注意事項(xiàng)：
1．本試卷共6頁(yè)，滿分100分，考試時(shí)間120分鐘．
2．答案一律寫在答題卡上，寫在試卷上的不給分．
3．考試過(guò)程中不得使用計(jì)算器．
一、選擇題（本大題共8小題，每小題4分，共32分．每小題有四個(gè)選項(xiàng)，其中只有一個(gè)選項(xiàng)正確，請(qǐng)將你認(rèn)為正確的選項(xiàng)填寫在答題卷的相應(yīng)位置上．）
1. 已知集合，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用集合的交集和補(bǔ)集運(yùn)算法則計(jì)算即可.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以或，
又，
所以.
故選：B.
2. 已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則（ ）
A. 4B. 2C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】設(shè)冪函數(shù)，將點(diǎn)代入求出的解析式，從而可求得.
【詳解】設(shè)冪函數(shù)，
則，解得，
故，
所以.
故選：C.
3. 下列函數(shù)中是同一函數(shù)的是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】判斷兩函數(shù)是否為同一函數(shù)，只需要判斷兩者的定義域與對(duì)應(yīng)法則是否相同即可.
【詳解】對(duì)于，因?yàn)榈亩x域?yàn)椋亩x域?yàn)?，所以與不是同一函數(shù)，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，因?yàn)?，顯然與的對(duì)應(yīng)法則不同，所以與不是同一函數(shù)，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，因?yàn)榈亩x域?yàn)?，的定義域?yàn)?，所以與不是同一函數(shù)，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，因?yàn)榈亩x域?yàn)?，的定義域?yàn)?，所以與的定義域與對(duì)應(yīng)法則都相同，故它們是同一個(gè)函數(shù)，故D正確.
故選：D.
4. 在單位圓中，已知角的終邊與單位圓的交點(diǎn)為，則等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先根據(jù)三角函數(shù)的定義求得，再利用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式即可得解.
【詳解】因?yàn)榻堑慕K邊與單位圓的交點(diǎn)為，所以，
所以，
所以.
故選：A.
5. 若，則（ ）
A. 有最大值B. 有最小值
C. 有最大值D. 有最小值
【答案】A
【解析】
【分析】直接根據(jù)基本不等式求解即可．
【詳解】解：∵，
又，，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，
，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
故選：A．
6. 已知，，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合中間量法即可得解.
【詳解】因?yàn)?，?br>，
所以.
故選：C.
7. 已知函數(shù)，則“”是“是奇函數(shù)”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】
【分析】先由是奇函數(shù)求出的取值集合，再根據(jù)邏輯條件判斷即可.
【詳解】是奇函數(shù)等價(jià)于，
即，
故，
所以.
則“”是“是奇函數(shù)”的充分不必要條件.
故選：A.
8. 某公司在30天內(nèi)商品的銷售價(jià)格（元）與時(shí)間（天）的關(guān)系滿足下方圖象所示的函數(shù)，商品的銷售量（萬(wàn)件）與時(shí)間的關(guān)系是，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
①第15天日銷售額最大 ②第20天日銷售額最大
③最大日銷售額為120萬(wàn)元 ④最大日銷售額為125萬(wàn)元
A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④
【答案】B
【解析】
【分析】先由函數(shù)圖象利用待定系數(shù)法求得銷售價(jià)格P（元）關(guān)于時(shí)間t（天）的函數(shù)解析式，再求銷售額關(guān)于t的函數(shù)解析式，從而結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)求其最大值，由此得解.
【詳解】由圖象可得當(dāng)時(shí)，可設(shè)，根據(jù)圖象知過(guò)點(diǎn)，
所以，解得，所以，
當(dāng)，可設(shè)，根據(jù)圖象知過(guò)點(diǎn)，
所以，解得，所以，
綜上可得，，
又，設(shè)第天的銷售額為，
則，
化簡(jiǎn)可得，
當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立；
當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立；’
綜上可得，第15日的銷售額最大，最大值為125萬(wàn)元，故①④正確.
故選：B.
二、多項(xiàng)選擇題（本題共2小題，每小題4分，共8分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)得4分，部分選對(duì)得2分，有選錯(cuò)得0分．）
9. 下列命題中正確的是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】ACD
【解析】
【分析】對(duì)于A，利用基本不等式即可判斷；對(duì)于B，舉反例排除即可；對(duì)于C，取特殊值即可判斷；對(duì)于D，利用零點(diǎn)存在定理判斷即可.
【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，所以?br>當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以，故A正確；
對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，故，不成立，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，取，則，，
此時(shí)，所以，，故C正確；
對(duì)于D，令，則，，
所以，則在上存在零點(diǎn)，顯然，，
所以，，故D正確.
故選：ACD.
10. 關(guān)于函數(shù)，下列命題正確的是（ ）
A. 若，則一定是的整數(shù)倍
B. 的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱
C. 的圖象左移（）個(gè)單位后所得圖象關(guān)于軸對(duì)稱，則的最小值為
D. 的圖象每一點(diǎn)橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的兩倍所得圖象解析式為
【答案】BC
【解析】
【分析】對(duì)于A，取特殊值排除即可；對(duì)于B，利用代入檢驗(yàn)法進(jìn)行判斷即可；對(duì)于C，先由三角函數(shù)平移得到新的解析式，再根據(jù)三角函數(shù)的對(duì)稱性得到，從而得以判斷；對(duì)于D，利用三角函數(shù)伸縮變換得到新的解析式即可判斷.
【詳解】對(duì)于A，因?yàn)椋?br>所以，
故，此時(shí)，并不是的整數(shù)倍，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，由選項(xiàng)A知，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，故B正確；
對(duì)于C，因?yàn)榈膱D象左移（）個(gè)單位后所得圖像對(duì)應(yīng)的解析式為，
又的圖像關(guān)于軸對(duì)稱，
所以，則，
又，則，即，
又，則，故，所以的最小值為，故C正確；
對(duì)于D，因?yàn)榈膱D象每一點(diǎn)橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的兩倍所得圖象對(duì)應(yīng)的解析式為，
所以并不是，故D錯(cuò)誤.
故選：BC.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的突破口是理解圖象關(guān)于軸對(duì)稱的三角函數(shù)是，從而利用誘導(dǎo)公式得到的圖像關(guān)于軸對(duì)稱時(shí)，有，從而得解.
三、填空題（本大題共5小題，每小題4分，共20分．請(qǐng)將你認(rèn)為正確的答案填在答題卷的相應(yīng)位置上．）
11. 函數(shù)定義域是___________.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)給定函數(shù)直接列出不等式求解即得.
【詳解】函數(shù)有意義，則有，解得且，
所以函數(shù)定義域是.
故答案為：
12. 計(jì)算______．
【答案】1
【解析】
【分析】由對(duì)數(shù)的加減運(yùn)算法則計(jì)算即可.
【詳解】
故答案為：1.
13. 已知為定義在上的奇函數(shù)，且時(shí)，，則______．
【答案】##-1.5
【解析】
【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義結(jié)合已知函數(shù)解析式求解即可.
【詳解】因?yàn)闉槎x在上的奇函數(shù)，
所以.
故答案為：.
14. 試寫出一個(gè)同時(shí)滿足下列三個(gè)條件的函數(shù)______．
①是奇函數(shù)；②的最小正周期為；③在上單調(diào)遞減．
【答案】或其他合理答案
【解析】
【分析】先由周期性確定其為三角函數(shù)以及求其頻率，再由奇函數(shù)確定其為正弦函數(shù)，最后根據(jù)單調(diào)區(qū)間確定完整函數(shù)解析式即可.
【詳解】因?yàn)榈淖钚≌芷跒椋?br>故可為三角函數(shù)，且.
又因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，
故應(yīng)為正弦函數(shù).
再觀察到在上單調(diào)遞減，
故可確定為.
故答案為：或其他合理答案.
15. 權(quán)方和不等式作為基本不等式的一個(gè)變化，在求二元變量最值時(shí)有很廣泛的應(yīng)用，其表述如下：設(shè)，，，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．根據(jù)權(quán)方和不等式，函數(shù)的最小值為______．
【答案】8
【解析】
【分析】先將給定函數(shù)式表示成已知不等式左邊的形式，再利用該不等式求解即可.
【詳解】因?yàn)?，，，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
又，即，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，
所以的最小值為8.
故答案為：8.
四、解答題（本大題共4小題，每小題8分，共32分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．）
16. 已知，且．
（1）求值；
（2）求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先由同角三角函數(shù)的平方關(guān)系結(jié)合角的象限計(jì)算，再由商數(shù)關(guān)系計(jì)算；
（2）先由二倍角公式計(jì)算和，再代入和差角公式計(jì)算即可.
小問(wèn)1詳解】
，，
【小問(wèn)2詳解】
由（1）得，
所以，
，
所以
17. 已知函數(shù)．
（1）當(dāng)時(shí)，解關(guān)于的不等式；
（2）求實(shí)數(shù)的取值范圍，使得在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）帶入數(shù)據(jù)得到，解不等式得到答案.
（2）函數(shù)對(duì)稱軸為，根據(jù)單調(diào)性得到或，解得答案.
【小問(wèn)1詳解】
，，，即，，
解得，即
【小問(wèn)2詳解】
，函數(shù)對(duì)稱軸為，
在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，則或，解得或.
即.
18. 已知函數(shù)．
（1）求函數(shù)的最小正周期和最大值；
（2）若，求的單調(diào)遞增區(qū)間．
【答案】（1）；
（2）和
【解析】
【分析】（1）先利用三角恒等變換化簡(jiǎn)，再利用正弦函數(shù)的性質(zhì)即可得解；
（2）先利用整體代換法求得在上單調(diào)遞增區(qū)間，從而求得在上的單調(diào)遞增區(qū)間.
【小問(wèn)1詳解】
因
，
所以，
又，則，即，
所以.
【小問(wèn)2詳解】
因?yàn)椋?br>令，則，
又，與的交集為，
所以的單調(diào)遞增區(qū)間為和.
19. 已知函數(shù)．
（1）若方程有三個(gè)不等實(shí)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）若，且對(duì)，總，使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用一元二次函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)分析的圖像，再將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為的圖像與的圖像有三個(gè)交點(diǎn)，從而結(jié)合圖像得解；
（2）先將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為的值域是的值域的子集，再分別求得與的值域，從而利用數(shù)軸法即可得解.
【小問(wèn)1詳解】
因?yàn)椋?br>所以當(dāng)時(shí)，開口向上，對(duì)稱軸為，
則，，
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，且的圖像由的圖像向下平移兩個(gè)單位而得，
又因?yàn)榉匠逃腥齻€(gè)不等實(shí)根，所以的圖像與的圖像有三個(gè)交點(diǎn)，
作出與的圖像如下：
所以，即.
【小問(wèn)2詳解】
因?yàn)閷?duì)，總，使得，
所以的值域是的值域的子集，
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，
所以當(dāng)時(shí)，，
因?yàn)殚_口向上，對(duì)稱軸為，
所以當(dāng)時(shí)，，
又，，
所以，即，
所以，則，解得，
所以實(shí)數(shù)取值范圍為.
【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：不等式的恒成立與有解問(wèn)題，可按如下規(guī)則轉(zhuǎn)化：一般地，函數(shù)，，
（1）若，，總有成立，故；
（2）若，，有成立，故；
（3）若，，有成立，故；
（4）若，，有，則的值域是值域的子集．
五、閱讀與探究（本大題1個(gè)小題，共8分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，條理清晰．）
20. 閱讀材料：碳14是一種著名的放射性物質(zhì)，像鈾235、鍶90、碘235、銫235、鐳235等也都是放射性物質(zhì)．放射性物質(zhì)是指那些能自然地向外輻射能量，發(fā)出射線的物質(zhì)．在一個(gè)給定的單位時(shí)間內(nèi)，放射性物質(zhì)的質(zhì)量會(huì)按某個(gè)衰減率衰減．一般會(huì)用放射性物質(zhì)質(zhì)量衰減一半所用的時(shí)間來(lái)描述其衰減情況，這個(gè)時(shí)間被稱為半衰期．當(dāng)生物死亡后，它機(jī)體內(nèi)原有的碳14含量會(huì)按確定的比率衰減，大約每經(jīng)過(guò)5730年衰減為原來(lái)的一半，這個(gè)時(shí)間稱為碳14的“半衰期”．設(shè)死亡生物體內(nèi)碳14含量的年衰減率為，如果把剛死亡的生物體內(nèi)碳14含量看成一個(gè)單位，那么死亡1年后，生物體內(nèi)碳14含量為；死亡2年后，生物體內(nèi)碳14含量為；……死亡5730年后，生物體內(nèi)碳14含量為．根據(jù)已知條件，，則．由此可以得到如果是碳14的初始質(zhì)量，那么經(jīng)過(guò)年后，碳14所剩的質(zhì)量為，則．在實(shí)際問(wèn)題中，形如（，，，）是刻畫指數(shù)衰減或指數(shù)增長(zhǎng)變化規(guī)律的非常有用的函數(shù)模型．這種模型刻畫現(xiàn)實(shí)事物變化規(guī)律的關(guān)鍵詞是“衰減率（增長(zhǎng)率）為常數(shù)”，發(fā)現(xiàn)規(guī)律的方法是作除法運(yùn)算．如果以連續(xù)的時(shí)間變化為序，從一般意義來(lái)考查表達(dá)式，可以發(fā)現(xiàn)，對(duì)于任意給定的時(shí)間間隔，，由此可知這一類運(yùn)動(dòng)變化現(xiàn)象有如下規(guī)律：對(duì)于相同的時(shí)間改變量，其函數(shù)值按確定的比例在增長(zhǎng)（）或衰減（）．
結(jié)合閱讀材料回答下列問(wèn)題：
（1）一般地，如果某放射性物質(zhì)的初始質(zhì)量為，半衰期為，那么經(jīng)過(guò)時(shí)間后，該物質(zhì)所剩的質(zhì)量為，試寫出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；
（2）考古學(xué)家在對(duì)考古活動(dòng)時(shí)發(fā)現(xiàn)的某種生物標(biāo)本進(jìn)行研究，經(jīng)探測(cè)發(fā)現(xiàn)該生物體的體內(nèi)碳14含量是原來(lái)的62.5%，試推測(cè)該生物的死亡時(shí)間距今約多少年？（參考數(shù)據(jù)：）
（3）已知函數(shù)，，且，，，…，，，求函數(shù)，的一個(gè)解析式．
【答案】（1），其中；
（2）3820 （3）
【解析】
【分析】（1）由題意得到函數(shù)關(guān)系式；
（2）列出方程，利用對(duì)數(shù)運(yùn)算法則求出該生物的死亡時(shí)間；
（3）推理出是以4為增長(zhǎng)比例呈指數(shù)增長(zhǎng)，結(jié)合，從而寫出的解析式.
【小問(wèn)1詳解】
，其中；
【小問(wèn)2詳解】
由題意得：，則，
兩邊取常用對(duì)數(shù)可得：，解得：（年），
故該生物的死亡時(shí)間距今約3820年；
【小問(wèn)3詳解】
由題意得：，，……，，
故函數(shù)是以4為增長(zhǎng)比例呈指數(shù)增長(zhǎng)，
設(shè)函數(shù)，又，所以，所以.

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