(1)如圖1，分別取和的中點(diǎn)G、H，連接，那么和的數(shù)量關(guān)系是______．
(2)將圖1中的繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí)，判斷（1）中的結(jié)論是否仍然成立，并說明理由．
(3)已知正方形的邊長為2，正方形的邊長為10，現(xiàn)將正方形繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，在整個(gè)旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)C、P、E三點(diǎn)共線時(shí)，請直接寫出的長．
2．實(shí)踐與探究
（1）操作一：如圖①，將矩形紙片對折并展開，折痕與對角線交于點(diǎn)E，連結(jié)，則與的數(shù)量關(guān)系為______．
（2）操作二：如圖②，擺放矩形紙片與矩形紙片，使B、C、G三點(diǎn)在一條直線上，在邊上，連結(jié)，M為的中點(diǎn)，連結(jié)、．求證：．
（3）拓展延伸：如圖③，擺放正方形紙片與正方形紙片，使點(diǎn)F在邊上，連結(jié)，M為的中點(diǎn)，連結(jié)、、．已知正方形紙片的邊長為5，正方形紙片的邊長為，求 的面積．
3．已知四邊形，，相交于點(diǎn)P，且，，設(shè)，，．
(1)①如圖1，當(dāng)時(shí)，時(shí)，______；______；
②如圖2，當(dāng)時(shí)，時(shí)，______；______；
(2)觀察（1）中的計(jì)算結(jié)果，利用圖3證明，，三者關(guān)系．
(3)如圖4，在平行四邊形中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別是的中點(diǎn)，，，，求的長．
4．如圖1，正方形與正方形有公共點(diǎn)，點(diǎn)，分別在，上，點(diǎn)在正方形的對角線上．將正方形繞點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為（）．
(1)當(dāng)時(shí)，____________；
(2)如圖2，當(dāng)時(shí)，連接，，是否為定值？請說明理由；
(3)若，，當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，求的長度．
5．如圖甲，正方形中，點(diǎn)為邊上一點(diǎn)，點(diǎn)為邊上一點(diǎn)，且，連接、交于點(diǎn)．
(1)求證：；
(2)如圖乙，連接，若平分，求證：；
(3)如圖丙，在（2）的條件下，連接，過點(diǎn)作交邊于點(diǎn)，交于點(diǎn)，若，求線段的長．
6．【基礎(chǔ)鞏固】（1）如圖，在中，，分別在，上，，求證：．
【嘗試應(yīng)用】（2）如圖2，在中，，，分別在，，上，四邊形為平行四邊 形，，，，求的長．
【拓展提高】（3）如圖3，平行四邊形的周長為，，分別在，上，四邊形為平行四邊形，，，求EF的長．
7．如圖1，已知正方形中，為對角線，邊長為3，為邊上一點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，．
(1)如圖1，連結(jié)，求線段的長．
(2)保持不動(dòng)，將正方形繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)至如圖2的位置，連結(jié)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接、，探求與關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
(3)保持不動(dòng)，將正方形繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周，求出的中點(diǎn)在這個(gè)過程中的運(yùn)動(dòng)路徑長及的最小值．
8．如圖，在矩形中，點(diǎn)E為邊的中點(diǎn)，點(diǎn)F為上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接并延長，交的延長線于點(diǎn)G，以為底邊在下方作等腰，且．
(1)如圖①，若點(diǎn)H恰好落在上，連接，．
①求證：；
②若，，求的面積；
(2)如圖②，點(diǎn)H落在矩形內(nèi)，連接，若，，求四邊形面積的最大值．
9．在菱形中，，點(diǎn)是射線上一動(dòng)點(diǎn)，以為邊向右側(cè)作等邊，點(diǎn)的位置隨著點(diǎn)的位置變化而變化．
(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)在菱形內(nèi)部或邊上時(shí)，連接，與的數(shù)量關(guān)系是______，與的位置關(guān)系是______；
(2)當(dāng)點(diǎn)在菱形外部時(shí)，（1）中的結(jié)論是否還成立？若成立，請予以證明；若不成立，請說明理由（參照圖3的情況予以證明）
(3)如圖4，當(dāng)點(diǎn)在線段的延長線上時(shí)，連接，若，，求四邊形的面積．
10．在矩形中，，，將矩形繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到矩形，A，C，D的對應(yīng)點(diǎn)分別為，，．
(1)當(dāng)點(diǎn)落在線段上時(shí)，完成以下探究．
①如圖1，求的長．
②如圖2，延長交于點(diǎn)E，求證：．
(2)如圖3，以為斜邊在右側(cè)作等腰直角三角形，，交于點(diǎn)G，交于點(diǎn)H，若，求的長．
(3)如圖4，矩形的對角線與相交于點(diǎn)P，連接，，則面積的最小值為___．
11．在正方形中，E是邊上一點(diǎn)（點(diǎn)E不與點(diǎn)B，C重合），，垂足為點(diǎn)E，與正方形的外角的平分線交于點(diǎn)F．
(1)如圖1，若點(diǎn)E是的中點(diǎn)，猜想與的數(shù)量關(guān)系是______；證明此猜想時(shí)，可取的中點(diǎn)P，連接．根據(jù)此圖形易證．則判斷的依據(jù)是_________
(2)點(diǎn)E在邊上運(yùn)動(dòng)．
①如圖2，（1）中的猜想是否仍然成立?請說明理由．
②如圖3，連接，若正方形的邊長為1，直接寫出的周長c的取值范圍．
12．如圖，在中， ，，點(diǎn)D為直線右上方一點(diǎn)，且滿足，連接．
(1)如圖1，若，交于點(diǎn)O，求的長；
(2)如圖2，點(diǎn)E為線段上一點(diǎn)，連接、，且滿足，試證明；
(3)如圖3，在（2）的條件下，以，為邊構(gòu)造平行四邊形，當(dāng)時(shí)，直接寫出的面積．
13．如圖1，中，，，，點(diǎn)P、Q是邊，上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，以，為鄰邊作平行四邊形，，分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，設(shè)．
(1)當(dāng)平行四邊形的面積為時(shí)，求m的值；
(2)求證：；
(3)如圖2，連接，，，當(dāng)與的一邊平行時(shí)，求的面積．
14．如圖1，在矩形中，，，E是邊上的一點(diǎn)，連接，將矩形沿折疊，頂點(diǎn)D恰好落在邊上的點(diǎn)F處，延長交的延長線于點(diǎn)G．
(1)求線段的長：
(2)求證：四邊形為菱形；
(3)如圖2，M，N分別是線段上的動(dòng)點(diǎn)（與端點(diǎn)不重合），且，設(shè)，是否存在這樣的點(diǎn)N，使是直角三角形？若存在，請求出x的值；若不存在，請說明理由．
15．如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在正方形的邊，上，且，點(diǎn)P在射線上（點(diǎn)P不與點(diǎn)F重合）．將線段繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，過點(diǎn)E作的垂線，垂足為點(diǎn)H，交射線于點(diǎn)Q．
(1)如圖1，若點(diǎn)E是的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段上，請直接寫出線段，，滿足的數(shù)量關(guān)系______．
(2)如圖2，若點(diǎn)E不是的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段上，判斷（1）中的結(jié)論是否仍然成立，若成立，請寫出證明過程；若不成立，請說明理由．
(3)正方形的邊長為9，，，請直接寫出線段的長______．
16．（1）如圖①，在正方形中，點(diǎn)E、F分別為，邊上的點(diǎn)，且滿足，連接．將繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，易證，從而得到結(jié)論：，根據(jù)這個(gè)結(jié)論，若正方形的邊長為2，則的周長為______．
（2）如圖②，若在四邊形中，，，E、F分別是、上的點(diǎn)，且，試猜想，，之間有何數(shù)量關(guān)系，證明你的結(jié)論．
（3）如圖③，四邊形中，，，E、F分別是邊、延長線上的點(diǎn)，且，試探究線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，請直接寫出你的猜想（不必說明提由）．
17．在菱形中，，，點(diǎn)E是對角線上的一動(dòng)點(diǎn)，以為邊向右作等邊三角形，連結(jié)．
(1)如圖①，當(dāng)點(diǎn)F在菱形內(nèi)部時(shí)，求證：．
(2)如圖②，當(dāng)C、E、F三點(diǎn)在一條直線上時(shí)，___________．
(3)如圖③，當(dāng)時(shí)，連結(jié)，四邊形的面積=___________．
18．定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形．
(1)根據(jù)定義判矩形
已知：如圖1，在平行四邊形中，是它的兩條對角線，．求證：平行四邊形是矩形．
(2)動(dòng)手操作有發(fā)現(xiàn)
如圖2，在矩形中，是的中點(diǎn)，將沿折疊后得到，點(diǎn)在矩形內(nèi)部，延長交于點(diǎn)．猜想線段與有何數(shù)量關(guān)系?并證明你的結(jié)論．
(3)類比探究到一般
如圖3，將(2)中的矩形改為平行四邊形，其它條件不變，(2)中的結(jié)論是否仍然成立，請說明理由．
(4)解決問題巧應(yīng)用
如圖4，保持(2)中的條件不變，若點(diǎn)是的中點(diǎn)，且，請直接寫出矩形的面積．
參考答案：
1．(1)
(2)依然成立．
(3)或
2．（1）（3）
3．(1)①，；②，
(2)，
(3)
4．(1)
(3)或者
5．(3)
6．（2）；（3）
7．(1)
(2)且
(3)的運(yùn)動(dòng)路徑長為，的最小值為
8．(1)②10；
(2)．
9．(1)，
(2)成立，
(3)
10．(1)①；
(2)
(3)9
11．(1)，
(2)①成立；②
12．(1)
(3)
13．(1)m的值是1
(3)的面積為或
14．(1)
(3)存在，或
15．(1)
(2)成立
(3)4或8
16．（1）4；（2），（3）．
17．(2)2
(3)
18．(2)
(3)成立，
(4)

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