、B、C：根據(jù)平面向量的數(shù)量積分析判斷；對(duì)D：根據(jù)題意求得點(diǎn)C的軌跡方程，結(jié)合圓的性質(zhì)分析判斷.【詳解】對(duì)A：若，則，可得，注意到，可得，A錯(cuò)誤；對(duì)B：若，且，則，則，故，B正確；對(duì)C：以，為鄰邊的平行四邊形的面積，，∵，則，即，則有：當(dāng)時(shí)，則，故；當(dāng)時(shí)，則，故；當(dāng)時(shí)，則，故；綜上所述：以，為鄰邊的平行四邊形的面積為，C正確；對(duì)D：不妨設(shè)，則，可得，∵，則，整理得，點(diǎn)的軌跡為以為圓心，半徑的圓又∵，由圓可知，故的最大值為，D正確；故選：BCD.10．已知雙曲線：的左、右焦點(diǎn)分別為，，過原點(diǎn)的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，若四邊形為矩形且，則下列正確的是（    ）A． B．的漸近線方程為C．矩形的面積為 D．的斜率為【答案】AD【分析】對(duì)A、C：根據(jù)題意結(jié)合雙曲線的定義可求得，分析運(yùn)算；對(duì)B：由，可得，進(jìn)而可求的漸近線方程；對(duì)D：利用余弦定理可求，進(jìn)而可求，注意結(jié)合雙曲線的對(duì)稱性分析判斷.【詳解】不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，如圖，由題意可得：四邊形為平行四邊形，由雙曲線的定義可得：，則，對(duì)A：∵四邊形為矩形，則，A正確；對(duì)B：由選項(xiàng)A可得：，則，注意到雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，則的漸近線方程為，B錯(cuò)誤；對(duì)C：矩形的面積為，C錯(cuò)誤；對(duì)D：可知：，則，且，可得，故，由雙曲線的對(duì)稱性可得：的斜率為，D正確；故選：AD.11．三棱錐中，平面，，記，，，則下列正確的是（    ）A． B．C． D．若，則與平面所成的角為【答案】BCD【分析】根據(jù)題意結(jié)合線面垂直可證，利用直角三角形的余弦值的定義與取值范圍分析可判斷A、B、C；對(duì)D：建系，利用空間向量求線面夾角可得，根據(jù)題意分析判斷.【詳解】∵平面，且平面，則，平面，∴平面，由平面，可得，設(shè)，則，可得，故，即，∵，則，∴，故A錯(cuò)誤，B、C正確；如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則，可得，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，即，設(shè)與平面所成的角為，則，當(dāng)時(shí)，即，則，即，此時(shí)，，則，即與平面所成的角為，D正確.故選：BCD.12．對(duì)于函數(shù)，若存在兩個(gè)常數(shù)，，使得，則稱函數(shù)是“函數(shù)”，則下列函數(shù)能被稱為“函數(shù)”的是（    ）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】對(duì)A：根據(jù)題意結(jié)合指數(shù)冪運(yùn)算分析判斷；對(duì)B：根據(jù)題意整理得，分析判斷；對(duì)C：根據(jù)題意整理得，分析判斷，對(duì)D：根據(jù)題意結(jié)合兩角和差的正切公式運(yùn)算分析.【詳解】對(duì)A：若，則，即存在兩個(gè)常數(shù)，，使得使得成立，故為“函數(shù)”，A正確；對(duì)B：若，則，若為定值，則，解得，且，故存在兩個(gè)常數(shù)，，則為“函數(shù)”，B正確；對(duì)C：若，則∵不為定值，即不存在兩個(gè)常數(shù)，，使得，不為為“函數(shù)”，C錯(cuò)誤；對(duì)D：若，則，若，即，可得，解得，即存在兩個(gè)常數(shù)，使得使得成立，故為“函數(shù)”，D正確；故選：ABD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于新定義問題要充分理解定義，嚴(yán)格按照定義的要求推理、運(yùn)算，注意區(qū)別我們已學(xué)的相近知識(shí).該題型重點(diǎn)考查學(xué)生的思維邏輯能力. 三、填空題13．若函數(shù)在定義域上不單調(diào)，則正整數(shù)的最小值是______．【答案】3【分析】求導(dǎo)，令，得到，再根據(jù)，且求解.【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)，所以，令，得，因?yàn)?/span>，且，所以，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以不單調(diào)遞增，所以正整數(shù)的最小值是3，故答案為：314．一個(gè)數(shù)學(xué)興趣小組共有2名男生3名女生，從中隨機(jī)選出2名參加交流會(huì)，在已知選出的2名中有1名是男生的條件下，另1名是女生的概率為______．【答案】【分析】首先求出男女生各1名的概率，再應(yīng)用對(duì)立事件概率求法求至少有1名男生的概率，最后應(yīng)用條件概率公式求概率.【詳解】若A表示“2名中至少有1名男生”，B表示“2名中有1名女生”，所以2名中有1名是男生的條件下，另1名是女生的概率為，而，，故.故答案為：15．已知的部分圖象如圖所示，，為的圖象上兩點(diǎn)，則______．【答案】【分析】首先根據(jù)題意得到，從而得到，根據(jù)得到，再計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)?/span>，為的圖象上兩點(diǎn)，所以，解得，即.所以.又因?yàn)?/span>，，所以或，即或，因?yàn)?/span>，所以，即..故答案為：16．已知拋物線：的焦點(diǎn)為，經(jīng)過拋物線上一點(diǎn)，作斜率為的直線交的準(zhǔn)線于點(diǎn)，為準(zhǔn)線上異于的一點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，______．【答案】##【分析】根據(jù)題設(shè)條件確定在第一象限內(nèi)，且，設(shè)且，結(jié)合得到關(guān)于m的方程并求值，又即可得結(jié)果.【詳解】不妨令為過點(diǎn)垂直于準(zhǔn)線的垂足，又，即為角平分線，是斜率為的直線與拋物線準(zhǔn)線的交點(diǎn)，則在第一象限內(nèi)，而，且，根據(jù)角平分線性質(zhì)知：，如上圖示，令且，則直線為，令，則，由，整理可得，則，故.故答案為： 四、解答題17．“不以規(guī)矩，不能成方圓”，出自《孟子·離婁章句上》．“規(guī)”指圓規(guī)，“矩”指由相互垂直的長短兩條直尺構(gòu)成的角尺，是用來測(cè)量、畫圓和方形圖案的工具。有一塊圓形木板，以“矩”量之，較長邊為10cm，較短邊為5cm，如圖所示，將這塊圓形木板截出一塊三角形木塊，三角形頂點(diǎn)都在圓周上，角的對(duì)邊分別為，，，滿足(1)求；(2)若的面積為，且，求的周長【答案】(1)(2)cm 【分析】（1）根據(jù)題意可求圓的直徑，再結(jié)合正弦定理運(yùn)算求解；（2）根據(jù)題意結(jié)合面積公式和余弦定理運(yùn)算求解.【詳解】（1）設(shè)的外接圓半徑為，則（cm），由正弦定理，可得.（2）∵，則，故為銳角，∴，由面積公式，即，可得，由余弦定理，即，可得，解得（cm），故的周長為（cm）.18．某新能源汽車公司從2018年到2022年汽車年銷售量（單位：萬輛）的散點(diǎn)圖如下：記年份代碼為(1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，模型①與模型②，哪一個(gè)更適宜作為年銷售量關(guān)于年份代碼的回歸方程？（給出判斷即可，不必說明理由）(2)根據(jù)（1）的判斷結(jié)果，建立關(guān)于的回歸方程；(3)預(yù)測(cè)2023年該公司新能源汽車銷售量．參考數(shù)據(jù)：34559796572805 參考公式：回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：，【答案】(1)(2)(3)預(yù)測(cè)2023年該公司新能源汽車銷售量萬輛 【分析】（1）根據(jù)散點(diǎn)圖結(jié)合一次函數(shù)、二次函數(shù)的圖象特征分析判斷；（2）換元令，結(jié)合題中數(shù)據(jù)與公式運(yùn)算求解；（3）令，代入回歸方程運(yùn)算求解.【詳解】（1）由散點(diǎn)圖可知：散點(diǎn)圖與一次函數(shù)偏差較大，與二次函數(shù)較接近，故模型②更適合.（2）令，則，，對(duì)于回歸方程，可得：，，故回歸方程為，即.（3）由（2）可得：，令，則，預(yù)測(cè)2023年該公司新能源汽車銷售量萬輛.19．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且滿足(1)設(shè)，證明：是等比數(shù)列(2)設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析 【分析】（1）由題設(shè)可得，整理變形得，結(jié)合等比數(shù)列定義即可證結(jié)論；（2）根據(jù)的關(guān)系求通項(xiàng)公式，進(jìn)而可得，在上放縮，結(jié)合裂項(xiàng)求和證結(jié)論.【詳解】（1）由題設(shè)，，則，所以，即，而，故是首項(xiàng)與公比都為的等比數(shù)列.（2）由（1），即，當(dāng)時(shí)，，顯然滿足上式，所以，則，則，又時(shí)，所以且，故.20．如圖，直四棱柱中，是等邊三角形，(1)從三個(gè)條件：①；②；③中任選一個(gè)作為已知條件，證明：；(2)在（1）的前提下，若，是棱的中點(diǎn)，求平面與平面所成角的余弦值．【答案】(1)證明見詳解(2) 【分析】（1）根據(jù)線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理分析證明；（2）建系，利用空間向量求面面夾角.【詳解】（1）對(duì)①：設(shè)與的交點(diǎn)為，∵是等邊三角形，且，則為的中點(diǎn)，可得，且，則，故，即，又∵平面，平面，∴，且平面，故平面，注意到平面，故；對(duì)②：∵，則，又∵，即，可得，即，又∵平面，平面，∴，且平面，故平面，注意到平面，故；對(duì)③：∵，即，在中，則，可得，故，則，故，即，又∵平面，平面，∴，且平面，故平面，注意到平面，故.（2）如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，可得，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，即，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，即，則，故平面與平面所成角的余弦值為.21．已知過點(diǎn)的橢圓：的焦距為2，其中為橢圓的離心率．(1)求的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與交于兩點(diǎn)，以，為鄰邊作平行四邊形，且點(diǎn)恰好在上，試問：平行四邊形的面積是否為定值？若是定值，求出此定值；若不是，說明理由．【答案】(1)(2)是定值，定值為 【分析】（1）根據(jù)題意列式求解，即可得結(jié)果；（2）根據(jù)題意結(jié)合韋達(dá)定理求點(diǎn)，代入橢圓方程可得，結(jié)合弦長公式求面積即可，注意討論直線的斜率是否存在.【詳解】（1）設(shè)橢圓的焦距為，則，由題意可得，解得，故的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）平行四邊形的面積為定值，理由如下：由（1）可得：，則有：當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，設(shè)，若為平行四邊形，則點(diǎn)為長軸頂點(diǎn)，不妨設(shè)，可得，解得，故平行四邊形的面積；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)，聯(lián)立方程，消去y得，則，可得，∵，若為平行四邊形，則，即點(diǎn)在橢圓上，則，整理可得，滿足，則，可得，點(diǎn)到直線的距離，故平行四邊形的面積；綜上所述：平行四邊形的面積為定值.【點(diǎn)睛】方法定睛：求解定值問題的三個(gè)步驟(1)由特例得出一個(gè)值，此值一般就是定值；(2)證明定值，有時(shí)可直接證明定值，有時(shí)將問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)式，可證明該代數(shù)式與參數(shù)(某些變量)無關(guān)；也可令系數(shù)等于零，得出定值；(3)得出結(jié)論．22．已知函數(shù)．(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)（其中），且不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2) 【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義運(yùn)算求解；（2）根據(jù)題意可得有兩個(gè)正根，換元令，分析可得有兩個(gè)正根，換元令，整理分析可得在時(shí)恒成立，故而令，繼而轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最值問題，結(jié)合分類討論，即可求得答案.【詳解】（1）∵，則，可得，即切點(diǎn)坐標(biāo)為，切線斜率，故切線方程為，即.（2）∵，令，可得，故函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于有兩個(gè)正根，令，則，等價(jià)于有兩個(gè)正根，∵當(dāng)時(shí)恒成立，故在上單調(diào)遞增，對(duì)于，由，可得，可得，可得，令，由，可得，由，整理可得，由于恒成立，等價(jià)于當(dāng)時(shí)恒成立，等價(jià)于當(dāng)時(shí)恒成立，令，則，令，則，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，則有當(dāng)時(shí)，．（i）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，則有，符合題意。（ⅱ）當(dāng)時(shí)，由于，且，，所以存在唯一的 使得，所以當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，所以，不符合題意.綜上，不等式恒成立，則 .【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：兩招破解不等式的恒成立問題(1)分離參數(shù)法第一步：將原不等式分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的函數(shù)的最值問題；第二步：利用導(dǎo)數(shù)求該函數(shù)的最值；第三步：根據(jù)要求得所求范圍．(2)函數(shù)思想法第一步將不等式轉(zhuǎn)化為含待求參數(shù)的函數(shù)的最值問題；第二步：利用導(dǎo)數(shù)求該函數(shù)的極值；第三步：構(gòu)建不等式求解． 

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2022屆云南省昆明市高三下學(xué)期3月”三診一?！皬?fù)習(xí)教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)（二模）數(shù)學(xué)（文）試題（PDF版）：

這是一份2022屆云南省昆明市高三下學(xué)期3月”三診一?！皬?fù)習(xí)教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)（二模）數(shù)學(xué)（文）試題（PDF版），共11頁。

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