湖北省云學(xué)聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期11月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)（A）試卷（Word版附解析）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

命題單位：云學(xué)研究院審題單位：云學(xué)研究院
考試時(shí)間：2024年11月13日下午15：00-17：00 時(shí)長(zhǎng)：120分鐘試卷滿(mǎn)分：150分
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 若復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，則的虛部為（）
A. B. C. 1D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，利用復(fù)數(shù)的除法計(jì)算，再利用共軛復(fù)數(shù)及虛部的意義判斷得解.
【詳解】依題意，，
所以的虛部為.
故選：D
2. 已知直線：與：，若與互相平行，則它們之間的距離是（）
A. B. 1C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)兩直線平行滿(mǎn)足的系數(shù)關(guān)系可得，即可利用平行線間距離公式求解.
【詳解】若與互相平行，則需滿(mǎn)足，解得，
故直線：與：，
故兩直線間距離為，
故選：C
3. 已知空間向量，，，若，則（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)向量垂直，數(shù)量積為0求參數(shù)的值.
【詳解】因?yàn)?，且?br>所以.
故選：C
4. 已知實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足方程，則的最大值為（）
A. B. C. 0D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)點(diǎn)和圓、直線和圓的位置關(guān)系求得正確答案.
【詳解】由得，所以在以2,0為圓心，
半徑為的圓上，表示圓上的點(diǎn)和點(diǎn)連線的斜率，
設(shè)過(guò)的圓的切線方程為，
2,0到直線的距離，解得或，
所以的最大值為.
故選：D
5. 如圖，在中，，為上一點(diǎn)，且，若，，，則的值為（）
A. B. C. D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】由已知結(jié)合向量共線定理可得，進(jìn)而根據(jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算律即可求解.
【詳解】因?yàn)?，?br>故，
由于在上，所以，故，
則，
又，，，
所以，
則
.
故選：B.
6. 某中學(xué)研究性學(xué)習(xí)小組為測(cè)量如圖所示的銅雕的高度，在和它底部位于同一水平高度的共線三點(diǎn)處測(cè)得銅雕頂端P處仰角分別為，且，則該銅雕的高度為（）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】設(shè)的投影為，且，利用銳角三角函數(shù)表示出、、，再在和中分別用余弦定理得到方程，解得即可.
【詳解】設(shè)的投影為，且，在中，，
所以，

在中，，所以，
在中，，所以，
在和中分別用余弦定理得，
解得或（舍去），即該銅雕的高度為.
故選：B
7. 為橢圓上任意一點(diǎn)，，，則的最大值為( ).
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由條件可知，當(dāng)且僅當(dāng)，，三點(diǎn)共線且點(diǎn)在第二象限時(shí)，為最大值.
【詳解】由橢圓，可得，，，所以可知為橢圓的下焦點(diǎn)，
設(shè)為橢圓上焦點(diǎn)，又因?yàn)闉闄E圓上任意一點(diǎn)，所以由橢圓定義可知：，
即，因?yàn)楫?dāng)，，三點(diǎn)共線且點(diǎn)在第二象限時(shí)有最大值，
即，又因?yàn)椋?br>所以
故選：D.
8. 正方形的邊長(zhǎng)為12，其內(nèi)有兩點(diǎn)、，點(diǎn)到邊、的距離分別為3，2，點(diǎn)到邊、的距離也是3和2．現(xiàn)將正方形卷成一個(gè)圓柱，使得和重合（如圖）．則此時(shí)、兩點(diǎn)間的距離為（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】過(guò)點(diǎn)分別作底面的平行圓，利用空間向量數(shù)量積的運(yùn)算律求解即得.
【詳解】過(guò)點(diǎn)作平行于底面的截面圓，過(guò)點(diǎn)作平行于底面的截面圓，，
設(shè)圓柱的底面圓半徑為，則，解得，于是，
由，得
，
所以、兩點(diǎn)間的距離為.
故選：C
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：求出空間兩點(diǎn)的距離，借助空間向量表示及空間向量數(shù)量積是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 已知曲線方程表示橢圓，則下列說(shuō)法正確的是（）
A. 的取值集合為
B. 當(dāng)時(shí)，焦點(diǎn)坐標(biāo)為
C. 當(dāng)時(shí)，記橢圓所包圍的區(qū)域面積為，則
D. 當(dāng)時(shí)，隨著越大，橢圓就越接近于圓
【答案】BCD
【解析】
【分析】根據(jù)橢圓的基本性質(zhì)對(duì)選項(xiàng)逐一判斷即可.
【詳解】A選項(xiàng)，因?yàn)?，則,且，所以的取值范圍是，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，橢圓方程為，則橢圓表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，且，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為；
C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，橢圓方程為，則橢圓表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，且，，則橢圓所包圍的區(qū)域面積為，且，則C選項(xiàng)正確；
D選項(xiàng)，時(shí)，曲線方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則，，，則當(dāng)，時(shí)，離心率表示單調(diào)遞減的函數(shù)，則隨著越大，橢圓的離心率越接近0，橢圓越圓，故D選項(xiàng)正確.
故選：BCD
10. 如圖所示，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，是線段上動(dòng)點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）
A. 平面平面
B. 最小值為
C. 若直線與所成角的正弦值為，則
D. 若是線段的中點(diǎn)，則到平面的距離為
【答案】ABD
【解析】
【分析】A利用面面垂直的判定判斷；B根據(jù)正方體的結(jié)構(gòu)特征易得，結(jié)合是線段上動(dòng)點(diǎn)，即可判斷；C將已知化為直線與所成角為，令且，應(yīng)用余弦定理列方程求參數(shù)；D化為求到平面的距離，等體積法求距離.
【詳解】A：由題意面，面，故平面平面，對(duì)；
B：由題意面，面，則，
又是線段上動(dòng)點(diǎn)，顯然與重合時(shí)最小，為，對(duì)；
C：若平行于側(cè)棱，交于，連接，顯然為矩形，
所以，故直線與所成角，即為直線與所成角，為，
由，而，
令且，則，，，
所以，可得，
整理得，可得或（舍），錯(cuò)；
D：顯然C中為的中點(diǎn)，而，面，面，
所以面，即到平面的距離，即為到平面的距離，
由，且，即，
所以，對(duì).
故選：ABD
11. 已知圓，為直線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)向圓引兩條切線，為切點(diǎn)，則下列四個(gè)命題正確的是（）
A. 直線與圓總有兩個(gè)交點(diǎn).
B. 不存在點(diǎn)，使.
C. 直線過(guò)定點(diǎn).
D. 過(guò)作互相垂直的兩條直線分別交圓于、和、，則四邊形面積的最小值為6
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用直線過(guò)定點(diǎn)且定點(diǎn)在圓內(nèi)判斷A，假設(shè)存在點(diǎn)，利用三角形邊長(zhǎng)關(guān)系和的取值范圍判斷B，求出以為直徑的圓的方程，結(jié)合條件可得公共弦的方程，即可求出定點(diǎn)判斷C，設(shè)到直線，的距離為，利用圓的幾何性質(zhì)求弦長(zhǎng)，再結(jié)合面積公式和的取值范圍判斷D.
【詳解】選項(xiàng)A：因?yàn)橹本€過(guò)定點(diǎn)，
且，即該定點(diǎn)在圓內(nèi)，所以直線與圓總有兩個(gè)交點(diǎn)，A說(shuō)法正確；
選項(xiàng)B：連接，因?yàn)闉榍悬c(diǎn)，所以與全等，

假設(shè)存在點(diǎn)，使，則，此時(shí)，
因?yàn)?，所以假設(shè)成立，即存在點(diǎn)，使，B說(shuō)法錯(cuò)誤；
選項(xiàng)C：設(shè)，則，
以為直徑的圓的方程為，即，
又圓，兩圓作差可得公共弦直線方程為，
消去可得，整理得，
令可得直線過(guò)定點(diǎn)，C說(shuō)法正確；
選項(xiàng)D：設(shè)到直線，的距離為，則，

因?yàn)?，?br>所以，
又因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)或過(guò)原點(diǎn)時(shí)等號(hào)成立，
所以，四邊形面積，
即四邊形面積的最小值為6，D說(shuō)法正確；
故選：ACD
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 設(shè)圓：，為圓內(nèi)一點(diǎn)，為圓上任意一點(diǎn)，線段的垂直平分線和半徑相交于，當(dāng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡方程為_(kāi)_____.
【答案】
【解析】
【分析】數(shù)形結(jié)合，分析出動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足的條件，再根據(jù)橢圓定義，即可求得其方程.
【詳解】根據(jù)題意，作圖如下所示：
由題可知：，且，故，
故點(diǎn)的軌跡是橢圓，設(shè)其方程為，
故，，，故，故其方程為：.
故答案為：.
13. 已知圓臺(tái)上、下底面半徑分別為1和2，母線與底面所成角為，則圓臺(tái)的外接球體積與圓臺(tái)體積之比為_(kāi)_____.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)題意結(jié)合軸截面可知，即可得圓臺(tái)的體積，根據(jù)圓臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征列式求球的半徑和體積，即可得結(jié)果.
詳解】由題意可知：上底面半徑，下底面半徑，
由軸截面可知：，可知，
可得圓臺(tái)的體積，
設(shè)外接球的半徑為，
則，即，解得，
（假設(shè)球心在圓臺(tái)內(nèi)，則，此時(shí)無(wú)解）
可得球的體積，
所以.
故答案為：
14. 已知M 是橢圓上一點(diǎn)，線段 AB是圓的一條動(dòng)弦,且則的最大值為_(kāi)______.
【答案】70
【解析】
【分析】設(shè)中點(diǎn)為，易得，點(diǎn)的軌跡為以為圓心，為半徑的圓，可轉(zhuǎn)化為，，設(shè)出點(diǎn)的參數(shù)方程，求出，即可得解.
【詳解】
如圖，設(shè)中點(diǎn)為，由，，故點(diǎn)的軌跡為以為圓心，為半徑的圓，
，
，設(shè)，則
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，
所以，
故答案為：70
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：由向量的數(shù)量積求解橢圓上一點(diǎn)與定點(diǎn)距離問(wèn)題，轉(zhuǎn)化法和參數(shù)方程是解決本題關(guān)鍵，還綜合了余弦函數(shù)求最值問(wèn)題，試題整體難度不大，但綜合性強(qiáng)，是一道跨知識(shí)點(diǎn)考查相對(duì)不錯(cuò)的題！
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.
15. 直線經(jīng)過(guò)兩直線：和：的交點(diǎn).
（1）若直線與直線垂直，求直線的方程.
（2）若點(diǎn)到直線的距離為4，求直線的方程.
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）方法一：求出兩直線交點(diǎn)坐標(biāo)，再由垂直關(guān)系計(jì)算可得結(jié)果；
方法二：設(shè)出兩直線組成的直線系方程，再由垂直關(guān)系計(jì)算可得結(jié)果；
（2）方法一：分斜率是否存在進(jìn)行討論，利用點(diǎn)到直線距離公式計(jì)算可得結(jié)果；
方法二：利用直線系方程求得參數(shù)值即可得直線方程.
【小問(wèn)1詳解】
方法一：由得交點(diǎn)，
因?yàn)榕c直線垂直，所以設(shè)：，代入得，
所以的方程為；
方法二：設(shè)：，整理得，
當(dāng)與直線垂直，所以，解得，
所以的方程為，即.
【小問(wèn)2詳解】
方法一：當(dāng)?shù)男甭什淮嬖跁r(shí)，為，滿(mǎn)足題意，
當(dāng)?shù)男甭蚀嬖跁r(shí)，設(shè)：，則到直線的距離為，
解得，此時(shí)直線的方程為，
綜上，直線的方程為或.
方法二：到直線的距離為，
化簡(jiǎn)得，解得或，
所以直線的方程為或.
16. 某地區(qū)有小學(xué)生9000人，初中生8600人，高中生4400人，教育局組織網(wǎng)絡(luò)“防溺水”網(wǎng)絡(luò)知識(shí)問(wèn)答，現(xiàn)用分層抽樣的方法從中抽取220名學(xué)生，對(duì)其成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，得到如下圖所示的頻率分布直方圖.
（1）成績(jī)位列前學(xué)生平臺(tái)會(huì)生成“防溺水達(dá)人”優(yōu)秀證書(shū)，試估計(jì)獲得“防溺水達(dá)人”的成績(jī)至少為多少分；
（2）已知落在60,70內(nèi)的平均成績(jī)?yōu)?7，方差是9，落在內(nèi)的平均成績(jī)是73，方差是29，求落在內(nèi)的平均成績(jī)和方差.（附：設(shè)兩組數(shù)據(jù)的樣本量、樣本平均數(shù)和樣本方差分別為：，，；，，，兩組數(shù)據(jù)總體的樣本平均數(shù)為，則總體樣本方差）
【答案】（1）88分（2）平均成績(jī)?yōu)?6，方差為12
【解析】
【分析】（1）根據(jù)百分位數(shù)的計(jì)算公式，即可求即可，
（2）計(jì)算頻率，即可得比例，即可根據(jù)總體方差的計(jì)算公式求解.
小問(wèn)1詳解】
前4組的頻率之和為，
前5組的頻率之和為，
第分位數(shù)落在第5組，設(shè)為，則，解得.
“防溺水達(dá)人”的成績(jī)至少為88分.
【小問(wèn)2詳解】
的頻率為0.15，的頻率為0.30，所以
的頻率與的頻率之比為
的頻率與的頻率之比為
設(shè)內(nèi)的平均成績(jī)和方差分別為，
依題意有，解得，
，解得
所以?xún)?nèi)的平均成績(jī)?yōu)?6，方差為12.
17. 如圖，由等腰與直角梯形組成的平面圖形，已知，，，，，現(xiàn)將沿折起，使其成四棱錐，且.
（1）證明：平面平面；
（2）求二面角的正切值.
【答案】（1）證明見(jiàn)解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)勾股定理與線面的判定定理證得平面，再利面面垂直的判定與性質(zhì)定理，結(jié)合線面垂直的性質(zhì)定理證得平面，進(jìn)而得證；
（2）根據(jù)題意建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，求出平面法向量，利用空間向量法求二面角，結(jié)合三角函數(shù)的基本關(guān)系式即可得解.
【小問(wèn)1詳解】
在中，，，
，
又，，，
，又，平面，
平面，平面，平面，
所以平面平面，平面平面，
取中點(diǎn)，連，
則，又平面平面，平面，
平面，取中點(diǎn)，連，，
則，，四邊形為平行四邊形，
，平面，
又平面，平面平面；
【小問(wèn)2詳解】
由（1）知以為原點(diǎn)，，分別為軸，軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，，
設(shè)平面的法向量為，
，，，
，即，
令，則，設(shè)平面法向量，
則，即，
令，則，
，則，
，
由圖形可知二面角為銳角，故二面角的正切值為.
18. 某公司進(jìn)行團(tuán)建活動(dòng)，最后一活動(dòng)由兩小組各自推薦出來(lái)的員工甲、員工乙參加．該活動(dòng)分為兩階段，第一階段是選拔階段，兩人各擲飛鏢30次，所得成績(jī)的第60百分位數(shù)大的員工參加下一階段，第二階段是游戲階段，游戲規(guī)則如下：①有4次游戲機(jī)會(huì)；②依次參加，，游戲；③前一個(gè)游戲勝利后才可以參加下一個(gè)游戲，若輪到游戲后，無(wú)論勝利還是失敗，一直都參加游戲，直到4次機(jī)會(huì)全部用完；④參加游戲，則每次勝利可以獲得獎(jiǎng)金20元；參加游戲，則每次勝利可以獲得獎(jiǎng)金50元；參加游戲，則每次勝利可以獲得獎(jiǎng)金100元.
已知甲參加每一個(gè)游戲獲勝的概率都是，乙參加每一個(gè)游戲獲勝的概率都是，甲、乙參加每次游戲相互獨(dú)立，第一階段甲、乙擲飛鏢所得成績(jī)?nèi)缦卤恚?br>甲的成績(jī)
乙的成績(jī)
（1）甲、乙兩位員工誰(shuí)參加第二階段游戲？并說(shuō)明理由．
（2）在（1）的基礎(chǔ)上，解答下列兩問(wèn)：
（i）求該員工能參加游戲的概率.
（ii）該員工獲得的獎(jiǎng)金金額超過(guò)70元的概率是多少？
【答案】（1）甲參加第二階段游戲，理由見(jiàn)解析
（2）（i），（ii）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)游戲規(guī)則求得兩人的第60百分位數(shù)即可得出結(jié)論；
（2）（i）依題意游戲至多共使用3次機(jī)會(huì)，再由概率的加法公式計(jì)算可得結(jié)果；
（ii）分情況根據(jù)共參加游戲次數(shù)以及獲勝次數(shù)計(jì)算可得結(jié)果.
【小問(wèn)1詳解】
，甲的6，7，8環(huán)一共有15次，9環(huán)11次，故甲的第60百分位數(shù)為9；
而乙6，7，8環(huán)一共有18次，9環(huán)10次，，其故乙的第60百分位數(shù)為8.5，
所以甲參加第二階段游戲.
【小問(wèn)2詳解】
（i）若甲能參加游戲，則，游戲至多共使用3次機(jī)會(huì)，
①，游戲共使用2次機(jī)會(huì)，則概率；
②，游戲共使用3次機(jī)會(huì)，則概率，
所以甲能參加游戲的概率為.
（ii）由甲獲得的獎(jiǎng)金金額超過(guò)70元即獎(jiǎng)金金額為170和270，也就是說(shuō)甲能參加游戲并且游戲至少獲勝一次。
①，游戲共使用2次機(jī)會(huì)，且游戲獲勝一次，則概率；
②，游戲共使用3次機(jī)會(huì)，游戲獲勝一次，則概率；
③，游戲共使用2次機(jī)會(huì)，且游戲獲勝兩次，則；
所以甲獲得的獎(jiǎng)金金額超過(guò)70元的概率為
19. 如圖1，已知圓心在軸的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)和.過(guò)原點(diǎn)且不與鈾重合的直線與圓交于A、B兩點(diǎn)（在軸上方）.

（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若的面積為，求直線l的方程；
（3）將平面xOy沿軸折疊，使軸正半軸和軸所確定的半平面（平面AOD)與y軸負(fù)半軸和軸所確定的半平面（平面BOD）互相垂直，如圖2，求折疊后AB的范圍.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）設(shè)圓心，半徑為，根據(jù)，列出方程求得的值，即可求得圓的方程；
（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，求得的面積為，舍去；設(shè)直線的方程為，利用點(diǎn)到直線的距離公式和圓的弦長(zhǎng)公式，求得弦長(zhǎng)，進(jìn)而求得到直線的距離為，根據(jù)題意列出方程，求得的值，即可求解；
（3）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，由為等腰直角三角形，求得；設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組，求得，過(guò)作軸過(guò)作軸，得到，化簡(jiǎn)得到，進(jìn)而求得折疊后AB的范圍.
【小問(wèn)1詳解】
解：由題意，設(shè)圓心，半徑為
因?yàn)閳A經(jīng)過(guò)點(diǎn)和，可得，
即，解得，所以，
所以圓的方程為.
【小問(wèn)2詳解】
解：當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，此時(shí)的方程為，可得，
此時(shí)的面積為，不符合題意，舍去；
當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，其中，即，
可得圓心到直線的距離為，
由圓的弦長(zhǎng)公式，可得，
又由，設(shè)到直線的距離為，
所以的面積為，
整理得，解得或（舍去），
所以，所以直線的方程為.
綜上可得，直線的方程為.
【小問(wèn)3詳解】
解：當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，此時(shí)的方程為，可得，
此時(shí)為等腰直角三角形，可得；
當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，且，
聯(lián)立方程組，整理得，
可得，且，
過(guò)作軸，垂足為，過(guò)作軸，垂足為，
則
，
因?yàn)?，所以，所以?br>綜上可得，折疊后AB的范圍.
【點(diǎn)睛】方法策略：解答直線與圓錐曲線的最值與范圍問(wèn)題的方法與策略：
（1）幾何轉(zhuǎn)化代數(shù)法：若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用圓的性質(zhì)或圓錐曲線的定義、圖形、幾何性質(zhì)來(lái)解決；
（2）函數(shù)取值法：若題目的條件和結(jié)論的幾何特征不明顯，則可以建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)的最值（或值域），常用方法：（1）配方法；（2）基本不等式法；（3）單調(diào)性法；（4）三角換元法；（5）導(dǎo)數(shù)法等，要特別注意自變量的取值范圍；
3、涉及直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題：通常設(shè)出直線方程，與圓或圓錐曲線聯(lián)立方程組，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系，合理進(jìn)行轉(zhuǎn)化運(yùn)算求解，同時(shí)抓住直線與圓錐曲線的幾何特征應(yīng)用.
環(huán)數(shù)
6
7
8
9
10
次數(shù)
3
3
9
11
4
環(huán)數(shù)
6
7
8
9
10
次數(shù)
3
5
10
10
2

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