1. 已知集合，則集合中元素的個數(shù)是（）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)，求得的所有取值，從而得解.
【詳解】因為集合，，
當(dāng)時，；
當(dāng)時，的取值為；
當(dāng)時，的取值為；
所以，
則中元素的個數(shù)是.
故選：C.
2. 已知，下列不等式中正確的是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】舉反例排除ACD，利用作差法判斷B.
【詳解】因為，則，
對于A，取，則，故A錯誤；
對于B，，則，故B正確；
對于C，取，則，故C錯誤；
對于D，當(dāng)時，，故D錯誤.
故選：B.
3. 函數(shù)的零點所在區(qū)間是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的單調(diào)性判斷的單調(diào)性，再應(yīng)用零點存在性定理判斷零點所在區(qū)間即可得解.
【詳解】因為的定義域為，
而在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以在上單調(diào)遞增，
又，，
所以的零點所在區(qū)間是.
故選：C.
4. 設(shè)，，，則a，b，c三個數(shù)的大小關(guān)系為（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得解.
【詳解】因為，
，，
所以.
故選：A.
5. 函數(shù)在區(qū)間上的圖象大致為（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先求出函數(shù)的奇偶性，可判斷AB錯誤；再取特殊值可判斷D錯誤.
【詳解】因為，則，
即為偶函數(shù)，其函數(shù)圖象關(guān)于軸對稱，據(jù)此可知選項AB錯誤；
且當(dāng)時，，據(jù)此可知選項D錯誤.
故選：C.
【點睛】思路點睛：函數(shù)圖象的辨識可從以下方面入手：
(1)從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置．
(2)從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢；
(3)從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對稱性；
(4)從函數(shù)特征點，排除不合要求的圖象.
6. 已知函數(shù)，對任意的，，且時，滿足，則實數(shù)a的取值范圍是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由已知可得函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，結(jié)合二次函數(shù)，對數(shù)函數(shù)和復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)即可得解.
【詳解】因為對任意的、，且時，滿足，
所以函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù).
內(nèi)函數(shù)開口向上，對稱軸為，
若，則函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，不合乎題意；
若，則函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，
所以外函數(shù)為增函數(shù)，故，解得.
故選：C.
7. 已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，且在區(qū)間上只取得一次最大值，則的取值范圍為（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先利用正弦函數(shù)的單調(diào)性推得；再利用正弦函數(shù)的最大值推得，從而得解.
【詳解】因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，
由，，
所以且，解得且，所以；
又因為在區(qū)間上只取得一次最大值，
即時，；
所以，解得；
綜上，，即的取值范圍是．
故選：D.
8. 已知函數(shù)的定義域為，為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，當(dāng)時，.若，則（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由已知奇偶性質(zhì)得到的周期性，再由與求得待定系數(shù)，從而利用周期性與條件得，代入解析式即可得解.
【詳解】由為奇函數(shù)，得，故，
由為偶函數(shù)，得，
所以，即，
則，故的周期為，
所以，
由，令，得，即，
令，得，
由，令，得，
因為，所以，即，所以，
聯(lián)立，解得，
故時，，
由，令，得，
所以.
故選：D.
【點睛】結(jié)論點睛：對稱性的常用結(jié)論如下：
（1）若函數(shù)滿足或或，則的一條對稱軸為；
（2）若函數(shù)滿足或或，則的一個對稱中心為.
二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.
9. 下列說法正確的是（）
A. ，B. ，
C. ，是的充分條件D. 的必要條件是
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用量詞命題的真假性與充分必要條件的定義，結(jié)合對數(shù)方程及不等式的性質(zhì)，逐一分析判斷即可得解.
【詳解】對于A，由，得，故A正確；
對于B，當(dāng)時，不成立，故B錯誤；
對于C，當(dāng)，時，顯然成立，
所以，是的充分條件，故C正確；
對于D，當(dāng)時，且，即且，
所以的必要條件是，故D正確.
故選：ACD.
10. 下列四個函數(shù)中，以為周期，且在區(qū)間上單調(diào)遞減的是（）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】先判斷各函數(shù)最小正周期，再確定各函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)性，從而得解.
【詳解】因為最小正周期為，
當(dāng)時，，所以它在上單調(diào)遞增，故A錯誤；
因為最小正周期為，
當(dāng)時，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，故B正確；
因為最小正周期為，在區(qū)間上單調(diào)遞減，故C正確；
不是周期函數(shù)，故D錯誤；
故選：BC.
11. 已知，，則下列結(jié)論正確是（）
A. 為第二象限角B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，結(jié)合齊次式法計算求解即可判斷各選項.
【詳解】因為，所以，
聯(lián)立，解得，，
因為，所以是第二象限角，故AB正確；
所以，故C錯誤，
則，故D正確.
故選：ABD.
12. 若存在兩個不相等的實數(shù)、，使、、均在函數(shù)的定義域內(nèi)，且滿足，則稱函數(shù)具有性質(zhì)，下列函數(shù)具有性質(zhì)的有（）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】根據(jù)題中性質(zhì)的定義，逐項判斷，即可得出結(jié)果.
【詳解】對于A，函數(shù)的定義域為，且，
所以，
由于，所以恒成立，故A錯誤；
對于B，因為函數(shù)的定義域為，
取，，則，
則，
所以成立，故B正確；
對于C，假設(shè)具有性質(zhì)，
則存在，使得，
則，即，
若同號，則，即，
所以，得，顯然不成立；
若異號，則，即，
將上述方程看作關(guān)于的二次方程，解得，
此時滿足，故C正確；
對于D，因為函數(shù)的定義域為，
又，故為奇函數(shù)，
取，則，所以，，
所以成立，故D正確.
故選：BCD
【點睛】關(guān)鍵點睛：本題解決的關(guān)鍵是充分理解性質(zhì)的定義，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)即可得解.
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13. 已知扇形的圓心角為，扇形的周長為，則扇形的面積為______.
【答案】
【解析】
【分析】利用扇形周長與弧長公式列式求得，再利用扇形面積公式即可得解.
【詳解】依題意，設(shè)扇形的半徑為，弧長為，
則，解得，
由扇形面積公式可得扇形面積.
故答案為：.
14. 函數(shù)的定義域為______.
【答案】
【解析】
【分析】利用對數(shù)復(fù)合函數(shù)與根式函數(shù)的定義域，結(jié)合正弦不等式與二次不等式的解法即可得解.
【詳解】因為，所以，
對于，即，解得，
對于，即，解得，
綜上，，即函數(shù)的定義域為.
故答案為：.
15. 已知，，且，則的最小值為______.
【答案】##
【解析】
【分析】利用基本不等式“1”的妙用即可得解.
【詳解】因為，，，
所以，則，
所以，
因為
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，
所以.
故答案為：.
16. 設(shè)函數(shù)，若關(guān)于x的函數(shù)恰好有五個零點.則實數(shù)a的取值范圍是______.
【答案】
【解析】
【分析】畫出圖象，換元后數(shù)形結(jié)合分析可得方程兩根的范圍，再利用二次函數(shù)根的分布列出不等式組即可得解.
【詳解】作出函數(shù)的圖象如圖，
令，函數(shù)恰好有五個零點．
則方程化為，
則必有兩個不同實根，則，
結(jié)合圖形可知，則必不為，
故方程的一根在區(qū)間內(nèi)，另一根在區(qū)間內(nèi)，
令，
則，解得：，
綜上：實數(shù)的取值范圍為.
故答案為：.
【點睛】方法點睛：復(fù)合函數(shù)零點個數(shù)問題，要先畫出函數(shù)圖象，然后適當(dāng)運用換元法，將零點個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)或其他函數(shù)根的分布情況，從而求出參數(shù)的取值范圍或判斷出零點個數(shù).
四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
17. 已知集合，.
（1）當(dāng)時，求；
（2）若，求實數(shù)a的取值范圍.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求出集合A，進(jìn)而求出A的補集，根據(jù)集合的交集運算求得答案；
（2）根據(jù)，可得，由此列出相應(yīng)的不等式組，解得答案.
【小問1詳解】
因為，所以或，
當(dāng)時，，
所以.
【小問2詳解】
因為，所以，
當(dāng)時，，解得，滿足題意；
當(dāng)時，則，解得，
綜上：，即a的取值范圍為.
18已知.
（1）化簡；
（2）若，求的值.
【答案】18.
19.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)誘導(dǎo)公式和同角三角函數(shù)基本關(guān)系式運算得解；
（2）由題可得，又，，結(jié)合誘導(dǎo)公式可計算得，，結(jié)合平方關(guān)系代入運算得解.
【小問1詳解】
.
【小問2詳解】
由，即得，又，
，又，，
.
19. 已知函數(shù).
（1）證明：函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；
（2）判斷函數(shù)的奇偶性；（不需要證明）
（3）若時，記函數(shù)的最大值為，求.
【答案】（1）證明見解析
（2）為偶函數(shù)
（3）
【解析】
【分析】（1）利用函數(shù)單調(diào)性的定義，結(jié)合作差法即可得證；
（2）利用函數(shù)奇偶性定義即可判斷；
（3）利用的單調(diào)性與對稱性，分類討論即可得解.
【小問1詳解】
任取，且，
則
，
因為，所以，，
所以，，所以，
所以，即，
所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.
【小問2詳解】
因為的定義域為，
又，所以函數(shù)為偶函數(shù).
【小問3詳解】
因為函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，數(shù)為偶函數(shù)，
所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，
所以當(dāng)時，當(dāng)時，函數(shù)取得最大值，即，
當(dāng)時，當(dāng)時，函數(shù)取得最大值，，
所以.
20. 已知函數(shù)，.
（1）當(dāng)時，求不等式的解集；
（2）若對任意的，存在，使不等式成立，求實數(shù)m的取值范圍.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）當(dāng)時，不等式化簡為，從而得解；
（2）問題等價于，轉(zhuǎn)化為求兩個函數(shù)的最小值，進(jìn)而得解.
【小問1詳解】
因為，，
當(dāng)時，由，得，
所以，即，解得，
故原不等式的解集為.
【小問2詳解】
因為對任意的，存在，不等式成立，
所以當(dāng)，時，，
當(dāng)時，單調(diào)遞增，所以，
又函數(shù)開口向下，對稱軸為，由于，
當(dāng)，即時，，
所以由，得，解得，此時；
當(dāng)，即時，，
所以由，得，解得，此時；
綜上，，則實數(shù)的取值范圍為.
21. 已知函數(shù).
（1）求函數(shù)在上的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）若在區(qū)間上恰有兩個零點，，求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用三角函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合整體代入法即可得解；
（2）利用三角函數(shù)的對稱性得到，由題設(shè)條件得到，從而利用誘導(dǎo)公式即可得解.
【小問1詳解】
對于，
令，解得，
因為，當(dāng)時，；當(dāng)時，；
所以在上的單調(diào)遞減區(qū)間為.
【小問2詳解】
因為在區(qū)間上恰有2個零點，
所以在有兩個根，
令，解得，
所以當(dāng)時，函數(shù)圖像的對稱軸為，
所以，則，
又，則，
所以.
22. 設(shè)函數(shù)，其中.
（1）當(dāng)時，求函數(shù)的零點；
（2）若對任意，恒有，求實數(shù)a的取值范圍.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）當(dāng)時，將表示為分段函數(shù)的形式，結(jié)合一元二次方程的解法，求得的零點.
（2）分類討論的取值范圍，去掉絕對值后將問題轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)最小值問題，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，得到關(guān)于的不等式，解之即可得解.
【小問1詳解】
因為，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，令，即，此時方程，無實數(shù)解；
當(dāng)時，令，即，解得；
綜上，的零點為，.
【小問2詳解】
因為，對任意，恒有，
當(dāng)時，，顯然恒有，滿足題意；
當(dāng)時，，
此時，
（i）當(dāng)，即時，，
則，解得，故；
（i i）當(dāng)，即時，在上單調(diào)遞減，
所以，解得，故；
所以當(dāng)時，恒有；
當(dāng)時，，
①當(dāng)時，，
因為，所以在上單調(diào)遞增，
所以，解得，故；
②當(dāng)時，，
因為，所以在上單調(diào)遞增，
所以，顯然成立，故；
所以當(dāng)時，恒有；
當(dāng)時，，
此時，
因為，所以在上單調(diào)遞增，
所以，解得，故；
綜上，，即實數(shù)a的取值范圍為.

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