1．答題前，考生先將自己的姓名、班級(jí)、考場(chǎng)/座位號(hào)、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上.
2．答選擇題時(shí)，必須使用2B鉛筆填涂；答非選擇題時(shí)，必須使用0.5毫米的黑色簽字筆書(shū)寫(xiě)；必須在題號(hào)對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)無(wú)效；保持答卷清潔、完整.
3．考試結(jié)束后，將答題卡交回（試題卷學(xué)生保存，以備評(píng)講）.
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1. 已知復(fù)數(shù)，則（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算化簡(jiǎn)，結(jié)合模長(zhǎng)公式計(jì)算即可.
【詳解】，所以，
故選：A.
2. 已知圓，圓，則這兩圓的位置關(guān)系為（）
A. 內(nèi)含B. 相切C. 相交D. 外離
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)圓的方程確定圓心及半徑，由兩圓圓心距離與半徑的關(guān)系判斷位置關(guān)系.
【詳解】由題設(shè)，：，：，
∴，半徑；，半徑；，
∴，即兩圓內(nèi)含.
故選：A
3. 在首項(xiàng)為1的數(shù)列中，滿(mǎn)足，則（）
AB. C. 0D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系可得為周期數(shù)列，且周期為3，即可利用周期求解.
詳解】由可得，
由于，所以，，
因此為周期數(shù)列，且周期為3，
故，
故選：D
4. 若且，則（）
A. B. 6C. 36D. 12
【答案】C
【解析】
【分析】將化成對(duì)數(shù)式，代入，利用換底公式等計(jì)算即可.
【詳解】因?yàn)椋裕?br>所以.
解得：.
故選：C.
5. 已知點(diǎn)M為外接圓O上的任意一點(diǎn)，，則的最大值為（）
A. 1B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)向量數(shù)量積幾何意義，結(jié)合圖形即可求解.
【詳解】設(shè)外接圓的半徑為，由正弦定理得，
故．
所以，
當(dāng)過(guò)點(diǎn)圓上一點(diǎn)作平行于的圓的切線(xiàn)時(shí)，此時(shí)最大，
由于到的距離為,所以的最大值為
故選：B
6. 在平面直角坐標(biāo)系中，集合，集合，已知點(diǎn)，點(diǎn)，記表示線(xiàn)段長(zhǎng)度的最小值，則的最大值為（）
A. 2B. C. 1D.
【答案】D
【解析】
【分析】將集合看作是直線(xiàn)的集合，求出定點(diǎn)坐標(biāo)，即可得出答案.
【詳解】集合可以看作是表示直線(xiàn)上的點(diǎn)的集合，
由變形可得，，
由可得，，
所以直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn).
集合可看作是直線(xiàn)上的點(diǎn)的集合，
由變形可得，，
由可得，，
所以，直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn).
顯然，當(dāng)線(xiàn)段與直線(xiàn)都垂直時(shí)，有最大值.
故選：D.
7. 設(shè)，則（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】對(duì)于結(jié)合不等式的性質(zhì)，易判斷大??；對(duì)于可構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性、最值即可判斷.
【詳解】對(duì)于，顯然，，所以；
對(duì)于，
可構(gòu)造函數(shù)，且，
所以，
當(dāng)時(shí)，所以在單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，所以在單調(diào)遞減，
所以，所以，
所以，即，故，所以.
綜上：.
故選:A.
8. 點(diǎn)為正四面體的內(nèi)切球球面上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，為棱上的一動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)取最大值時(shí)，（）
A. B. 1C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)正四面體體積的等積性、球的幾何性質(zhì)、圓的切線(xiàn)性質(zhì)，結(jié)合銳角三角函數(shù)定義、正切二倍角公式、正弦函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可.
【詳解】設(shè)該正四面體的棱長(zhǎng)為，
設(shè)該正四面體的內(nèi)切球的球心為，頂點(diǎn)在底面的射影為，
顯然在線(xiàn)段上，顯然該正四面體內(nèi)切球的半徑為，
如圖所示：
由正弦定理可知：，
由勾股定理可知：，
由三棱錐體積的等積性可得：
，
，
由球的性質(zhì)可知：當(dāng)與圓相切時(shí)，最大，
如圖所示：，
由圓的切線(xiàn)長(zhǎng)定理可知：，
在直角三角形中，，
最大時(shí)，最小，因?yàn)椋?br>所以此時(shí)為的中點(diǎn)，即有，
正四面體的內(nèi)切球的球心為，顯然也是該正四面體的外接球的球心，
所以，
因此，
，
于是有，
故選：D
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是利用球的幾何性質(zhì)、正弦函數(shù)的單調(diào)性、三棱錐的體積等積性.
二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．
9. 如圖，在正四棱柱中，，O為此正四棱柱的外接球球心，下列說(shuō)法正確的是（）
A. B. 球的表面積為
C. 點(diǎn)到的距離為D. 四棱錐的表面積為
【答案】ACD
【解析】
【分析】根據(jù)線(xiàn)面垂直即可求解線(xiàn)線(xiàn)垂直，判斷A，根據(jù)正四棱柱的性質(zhì)可知外接球的直徑為體對(duì)角線(xiàn)，即可求解BC，根據(jù)面積公式，結(jié)合正棱錐的性質(zhì)即可求解D.
【詳解】由于四棱柱為正四棱柱，所以底面為正方形，
故平面，
因此平面,平面,所以，A正確，
由正四棱柱的性質(zhì)可得其外接球的球心為的中點(diǎn)，為外接球一條直徑，
因?yàn)椋?br>所以正四棱柱的外接球的半徑為，
其表面積為，B錯(cuò)誤，
由于平面，平面，所以，
在中，由于,為的中點(diǎn)，
所以點(diǎn)到的距離為,故C正確，
由于為的中點(diǎn)，所以四棱錐為正四棱錐，且側(cè)棱長(zhǎng)為，
因此側(cè)面上的高為,則側(cè)面積為,
底面積為4，故四棱錐表面積為，D正確，
故選：ACD
10. 已知圓，直線(xiàn)（且不同時(shí)為0），下列說(shuō)法正確的是（）
A. 當(dāng)直線(xiàn)經(jīng)過(guò)時(shí)，直線(xiàn)與圓相交所得弦長(zhǎng)為
B. 當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)與關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則的方程為：
C. 當(dāng)時(shí)，圓上存在4個(gè)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為
D. 過(guò)點(diǎn)與平行的直線(xiàn)方程為：
【答案】AB
【解析】
【分析】對(duì)于A選項(xiàng)：利用直線(xiàn)經(jīng)過(guò)得到，求出圓心到直線(xiàn)的距離，借助圓的弦長(zhǎng)公式計(jì)算即可;
對(duì)于B選項(xiàng)：利用直線(xiàn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的直線(xiàn)的求法，求解即可;
對(duì)于C選項(xiàng)：借助圓心到直線(xiàn)的距離，半徑，以及圓上的點(diǎn)到直線(xiàn)的距離的大小關(guān)系判斷即可;
對(duì)于D選項(xiàng)：借助直線(xiàn)平行的相關(guān)知識(shí)，求出與之平行的直線(xiàn)即可.
【詳解】因?yàn)閳A，所以圓心為，半徑，
對(duì)于A選項(xiàng)：因?yàn)橹本€(xiàn)經(jīng)過(guò)，所以，，
所以圓心到直線(xiàn)的距離為，
直線(xiàn)與圓相交所得弦長(zhǎng)為，故A選項(xiàng)正確；
對(duì)于B選項(xiàng)：當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)，因?yàn)橹本€(xiàn)與關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以直線(xiàn)與平行, 由于到的距離為2，所以到的距離也為2，
所以的方程為：，故B選項(xiàng)正確；
對(duì)于C選項(xiàng)：當(dāng)時(shí)，直線(xiàn),此時(shí)圓心到直線(xiàn)的距離為，
由于半徑，
所以在直線(xiàn)的右側(cè)：，所以在直線(xiàn)的右側(cè)不存在滿(mǎn)足條件的點(diǎn)；
在直線(xiàn)的左側(cè)：，所以在直線(xiàn)的左側(cè)存在滿(mǎn)足條件的點(diǎn)有2個(gè)；
所以圓上只存在2個(gè)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤;
對(duì)于D選項(xiàng)：過(guò)點(diǎn)與平行的直線(xiàn)方程可設(shè)為:，
將點(diǎn)代入，所以，即,
所以過(guò)點(diǎn)與平行的直線(xiàn)方程為:，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤.
故選：AB.
11. 已知函數(shù)是偶函數(shù)，其中，若函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（）
A.
B. 的圖象可由函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到
C. 的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間是
D. 若關(guān)于的方程在上有兩個(gè)不同的實(shí)根，則的取值范圍是
【答案】ABD
【解析】
【分析】根據(jù)奇偶性定義可得，即可判斷A，根據(jù)函數(shù)圖象平移可判斷B，根據(jù)單調(diào)區(qū)間與周期的關(guān)系可判斷C，結(jié)合函數(shù)圖象可判斷D.
【詳解】函數(shù)為偶函數(shù)，其中，
所以，
因此對(duì)于任意的恒成立，
則所以，由于，故，A正確，
，
將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到，
而，所以B正確，
由于的最小正周期為，而，所以不是的一個(gè)單調(diào)區(qū)間，故C錯(cuò)誤，
令，由于，所以，
則在上有兩個(gè)不同的實(shí)根，作出的圖象如下：
當(dāng)時(shí)，，故在上有兩個(gè)不同的實(shí)根，則，D正確，
故選：ABD
12. 定義在上的函數(shù)同時(shí)滿(mǎn)足以下條件：
①②
③④
則下列說(shuō)法正確的有（）
A. 若，則B. 方程在上無(wú)實(shí)數(shù)解
C. 若，則D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根據(jù)對(duì)稱(chēng)性結(jié)合條件④③即可根據(jù),判斷BC，進(jìn)而根據(jù)可判斷AD,
【詳解】由②可知在上的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)，
由③可知
，所以，則，A正確，
，故，D正確，
，所以存在，使得，B錯(cuò)誤，
，C正確，
故選：ACD
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．
13. 已知數(shù)列是等差數(shù)列，表示數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則______；
【答案】52
【解析】
【分析】根據(jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和公式、等差數(shù)列的性質(zhì)求得正確答案.
【詳解】.
故答案為：52
14. 若，則______．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)兩角和的余弦公式、平方關(guān)系、二倍角公式求解.
【詳解】，
所以，，
所以，
故答案為：.
15. 設(shè)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)是，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與橢圓交于點(diǎn)，若，且，則橢圓的離心率是______．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)橢圓定義可得長(zhǎng)度關(guān)系，即可利用余弦定理求解.
【詳解】不妨設(shè)橢圓方程為，
則，，
由于,所以由余弦定理可得，
化簡(jiǎn)得，
由于，所以，故
故答案為：
16. 若，則的最大值為_(kāi)_____．
【答案】
【解析】
【分析】借助基本不等式有消去、，對(duì)求最大值即可，再應(yīng)用三角函數(shù)的單調(diào)性即可得.
【詳解】由題意得：，，，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
即，
即，
則有，則，,
有在單調(diào)遞增，
在上單調(diào)遞減，
故在上單調(diào)遞增，
則當(dāng)時(shí)，即、時(shí)，
有最大值，
即的最大值為.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】本題關(guān)鍵在于如何將多變量求最值問(wèn)題中的多變量消去，結(jié)合基本不等式與題目條件可將、消去，再結(jié)合三角函數(shù)的值域與單調(diào)性即可求解.
四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．
17. 等差數(shù)列滿(mǎn)足，等比數(shù)列滿(mǎn)足，
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式分別列式即可得解；
（2）利用錯(cuò)位相減法即可得解.
【小問(wèn)1詳解】
設(shè)公差為公比為，則，
則，解出．
所以，
又由，解出．
所以.
【小問(wèn)2詳解】
由（1）得，
則，
故，
兩式相減得，
，
所以.
18. 在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，滿(mǎn)足
（1）求證：；
（2）若為銳角三角形，求的最大值．
【答案】（1）證明見(jiàn)解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理將邊化角，借助三角恒等變換公式化簡(jiǎn)即可.
（2）利用為銳角三角形，求出，表示出，并進(jìn)行換元轉(zhuǎn)化為二次函數(shù),進(jìn)而求得最大值.
【小問(wèn)1詳解】
由題，
由正弦定理：，
所以，
整理，
所以，
或（舍）,
.
【小問(wèn)2詳解】
為銳角三角形,
解得：,所以，
且
由（1）問(wèn)，，
令，
則，
所以
因?yàn)?
當(dāng)時(shí)，所求的最大值為.
19. 五棱錐中，，，，，，，，平面平面，為的中點(diǎn)，
（1）求證：平面；
（2）求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值．
【答案】（1）證明見(jiàn)解析
（2）
【解析】
【分析】（1）取的中點(diǎn)，證得平面，再由四邊形為平行四邊形，證得，得到，證得平面，結(jié)合面面平行的判定定理，證得平面平面，進(jìn)而證得平面；
（2）取中點(diǎn)，連接，證得平面，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面的法向量和，結(jié)合向量的夾角公式，即可求解.
【小問(wèn)1詳解】
解：取的中點(diǎn)，連接，
因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，
又因?yàn)槠矫?，且平面，所以平面?br>因?yàn)?，所以四邊形為平行四邊形，可得?br>又因?yàn)椋裕?br>因?yàn)槠矫?，且平面，所以平面?br>又因?yàn)?，平面，平面?br>所以平面平面，
因?yàn)槠矫妫矫妫?br>【小問(wèn)2詳解】
解：取中點(diǎn)，連接，由，可得，
因?yàn)槠矫嫫矫?，且平面平面，所以平面?br>以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，過(guò)作軸，過(guò)點(diǎn)作軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，
可得，
則
設(shè)平面的法向量為，則，
取，可得，所以，
又由，可得，
所以直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為.
20. 研究表明，學(xué)生的學(xué)習(xí)成績(jī)y（分）與每天投入的課后學(xué)習(xí)時(shí)間x（分鐘）有較強(qiáng)的線(xiàn)性相關(guān)性．某校數(shù)學(xué)小組為了研究如何高效利用自己的學(xué)習(xí)時(shí)間，收集了該校高三（1）班學(xué)生9個(gè)月內(nèi)在某學(xué)科（滿(mǎn)分100分）所投入的課后學(xué)習(xí)時(shí)間和月考成績(jī)的相關(guān)數(shù)據(jù)，下圖是該小組制作的原始數(shù)據(jù)與統(tǒng)計(jì)圖（散點(diǎn)圖）．
（1）當(dāng)時(shí)，該小組建立了與的線(xiàn)性回歸模型，求其經(jīng)驗(yàn)回歸方程；
（2）當(dāng)時(shí)，由圖中觀察到，第3個(gè)月的數(shù)據(jù)點(diǎn)明顯偏離回歸直線(xiàn)，若剔除第3個(gè)月數(shù)據(jù)點(diǎn)后，用余下的4個(gè)散點(diǎn)做線(xiàn)性回歸分析，得到新回歸直線(xiàn)，證明：；
（3）當(dāng)時(shí)，該小組確定了與滿(mǎn)足的線(xiàn)性回歸方程為：，該數(shù)學(xué)小組建議該班在該學(xué)科投入課后學(xué)習(xí)時(shí)間為40分鐘，請(qǐng)結(jié)合第（1）（2）問(wèn)的結(jié)論說(shuō)明該建議的合理性．
附：經(jīng)驗(yàn)回歸直線(xiàn)的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：，
【答案】（1）
（2）證明見(jiàn)解析（3）建議合理
【解析】
【分析】（1）利用最小二乘法求解；
（2）利用最小二乘法求解；
（3）利用回歸直線(xiàn)的斜率的意義判斷.
【小問(wèn)1詳解】
解：，，
，
則，
所求經(jīng)驗(yàn)回歸方程為：；
【小問(wèn)2詳解】
設(shè)的方程為，，，
∴，
則，
的方程為，故，；
【小問(wèn)3詳解】
當(dāng)時(shí)，的斜率為0.4，這個(gè)斜率的意義是：課后每多投入10分鐘，平均分就能提高4分；
當(dāng)時(shí)，回歸直線(xiàn)的斜率為0.01這個(gè)斜率的意義是：課后每多投入10分鐘，平均分就能提高0.1分，說(shuō)明投入幾乎沒(méi)用，
故該學(xué)習(xí)小組的建議是合理的.
21. 已知點(diǎn)為橢圓內(nèi)的兩點(diǎn)，在橢圓上存在兩點(diǎn)，滿(mǎn)足，直線(xiàn)交橢圓于點(diǎn)（點(diǎn)異于點(diǎn)）．
（1）當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的縱坐標(biāo)；
（2）求點(diǎn)，橫坐標(biāo)乘積的最大值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先根據(jù)條件得到坐標(biāo)間的關(guān)系，代入橢圓方程解得B的縱坐標(biāo)，即得B的橫坐標(biāo)關(guān)于的函數(shù)關(guān)系，根據(jù)可解出點(diǎn)的縱坐標(biāo).
（2）直線(xiàn)與橢圓相交，根據(jù)直線(xiàn)的斜率是否存在進(jìn)行分類(lèi)討論，利用（1）中關(guān)系進(jìn)行化簡(jiǎn)計(jì)算求得.
【小問(wèn)1詳解】
設(shè)，由，即
有，從而
進(jìn)一步，解得
故時(shí)，,所以點(diǎn)的縱坐標(biāo)為.
【小問(wèn)2詳解】
由（1）可知，.
設(shè)
①當(dāng)斜率不存在時(shí)，重合，此時(shí)
②當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)，則
則
∵僅在橢圓內(nèi)，與橢圓一定相交
當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立
故
22. 已知函數(shù)，其中．
（1）若在單調(diào)遞增，求a的取值范圍；
（2）若有三個(gè)極值點(diǎn)，記為，且，求的取值范圍．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)恒為非負(fù)，即可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在上恒成立，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)即可求解最值求解；
（2）根據(jù)與有兩個(gè)交點(diǎn)結(jié)合圖象可得，進(jìn)而得，構(gòu)造函數(shù)和，求導(dǎo)確定函數(shù)的單調(diào)性求解最值即可.
【小問(wèn)1詳解】
由題可得，
由題，有在上恒成立,
即在上恒成立，
上恒成立，
令，
由，解得；由，解得，
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
，
所以；
【小問(wèn)2詳解】
由題知，有3個(gè)根，顯然1為其中一個(gè)根，則有兩根．
即有兩根，亦即與有兩個(gè)交點(diǎn)．
由（1）作出大致圖象如下：
則有．故由，
令①
又②
由①②，解得，
故,
令，則，
設(shè)，
設(shè)
則當(dāng)時(shí)單調(diào)遞減，故當(dāng)，故，
因此，故在單調(diào)遞增，
因此，
故，在單調(diào)遞增，而，
因此由可得，
故,即.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：
1. 導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，常化為不等式恒成立問(wèn)題．注意分類(lèi)討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點(diǎn)、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問(wèn)題處理．
2.利用導(dǎo)數(shù)解決含參函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題時(shí)，一般將其轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問(wèn)題，解題過(guò)程中要注意分類(lèi)討論和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.
月次
1
2
3
4
5
6
7
8
9
某科課后投入時(shí)間（分鐘）
20
25
30
35
40
45
50
55
60
高三（1）班某科平均分（分）
65
68
75
72
73
73
73
73．5
73

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