?專(zhuān)題09 動(dòng)態(tài)幾何 2022屆中考數(shù)學(xué)壓軸大題專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練（解析版）
1．在四邊形ABCD中，AD∥BC，且AD＞BC，BC＝6cm，P、Q分別從A、C同時(shí)出發(fā)，P以1cm/s的速度由A向D運(yùn)動(dòng)，Q以2cm/s的速度由C出發(fā)向B運(yùn)動(dòng)，幾秒后四邊形ABQP是平行四邊形？

【解析】解：設(shè)t秒后，四邊形APQB為平行四邊形，
則AP＝t，QC＝2t，BQ＝6﹣2t，
∵AD∥BC所以AP∥BQ，
根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，
知：AP＝BQ即可，
即：t＝6﹣2t，
∴t＝2，
當(dāng)t＝2時(shí)，AP＝BQ＝2＜BC＜AD，符合，
綜上所述，2秒后四邊形ABQP是平行四邊形．

2．如圖，點(diǎn)是矩形中邊上一點(diǎn)，沿折疊為，點(diǎn)落在上．

（1）求證：；
（2）若，求的值；
（3）設(shè)，是否存在的值，使與相似？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【解析】（1）證明：∵四邊形是矩形，
∴，
∵沿折疊為，
∴，
∴，
又∵，
∴．
∴；
（2）解：在中，，
∴設(shè)，，，
∵沿折疊為，
∴，，，，
又∵，
∴，
∴，
；
（3）存在，時(shí)，與相似
理由：當(dāng)時(shí)，．
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴；

②當(dāng)時(shí)，，∵，∴，這與相矛盾，
∴不成立．
綜上所述，時(shí)，與相似．
3．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，頂點(diǎn)為的拋物線：()經(jīng)過(guò)點(diǎn)和軸上的點(diǎn)，，．
（1）求該拋物線的表達(dá)式；
（2）聯(lián)結(jié)，求；
（3）將拋物線向上平移得到拋物線，拋物線與軸分別交于點(diǎn)(點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè))，如果與相似，求所有符合條件的拋物線的表達(dá)式．

【解析】解：（1）過(guò)作軸，垂足為，
∵，∴
∵
∴，．
∵，
∴．
在中，，
∴．
∴
∵拋物線：經(jīng)過(guò)點(diǎn)，
∴可得：，
解得：
∴這條拋物線的表達(dá)式為；

（2）過(guò)作軸，垂足為，
∵=
∴頂點(diǎn)是，得
設(shè)直線AM為y=kx+b，
把，代入得，解得
∴直線為
令y=0，解得x=
∴直線與軸的交點(diǎn)為
∴
（3）∵、，
∴在中，，
∴．
∴．由拋物線的軸對(duì)稱(chēng)性得：，
∴．
∵，
∴
∴．
∴當(dāng)與相似時(shí)，有：或
即或，
∴或．
∴或
設(shè)向上平移后的拋物線為：，
當(dāng)時(shí)，，
∴拋物線為：
當(dāng)時(shí)，，
∴拋物線為：．
綜上：拋物線為：或．
4．定義：既相等又垂直的兩條線段稱(chēng)為“等垂線段”，如圖1，在中，，，點(diǎn)、分別在邊、上，，連接、，點(diǎn)、、分別為、、的中點(diǎn)，且連接、．
觀察猜想
（1）線段與 “等垂線段”（填“是”或“不是”）
猜想論證
（2）繞點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到圖2所示的位置，連接，，試判斷與是否為“等垂線段”，并說(shuō)明理由．
拓展延伸
（3）把繞點(diǎn)在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若，，請(qǐng)直接寫(xiě)出與的積的最大值．

【解析】（1）是；
∵，
∴DB=EC，∠ADE=∠AED=∠B=∠ACB
∴DE∥BC
∴∠EDC=∠DCB
∵點(diǎn)、、分別為、、的中點(diǎn)
∴PM∥EC，PN∥BD，
∴，∠DPM=∠DCE，∠PNC=∠DBC
∵∠DPN=∠PNC+∠DCB
∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠ACD+∠DCB+∠B=180°-90°=90°
∴線段與是“等垂線段”；
（2）由旋轉(zhuǎn)知
∵，
∴≌（）
∴，
利用三角形的中位線得，，
∴
由中位線定理可得，
∴，
∵
∴


∵
∴
∴
∴與為“等垂線段”；
（3）與的積的最大值為49；
由（1）（2）知，
∴最大時(shí)，與的積最大
∴點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，如圖所示：

∴
∴
∴.
5． 數(shù)軸上點(diǎn)A表示的有理數(shù)為20，點(diǎn)B表示的有理數(shù)為-10，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)以每秒5個(gè)單位長(zhǎng)度的速度在數(shù)軸上往左運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)B后立即返回，返回過(guò)程中的速度是每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度，運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)A停止，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（單位：秒）．
（1）當(dāng)t=5時(shí)，點(diǎn)P表示的有理數(shù)為 ．
（2）在點(diǎn)P往左運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，點(diǎn)P表示的有理數(shù)為 （用含t的代數(shù)式表示）．
（3）當(dāng)點(diǎn)P與原點(diǎn)距離5個(gè)單位長(zhǎng)度時(shí)，t的值為 ．
【解析】（1）由題意得：，
點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B所需時(shí)間為（秒），
點(diǎn)P從點(diǎn)B返回，運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A所需時(shí)間為（秒），
則當(dāng)時(shí)，，
因此，點(diǎn)P表示的有理數(shù)為，
故答案為：；
（2）在點(diǎn)P往左運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，，
則點(diǎn)P表示的有理數(shù)為，
故答案為：；
（3）由題意，分以下兩種情況：
①當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B，即時(shí)，
由（2）可知，點(diǎn)P表示的有理數(shù)為，
則，
即或，
解得或，均符合題設(shè)；
②當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)B返回，運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A，即時(shí)，
，
點(diǎn)P表示的有理數(shù)為，
則，
即或，
解得或，均符合題設(shè)；
綜上，當(dāng)點(diǎn)P與原點(diǎn)距離5個(gè)單位長(zhǎng)度時(shí)，的值為或5或或時(shí)，
故答案為：或5或或．
6．如圖，△ABC中，∠ACB=90°，AB=10cm，BC=8cm，若點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒2cm的速度沿折線A-B-C-A運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（t＞0）秒．

（1）AC=　 　cm；
（2）若點(diǎn)P恰好在∠ABC的角平分線上，求此時(shí)t的值；
（3）在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)t為何值時(shí)，△ACP為等腰三角形．
【解析】（1）由題意根據(jù)勾股定理可得：（cm），
故答案為6；
（2）如圖，點(diǎn)P恰好在∠ABC的角平分線上，過(guò)P作PD⊥AB于點(diǎn)D，

則可設(shè)PC=xcm，此時(shí)BP=（8-x）cm，DP=PC=xcm，AD=AC=6cm,BD=10-6=4cm，
∴在RT△BDP中，，即 ，解之可得：x=3，
∴BP=8-3=5cm，∴P運(yùn)動(dòng)的路程為：AB+BP=10+5=15cm，
∴t=s；
（3）可以對(duì)△ACP的腰作出討論得到三種情況如下：
①如圖，AP=AC=6cm，此時(shí)t=s；

②如圖，PA=PC，此時(shí)過(guò)P作PD⊥AC于點(diǎn)D，則AD=3，PD=4，∴AP=5，

此時(shí)t=s；
③如圖，PC=AC=6cm，則BP=8-6=2cm，

則P運(yùn)動(dòng)的路程為AB+BP=10+2=12cm，此時(shí)t=s，
綜上所述，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)t為2.5s或3s或6s時(shí)，△ACP為等腰三角形．
7．已知，在平面直角坐標(biāo)系中，AB⊥x軸于點(diǎn)B，A(a，b)滿(mǎn)足＝0，平移線段AB使點(diǎn)A與原點(diǎn)重合，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)C．OA∥CB．
（1）填空：a＝_______，b＝_______，點(diǎn)C的坐標(biāo)為_(kāi)______；
（2）如圖1，點(diǎn)P(x，y)在線段BC上，求x，y滿(mǎn)足的關(guān)系式；
（3）如圖2，點(diǎn)E是OB一動(dòng)點(diǎn)，以O(shè)B為邊作∠BOG＝∠AOB交BC于點(diǎn)G，連CE交OG于點(diǎn)F，當(dāng)點(diǎn)E在OB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，的值是否發(fā)生變化？若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不變，請(qǐng)求出其值．

【解析】解：（1）∵ ，
∴
∴

由平移得：且C在y軸負(fù)半軸上，

故答案為：；
（2）如圖，過(guò)點(diǎn)分別作⊥x軸于點(diǎn)M，⊥y軸于點(diǎn)N，連接．
∵AB⊥x軸于點(diǎn)B，且點(diǎn)A，，C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為：
∴OB=，OC=，
∴
，
而

∴滿(mǎn)足的關(guān)系式為：

（3） 的值不變，值為2．
理由如下：∵線段OC是由線段AB平移得到，
∴ ，
∴∠AOB=∠OBC，
又∵∠BOG=∠AOB，
∴∠BOG=∠OBC，
根據(jù)三角形外角性質(zhì)，可得∠OGC=2∠OBC，∠OFC=∠FCG+∠OGC，

∴∠OFC+∠FCG=2∠FCG+2∠OBC =2（∠FCG+∠OBC） =2∠OEC，
∴ ；
所以：的值不變，值為2．

8．綜合實(shí)踐
初步探究：
如圖，已知∠AOB=60°，在∠AOB的平分線OM上有一點(diǎn)C，將一個(gè)120°角的頂點(diǎn)與點(diǎn)C重合，它的兩條邊分別與直線OA、OB相交于點(diǎn)D、E．

(1)當(dāng)∠DCE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到CD與OA垂直時(shí)（如圖1），請(qǐng)猜想OE+OD與OC的數(shù)量關(guān)系為 ；
解決問(wèn)題：
(2)當(dāng)∠DCE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到CD與OA不垂直時(shí)，到達(dá)圖2的位置，（1）中的結(jié)論是否成立？并說(shuō)明理由；
(3)當(dāng)∠DCE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到CD與OA的反向延長(zhǎng)線相交時(shí)，上述結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)給于證明；若不成立，線段OD、OE與OC之間的數(shù)量關(guān)系為 ；
拓展應(yīng)用：
(4)當(dāng)∠DCE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到CD與OA垂直時(shí)，請(qǐng)猜想四邊形CDOE的周長(zhǎng)與OC的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；
【解析】：（1）∵OM是∠AOB的角平分線，
∴∠AOC=∠BOC=∠AOB=30°，
∵CD⊥OA，
∴∠ODC=90°，
∴∠OCD=60°，
∴∠OCE=∠DCE-∠OCD=60°，
在Rt△OCD中，OD=OC?cos30°=OC，
同理：OE=OC，
∴OD+OE=OC；
（2）（1）中結(jié)論仍然成立，理由：
過(guò)點(diǎn)C作CF⊥OA于F，CG⊥OB于G，
∴∠OFC=∠OGC=90°，
∵∠AOB=60°，
∴∠FCG=120°，
同（1）的方法得，OF=OC，OG=OC，
∴OF+OG=OC，
∵CF⊥OA，CG⊥OB，且點(diǎn)C是∠AOB的平分線OM上一點(diǎn)，
∴CF=CG，
∵∠DCE=120°，∠FCG=120°，
∴∠DCF=∠ECG，
∴△CFD≌△CGE，
∴DF=EG，
∴OF=OD+DF=OD+EG，OG=OE-EG，
∴OF+OG=OD+EG+OE-EG=OD+OE，
∴OD+OE=OC；

（3）（1）中結(jié)論不成立，結(jié)論為：OE-OD=OC，
理由：過(guò)點(diǎn)C作CF⊥OA于F，CG⊥OB于G，
∴∠OFC=∠OGC=90°，
∵∠AOB=60°，
∴∠FCG=120°，
同（1）的方法得，OF=OC，OG=OC，
∴OF+OG=OC，
∵CF⊥OA，CG⊥OB，且點(diǎn)C是∠AOB的平分線OM上一點(diǎn)，
∴CF=CG，∵∠DCE=120°，∠FCG=120°，
∴∠DCF=∠ECG，
∴△CFD≌△CGE，
∴DF=EG，
∴OF=DF-OD=EG-OD，OG=OE-EG，
∴OF+OG=EG-OD+OE-EG=OE-OD，
∴OE-OD=OC．
（4）由（1）可得OD+OE=OC，CD+CE=OC
∴OD+OE+CD+CE=(+1)OC，
故四邊形CDOE的周長(zhǎng)為(+1)OC．
9．是等邊三角形，點(diǎn)在上，點(diǎn)，分別在射線，上，且．

（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)是的中點(diǎn)時(shí)，則________；
（2）如圖2，點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)，重合）．
①判斷的大小是否發(fā)生改變，并說(shuō)明理由；
②點(diǎn)關(guān)于射線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)，連接，，．依題意補(bǔ)全圖形，判斷四邊形的形狀，并證明你的結(jié)論．
【解析】（1）∵點(diǎn)D是等邊△ABC的邊BC的中點(diǎn)，
∴∠DAB＝∠DAC＝∠BAC＝30°，
∵DA＝DE，
∴∠AED＝∠BAD＝30°，
∴∠ADE＝180°?∠BAD?∠AED＝120°，
同理：∠ADF＝120°，
∴∠EDF＝360°?∠ADE?∠ADF＝120°，
故答案為：120；
（2）①不發(fā)生改變，理由如下：
∵是等邊三角形，
∴．
∵．
∴點(diǎn)，，在以為圓，長(zhǎng)為半徑的圓上，
∴．
②補(bǔ)全圖形如下：四邊形為平行四邊形，證明如下：

由①知，，
∵，，
∴．
在和中，
，
∴．
∴．
∵點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于射線對(duì)稱(chēng)，
∴，．
∴，且．
∴四邊形為平行四邊形．
10．如圖，數(shù)軸上，點(diǎn)A表示的數(shù)為，點(diǎn)B表示的數(shù)為，點(diǎn)C表示的數(shù)為9，點(diǎn)D表示的數(shù)為13，在點(diǎn)B和點(diǎn)C處各折一下，得到條“折線數(shù)軸”，我們稱(chēng)點(diǎn)A和點(diǎn)D在數(shù)上相距20個(gè)長(zhǎng)度單位，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿著“折線數(shù)軸”的正方向運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)D出發(fā)，沿著“折線數(shù)軸”的負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，它們?cè)凇八铰肪€”射線和射線上的運(yùn)動(dòng)速度相同均為2個(gè)單位/秒，“上坡路段”從B到C速度變?yōu)椤八铰肪€”速度的一半，“下坡路段”從C到B速度變?yōu)椤八铰肪€”速度的2倍．設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，問(wèn)：

（1）動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)至D點(diǎn)需要時(shí)間為_(kāi)_______秒；
（2）P、Q兩點(diǎn)到原點(diǎn)O的距離相同時(shí)，求出動(dòng)點(diǎn)P在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的數(shù)；
（3）當(dāng)Q點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)A后，立即調(diào)頭加速去追P，“水平路線”和“上坡路段”的速度均提高了1個(gè)單位/秒，當(dāng)點(diǎn)Q追上點(diǎn)P時(shí)，直接寫(xiě)出它們?cè)跀?shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)．
【解析】（1）點(diǎn)A表示的數(shù)為，點(diǎn)B表示的數(shù)為，點(diǎn)C表示的數(shù)為9，點(diǎn)D表示的數(shù)為13，
，
動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D所需時(shí)間為（秒），
故答案為：15；
（2）由題意，分以下六種情況：
①當(dāng)點(diǎn)P在AB，點(diǎn)Q在CD時(shí)，
點(diǎn)P表示的數(shù)為，點(diǎn)Q表示的數(shù)為，
點(diǎn)P、Q到原點(diǎn)的距離相同，
，
此方程無(wú)解；
②當(dāng)點(diǎn)P在AB，點(diǎn)Q在CO時(shí)，
點(diǎn)P表示的數(shù)為，點(diǎn)Q表示的數(shù)為，
點(diǎn)P、Q到原點(diǎn)的距離相同，
，
解得，
此時(shí)點(diǎn)P表示的數(shù)為3，不在AB上，不符題設(shè)，舍去；
③當(dāng)點(diǎn)P在BO，點(diǎn)Q在CO時(shí)，
點(diǎn)P表示的數(shù)為，點(diǎn)Q表示的數(shù)為，
點(diǎn)P、Q到原點(diǎn)的距離相同，
，
解得，
此時(shí)點(diǎn)P表示的數(shù)為，不在BO上，不符題設(shè)，舍去；
④當(dāng)點(diǎn)P、Q相遇時(shí)，點(diǎn)P、Q均在BC上，
點(diǎn)P表示的數(shù)為，點(diǎn)Q表示的數(shù)為，
點(diǎn)P、Q到原點(diǎn)的距離相同，
，
解得，
此時(shí)點(diǎn)P表示的數(shù)為，點(diǎn)Q表示的數(shù)為，均符合題設(shè)；
⑤當(dāng)點(diǎn)P在OC，點(diǎn)Q在OB時(shí)，
點(diǎn)P表示的數(shù)為，點(diǎn)Q表示的數(shù)為，
點(diǎn)P、Q到原點(diǎn)的距離相同，
，
解得，
此時(shí)點(diǎn)P表示的數(shù)為，點(diǎn)Q表示的數(shù)為，均符合題設(shè)；
⑥當(dāng)點(diǎn)P在OC，點(diǎn)Q在BA時(shí)，
點(diǎn)P表示的數(shù)為，點(diǎn)Q表示的數(shù)為，
點(diǎn)P、Q到原點(diǎn)的距離相同，
，
解得，
此時(shí)點(diǎn)Q表示的數(shù)為0，不在BA上，不符題設(shè)，舍去；
綜上，點(diǎn)P表示的數(shù)為或；
（3）點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)A所需時(shí)間為（秒），此時(shí)點(diǎn)P到達(dá)的點(diǎn)是，
點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)C所需時(shí)間為（秒），此時(shí)點(diǎn)Q到達(dá)的點(diǎn)是，
點(diǎn)Q在CD上追上點(diǎn)P，此時(shí)點(diǎn)P表示的數(shù)為，點(diǎn)Q表示的數(shù)為，
，
解得，
此時(shí)點(diǎn)P表示的數(shù)為18，點(diǎn)Q表示的數(shù)為18．
11．如圖，在矩形中，，，點(diǎn)為對(duì)角線的中點(diǎn)，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿折線以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)不重合時(shí)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，以為邊向右作正方形，設(shè)正方形與重疊部分圖形的面積為（平方單位），點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為（秒）．

（1）求點(diǎn)落在上時(shí)的值．
（2）直接寫(xiě)出點(diǎn)在正方形內(nèi)部時(shí)的取值范圍．
（3）當(dāng)點(diǎn)在折線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求與之間的函數(shù)關(guān)系式．
（4）直接寫(xiě)出直線平分面積時(shí)的值．
【解析】（1）如圖1所示，

由題意可知，當(dāng)點(diǎn)落在上時(shí)，
因?yàn)樗倪呅问钦叫?，所以?br /> 又因?yàn)樵诰匦沃?，，?br /> 所以，在和中，
因?yàn)?，?br /> 所以，則，
所以，解得，
所以當(dāng)點(diǎn)落在上時(shí)的值為．
故答案為：．
（2）①如圖2，

點(diǎn)剛落在正方形上．
因?yàn)辄c(diǎn)是矩形對(duì)角線的中點(diǎn)，
所以在矩形的一條對(duì)稱(chēng)軸上，
所以，所以，解得．
②如圖3，點(diǎn)和點(diǎn)重合，

此時(shí)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的距離為，
因?yàn)椋?，所以?br /> 所以，
所以此時(shí)．
綜上所述，當(dāng)點(diǎn)在正方形內(nèi)部時(shí)，的取值位于上述兩個(gè)臨界位置之間，即的取值范圍為．
故答案為：．
（3）①由（1）可知，當(dāng)時(shí)，正方形和的重疊部分即為正方形，所以此時(shí)．

②當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在上，
設(shè)與交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，
此時(shí)正方形和的重疊部分為五邊形，
此時(shí)．
同（1），可知，，
因?yàn)?，，?br /> 所以，，
所以，，
所以，，
所以，，
所以，
，
所以，
所以，
整理得．

③當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在上，
設(shè)與交于點(diǎn)，則．
因?yàn)椋?，所以，所以?br /> 同（1），，所以，
所以，所以，，
所以，
又因?yàn)椋裕?br /> 所以，所以，
所以，
整理得．
綜上所述，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．
故答案為：

（4）設(shè)直線與交于點(diǎn)，
因?yàn)橹本€平分的面積，∴．
①如圖7，點(diǎn)在上，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，

則，所以，
因?yàn)?，，?br /> 所以，解得．
②如圖8，點(diǎn)在上，連接．

因?yàn)椤⒎謩e是、的中點(diǎn)，
所以是的一條中位線，
所以，所以，
又因?yàn)椋裕?br /> 所以，所以，
因?yàn)椋?br /> （由（3）②知），，
所以，解得．
③如圖9，在上，

設(shè)與交于點(diǎn)，連接，交于．
同②，，且，
所以，所以，
又因?yàn)?，所以?br /> 所以，又因?yàn)椋ㄍ冢?br /> 所以，所以，
因?yàn)椋?br /> 所以，所以，
所以，
又因?yàn)?，所以?br /> 所以，所以，所以，
所以，
又因?yàn)椋?，解得?br /> 綜上所述，當(dāng)直線平分的面積時(shí)，的值為或或．
故答案為：或或．
12．在中，，，，點(diǎn)是射線上的動(dòng)點(diǎn)，連接，將沿著翻折得到，設(shè)，
（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，求的值．
（2）如圖2，連接，，當(dāng)時(shí)，求的面積．
（3）在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)是等腰三角形時(shí)，求的值．
【解析】(1)在中，，，，
∴由勾股定理得：BC=10，
由折疊性質(zhì)得：P=AP=x， C=AC=6，則PB=8-x，B=4，
在RtΔBP中，由勾股定理得：42+x2=(8-x)2，
解得：；
（2）當(dāng)時(shí)，
由折疊性質(zhì)得：AC=C=4，∠CAB=∠CP=90o，
∴=，
∵=90o，=90o，
∴，
∵=90o，=90o，
∴，
∴，
∴=4，
則，且=，
由，∠CAB=90o，可求得，，，
，；
（3）①當(dāng)時(shí)，若在線段上，如圖1，過(guò)作H⊥AB于H，過(guò)C作CD⊥H延長(zhǎng)線于D，
則四邊形ACDH是矩形，又是等腰三角形，
∴，，
，，
∵=90o，=90o,
∴，又=90o,
∴，
∴，
得，解得，

若在延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖2，過(guò)作AB的平行線，交AC延長(zhǎng)線與D，過(guò)P作PH垂直平行線于H，則四邊形APHD是矩形，
同上方法，易求得D=4，，
∴PH=AD=，
同理可證得，
∴，
得，解得，

②當(dāng)時(shí)，如圖3，由折疊性質(zhì)得：
CP垂直平分A，
則，∠AQP=90o，
又AC=6,
，
∵∠ AQP=∠CAB=90o，
∴由同角的余角相等得：∠ACQ=∠QAP，
∴，
∴，
即，
解得：；

③當(dāng)時(shí)，如圖4，則、重合，，

綜上所述或或或.

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