一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一個選項符合題目要求.
1. 若復(fù)數(shù)滿足，則的共軛復(fù)數(shù)是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因?yàn)?，所以，所?
故選：B．
2. 若三點(diǎn)、、共線，則實(shí)數(shù)的值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】已知三點(diǎn)、、共線，則，，
由題意可知，所以，，解得.
故選：D.
3. 在一次知識競賽中，某班6名學(xué)生的成績（單位：分）分別是65，60，70，72，86，80，則這6名學(xué)生成績的75%分位數(shù)是（ ）
A 70分B. 72分C. 80分D. 84分
【答案】C
【解析】將成績按升序排列可得：60，65，70，72，80，86，
因?yàn)?，所?名學(xué)生成績的75%分位數(shù)是第5位數(shù)80.
故選：C.
4. 從裝有兩個紅球和兩個黑球的口袋里任取兩個球，那么互為對立的兩個事件是（ ）
A. “至少有一個紅球”與“都是紅球”
B. “至少有一個紅球”與“都是黑球”
C. “至少有一個紅球”與“至少有一個黑球”
D. “恰好有一個紅球”與“恰好有兩個紅球”
【答案】B
【解析】設(shè)紅球的編號為1，2，黑球的編號為a，b，
取2個球的全集，
對于A，事件A：“至少有1個紅球”，
事件B：“都是紅球”，
，錯誤；
對于B，事件C：“都是黑球”，，并且，
即A與C必然有一個會發(fā)生，正確；
對于C，事件D：“至少1個是黑球”，，錯誤；
對于D，事件E：“恰好1個是紅球”，
事件F：“恰好2個是紅球”，
所以，但，所以E和F不是對立事件，只是互斥事件，錯誤.
故選：B.
5. 已知向量，若，則（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】C
【解析】若，則，
若，顯然不滿足，
可得，則，
所以.
故選：C.
6. 已知正三棱柱的所有棱長都是2，點(diǎn)在棱上運(yùn)動，則的最小值為（ ）
A. B. 4C. D.
【答案】C
【解析】如圖，將側(cè)面和側(cè)面展開成一個平面，
則，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時，等號成立，
所以的最小值為.
故選：C.
7. 已知向量，則向量在向量上的投影向量（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因?yàn)?，，所以，?br>所以向量在向量上的投影向量為.
故選：D.
8. 銳角中，內(nèi)角、、的對邊分別為、、，為的面積，且，，則的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因?yàn)?，即，即?br>因?yàn)闉殇J角三角形，則，所以，，則，
因?yàn)?，由正弦定理可得?br>由已知可得，解得，則，
因此，.
故選：B.
二、多項選擇題：本題共4小題，每小題滿分5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對得5分，部分選對得2人，有選錯的得0分.
9. 分別拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，設(shè)事件“第一枚正面朝上”，事件“第二枚反面朝上”，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A. A和為互斥事件B. A與為相互獨(dú)立事件
C. D. 該試驗(yàn)樣本空間共有4個樣本點(diǎn)
【答案】BCD
【解析】對于選項A：因?yàn)槭录?“第一枚正面朝上，第二枚反面朝上”是隨機(jī)事件，
所以A和不為互斥事件，故A錯誤；
對于選項D：分別拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，則有：（正，正），（正，反），（反，正），（反，反），
所以該試驗(yàn)樣本空間共有4個樣本點(diǎn)，故D正確；
對于選項C：事件為（正，反），共有1個樣本點(diǎn)，所以，故C正確；
對于選項B：因?yàn)槭录椋ㄕ?，（正，反），共?個樣本點(diǎn)，則，
事件為（正，反），（反，反），共有2個樣本點(diǎn)，則，
因?yàn)?，所以A與為相互獨(dú)立事件，故B正確.
故選：BCD.
10. 根據(jù)某地月日到月日的每天最高氣溫與最低氣溫數(shù)據(jù)（單位：）繪制如下折線圖，那么下列敘述正確的是（ ）
A. 號到號的最低氣溫的極差比最高氣溫的極差小
B. 號的最高氣溫與最低氣溫的差值最大
C. 最高氣溫的眾數(shù)為
D. 最低氣溫的中位數(shù)為
【答案】AC
【解析】對于A選項，由圖可知，號到號的最高氣溫的極差為，
號到號的最低氣溫的極差小于，
所以，號到號的最低氣溫的極差比最高氣溫的極差小，A對；
對于B選項，由圖可知號的最高氣溫與最低氣溫的差值最大，B錯；
對于C選項，最高氣溫出現(xiàn)了兩次，其他數(shù)據(jù)出現(xiàn)為次，故是最高氣溫的眾數(shù)，
故C正確；
對于D選項，最低氣溫由小到大的日期依次為號、號、號、號、號、號、號、號、號、號、號，
所以，號（或號或號）的氣溫為最低氣溫的中位數(shù)，
結(jié)合圖形可知，最低氣溫的中位數(shù)小于，D錯.
故選：AC.
11. 下列命題正確的是（ ）
A. 若向量滿足，則
B. 已知平面內(nèi)的一組基底，則向量也能作為一組基底
C. 模等于1個單位長度的向量是單位向量，所有單位向量均相等
D. 在中，若，則為鈍角三角形
【答案】BD
【解析】對于選項A：例如，且反向，可得，
但不能得到，故A錯誤；
對于選項B：假設(shè)共線，則存在實(shí)數(shù)，使得，
且不共線，可得，無解，
假設(shè)不成立，所以不共線，則向量也能作為一組基底，故B正確；
對于選項C：模等于1個單位長度的向量是單位向量，但單位向量的方向不確定，
所以單位向量不一定相等，故C錯誤；
對于選項D：因?yàn)?，可得?br>且，則角為鈍角，所以為鈍角三角形，故D正確.
故選：BD.
12. 木工小張在處理如圖所示的一塊四棱臺形狀的木塊時，為了經(jīng)過木料表面內(nèi)一點(diǎn)和棱將木料平整鋸開，需要在木料表面過點(diǎn)畫直線.則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. B.
C. 與直線相交D. 與直線相交
【答案】CD
【解析】延長、交于點(diǎn)，則、的延長線也過點(diǎn)，如下圖所示：
因?yàn)椋瑒t平面，則直線即為所求作的直線，
所以，直線與直線、直線、直線、直線都相交.
故選：CD.
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13. 已知平面非零向量與的夾角為，若，則______________.
【答案】2
【解析】因?yàn)椋瑒t，
整理得，解得或（舍去），
所以.
故答案為：2.
14. 現(xiàn)有一組數(shù)據(jù)，則這組數(shù)據(jù)的方差是______________.
【答案】
【解析】由題意，的平均值為：，
根據(jù)方差的定義，這個數(shù)的方差為：.
故答案為：.
15. 若復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位，）對應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，則的取值范圍是____________.
【答案】
【解析】由題意可得：，解得，
所以的取值范圍是.
故答案為：.
16. 唐朝著名的鳳鳥花卉紋浮雕銀杯（如圖1）所示，它的盛酒部分可以近似地看作是半球與圓柱的組合體（如圖2），酒杯內(nèi)壁表面光滑.假設(shè)這種酒杯內(nèi)壁表面積為平方厘米，半球的半徑為厘米.若要使得這種酒杯的容積不大于半球體積的倍，則的取值范圍為___________.
【答案】
【解析】設(shè)圓柱的高為，則這種酒杯內(nèi)壁表面積為，可得，
可得，由，可得，可得，
因?yàn)檫@種酒杯的容積不大于半球體積的倍，即，
可得，解得，所以，
故答案為：.
四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17. 如圖，直四棱柱中，分別為的中點(diǎn)，，，.
（1）求證：平面；
（2）求三棱錐的體積.
解：（1）分別為的中點(diǎn)，
，
又平面，平面，
平面.
（2）中，，
可得，
又直四棱柱中，
三棱錐的高，
.
18. 2022年9月市新冠肺炎疫情發(fā)生后，“疫”聲令下，省內(nèi)各大市區(qū)紛紛聞訊而動，約5000名醫(yī)務(wù)工作者積極馳援該市，為抗疫工作注入堅實(shí)而溫暖的力量，各方力量扭成一股繩，合力書寫了守望相助的抗疫故事.現(xiàn)從各市支援市某地區(qū)的500名醫(yī)務(wù)工作者中隨機(jī)抽取50名，將這50人的年齡按照這3個區(qū)間繪制如圖所示的頻率分布直方圖.
（1）根據(jù)頻率分布直方圖，估計這50名醫(yī)務(wù)工作者的平均年齡（同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表）；
（2）現(xiàn)需要對居民隔離的居民進(jìn)行單管核酸檢測，防疫指揮部決定在兩區(qū)間段醫(yī)務(wù)工作者中按分層隨機(jī)抽樣方法抽取5人.假設(shè)5人已經(jīng)選定，現(xiàn)要從這5人中選擇2人到某戶進(jìn)行檢測，求選中的兩人來自同一年齡段的概率.
解：（1）依題意，醫(yī)務(wù)工作者的平均年齡為：.
（2）根據(jù)直方圖可得，在區(qū)間中的兩段人數(shù)比例為，
根據(jù)分層抽樣，在中分別抽取人和人，
將里抽取的人數(shù)編號為：，將里抽取的人數(shù)編號為：，
于是人抽取人所有可能的事件為：，有種，
抽取的人來自同一年齡段的事件為：，有種，
根據(jù)古典概型的計算公式，兩人來自同一年齡段的概率為.
19. 已知函數(shù).
（1）求函數(shù)的對稱軸方程；
（2）將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象.若為偶函數(shù)，求的最小值.
解：（1）
，
由可得，
所以，函數(shù)的對稱軸方程為.
（2）將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象，
則，
因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，則，可得，
因?yàn)?，?dāng)時，取最小值.
20. 如圖，在四棱錐中，底面是直角梯形，平面，是邊上一點(diǎn)，且滿足是正方形，.
（1）求證：平面平面；
（2）已知：，二面角的平面角為.是否存在，使得？若存在，求出；若不存在，說明理由.
解：（1）證明：因?yàn)槠矫?，平面，所以?br>因?yàn)檎叫?，所以?br>又平面，所以平面，
因?yàn)槠矫?，所以平平面平?
（2）過作于，連接，
因?yàn)槠矫妫矫?，所以?br>因?yàn)椋矫?，所以平面?br>又平面，所以，則為二面角的平面角，
所以，則，
又因?yàn)檎叫沃?，有，又，所以此時與重合，
因?yàn)椋?，則，
所以，故，
故存在使得.
21. 如圖，在直角中，角為直角，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)滿足，點(diǎn)是邊上的動點(diǎn).
（1）若點(diǎn)是邊上靠近的三等分點(diǎn)，設(shè)，求的值；
（2）若，求的取值范圍.
解：（1）因?yàn)椋裕?br>若點(diǎn)是邊上靠近的三等分點(diǎn)，則，即，
所以，
又，、不共線，所以，所以.
（2）如圖以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，
則，，，，
因在上，設(shè)（），
所以，
，
所以，
因?yàn)?，所以?dāng)時，，
又，所以當(dāng)時，，
所以.
22. 在中，角，，對邊分別為，，，且.
（1）求和的值；
（2）設(shè)點(diǎn)在邊上，且，是的角平分線，求的最小值.
解：（1）因?yàn)椋?br>由正弦定理可得，即，
即，
由余弦定理，
又，所以.
（2）因?yàn)?，解得或（舍去）?br>又是的角平分線，，所以，
即，即，
所以，所以且，
所以
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即、時取等號，
所以的最小值為.

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