(1)①當(dāng)時(shí)， ．
②當(dāng)時(shí)， （用含a的代數(shù)式表示）；
(2)如圖2，當(dāng)時(shí)，解決以下問(wèn)題：
①已知，求的值；
②證明：．
2．如圖，在中，，．點(diǎn)D是直線上一動(dòng)點(diǎn)．過(guò)點(diǎn)D作，滿足點(diǎn)E在上方，，以、為鄰邊作．
(1)求的長(zhǎng)以及點(diǎn)C到的距離；
(2)設(shè)線段與邊交于點(diǎn)M，線段與邊交于點(diǎn)N．當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)；
(3)連接，沿直線分割，當(dāng)分割的兩部分可以拼成一個(gè)不重疊無(wú)縫隙的三角形時(shí)，求的長(zhǎng)．
3．已知，為等邊三角形，點(diǎn)在邊上．
【基本圖形】如圖1，以為一邊作等邊三角形，連結(jié)．可得（不需證明）．
【遷移運(yùn)用】如圖2，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，以為一邊作等邊三角．求證：．
【類比探究】如圖3，點(diǎn)是邊的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，以為一邊作等邊三角．試探究線段，，三條線段之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)寫(xiě)出你的結(jié)論并說(shuō)明理由．
4．（1）如圖1，將直角的頂點(diǎn)E放在正方形的對(duì)角線上，使角的一邊交于點(diǎn)F，另一邊交或其延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，求證：；
（2）如圖2，將（1）中的“正方形”改成“矩形”，其他條件不變．若，，試求的值；
（3）如圖3，將直角頂點(diǎn)E放在矩形的對(duì)角線交點(diǎn)，、分別交與于點(diǎn)、，且平分．若，，求、的長(zhǎng)．
5．九年級(jí)一班同學(xué)在數(shù)學(xué)老師的指導(dǎo)下，以“等腰三角形的旋轉(zhuǎn)”為主題，開(kāi)展數(shù)學(xué)探究活動(dòng)．
(1)操作探究：如圖1，為等腰三角形，，將繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，得到，連接，F(xiàn)是AE的中點(diǎn)，連接，則 °，與的數(shù)量關(guān)系是 ；
(2)遷移探究：如圖2，（1）中的其他條件不變，當(dāng)繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)D正好落在的角平分線上，得到，求出此時(shí)的度數(shù)及與的數(shù)量關(guān)系；
(3)拓展應(yīng)用：如圖3，在等腰三角形中，，．將繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，得到，連接，F(xiàn)是的中點(diǎn)，連接．當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出的長(zhǎng)．
6．已知點(diǎn)C為和的公共頂點(diǎn)，將繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，連接，，請(qǐng)完成如下問(wèn)題：
(1)如圖1，若和均為等邊三角形，①線段與線段的數(shù)量關(guān)系是________；②直線與直線相交所夾銳角的度數(shù)是________；
類比探究：
(2)如圖2，若，，其他條件不變，則（1）中的結(jié)論是否都成立？請(qǐng)說(shuō)明理由；
(3)拓展應(yīng)用：如圖3，若，，，，當(dāng)點(diǎn)B，D，E三點(diǎn)共線時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出的長(zhǎng)．
7．在菱形中，，點(diǎn)是射線上一動(dòng)點(diǎn)，以為邊向右側(cè)作等邊，點(diǎn)的位置隨著點(diǎn)的位置變化而變化．
(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)在菱形內(nèi)部或邊上時(shí)，連接，與的數(shù)量關(guān)系是______，與的位置關(guān)系是______；
(2)當(dāng)點(diǎn)在菱形外部時(shí)，（1）中的結(jié)論是否還成立？若成立，請(qǐng)予以證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由（參照?qǐng)D3的情況予以證明）
(3)如圖4，當(dāng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，連接，若，，求四邊形的面積．
8．在中，，，將線段繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α角得到線段，連接，過(guò)點(diǎn)C作于點(diǎn)E，連接交，CE于點(diǎn)F，G．
(1)當(dāng)時(shí)，如圖1，依題意補(bǔ)全圖形，直接寫(xiě)出的大??；
(2)當(dāng)時(shí)，如圖2，試判斷線段與之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
(3)若F為的中點(diǎn)，直接寫(xiě)出的長(zhǎng)．
9．如圖1，在中，，點(diǎn)D，E分別在邊上，，連接，過(guò)點(diǎn)C作，垂足為H，直線交直線于F．
(1)求證：；
(2)將圖1中的繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，其他條件不變，如圖2，（1）的結(jié)論是否成立？如果成立，請(qǐng)證明：如果不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；
(3)若，將繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周，當(dāng)A，E，D三點(diǎn)共線時(shí)，直接寫(xiě)出的長(zhǎng)．
10．問(wèn)題情境：
如圖1，點(diǎn)為正方形內(nèi)一點(diǎn)，，將繞點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，得到 （點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)）．延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，
猜想證明：
(1)試判斷四邊形的形狀，并說(shuō)明理由；
(2)如圖2，若、請(qǐng)猜想線段與的數(shù)最關(guān)系并加以證明，解決問(wèn)題；
(3)如圖1，若的面積為72，，請(qǐng)直接寫(xiě)出的長(zhǎng)．
11．如圖1，我們把對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形．
(1)判斷：在平行四邊形、矩形、菱形、正方形中，一定是垂美四邊形的有 ；
(2)如圖2，垂美四邊形兩組對(duì)邊、與、之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫(xiě)出你的猜想，并給出證明；
(3)如圖3，分別以的直角邊和斜邊為邊向外作正方形和正方形，連接、、，與交于點(diǎn)O，已知，，求的中線的長(zhǎng)．
12．（1）如圖1，在正方形中，E是上一點(diǎn)，F(xiàn)是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且．求證：；
（2）如圖2，在正方形中，E是上一點(diǎn)，G是上一點(diǎn)，如果，請(qǐng)你利用（1）的結(jié)論證明：．
（3）運(yùn)用（1）（2）解答中所積累的經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)，完成下題：如圖3，在四邊形中，（），，，E是上一點(diǎn)，且，，，求四邊形的面積．
13．【證明體驗(yàn)】(1)如圖(1)，在中，，平分交于，點(diǎn)在上，，連接，求證：．
【思考探究】(2)如圖(2)，在(1)的條件下，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，若，，求的長(zhǎng)．
【拓展延伸】(3)如圖(3)，在四邊形中，，且，若，，則 ．
14．新定義：垂直于圖形的一邊且等分這個(gè)圖形面積的直線叫作圖形的等積垂分線，等積垂分線被該圖形截的線段叫做等積垂分線段．
問(wèn)題探究：
(1)如圖1，等邊邊長(zhǎng)為3，垂直于邊的等積垂分線段長(zhǎng)度為_(kāi)_____；
(2)如圖2，在中，，，，求垂直于邊的等積垂分線段長(zhǎng)度；
(3)如圖3，在四邊形中，，，，求出它的等積垂分線段長(zhǎng)．
15．已知是的中線，點(diǎn)是線段上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的平行線，過(guò)點(diǎn)作的平行線，兩平行線交于點(diǎn)，連結(jié)．

【方法感知】如圖①，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，易證：．（不需證明）
【探究應(yīng)用】如圖②，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)不重合時(shí)，求證：四邊形是平行四邊形．
【拓展延伸】如圖③，記與的交點(diǎn)為，的延長(zhǎng)線與的交點(diǎn)為，且為的中點(diǎn)．
（1）______
（2）若，時(shí)，則的長(zhǎng)為_(kāi)_____．
16．如圖1，在矩形中，，，E是邊上的一點(diǎn)，連接，將矩形沿折疊，頂點(diǎn)D恰好落在邊上的點(diǎn)F處，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G．
(1)求線段的長(zhǎng)：
(2)求證：四邊形為菱形；
(3)如圖2，M，N分別是線段上的動(dòng)點(diǎn)（與端點(diǎn)不重合），且，設(shè)，是否存在這樣的點(diǎn)N，使是直角三角形？若存在，請(qǐng)求出x的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
17．如圖，和均為等腰直角三角形，，，．現(xiàn)將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)．
(1)如圖1，證明：；
(2)如圖2，若A，，三點(diǎn)共線，，求點(diǎn)到直線的距離；
(3)如圖3，連接，，，求證：．
18．在中，，D為射線上一點(diǎn)，，E為射線上一點(diǎn)，且，連接．
(1)如圖1，若，，求的長(zhǎng)；
(2)如圖2，若，連接并延長(zhǎng)，交于點(diǎn)F，求證：；
(3)如圖3，若，垂足為點(diǎn)E，猜想、、的數(shù)量關(guān)系，并證明．
參考答案：
1．(1)①；②a
(2)①4；
2．(1)；點(diǎn)C到的距離為
(2)
(3)的長(zhǎng)為
4．（2）；（3），
5．(1)90，
(2)；
(3)或2
6．(1)，
(2)①不成立，；②成立，
(3)或
7．(1)，
(2)成立，
(3)
8．(1)，
(2)，
(3)
9．(2)仍然成立
(3)
10．(1)四邊形是正方形，
(2)，
(3)．
11．(1)菱形和正方形
(2)，
(3)
12．（3）108
13．（2）（3）
14．(1)
(2)邊的等級(jí)垂分線段的長(zhǎng)度為
(3)四邊形的一條等積垂分線段的長(zhǎng)為
15．【探究應(yīng)用】見(jiàn)解析；【拓展延伸】（1）；（2）
16．(1)
(3)存在，或
17．(2)點(diǎn)到直線的距離為2
18．(1)1
(3)，

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