2023年中考數(shù)學(xué)二輪專(zhuān)題訓(xùn)練:幾何探究壓軸題1．已知是的中線(xiàn)，點(diǎn)是線(xiàn)段上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的平行線(xiàn)，過(guò)點(diǎn)作的平行線(xiàn)，兩平行線(xiàn)交于點(diǎn)，連結(jié)．             【方法感知】如圖①，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，易證：．（不需證明）【探究應(yīng)用】如圖②，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)不重合時(shí)，求證：四邊形是平行四邊形．【拓展延伸】如圖③，記與的交點(diǎn)為，的延長(zhǎng)線(xiàn)與的交點(diǎn)為，且為的中點(diǎn)．（1）______（2）若，時(shí)，則的長(zhǎng)為______．    2．已知：如圖，正方形與正方形．(1)如圖①，求證：；(2)如圖②，求的值；(3)如圖③，分別取的中點(diǎn)，試探究：與的關(guān)系，并說(shuō)明理由．   3．在中，，點(diǎn)是射線(xiàn)上的一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)、重合），以為一邊在的右側(cè)作，使，，連接．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)在線(xiàn)段上，且時(shí)，那么________度；(2)設(shè)，．①如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在線(xiàn)段上，時(shí)，請(qǐng)你探究與之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；②如圖3，當(dāng)點(diǎn)D在線(xiàn)段的延長(zhǎng)線(xiàn)上，時(shí)，請(qǐng)將圖3補(bǔ)充完整；寫(xiě)出此時(shí)與之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．   4．已知，為等邊三角形，點(diǎn)在邊上．【基本圖形】如圖1，以為一邊作等邊三角形，連結(jié)．可得（不需證明）．【遷移運(yùn)用】如圖2，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，以為一邊作等邊三角．求證：．【類(lèi)比探究】如圖3，點(diǎn)是邊的延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，以為一邊作等邊三角．試探究線(xiàn)段，，三條線(xiàn)段之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)寫(xiě)出你的結(jié)論并說(shuō)明理由．    5．綜合與實(shí)踐二輪復(fù)習(xí)中，劉老師以“最值問(wèn)題”為專(zhuān)題引導(dǎo)同學(xué)們進(jìn)行復(fù)習(xí)探究．問(wèn)題模型：等腰三角形，，，(1)探究：如圖，點(diǎn)為等腰三角形底邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，則的最小值為______，判斷依據(jù)為______；(2)探究：在探究的結(jié)論下，繼續(xù)探究，作的平分線(xiàn)交于點(diǎn)，點(diǎn)，分別為，上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求的最小值；(3)探究：在探究的結(jié)論下，繼續(xù)探究，點(diǎn)為線(xiàn)段上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，將順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到線(xiàn)段，連接，求線(xiàn)段的最小值．  6．問(wèn)題提出（1）如圖1，在中，，，將其折疊，使點(diǎn)B落在邊上的處，折痕經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，交于點(diǎn)D，則的度數(shù)為___________；問(wèn)題探究（2）如圖2，正方形的一條對(duì)稱(chēng)軸l交于點(diǎn)H，點(diǎn)E在l上，連接．若正方形的邊長(zhǎng)為2，，求線(xiàn)段的長(zhǎng)．問(wèn)題解決（3）如圖3，有一塊三角形空地經(jīng)測(cè)量，米，．現(xiàn)要過(guò)點(diǎn)C邊修建一條小路，滿(mǎn)足，點(diǎn)A關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為D，連接交于點(diǎn)E．若米，請(qǐng)利用所學(xué)知識(shí)，求的長(zhǎng)． 7．已知是等腰直角三角形，，(1)如圖1，是等腰直角三角形，點(diǎn)D在的延長(zhǎng)線(xiàn)上，，連接，求證：；(2)如圖2，點(diǎn)F是斜邊上動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)G是延長(zhǎng)線(xiàn)上動(dòng)點(diǎn)，總有，探究的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；(3)如圖3，點(diǎn)H是一點(diǎn)，連接FH，若，，，直接寫(xiě)出的面積為____________（用m，n表示）．   8．課本再現(xiàn)如圖1，在等邊中，為邊上一點(diǎn)，為上一點(diǎn)，且，連接與相交于點(diǎn)．(1)與的數(shù)量關(guān)系是______，與構(gòu)成的銳角夾角的度數(shù)是______．深入探究(2)將圖1中的延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，連接，，如圖2所示．求證：平分．（第一問(wèn)的結(jié)論，本問(wèn)可直接使用）遷移應(yīng)用(3)如圖3，在等腰中，，，分別是邊，上的點(diǎn)，與相交于點(diǎn)．若，且，求的值．  9．四邊形中，，M為上一點(diǎn)，連、． (1)平分，，①如圖1，求證：；②如圖2，若平分，交于F，交于N，， ；(2)在（1）的條件下求的值；(3)如圖3，當(dāng),時(shí)，試探究與的數(shù)量關(guān)系，證明你的結(jié)論．   10．綜合與實(shí)踐問(wèn)題情境：數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師出示了一個(gè)問(wèn)題：如圖①，在中，，垂足為E，F為的中點(diǎn)，連接，，試猜想與的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．(1)獨(dú)立思考：請(qǐng)解答老師提出的問(wèn)題；(2)實(shí)踐探究：希望小組受此問(wèn)題的啟發(fā)，將沿著（F為的中點(diǎn)）所在直線(xiàn)折疊，如圖②，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)G，請(qǐng)判斷與的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．(3)問(wèn)題解決：智慧小組突發(fā)奇想，將沿過(guò)點(diǎn)B的直線(xiàn)折疊，如圖③，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，使于點(diǎn)H，折痕交于點(diǎn)M，連接，交于點(diǎn)N．該小組提出一個(gè)問(wèn)題：若此的面積為20，邊長(zhǎng)，，求圖中陰影部分（四邊形）的面積．請(qǐng)你思考此問(wèn)題，直接寫(xiě)出結(jié)果．    11．問(wèn)題提出：已知矩形，點(diǎn)為上的一點(diǎn)，，交于點(diǎn)．將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，則與有怎樣的數(shù)量關(guān)系．【問(wèn)題探究】探究一：如圖，已知正方形，點(diǎn)為上的一點(diǎn)，，交于點(diǎn)．（1）如圖1，直接寫(xiě)出的值 ；（2）將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到如圖所示的位置，連接、，猜想與的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；探究二：如圖，已知矩形，點(diǎn)為上的一點(diǎn)，，交于點(diǎn)．如圖3，若四邊形為矩形，，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到、的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為、點(diǎn)，連接、，則的值是否隨著的變化而變化．若變化，請(qǐng)說(shuō)明變化情況；若不變，請(qǐng)求出的值．【一般規(guī)律】如圖3，若四邊形為矩形，，其它條件都不變，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，，請(qǐng)直接寫(xiě)出與的數(shù)量關(guān)系．    12．定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形．(1)根據(jù)定義判矩形已知：如圖1，在平行四邊形中，是它的兩條對(duì)角線(xiàn)，．求證：平行四邊形是矩形．(2)動(dòng)手操作有發(fā)現(xiàn)如圖2，在矩形中，是的中點(diǎn)，將沿折疊后得到，點(diǎn)在矩形內(nèi)部，延長(zhǎng)交于點(diǎn)．猜想線(xiàn)段與有何數(shù)量關(guān)系?并證明你的結(jié)論．(3)類(lèi)比探究到一般如圖3，將(2)中的矩形改為平行四邊形，其它條件不變，(2)中的結(jié)論是否仍然成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．(4)解決問(wèn)題巧應(yīng)用如圖4，保持(2)中的條件不變，若點(diǎn)是的中點(diǎn)，且，請(qǐng)直接寫(xiě)出矩形的面積．  13．在中，，，點(diǎn)P是平面內(nèi)不與點(diǎn)A，C重合的任意一點(diǎn)，連接，將線(xiàn)段繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α得到線(xiàn)段，連接，，.(1)觀察猜想如圖①，當(dāng)時(shí)，的值是_______，直線(xiàn)與直線(xiàn)相交所成的較小角的度數(shù)是________．(2)類(lèi)比探究如圖②，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)寫(xiě)出的值及直線(xiàn)與直線(xiàn)相交所成的較小角的度數(shù)，并就圖②的情形說(shuō)明理由．   14．（1）（問(wèn)題背景）如圖1，在等邊中，點(diǎn)M是邊上一點(diǎn)，連接，以為邊作等邊（A，M，N按逆時(shí)針?lè)较蚺帕校?，連接，求證：（2）（變式探究）如圖2，已知，指出圖中的另外一對(duì)相似三角形并進(jìn)行證明；（3）（拓展應(yīng)用）如圖3，在和中，，，點(diǎn)D在邊上，求的值．        15．（1）【操作發(fā)現(xiàn)】如圖1，四邊形都是矩形，，，小明將矩形繞點(diǎn)C順時(shí)針轉(zhuǎn)，如圖2所示．①若的值不變，請(qǐng)求出的值，若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由．②在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)點(diǎn)B、E、F在同一條直線(xiàn)上時(shí)，畫(huà)出圖形并求出的長(zhǎng)度．（2）【類(lèi)比探究】如圖3，中， ， ，G為中點(diǎn)，D為平面內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，將線(xiàn)段繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，則四邊形面積的最大值為 ．（直接寫(xiě)出結(jié)果）  16．如圖1，在矩形中，，動(dòng)點(diǎn)P從B出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度，沿射線(xiàn)方向移動(dòng)，作關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為．(1)若．①如圖2，當(dāng)點(diǎn)落在上時(shí)，求證：，②是否存在異于圖2的時(shí)刻，使得是直角三角形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有符合題意的t的值？若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．(2)當(dāng)P點(diǎn)不與C點(diǎn)重合時(shí)，若直線(xiàn)與直線(xiàn)相交于點(diǎn)M，且當(dāng)時(shí)存在某一時(shí)刻有結(jié)論成立，試探究：對(duì)于的任意時(shí)刻，結(jié)論“”是否總是成立？請(qǐng)說(shuō)明理由．  17．在正方形中，是邊上一點(diǎn)（點(diǎn)不與點(diǎn)、重合），連結(jié)．感知：如圖①，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)．求證．探究：如圖②，取的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．（1）求證：．（2）連結(jié)，若，求的長(zhǎng)．應(yīng)用如圖③，取的中點(diǎn)，連結(jié)．過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，連結(jié)、．若，求四邊形的面積．   18．點(diǎn)在四邊形的對(duì)角線(xiàn)上，直角三角板繞直角頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，其邊、分別交、邊于點(diǎn)、．操作發(fā)現(xiàn)：如圖①，若四邊形是正方形，當(dāng)時(shí)，可知四邊形是正方形，顯然．當(dāng)與不垂直時(shí)，判斷確定、之間的數(shù)量關(guān)系；______．（直接寫(xiě)出結(jié)論即可）類(lèi)比探究：如圖②，若四邊形是矩形，試說(shuō)明．拓展應(yīng)用：如圖③，改變四邊形、的形狀，其他條件不變，且滿(mǎn)足，，，時(shí)，求的值．
參考答案：1．【拓展延伸】（1）；（2）2．(2)(3)， 3．(1)90(2)①，證明見(jiàn)解析；②，5．(1)；點(diǎn)到直線(xiàn)的距離垂線(xiàn)段最短(2)(3) 6．（1）；（2）；（3）米7．(2)(3) 8．(1)；60°(3)3 9．(1) (2)(3) 10．(1)，(2)，(3) 11．[問(wèn)題探究]探究一：(1)；(2)，探究二：．[一般規(guī)律]12．(2)，(3)成立，(4) 13．(1)1，；(2)，， 14．（2）（3）；15．（1）①不變，；②或；（2）2416．(1)②存在，的值為2或6或(2)對(duì)于的任意時(shí)刻，結(jié)論“”總是成立， 17．（（2）2  應(yīng)用：918．操作發(fā)現(xiàn)：；類(lèi)比探究：拓展應(yīng)用：    

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