本試卷共4頁(yè)，22小題，滿分150分．考試用時(shí)120分鐘．
1．答卷前，考生務(wù)必用黑色碳素筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上．
2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．
3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1. 已知集合，，，則集合（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)交集的運(yùn)算求出，然后根據(jù)補(bǔ)集的運(yùn)算即可求出結(jié)果.
【詳解】由已知可得，，所以.
故選：B.
2. 下列集合中表示同一集合的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)集合元素的性質(zhì)及集合相等定義判斷即可.
【詳解】對(duì)AD，兩集合的元素類型不一致，則，AD錯(cuò)；
對(duì)B，由集合元素的無序性可知，，B對(duì)；
對(duì)C，兩集合的唯一元素不相等，則，C錯(cuò)；
故選：B
3. 已知扇形的面積為8，且圓心角弧度數(shù)為2，則扇形的周長(zhǎng)為（ ）
A. 32B. 24C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)扇形面積和弧長(zhǎng)公式即可求解.
【詳解】圓心角，扇形面積，
即，得半徑，
所以弧長(zhǎng)，
故扇形的周長(zhǎng).
故選：D
4. 下列函數(shù)中周期為，且為偶函數(shù)的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】按三角函數(shù)的周期公式和偶函數(shù)的定義式逐一檢驗(yàn)排除即可.
【詳解】A選項(xiàng)，，周期為，A不正確；
B選項(xiàng)，，周期為，且不是偶函數(shù)，B不正確；
C選項(xiàng)，，是偶函數(shù)，又，故其周期為，C正確；
D選項(xiàng)，周期為，D不正確；
故選：C
5. 已知，，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用對(duì)數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、正弦函數(shù)的性質(zhì)比較大小即可.
【詳解】，，，∴.
故選：B.
6. 設(shè)，命題“存在，使方程有實(shí)根”的否定是（ ）
A. 對(duì)，方程無實(shí)根B. 對(duì)，方程有實(shí)根
C. 對(duì)，方程無實(shí)根D. 對(duì)，方程有實(shí)根
【答案】A
【解析】
【分析】只需將“存在”改成“任意”，有實(shí)根改成無實(shí)根即可.
【詳解】由特稱命題的否定是全稱命題，知“存在，使方程有實(shí)根”的否定是
對(duì)，方程無實(shí)根
故選：A
7. 隨著社會(huì)的發(fā)展，人與人的交流變得便捷，信息的獲取、傳輸和處理變得頻繁，這對(duì)信息技術(shù)的要求越來越高，無線電波的技術(shù)也越來越成熟.已知電磁波在空間中自由傳播時(shí)能損耗公式為，其中D為傳輸距離單位：，F(xiàn)為載波頻率單位：，L為傳輸損耗單位：若載波頻率變?yōu)樵瓉淼?00倍，傳輸損耗增加了60 dB，則傳輸距離變?yōu)樵瓉淼模? ）
A. 100倍B. 50倍C. 10倍D. 5倍
【答案】C
【解析】
【分析】由題可知，前后兩傳輸公式作差，結(jié)合題設(shè)數(shù)量關(guān)系及對(duì)數(shù)運(yùn)算，即可得出結(jié)果.
【詳解】設(shè)是變化后的傳輸損耗，是變化后的載波頻率，是變化后的傳輸距離，
則，，
，則，即，
從而，故傳輸距離變?yōu)樵瓉淼?0倍.
故選：C
8. 已知函數(shù)，若是的最小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先根據(jù)端點(diǎn)處的函數(shù)值，求得.然后討論以及，即可得出實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【詳解】由已知可得，，所以，解得.
當(dāng)時(shí)，，
顯然在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以在處取得最小值，于題意不符；
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且滿足，所以有是的最小值.
故選：A.
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：利用單調(diào)性求參數(shù)的取值（范圍）的思路是：根據(jù)其單調(diào)性直接構(gòu)建參數(shù)滿足的方程（組）（不等式（組））或先得到其圖象的升降，再結(jié)合圖象求解.對(duì)于分段函數(shù)，還要注意銜接點(diǎn)的取值.
二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．
9. 下列命題是真命題的是（ ）
A. 若，則B. 若，則
C. 若，則D. 若，則（且）
【答案】AB
【解析】
【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)逐一判斷選項(xiàng)ABC，根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可判斷選項(xiàng)D.
【詳解】對(duì)于A：當(dāng)，且，則，A正確；
對(duì)于B：當(dāng)時(shí)，有，B正確；
對(duì)于C：當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，即?br>不滿足，C錯(cuò)誤；
對(duì)于D：當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，
若，則，D錯(cuò)誤.
故選：AB.
10. 下列函數(shù)中，最小值為4的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】配方即可判斷A項(xiàng)；根據(jù)基本不等式以及等號(hào)成立的條件，即可判斷B、C、D.
【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，，當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故A項(xiàng)正確；
對(duì)于B項(xiàng)，因?yàn)椋?
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.
因?yàn)椋?，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于C項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.所以，或，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于D項(xiàng)，顯然，所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立.所以，，故D項(xiàng)正確.
故選：AD.
11. 已知函數(shù)，則下列說法正確的是（ ）
A. 的值域是RB. 在定義域內(nèi)是增函數(shù)
C. 的最小正周期是D. 的解集是
【答案】AC
【解析】
【分析】根據(jù)正切函數(shù)性質(zhì)，即可判斷A項(xiàng)；求出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，即可判斷B項(xiàng)；由周期公式，求出周期，即可判斷C項(xiàng)；由時(shí)，由的解，即可得出，求解不等式即可得出解集，判斷D項(xiàng).
【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，根據(jù)正切函數(shù)的性質(zhì)，可知的值域是R，故A項(xiàng)正確；
對(duì)于B項(xiàng)，由可得，，所以的定義域?yàn)?
由可得，，所以在每一個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞增，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于C項(xiàng)，由已知可得，的最小正周期是，故C項(xiàng)正確；
對(duì)于D項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，由，可得.
則由可得，，
所以的解集是，故D項(xiàng)錯(cuò)誤.
故選：AC.
12. 已知偶函數(shù)的定義域?yàn)?，且，，則以下說法正確的是（ ）
A. B. 函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根據(jù)奇偶性結(jié)合得出，由判斷B；由對(duì)稱性判斷C；根據(jù)周期性判斷D.
【詳解】因?yàn)槭桥己瘮?shù)，且，所以，即，所以，周期為，故A正確；
因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以，即函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，故B正確；
因?yàn)?，且函?shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，所以，故C錯(cuò)誤；
因?yàn)?，所以，故D正確；
故選：ABD
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．
13. 已知α的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊過點(diǎn)（－3，4），則cs α的值為 ______________．
【答案】
【解析】
【詳解】試題分析：由題角的終邊過點(diǎn)（－3，4）， 則由三角函數(shù)的定義可得：
考點(diǎn)：三角函數(shù)的定義.
14. 已知，則_________．
【答案】8
【解析】
【分析】令求解.
【詳解】解：令，解得，
所以，
故答案為：8
15. 寫出一個(gè)同時(shí)具有下列性質(zhì)（1）（2）的函數(shù)：________.
（1）；（2）在上是增函數(shù).
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】根據(jù)題干要求的奇偶性和單調(diào)性，直接寫出即可.
【詳解】根據(jù)（1）（2）可得，為偶函數(shù)，且在單調(diào)遞增，
故滿足題意的不唯一，可以是；
故答案為：.
16. 已知函數(shù)的圖像過點(diǎn)，則在區(qū)間_________零點(diǎn)（填“有”或“無”）；且函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，實(shí)數(shù)是_________．
【答案】 ①. 無 ②. 或
【解析】
【分析】由已知可得，由分別得出函數(shù)在區(qū)間和上沒有零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)時(shí)，有最小值為.作出的圖象，根據(jù)圖象即可得出的取值.
【詳解】由已知可得，，所以，
所以.
當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間上沒有零點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間上沒有零點(diǎn).
所以，在區(qū)間上無零點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，，
即當(dāng)時(shí)，有最小值.
作出圖象如下圖
由圖象可知，當(dāng)或時(shí)，函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn).
故答案：無；或.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：已知函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，求參數(shù)值或參數(shù)范圍時(shí).常常作出函數(shù)的圖象，根據(jù)函數(shù)圖象，結(jié)合已知得出參數(shù)的值或范圍.
四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
17. 計(jì)算：
（1）；
（2）已知，求的值．
【答案】（1）11.5
（2）
【解析】
【分析】（1）利用指數(shù)運(yùn)算和對(duì)數(shù)運(yùn)算法則計(jì)算得到答案；
（2）利用誘導(dǎo)公式結(jié)合化弦為切求解即可.
【小問1詳解】
原式；
【小問2詳解】
由題意得，
故.
18. 設(shè)p：實(shí)數(shù)x滿足，q：實(shí)數(shù)x滿足．
（1）若q為真，求實(shí)數(shù)x的取值范圍；
（2）若p是q的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）通過分式不等式的等價(jià)變形，轉(zhuǎn)化為一元二次不等式進(jìn)行求解.
（2）通過解一元二次不等式以及必要不充分條件進(jìn)行求解.
【小問1詳解】
若q為真，則實(shí)數(shù)x滿足，即，
所以，解得：，
即q為真時(shí)，實(shí)數(shù)x的取值范圍為；
【小問2詳解】
對(duì)于p：實(shí)數(shù)x滿足，變形為：，
即，所以，
對(duì)于q，由（1）有：，
因?yàn)閜是q的必要不充分條件，則q可推出p，而p不能推出q
則，解得，
故實(shí)數(shù)a的取值范圍為.
19. 函數(shù)．
（1）求的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）求在上的值域．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）解，即可得出的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）令，求出的范圍，得到的最值，即可得出的最值.
【小問1詳解】
由可得，，
所以，
所以函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為：.
【小問2詳解】
令.
由可得，.
又因?yàn)楹瘮?shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，
所以在時(shí)有最大值1.
又，，所以在或時(shí)有最小值0.
所以函數(shù)在上的值域?yàn)?
20. 某企業(yè)采用新工藝，把企業(yè)生產(chǎn)中排放的二氧化碳轉(zhuǎn)化為一種可利用的化工產(chǎn)品．已知該單位每月的處理量最少為100噸，最多為600噸，月處理成本（元）與月處理量x（噸）之間的函數(shù)關(guān)系可近似地表示為．
（1）該單位每月處理量為多少噸時(shí)，才能使月處理成本最低？月處理成本最低多少元？
（2）該單位每月處理量為多少噸時(shí)，才能使每噸的平均處理成本最低？每噸的平均處理成本最低是多少元？
【答案】（1）該單位每月處理量為200噸時(shí)，才能使月處理成本最低，月處理成本最低是60000元；
（2）該單位每月處理量為400噸時(shí)，每噸的平均處理成本最低，為200元．
【解析】
【分析】（1）由已知可得，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可得出答案；
（2），然后用基本不等式即可得出該式的最值.
【小問1詳解】
該單位每月的月處理成本：
，
因，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，
從而得當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，即.
所以該單位每月處理量為200噸時(shí)，才能使月處理成本最低，月處理成本最低是60000元.
【小問2詳解】
由題意可知：，
每噸二氧化碳的平均處理成本為：
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.
所以該單位每月處理量為400噸時(shí)，每噸的平均處理成本最低，為200元．
21. 已知_________，且函數(shù)．①函數(shù)在定義域?yàn)樯蠟榕己瘮?shù)；②函數(shù)在區(qū)間上的最大值為2．在①，②兩個(gè)條件中，選擇一個(gè)條件，將上面的題目補(bǔ)充完整，求出b的值，并解答本題．
（1）判斷的奇偶性，并證明你的結(jié)論；
（2）設(shè)，對(duì)任意的，總存在，使得成立，求實(shí)數(shù)c的取值范圍．
【答案】（1）奇函數(shù)，證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）選①：根據(jù)在定義域?yàn)樯蠟榕己瘮?shù)，得到，再利用奇偶性的定義判斷；選②：由，單調(diào)遞增且最大值為2求得b，再利用奇偶性的定義判斷；
（2）分別求得，的值域A、B，再由求解.
【小問1詳解】
解：當(dāng)選①時(shí)：因?yàn)樵诙x域?yàn)樯蠟榕己瘮?shù)，
所以，所以，
所以，所以對(duì)，都有，
故，即，所以是奇函數(shù)．
當(dāng)選②時(shí)：因?yàn)椋鄦握{(diào)遞增，
所以，解得，
所以，
所以對(duì)，都有，
故，即,所以是奇函數(shù)；
【小問2詳解】
由（1）知當(dāng)，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
所以，即時(shí)，，
因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以即時(shí)，，
綜上：，
記值域?yàn)榧螦，所以，
因?yàn)?，記值域?yàn)榧螧，
所以，
因?yàn)?，使得成立?br>所以，
得，所以.
22. 已知函數(shù)（，且）是奇函數(shù)．
（1）判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，并用定義證明；
（2）令函數(shù).當(dāng)時(shí)，存在最大實(shí)數(shù)t，使得時(shí)，恒成立，請(qǐng)寫出t關(guān)于a的表達(dá)式．
【答案】（1）答案見解析；
（2）．
【解析】
【分析】（1）由為奇函數(shù)，可求得，得到.然后分以及兩種情況，根據(jù)定義法判斷函數(shù)的單調(diào)性即可；
（2），根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合已知可得對(duì)稱軸為，函數(shù)在上單調(diào)遞減，即.然后根據(jù)已知可推得，解不等式即可得出的最大值.
【小問1詳解】
由已知條件得對(duì)定義域中的x均成立，
所以，即，
得，對(duì)定義域中的x均成立，即，所以.
當(dāng)時(shí)，無意義；
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)奇函數(shù)，定義域?yàn)?
設(shè)，
所以當(dāng)時(shí)，，
∴．
當(dāng)時(shí)，，即，所以在上是減函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，，即，所以在上是增函數(shù)．
綜上，當(dāng)時(shí)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)在上單調(diào)遞增．
【小問2詳解】
因?yàn)?，?br>所以，
則函數(shù)開口向下，對(duì)稱軸為，
因?yàn)椋裕?br>所以函數(shù)在上單調(diào)遞減.
則當(dāng)時(shí)，有，
因?yàn)?，又，所?
因?yàn)閠是實(shí)數(shù)，使得上恒成立，所以，
即，所以，即，
所以，解得，
所以．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的突破口是利用二次函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合的范圍得出的對(duì)稱軸為，從而得出函數(shù)在上單調(diào)遞減.

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