一、單選題(本題共8小題，每小題5分，共40分；在每小題給出的四個選項中，只有一個是符合要求的)
1. 已知集合，，則（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求集合A，再根據(jù)交集運算求解.
【詳解】由題意可得：，所以.
故選：B.
2. 命題“，”的否定是（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)存在量詞命題的否定得到其否定形式，進行判斷即可.
【詳解】“，”的否定為“，”.
故選：D
3. 已知函數(shù)，則（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)分段函數(shù)的解析式，代入求值可得答案.
【詳解】因為，
所以．
故選：B
4. 下列函數(shù)中既是偶函數(shù)，又在上單調(diào)遞增的是（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性確定正確答案.
【詳解】、奇函數(shù)，不符合題意.
在上單調(diào)遞減，不符合題意.
是偶函數(shù)，且，
所以在上單調(diào)遞增.
故選：D
5. 已知函數(shù)的值域為，則實數(shù)的取值范圍是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由于當(dāng)時，，所以當(dāng)時，求出的最小值，使其最小值小于等于零即可.
【詳解】當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
因為函數(shù)的值域為，
所以，得，
所以實數(shù)的取值范圍是，
故選：D.
6. 通過加強對野生動物棲息地保護和拯教繁育，某瀕危野生動物的數(shù)量不斷增長，根據(jù)調(diào)查研究，該野生動物的數(shù)量（t的單位：年），其中K為棲息地所能承受該野生動物的最大數(shù)量.當(dāng)時，該野生動物的瀕危程度降到較為安全的級別，此時約為（）（）
A9B. 10C. 11D. 12
【答案】C
【解析】
【分析】利用列方程，結(jié)合對數(shù)運算求得.
【詳解】解析根據(jù)題意，所以，所以，所以，得.
故選:C
7. 設(shè)，則a，b，c的大小順序為（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的單調(diào)性證明，利用對數(shù)函數(shù)單調(diào)性證明，即可得到正確結(jié)論.
【詳解】指數(shù)函數(shù)，為減函數(shù)，
∴，
∵冪函數(shù)為增函數(shù)，
∴，
∴，
∵對數(shù)函數(shù)為減函數(shù)，
∴，即，
∴.
故選：A.
8. 已知兩個正實數(shù)x，y滿足，則的最大值是（）
A. B. C. 6D. 9
【答案】B
【解析】
【分析】由題意得，再利用基本不等式求解即可
【詳解】因為正實數(shù)x，y滿足，則，
當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.
故選：B
二、多選題(本題共四小題，每小題5分，共20分.在每個小題給出的四個選項中，有多個符合要求的選項，全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯的得0分)
9. 已知實數(shù)a，b，c，若，則下列不等式一定成立的是（）
A. B. C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)判斷即可.
【詳解】A選項：因為，所以，故A正確；
B選項：因為，，所以，故B錯；
C選項：因為，所以，故C錯；
D選項：因為，所以，故D正確.
故選：AD.
10. 下列命題是真命題的是（）
A. 函數(shù)與是同一函數(shù)
B. 函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，若時，，則時，
C. 不等式的解集是
D. 設(shè)，則“”是“”的必要不充分條件
【答案】CD
【解析】
【分析】根據(jù)同一函數(shù)、奇函數(shù)、分式不等式、必要不充分條件等知識對選項進行分析，從而確定正確答案.
【詳解】A選項，函數(shù)的定義域為，函數(shù)的定義域是，
所以不是同一函數(shù)，所以A選項錯誤，
B選項，當(dāng)時，，所以，
所以B選項錯誤.
C選項，不等式等價于，解得或，
所以不等式的解集為，所以C選項正確.
D選項，等價于“且”，
所以則“”是“”的必要不充分條件，D選項正確.
故選：CD
11. 已知，函數(shù)與的圖像可能是（）
A. B.
C. D.
【答案】AB
【解析】
【分析】首先由得出，再分類討論和的取值范圍，根據(jù)指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的圖像即可得出答案．
【詳解】因為，即，
所以，
當(dāng)時，則，
指數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞減，且過點；
對數(shù)函數(shù)在單調(diào)遞增且過點，將的圖像關(guān)于軸對稱得到的圖像，
則在上單調(diào)遞減且過點，故A符合題意；
當(dāng)時，，
同理可得，指數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞增，且過點，
在上單調(diào)遞增且過點，故B符合題意；
故選：AB．
12. 19世紀，德國數(shù)學(xué)家狄利克雷（，1805-1859）引入現(xiàn)代函數(shù)，他還給出了一個定義在實數(shù)集R上的函數(shù)稱為狄利克雷函數(shù)，則（）
A.
B.
C. 若為有理數(shù)，，則
D. 存在三個點，，，使得為正三角形
【答案】BCD
【解析】
【分析】根據(jù)狄利克雷函數(shù)的定義結(jié)合分段函數(shù)的性質(zhì)，分別討論為有理數(shù)和無理數(shù)，依次判斷各個選項，即可得解.
【詳解】對于A，是無理數(shù)，若為有理數(shù)，是無理數(shù)，則；若為無理數(shù)，有可能為有理數(shù)，如，此時，故A錯誤；
對于B，當(dāng)為有理數(shù)，為有理數(shù)，則；當(dāng)為無理數(shù)，為無理數(shù)，則，故B正確；
對于C，為有理數(shù)，若為有理數(shù)，則是有理數(shù)，則；若為無理數(shù)，是無理數(shù)，則，故C正確；
對于D，存在三個點且為有理數(shù)，則，，是邊長為的等邊三角形，故D正確；
故選：BCD
三、填空題(本題共4個小題，每小題5分，共20分)
13. 函數(shù)(且)的圖象經(jīng)過定點_____________.
【答案】
【解析】
【分析】利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可得解.
【詳解】因為，
令，即，則，
所以的圖象經(jīng)過定點.
故答案為：.
14. 已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，且，則不等式的解集為___________.
【答案】
【解析】
【分析】利用函數(shù)的性質(zhì)，分段解不等式即得.
【詳解】由函數(shù)是上的偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，得在上單調(diào)遞減，
顯然，不等式，當(dāng)時，，則有，
當(dāng)時，，則有，
所以不等式的解集為.
故答案為：
15. 已知函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為______.
【答案】
【解析】
【分析】先求出定義域，再根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性求出答案.
【詳解】令，解得，故函數(shù)定義域為，
其中，
故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
其中在上單調(diào)遞增，
由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知，的單調(diào)遞增區(qū)間為.
故答案為：
16. 已知函數(shù)（）的最小值為2，則實數(shù)a的取值范圍是______．
【答案】
【解析】
【分析】首先得到，然后根據(jù)當(dāng)時，恒成立分離常數(shù)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求得的取值范圍.
【詳解】，當(dāng)時，單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時，恒成立，
注意到，
所以由得在區(qū)間上恒成立，
令，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，任取，
，
其中，，
，
所以，
所以在上遞增，，
所以在區(qū)間上，
所以，即的取值范圍是.
故答案為：
【點睛】含有參數(shù)的分段函數(shù)最值有關(guān)的問題，可先考慮沒有參數(shù)的一段函數(shù)的最值，然后再結(jié)合這個最值考慮含有參數(shù)的一段函數(shù)，結(jié)合分離常數(shù)法以及函數(shù)值域的求法可求得參數(shù)的取值范圍.
四、解答題(本題共6小題，第17題10分，其余每小題12分，共70分.作答時，請寫出必要的解答過程)
17. 計算下列各式．
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用指數(shù)冪的運算法則化簡求值；
（2）利用對數(shù)的運算法則化簡求值.
【小問1詳解】
解：原式=
【小問2詳解】
解：原式=.
18. 設(shè)集合，.
（1）若為空集，求實數(shù)的取值范圍；
（2）若，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）；
（2）或.
【解析】
【分析】（1）利用一元二次不等式解集為空集，列出不等式求解即得.
（2）解對數(shù)不等式化簡集合A，再分類討論解不等式化簡集合B，并結(jié)合包含關(guān)系求解即得.
【小問1詳解】
依題意，不等式解集為空集，
于是，即，解得，
所以.
【小問2詳解】
不等式，解得，即，
，
當(dāng)時，，則；
當(dāng)時，，則，而，顯然不是的子集；
當(dāng)時，，則，
由，得，解得，
所以的取值范圍是或.
19. 設(shè)函數(shù)，，且，．
（1）求的值及的定義城；
（2）判斷的奇偶性，并給出證明；
（3）求函數(shù)在上的值域．
【答案】（1）定義域，
（2）函數(shù)為偶函數(shù)，證明見解析
（3）．
【解析】
【分析】（1）根據(jù)真數(shù)大于0求解定義域，由求的值.
（2）根據(jù)奇偶性的定義判斷.
（3），根據(jù)真數(shù)的范圍求解.
【小問1詳解】
由可得，故函數(shù)的定義域，
因為，
由題意，故
【小問2詳解】
因為，
又定義域關(guān)于原點對稱，所以函數(shù)為偶函數(shù)，
【小問3詳解】
由（1）可知，，
，所以，
所以函數(shù)的值域為．
20. 已知點在冪函數(shù)的圖像上.
（1）求的解析式；
（2）若函數(shù)，是否存在實數(shù)a，使得最小值為5？若存在，求出a的值；若不存在，說明理由
【答案】（1）
（2）存在，1
【解析】
分析】（1）設(shè)冪函數(shù)，代入點坐標(biāo)，待定系數(shù)求解即可；
（2）代入可得，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)分類討論求解即可.
【小問1詳解】
設(shè)冪函數(shù)，
由點在冪函數(shù)的圖象上，
所以，
解得，
所以.
【小問2詳解】
函數(shù)，，且二次函數(shù)的圖象是拋物線，對稱軸是.
①當(dāng)，即時，在上是單調(diào)增函數(shù)，最小值為，解得，滿足題意；
②當(dāng)，即時，在上先減后增，最小值為，方程無解；
綜上知，存在實數(shù)，使得有最小值為.
21. 為響應(yīng)國家提出的“大眾創(chuàng)業(yè)，萬眾創(chuàng)新”的號召，小李同學(xué)大學(xué)畢業(yè)后，決定利用所學(xué)專業(yè)進行自主創(chuàng)業(yè)．經(jīng)過調(diào)查，生產(chǎn)某小型電子產(chǎn)品需投入年固定成本5萬元，每年生產(chǎn)x萬件，需另投入流動成本C(x)萬元，且C(x)＝每件產(chǎn)品售價為10元，經(jīng)分析，生產(chǎn)的產(chǎn)品當(dāng)年能全部售完．
（1）寫出年利潤P(x)(萬元)關(guān)于年產(chǎn)量x(萬件)的函數(shù)解析式(年利潤＝年銷售收入－固定成本－流動成本)．
（2）年產(chǎn)量為多少萬件時，小李在這一產(chǎn)品的生產(chǎn)中所獲利潤最大？最大利潤是多少？
【答案】（1）P(x)＝；（2）8萬件；萬元．
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意，結(jié)合流動成本關(guān)于年產(chǎn)量的函數(shù)關(guān)系，即可求得結(jié)果；
（2）判斷的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性求得函數(shù)最值即可.
【詳解】（1）因為每件產(chǎn)品售價為10元，所以x萬件產(chǎn)品銷售收入為10x萬元．
依題意得，當(dāng)0＜x＜8時，P(x)＝10x－－5＝＋6x－5；
當(dāng)x≥8時，P(x)＝10x－－5＝30－.
所以P(x)＝；
（2）當(dāng)0＜x＜8時，P(x)＝－＋13，
當(dāng)x＝6時，P(x)取得最大值P(6)＝13；
當(dāng)x≥8時，由雙勾函數(shù)的單調(diào)性可知，函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù).
當(dāng)x＝8時，P(x)取得最大值P(8)＝.
由13＜，則可知當(dāng)年產(chǎn)量為8萬件時，小李在這一產(chǎn)品的生產(chǎn)中所獲利潤最大，最大利潤為萬元．
【點睛】本題考查分段函數(shù)模型的應(yīng)用，屬中等題.
22. 已知定義域為的函數(shù)是奇函數(shù).
（1）求實數(shù)的值；
（2）試判斷的單調(diào)性，并用定義證明；
（3）若關(guān)于的不等式在上有解，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）
（2）函數(shù)在上為增函數(shù)，證明見解析；
（3）
【解析】
【分析】（1）由奇函數(shù)的定義和恒等式的性質(zhì)，可得所求值；
（2）函數(shù)在上為增函數(shù)，由單調(diào)性的定義和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、不等式的性質(zhì)可得證明；
（3）由奇函數(shù)在上為增函數(shù)，可將原不等式的兩邊的“”去掉，從而利用基本不等式即可得解.
【小問1詳解】
由定義域為的函數(shù)是奇函數(shù)，
可得，即有，
即恒成立，
所以；
【小問2詳解】
由于，可得函數(shù)在上為增函數(shù)．
證明：任取，，且，
則，
因為，所以，又，
所以，即，
所以函數(shù)在上為增函數(shù)．
【小問3詳解】
由（2）得，奇函數(shù)在上為增函數(shù)，
則等價于，
即，
令，則在上有解，
因為，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時，等號成立，
所以，即.

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