一、單選題
1．已知集合，，則（ ）
A．B．
C．D．
2．已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)滿足，則的共軛復(fù)數(shù)（ ）
A．B．C．D．
3．平行四邊形中，為的中點(diǎn)，點(diǎn)滿足，若，則的值是（ ）
A．4B．2C．D．
4．已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，，，，則數(shù)列的公比為
A．3B．C．2D．
5．已知，，則（ ）
A．B．C．D．
6．設(shè)函數(shù)定義域?yàn)?，為奇函?shù)，為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）
A．B．為奇函數(shù)
C．在上是減函數(shù)D．方程僅有個(gè)實(shí)數(shù)解
7．在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知，則面積的最大值為（ ）
A．B．C．D．
8．設(shè)函數(shù)，下列判斷正確的是（ ）
A．函數(shù)的一個(gè)周期為；
B．函數(shù)的值域是；
C．函數(shù)的圖象上存在點(diǎn)，使得其到點(diǎn)的距離為；
D．當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象與直線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn).
二、多選題
9．下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．若，則
B．若，則
C．若，則
D．函數(shù)的最小值為
10．下列命題正確的有（ ）
A．若等差數(shù)列的前項(xiàng)的和為，則，，也成等差數(shù)列
B．若為等比數(shù)列，且，則
C．若等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，且，，則可知數(shù)列前項(xiàng)的和最大
D．若 ，則數(shù)列的前2020項(xiàng)和為4040
11．函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列說(shuō)法中正確的是（ ）
A．的表達(dá)式可以寫(xiě)成
B．的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的新函數(shù)是奇函數(shù)
C．的對(duì)稱中心
D．若方程在0,m上有且只有6個(gè)根，則
三、填空題
12．已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)滿足，則 .
13．已知邊長(zhǎng)為2的菱形中，，點(diǎn)為線段（含端點(diǎn)）上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)滿足，則的取值范圍為 ．
14．若，則的最小值為 .
四、解答題
15．已知向量．
(1)求向量與的夾角的大?。?br>(2)若向量，求實(shí)數(shù)的值；
(3)若向量滿足，求的值．
16．已知向量，，函數(shù)，相鄰對(duì)稱軸之間的距離為．
(1)求的單調(diào)遞減區(qū)間；
(2)將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的，再向左平移個(gè)單位得的圖象，若關(guān)于x的方程在上只有一個(gè)解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
17．已知函數(shù).
(1)求的極值；
(2)若對(duì)于任意不同的，，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
18．在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，且.
(1)若，，求邊上的角平分線長(zhǎng)；
(2)若為銳角三角形，點(diǎn)為的垂心，，求的取值范圍.
19．一般地，元有序?qū)崝?shù)組稱為維向量（如用一個(gè)實(shí)數(shù)可表示一維向量，用二元有序?qū)崝?shù)對(duì)可表示二維向量，）.類似我們熟悉的二維向量和三維向量，對(duì)于維向量，也可以定義兩個(gè)向量的加法運(yùn)算、減法運(yùn)算、數(shù)乘運(yùn)算、兩個(gè)向量的數(shù)量積、向量的長(zhǎng)度（模）等，如，則.若存在不全為零的個(gè)實(shí)數(shù)，，，，使得，則稱向量組，，，是線性相關(guān)的，否則，稱向量組，，，是線性無(wú)關(guān)的.
(1)判斷向量組，，是否線性相關(guān).
(2)已知函數(shù)，，且恒成立.
①求的值；
②設(shè)，其中，若，，數(shù)列的前項(xiàng)和為；證明：當(dāng)時(shí)，.
答案：
1．B
【分析】解一元二次不等式可得，再由交集、并集運(yùn)算可得結(jié)果.
【詳解】解不等式可得；
又可知，可知A錯(cuò)誤，B正確；
，即可得C錯(cuò)誤，D錯(cuò)誤.
故選：B
2．B
由復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算法則化簡(jiǎn)復(fù)數(shù),根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義即可求解.
【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù),
由復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算法則可得,,
利用共軛復(fù)數(shù)的定義可得,=,
故選:B
本題考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算及共軛復(fù)數(shù)的定義;屬于基礎(chǔ)題.
3．D
【分析】利用M為CD的中點(diǎn)，點(diǎn)N滿足，得到，再將等式轉(zhuǎn)化成的關(guān)系，從而得到，的方程，求解即可．
【詳解】解：根據(jù)題意可得，，
因?yàn)椋?br>所以
，
所以，
由平面向量基本定理可得，解得，
所以
故選：D
本題考查了平面向量基本定理的應(yīng)用，涉及了平面向量的數(shù)乘和線性運(yùn)算，用平面向量基本定理解決問(wèn)題的一般思路是：先選擇一組基底，并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過(guò)向量的運(yùn)算來(lái)解決．
4．A
設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列的公比為，根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，求得，進(jìn)而得出公比的方程，即可求解.
【詳解】設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列的公比為，
由，可得，因?yàn)?，所以?br>又因?yàn)?，所以?br>即，解得或，
又由，可得，所以.
故選：A.
本題主要考查了等比數(shù)列的性質(zhì)，以及等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的應(yīng)用，著重考查推理與計(jì)算能力.
5．A
【分析】以為整體，利用誘導(dǎo)公式結(jié)合倍角公式求，結(jié)合兩角和差公式運(yùn)算求解.
【詳解】因?yàn)?，則，
且，可得，
則，
，
所以，
故選：A.
6．C
【分析】根據(jù)fx?1與的奇偶性可判斷函數(shù)的對(duì)稱性與周期性，從而作出函數(shù)圖像，數(shù)形結(jié)合判斷各選項(xiàng).
【詳解】為奇函數(shù)，即，關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，
又為偶函數(shù)，即，關(guān)于直線對(duì)稱，
所以，即，
所以，
即函數(shù)的最小正周期為，
A選項(xiàng)：，A選項(xiàng)正確；
B選項(xiàng)：，所以為奇函數(shù)，B選項(xiàng)正確；
C選項(xiàng)：由當(dāng)時(shí)，，所以，所以在上單調(diào)遞增，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D選項(xiàng)：由，得
作出函數(shù)及圖像如圖所示，

由已知函數(shù)的值域?yàn)?，且?br>當(dāng)時(shí)，，函數(shù)與無(wú)公共點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，由圖像可知函數(shù)與函數(shù)有個(gè)公共點(diǎn)，
即有個(gè)解，D選項(xiàng)正確；
故選：C.
7．C
【分析】根據(jù)給定條件，利用正弦定理角化邊，再利用余弦定理及三角形面積公式求解即得.
【詳解】在中，由及正弦定理得，
即，由余弦定理得，，
則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，因此，
的面積，
所以當(dāng)時(shí)，的面積取得最大值.
故選：C
8．D
【分析】利用函數(shù)的周期性定義結(jié)合余弦函數(shù)的周期性可判斷A；采用三角代換，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，利用函數(shù)單調(diào)性求解函數(shù)值域，判斷B；利用，結(jié)合兩點(diǎn)間距離公式可判斷C；結(jié)合解，根據(jù)解的情況判斷D，即得答案.
【詳解】對(duì)于A，，，
故不是函數(shù)的一個(gè)周期，A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，，
需滿足，即，
令，，則即為，
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，則；
當(dāng)時(shí)，，
（，故）
此時(shí)在上單調(diào)遞減，則，
綜上，的值域是，B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，由B知，，
當(dāng)時(shí)，,
滿足此條件下的圖象上的點(diǎn)到的距離；
當(dāng)時(shí)，,
滿足此條件下的圖象上的點(diǎn)到的距離，
當(dāng)且僅當(dāng)且時(shí)等號(hào)成立，
而時(shí)，或，
滿足此條件的x與矛盾，即等號(hào)取不到，
故函數(shù)的圖象上不存在點(diǎn)Px,y，使得其到點(diǎn)1,0的距離為，C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，由B的分析可知，則，即，
又，故當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，
即當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象與直線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，D正確．
故選：D
難點(diǎn)點(diǎn)睛：本題綜合考查了函數(shù)的知識(shí)的應(yīng)用問(wèn)題，涉及余弦函數(shù)的周期，值域以及最值和函數(shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題，綜合性強(qiáng)，難度較大，解答時(shí)要結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)以及函數(shù)的單調(diào)性，綜合求解.
9．BC
【分析】對(duì)A舉反例即可；對(duì)B根據(jù)不等式性質(zhì)即可判斷；對(duì)C，利用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性即可判斷；對(duì)D舉反例即可.
【詳解】對(duì)A，當(dāng)時(shí)，，故A錯(cuò)誤；
對(duì)B，當(dāng)，則，則，故B正確；
對(duì)C，根據(jù)指數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，則，故C正確；
對(duì)D，當(dāng)時(shí)，，故D錯(cuò)誤.
故選：BC.
10．BCD
【分析】A.利用等差數(shù)列的性質(zhì)判斷；B.利用等比數(shù)列的性質(zhì)判斷；C.根據(jù)等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式判斷；D.利用數(shù)列并項(xiàng)求和判斷.
【詳解】A.等差數(shù)列的前項(xiàng)的和為，則，，也成等差數(shù)列，故錯(cuò)誤；
B. 為等比數(shù)列，且，則，所以，故正確；
C. 因?yàn)?，則，，則，所以，，
所以數(shù)列前項(xiàng)的和最大，故正確；
D. 因?yàn)椋詳?shù)列的前2020項(xiàng)和為：，，故正確.
故選：BCD
11．ABC
【分析】利用特殊點(diǎn)求得函數(shù)的解析式即可判斷A，根據(jù)相位變換求得新函數(shù)解析式即可判斷奇偶性，即可判斷B，先求出的解析式，然后代入正弦函數(shù)對(duì)稱中心結(jié)論求解判斷C，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為根的問(wèn)題，找到第7個(gè)根，即可求解范圍判斷D.
【詳解】由，得，即，又，所以，
又的圖象過(guò)點(diǎn)，則，即，
所以，即得，又，所以，
所以，故A正確；
向右平移個(gè)單位后得，為奇函數(shù)，故B正確；
對(duì)于C，，
令得，
所以對(duì)稱中心，故C正確；
對(duì)于D，由，得，解得或，
方程即，因?yàn)?，所以?br>又在0,m上有6個(gè)根，則根從小到大為，而第7個(gè)根為，
所以，故D錯(cuò)誤.
故選：ABC.
12．
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)運(yùn)算的除法法則和模的計(jì)算公式，即可化簡(jiǎn)得到答案.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以.
故答案為.
13．
【分析】利用基底，結(jié)合向量的線性運(yùn)算表示，即可根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律求解.
【詳解】設(shè)，其中，
已知邊長(zhǎng)為2的菱形中，，
則為等邊三角形，又，
則
又，故
故．
故

14．
【分析】令，則，可得，求導(dǎo)求得最小值即可.
【詳解】令，則，
所以，所以，
令，則，
所以在上為增函數(shù)，即在上為增函數(shù)，又，
當(dāng)時(shí)，，在上為減函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，，在上為增函數(shù)，
所以函數(shù).
故答案為.
方法點(diǎn)睛：利用換元法，通過(guò)二次求導(dǎo)，求函數(shù)的最小值是一種常用方法，在平時(shí)的學(xué)習(xí)中應(yīng)多體會(huì).
15．(1)；
(2)；
(3).
【分析】（1）利用向量的夾角公式計(jì)算即得.
（2）利用平面向量共線的坐標(biāo)表示，共線向量的坐標(biāo)表示列式計(jì)算即得.
（3）利用向量相等構(gòu)造方程求得，再利用坐標(biāo)求模即得結(jié)果.
【詳解】（1）由向量，得，
于是，而，
所以.
（2）由向量，得，，
由，得，解得，
所以實(shí)數(shù)的值是.
（3）依題意，即，
于是，解得，所以.
16．(1)
(2)
【分析】（1）首先利用數(shù)量積公式和三角恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)，再結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求解；
（2）首先利用三角函數(shù)的圖象變換求函數(shù)的解析式，再通過(guò)換元后，結(jié)合的圖象，即可求解.
【詳解】（1），
，
，
因?yàn)橄噜彽膶?duì)稱軸之間的距離為，所以的最小正周期為，
所以，得，所以，
令,
則，
所以的單調(diào)遞減區(qū)間為;
（2）由（1）知，將圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的，得到函數(shù)，
再向左平移個(gè)單位得，
令，則，
所以，
因?yàn)樵谏现挥幸粋€(gè)解，

由的圖象可得，?3≤m

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