(1)如圖1，求證：；
(2)點M是邊的中點，連接．
①如圖2，若點A，P，M三點共線，則與的數(shù)量關系是___________．
②若點A，P，M三點不共線，問①中的結論還成立嗎？若成立，請給出證明，若不成立，說明理由．
2．在中，的平分線交邊于點D．
(1)如圖1，求證：為等腰三角形；
(2)如圖2，若的平分線交邊于點E，在上截取，連接，求證：；
(3)如圖3，若外角的平分線交延長線于點E，請你探究（2）中的結論是否仍然成立？若不成立，請寫出正確的結論，并說明理由．
3．以四邊形的邊，為邊分別向外側作等邊和等邊，連接，，交點為G．
(1)當四邊形為正方形時（如圖1），直接說出和有什么數(shù)量關系．
(2)當四邊形為矩形時（如圖2），和具有怎樣的數(shù)量關系？請加以證明；
(3)四邊形由正方形到矩形到一般平行四邊形的變化過程中，是否發(fā)生變化？如果改變，請說明理由；如果不變，請在圖3中求出的度數(shù)．
4．如圖，中，，，若點E為射線上一動點，連接AE，將線段AE繞著點A逆時針旋轉得到AF．
(1)如圖1，當點E在線段CB上運動時；
①若，則_______ (直接寫出答案)；
②過F點作交AC于點，求證：；
(2)當E點在射線CB上，（如圖2）連接BF與直線AC交于G點，若，求的值．
5．【問題情境】
(1)同學們我們曾經研究過這樣的問題：已知正方形，點在的延長線上，以為一邊構造正方形，連接和，如圖所示，則和的數(shù)量關系為______，位置關系為______．
【繼續(xù)探究】
(2)若正方形的邊長為，點是邊上的一個動點，以為一邊在的右側作正方形，連接、，如圖所示，
①請判斷線段與有怎樣的數(shù)量關系和位置關系，并說明理由；
②連接，若，求線段長．愛動腦筋的小麗同學是這樣做的：過點作，如圖，你能按照她的思路做下去嗎？請寫出你的求解過程．
【拓展提升】
(3)在（2）的條件下，點在邊上運動時，利用圖，則的最小值為______．
6．如圖1，△ABC是等邊三角形，點D在△ABC的內部，連接AD，將線段AD繞點A按逆時針方向旋轉60°，得到線段AE，連接BD，DE，CE．
(1)判斷線段BD與CE的數(shù)量關系并給出證明；
(2)延長ED交直線BC于點F．
①如圖2，當點F與點B重合時，直接用等式表示線段AE，BE和CE的數(shù)量關系為_______；
②如圖3，當點F為線段BC中點，且ED＝EC時，猜想∠BAD的度數(shù)，并說明理由．
7．問題情境：一次數(shù)學課上，老師出示了課本中的一道復習題：如圖，和都是等邊三角形，D、F分別是BC、AB上的點，且．連接CF、EF．
(1)試判斷AD與CF的數(shù)量關系，并說明理由；
(2)求證：四邊形CDEF是平行四邊形．
(3)如圖2，四邊形ABCD和四邊形DEGH都是正方形，F(xiàn)、H分別是AD、AB上的點，且，連接CF、EF，試判斷四邊形CDEF的形狀，并說明理由；
拓展延伸：
(4)如圖3，四邊形ABCD和四邊形DEGH都是菱形，，，F(xiàn)是AD上一點，連接CF、EF延長H交DC于M，若四邊形CDEF是平行四邊形，請直接寫出AM的長．
8．如圖1，在矩形中，，，點為邊上一動點，連接，作點關于直線的對稱點，連接，，，，與交于點．
(1)若DE=2，求證：AE//CF．
(2)如圖2，連接AC，BD，若點F在矩形ABCD的對角線上，求所有滿足條件的DE的長．
(3)如圖3，連接BF，當點F到矩形ABCD一個頂點的距離等于2時，請直接寫出△BCF的面積．
9．正方形ABCD的邊長為4，點E在邊AD所在的直線上，連接CE，以CE為邊，作正方形CEFG（點D，點F在直線CE的同側），連接BF．
(1)如圖1，當點E與點A重合時，______；
(2)如圖2，當點E在線段AD上時，．
①求點F到AD的距離； ②求BF的長；
(3)若，請直接寫出此時AE的長．
10．在學習完“圖形的旋轉”后，某數(shù)學興趣小組做了如下探究ABC和DEF是兩個全等的等腰直角三角形，∠BAC＝∠EDF＝90°，DEF的頂點E與ABC的斜邊BC的中點重合．將DEF繞點E作逆時針旋轉，該過程中，線段DE與線段AB相交于點P，線段EF與射線CM相交于點Q．
(1)問題提出：如圖①，當點Q在線段AC上，且AP＝AQ時，BPE和CQE是否全等．如果全等，寫出證明過程；若不贊同，請說明理由．
(2)問題解決：如圖②，當點Q在線段CA的延長線上時，BPE和CQE是否有存在與第（1）問相同的關系，如果相同寫出證明過程；如果不同，請說明它們的關系．當BP＝a，CQa時，求P，Q兩點間的距離（用含a的代數(shù)式表示）．
11．如圖，在等腰直角三角形ABC和ADE中，AC＝AB，AD＝AE，連接BD，點M、N分別是BD，BC的中點，連接MN．
(1)如圖1，當頂點D在邊AC上時，請直接寫出線段BE與線段MN的數(shù)量關系是 ，位置關系是 ．
(2)當繞點A旋轉時，連接BE，上述結論是否依然成立，若成立請就圖2情況給出證明：若不成立，請說明理由．
(3)當AC＝5時，在繞點A旋轉過程中，以D，E，M，N為頂點可以組成平行四邊形，請直接寫出AD的長．
12．△ABC為等邊三角形，AB＝4，AD⊥BC于點D，E為線段AD上一點，AE＝．以AE為邊在直線AD右側構造等邊△AEF．連結CE，N為CE的中點．
（1）如圖1，EF與AC交于點G，
①連結NG，求線段NG的長；
②連結ND，求∠DNG的大?。?br>（2）如圖2，將△AEF繞點A逆時針旋轉，旋轉角為α．M為線段EF的中點．連結DN、MN．當30°＜α＜120°時，猜想∠DNM的大小是否為定值，并證明你的結論．
13．已知，在中，，，點D為BC的中點．
（1）觀察猜想
如圖①，若點E、F分別是AB、AC的中點，則線段DE與DF的數(shù)量關系是______________；線段DE與DF的位置關系是______________．
（2）類比探究
如圖②，若點E、F分別是AB、AC上的點，且，上述結論是否仍然成立，若成立，請證明：若不成立，請說明理由；
（3）解決問題
如圖③，若點E、F分別為AB、CA延長線的點，且，請直接寫出的面積．
14．折疊變換是特殊的軸對稱變換，我們生活中常對矩形紙片進行折疊，這其中蘊含著豐富的數(shù)學知識和思想．
（1）如圖1，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，點E是DC的中點，將矩形ABCD沿BE折疊，點C落在點F的位置．
①求證：DFBE；
②求DF的長度．
（2）如圖2，在直角坐標系中，把矩形OABC沿對角線AC所在的直線折疊，點B落在點D處，AD與y軸交于點E，OA＝2，OC＝2，點G是直線AC上的一個動點，在坐標平面內存在點H，使得以點E，A，G，H為頂點的四邊形是菱形，請直接寫出點H坐標．
15．如圖，在中，，點D為邊所在直線上的一個動點（不與點B?C重合），在的右側作，使得，連接．
（1）求證：；
（2）當點D為線段的中點時，判斷與的位置關系，并說明理由；
（3）探究與的數(shù)量關系，直接寫出其結果_______．
16．自主探究：
在中，，，點D在射線上（與B、C兩點不重合），以為邊作正方形，使點E與點B在直線的異側，射線與直線相交于點G．
（1）當點D在線段上時，如圖（1），判斷：線段與線段的數(shù)量關系和位置關系，并說明理由；
（2）當點D在線段的延長線上時，如圖（2），寫出線段與線段的數(shù)量關系與位置關系，不必證明；
（3）在（2）的基礎上，隨著點D位置的變化，當G為中點，時，求出正方形的邊長．
17．如圖，正方形ABCD的頂點C處有一等腰直角三角形CEP，∠PEC＝90°，連接AP，BE．
（1）若點E在BC上時，如圖1，線段AP和BE之間的數(shù)量關系是 ；
（2）若將圖1中的△CEP順時針旋轉使P點落在CD上，如圖2，則（1）中的結論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由；
（3）在（2）的基礎上延長AP，BE交于F點，若DP＝PC＝2，求BF的長．
18．綜合與實踐：
如圖1，已知為等邊三角形，點D，E分別在邊AB、AC上，，連接DC，P、Q、M分別為DE、BC、DC的中點．
（1）觀察猜想
在圖1中，線段PM與QM的數(shù)量關系是________，的度數(shù)是________；
（2）探究證明
若把繞點A逆時針方向旋轉到圖2的位置，再連接BE，取BE的中點N，連接PN、QN．
①判斷四邊形PMQN的形狀，并說明理由；
②求的度數(shù)；
（3）拓展延伸
當，，，把繞點A在平面內自由旋轉，如圖3．
①四邊形PMQN為_________；
②請直接寫出四邊形PMQN面積的最大值．
參考答案：
1．(2)①；②成立，
2．(3)探究（2）中的結論不成立，正確結論：，
3．(1)EB＝FD
(2)EB＝FD，
(3)∠EGD不發(fā)生變化，仍然是60°．
4．(1)①60°
(2)或
5．(1)，
(2)①結論：，，②
(3)
6．(1)，
(2)①；②，
7．(1)，
(3)四邊形CDEF為平行四邊形，
(4)
8．(2)或
(3)或或
9．(1)
(2)①3；②
(3)AE的長為1或
11．(1)；
(2)成立；
(3)或
12．（1）①；②；（2）的大小是定值
13．（1），；（2）成立，（3）
14．（1）②；（2）在坐標平面內存在點或或或使得以點E，A，G，H為頂點的四邊形是菱形．
15．（2）DE⊥AC，（3）∠DAE+∠DCE=180°或∠DAE=∠DCE
16．（1），；（2），；（3）
17．（1）AP=BE；（2）成立；（3）
18．（1），；（2）①四邊形PMQN為菱形，；②；（3）①正方形；②

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