1. 已知集合，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)集合交集的定義求解判斷.
【詳解】因?yàn)椋?br>根據(jù)交集定義，可得.
故選：C.
2. （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式一可求出結(jié)果.
【詳解】.
故選：B
3. 已知函數(shù)，若，則（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】由即可求出，則可求出的值.
【詳解】當(dāng)時(shí)，，無解，
當(dāng)時(shí)，，
所以，
故選：B
4. 函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
首先求出函數(shù)的定義域，再根據(jù)對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性即可求解.
【詳解】令，由，解得，或，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，則單調(diào)遞增，
所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.
故選：A.
5. 函數(shù)的圖象大致為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由條件判斷函數(shù)為奇函數(shù)，且在為負(fù)數(shù)，從而得出結(jié)論.
【詳解】,
因此函數(shù)為奇函數(shù)，圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱排除；
當(dāng)時(shí)，，，因此.
故選：.
【點(diǎn)睛】本題主要考查的是函數(shù)圖像的應(yīng)用，奇偶性的應(yīng)用，根據(jù)奇偶函數(shù)的對稱性進(jìn)行判斷是解決本題的關(guān)鍵，是中檔題.
6. 李明開發(fā)的小程序經(jīng)過t天后，用戶人數(shù)，其中k為常數(shù).已知小程序發(fā)布經(jīng)過10天后有2000名用戶，則用戶超過50000名至少經(jīng)過的天數(shù)為（ ）（?。?br>A. 31B. 32C. 33D. 34
【答案】D
【解析】
【分析】依題意知，從而求得，再令，結(jié)合對數(shù)運(yùn)算可求得結(jié)果.
【詳解】∵經(jīng)過t天后，用戶人數(shù)，
又∵小程序發(fā)布經(jīng)過10天后有2000名用戶，∴，
即，可得，∴①
當(dāng)用戶超過50000名時(shí)有，
即，可得，∴②
聯(lián)立①和②可得，即，故，
∴用戶超過50000名至少經(jīng)過的天數(shù)為34天.
故選：D.
7. 若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)題意，結(jié)合正弦型函數(shù)的單調(diào)區(qū)間列出不等式，然后結(jié)合條件代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.
【詳解】令，
所以，
所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，
又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，
則是，的一個(gè)子區(qū)間，
當(dāng)時(shí)，即，
若是的子集，
則
故選:D．
8. 函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且在上是增函數(shù)，若對任意，均有，則實(shí)數(shù)t的最大值是（ ）
A. B. C. D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】利用函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性可得，再利用二次函數(shù)在區(qū)間的單調(diào)性與最值即可得解.
【詳解】因?yàn)?，所以，則，
因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的偶函數(shù)，所以，
則由得，
又因?yàn)樵谏鲜窃龊瘮?shù)，所以，
兩邊平方化簡得在恒成立，
令，則，
又因?yàn)殚_口向上，對稱軸為，
所以在單調(diào)遞增，
則，解得，
又因?yàn)?，所以?br>所以的最大值為.
故選：B.
二、多選題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求的.全部選對的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對的得2分.）
9. 設(shè)則下列不等式恒成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用不等式的性質(zhì)即可求解.
【詳解】對于A，當(dāng)時(shí)，則，故A不正確；
對于B，由，則，故B正確；
對于C，當(dāng)時(shí)，則，故C正確；
對于D，因?yàn)椋?，由可得，故D正確；
故選：BCD
10. 下列不等式中成立的是（ ）
A B.
C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】由三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式化簡，然后根據(jù)正弦、余弦函數(shù)的單調(diào)性比較各選項(xiàng)中角的大小關(guān)系，從而得出函數(shù)值的大小關(guān)系.
【詳解】對A，因?yàn)?，在單調(diào)遞增，所以，故A正確；
對于B，，，故B錯(cuò)誤；
對C，因?yàn)?，在單調(diào)遞減，所以，故C錯(cuò)誤；
對于D，，故D正確
故選：AD.
11. 已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 的圖像關(guān)于中心對稱B. 的最小正周期為
C. 在區(qū)間上單調(diào)遞增D. 的值域?yàn)?br>【答案】AC
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)解析式，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，分別判斷各選項(xiàng).
【詳解】，函數(shù)定義域?yàn)椋?br>，所以函數(shù)圖像上的點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)也在函數(shù)圖像上，即的圖像關(guān)于中心對稱，A選項(xiàng)正確；
，不是的周期，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；
當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，C選項(xiàng)正確；
當(dāng)時(shí)，，，有，
當(dāng)時(shí)，，，有，
所以的值域?yàn)?，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.
故選：AC
12. 給出下列四個(gè)結(jié)論，其中所有正確結(jié)論的序號是（ ）
A. 若，，，則
B. 函數(shù)在上只有一個(gè)零點(diǎn)，且該零點(diǎn)在區(qū)間上
C. 實(shí)數(shù)是命題“，”為假命題的充分不必要條件
D. 定義在上的函數(shù)滿足，且，則不等式的解集為
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷A，根據(jù)零點(diǎn)存在性定理及函數(shù)單調(diào)性判斷B，根據(jù)二次不等式的求解及充分必要條件判斷C，構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性解不等式判斷D.
【詳解】對于A：若，，，則，，又，
所以，故A正確；
對于B，函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，，故該零點(diǎn)在區(qū)間上錯(cuò)誤，故B錯(cuò)誤；
對于C，命題“，”為假命題，
則“，”為真命題，
當(dāng)時(shí)，，為真命題，
當(dāng)時(shí)，，為假命題，
當(dāng)時(shí)，若時(shí)，，此時(shí)“，”為真命題，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)“，”為假命題，
綜上實(shí)數(shù)是命題“，”為假命題的充分不必要條件，故C正確；
對于D，定義在上的函數(shù)滿足，
不妨設(shè)，則，即，令，，
則，故單調(diào)遞減，因?yàn)?，所以?br>由變形為，即，
根據(jù)單調(diào)遞減，所以，故D選項(xiàng)正確.
故選：ACD.
三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡的相應(yīng)位置）.
13. 已知角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸非負(fù)半軸重合，點(diǎn)是角終邊上一點(diǎn)，則______.
【答案】1
【解析】
【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義得到，再利用弦切互化將的分子和分母同時(shí)除以得到，即可求解.
【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)是角終邊上一點(diǎn)，所以，
所以，
故答案為：1.
14. 某城市一圓形空地的平面圖如圖所示，為了方便市民休閑健身，政府計(jì)劃在該空地建設(shè)運(yùn)動(dòng)公園（圖中陰影部分）.若是以B為直角的等腰直角三角形，，則該公園的面積為________.
【答案】
【解析】
【分析】利用扇形面積公式即可得到結(jié)果.
【詳解】由題可知圓心為的中點(diǎn)，，連接，
該公園的面積
故答案為：
15. 若函數(shù)相鄰兩條對稱軸之間的距離為，則______.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)相鄰兩條對稱軸之間的距離為計(jì)算得函數(shù)周期，從而可計(jì)算出值，即可得函數(shù)，代值計(jì)算即可.
【詳解】由題意知，函數(shù)的周期為，
所以，則，得，
所以，
故答案為：.
16. 設(shè)，對于任意實(shí)數(shù)x，記，若方程至少有3個(gè)根，則實(shí)數(shù)a的最小值為______.
【答案】10
【解析】
【分析】設(shè)，，分析可知函數(shù)至少有一個(gè)零點(diǎn)，可得出，求出的取值范圍，然后對實(shí)數(shù)的取值范圍進(jìn)行分類討論，根據(jù)題意可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式，綜合可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.
【詳解】設(shè)，，由可得.
要使得函數(shù)至少有3個(gè)零點(diǎn)，則函數(shù)至少有一個(gè)零點(diǎn)，
則，解得或.
①當(dāng)時(shí)，，作出函數(shù)、的圖象如圖所示：
，，
此時(shí)函數(shù)只有兩個(gè)零點(diǎn)，不滿足題意；
②當(dāng)時(shí)，設(shè)函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)分別為、（），
要使得函數(shù)至少有3個(gè)零點(diǎn)，則，
所以，解得；
③當(dāng)時(shí)，，作出函數(shù)、的圖象如圖所示：
由圖可知，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為3，滿足題意；
④當(dāng)時(shí)，設(shè)函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)分別為、（），
要使得函數(shù)至少有3個(gè)零點(diǎn)，則，
可得，解得，此時(shí).
綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是.
故答案為：10.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)判斷方法：(1)直接法：直接求出的解；(2)圖象法：作出函數(shù)的圖象，觀察與軸公共點(diǎn)個(gè)數(shù)或者將函數(shù)變形為易于作圖的兩個(gè)函數(shù)，作出這兩個(gè)函數(shù)的圖象，觀察它們的公共點(diǎn)個(gè)數(shù).
四、解答題（本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）
17. 已知.
（1）化簡；
（2）若，求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用誘導(dǎo)公式可化簡的表達(dá)式；
（2）由已知可得出，等式兩邊平方可得的值，進(jìn)而可計(jì)算得出的值.
【小問1詳解】
解：.
【小問2詳解】
解：因?yàn)?，所以?br>兩邊平方得，所以，
所以，所以，
所以.
18. 已知函數(shù).
（1）若，求函數(shù)在上的最小值；
（2）求關(guān)于x的不等式的解集.
【答案】（1）
（2）答案見解析
【解析】
【分析】(1) 根據(jù)已知條件及基本不等式即可求解；
(2) 利用一元二次不等式的解法及對參數(shù)分類討論即可求解.
【小問1詳解】
由，得，解得，
因?yàn)?，所以?br>當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立.
所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上的最小值為.
【小問2詳解】
由，得，即，
當(dāng)時(shí)，不等式，解得，不等式的解集為；
當(dāng)即時(shí)，不等式的解集為或；
當(dāng)即時(shí)，不等式的解集為或；
綜上所述：時(shí)，不等式的解集為；
當(dāng)時(shí)，不等式的解集為或；
當(dāng)時(shí)，不等式的解集為或.
19. 已知為銳角，且.
（1）求的值；
（2）求函數(shù)的定義域和單調(diào)區(qū)間.
【答案】（1）
（2）定義域?yàn)?；單調(diào)遞增區(qū)間為，，無單調(diào)遞減區(qū)間
【解析】
【分析】（1）根據(jù)條件解關(guān)于的一元二次方程，從而得到的值，結(jié)合為銳角，即可求解；
（2）由（1）得到，結(jié)合正切函數(shù)的定義域和單調(diào)性，即可求解.
【小問1詳解】
由，得，
得或，
∵為銳角，∴，
∴.
【小問2詳解】
由（1）得，則，
令，得，.
即函數(shù)的定義域?yàn)?
再令，，
解得，
即函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，，無單調(diào)遞減區(qū)間.
20. 函數(shù)的最小正周期為．
（1）求函數(shù)在上的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）當(dāng)時(shí)，求的最大值和最小值及對應(yīng)x的值．
【答案】（1），
（2）的最大值為2，，的最小值為－1，
【解析】
【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的最小正周期可求得的值，從而可得到的解析式，再利用整體代入法求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，進(jìn)而可求得函數(shù)在上的單調(diào)增區(qū)間；
（2）根據(jù)的取值范圍可得到的取值范圍，從而可求出的最大值和最小值及對應(yīng)x的值．
【小問1詳解】
因?yàn)榈淖钚≌芷冢?，故?br>令，則，
即的單調(diào)遞增區(qū)間為，
又，所以函數(shù)在上的單調(diào)增區(qū)間是，．
【小問2詳解】
當(dāng)時(shí)，，
所以當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)有最大值2，
當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)有最小值－1，
所以的最大值為2，這時(shí)，的最小值為－1，這時(shí)．
21. 在密閉培養(yǎng)環(huán)境中，某類細(xì)菌的繁殖在初期會(huì)較快，隨著單位體積內(nèi)細(xì)菌數(shù)量的增加，繁殖速度又會(huì)減慢.在一次實(shí)驗(yàn)中，檢測到這類細(xì)菌在培養(yǎng)皿中的數(shù)量（單位：百萬個(gè)）與培養(yǎng)時(shí)間（單位：小時(shí)）的關(guān)系為：
根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)畫出散點(diǎn)圖如下：
為了描述從第2小時(shí)開始細(xì)菌數(shù)量隨時(shí)間變化的關(guān)系，現(xiàn)有以下三種模型供選擇：
①，②，③.
（1）選出你認(rèn)為最符合實(shí)際的函數(shù)模型，并說明理由；
（2）利用和這兩組數(shù)據(jù)求出你選擇的函數(shù)模型的解析式，并預(yù)測從第2小時(shí)開始，至少再經(jīng)過多少個(gè)小時(shí)，細(xì)菌數(shù)量達(dá)到6百萬個(gè).
【答案】（1）;
（2）.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的增長速度可求解；
（2）將所選的兩點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，求出參數(shù)值，可得出函數(shù)模型的解析式，再由即可求解.
【小問1詳解】
隨著自變量的增加，函數(shù)值的增長速度變小，
而在對稱軸右方，隨著自變量的增加，函數(shù)值的增長速度變大，
隨著自變量的增加，函數(shù)值的增長速度變大，
故選擇函數(shù).
【小問2詳解】
由題意可得，解得，
所以.
令，解得.
故至少再經(jīng)過小時(shí)，細(xì)菌數(shù)列達(dá)到6百萬個(gè).
22. 已知函數(shù)為定義在上的偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，.
（1）①作出函數(shù)在上的圖象；
②若方程恰有6個(gè)不相等的實(shí)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）設(shè)，若，，使得成立，求實(shí)數(shù)的最小值.
【答案】（1）①圖象見解析；②；
（2）.
【解析】
【分析】（1）①先作出上的圖象，再利用偶函數(shù)的性質(zhì)作出上的圖象即可，②恰有6個(gè)不相等的實(shí)根，等價(jià)于與有6個(gè)交點(diǎn)，然后結(jié)合圖象可求得答案；
（2）由題意可得，利用函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合換元法求出，再由（1）求出，代入上式可求出實(shí)數(shù)的范圍，從而可求出其最小值.
【小問1詳解】
①當(dāng)時(shí)，.
列表：
描點(diǎn)連線，圖象如圖，
因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以的圖象關(guān)于軸對稱，
所以在上的圖象如圖所示；
②恰有6個(gè)不相等的實(shí)根，等價(jià)于與有6個(gè)交點(diǎn)，
由圖象可知當(dāng)時(shí)，有6個(gè)交點(diǎn)，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為；
【小問2詳解】
因?yàn)樵谏蠟樵龊瘮?shù)，在上為增函數(shù)，
所以在上為增函數(shù)，
因?yàn)樵谏蠟樵龊瘮?shù)，
所以在上為增函數(shù)，
所以，
由（1）可知在上的最小值為0，
因?yàn)?，，使得成立?br>所以，
所以，解得，
所以實(shí)數(shù)的最小值為.2
3
4
5
6
8
4
0
1
2
3
4
5
6
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9
10
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2
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1
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3
4

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