1．已知集合，集合，則（ ）
A．B．
C．D．
2．已知，“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
3．函數(shù) 的圖象大致為（ ）
A．B．
C．D．
4．對變量有觀測數(shù)據(jù)，得散點(diǎn)圖1；對變量有觀測數(shù)據(jù)，得散點(diǎn)圖2.表示變量之間的線性相關(guān)系數(shù)，表示變量之間的線性相關(guān)系數(shù)，則下列說法正確的是（ ）
A．變量與呈現(xiàn)正相關(guān)，且B．變量與呈現(xiàn)負(fù)相關(guān)，且
C．變量與呈現(xiàn)正相關(guān)，且D．變量與呈現(xiàn)負(fù)相關(guān)，且
5．已知，，則（ ）
A．B．C．D．
6．已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系是（ ）
A．B．C．D．
7．已知數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，且，，為等比數(shù)列的連續(xù)三項(xiàng)，則的值為（ ）
A．B．4C．2D．
8．定義在上的函數(shù)滿足，對任意的、，，恒有，則關(guān)于的不等式的解集為（ ）
A．B．
C．D．
9．已知函數(shù)，若在區(qū)間上單調(diào)遞增，且在區(qū)間上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空題（本大題共6小題）
10．是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)滿足，則 .
11．二項(xiàng)式的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為 ．
12．口袋里有標(biāo)號為1，2，3的三個(gè)小球，從中任取一球，記下它的號碼后放回袋中，這樣連續(xù)操作三次．若每次取到各個(gè)小球的可能性相等，記事件“三次抽到的號碼不全相同”；則 ；記事件“三次抽到的號碼之和為7”，則 ．（用數(shù)字作答）
13．如圖，已知的面積為，若，點(diǎn)分別為邊中點(diǎn)，則的最大值為 .
14．已知數(shù)列滿足，且，則 ；記的前項(xiàng)和為，則 .
15．已知，，若有兩零點(diǎn)、，且，則的取值范圍是 .
三、解答題（本大題共5小題）
16．在中，角的所對的邊分別為，已知.
(1)求角的大小；
(2)若的面積為，且.
（i）求的值；
（ii）求的值.
17．如圖，在直三棱柱中，，點(diǎn)分別在棱和棱上，且.
(1)設(shè)點(diǎn)為棱中點(diǎn)，求證：平面；
(2)求直線與平面所成角的正弦值；
(3)求平面與平面夾角的余弦值.
18．已知橢圓過點(diǎn)，其長軸長為4，下頂點(diǎn)為，若作與軸不重合且不平行的直線交橢圓于兩點(diǎn)，直線分別與軸交于兩點(diǎn).
(1)求橢圓的方程；
(2)當(dāng)點(diǎn)橫坐標(biāo)的乘積為時(shí)，試探究直線是否過定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，請求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請說明理由.
19．已知等差數(shù)列前項(xiàng)和為，數(shù)列是等比數(shù)列，，.
(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；
(2)對任意的正整數(shù)，設(shè)記數(shù)列的前項(xiàng)和為，求.
(3)設(shè)，若對任意的，都有.成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
20．已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí)，求曲線y=fx在點(diǎn)1,f1處的切線方程；
(2)若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)無零點(diǎn)，求的最小值；
(3)若對任意給定的，在上總存在兩個(gè)不同的，使得成立，求的取值范圍.
答案
1．【正確答案】A
【詳解】根據(jù)題意，，
，
所以.
故選：A
2．【正確答案】B
【詳解】取，，則可知由“”無法推出“”．
，，兩邊平方化簡得；
則，“”是“”的必要不充分條件；
故選：B
3．【正確答案】D
【分析】借助函數(shù)的奇偶性、可排除AC，再代入特殊值，借助函數(shù)的正負(fù)排除B.
【詳解】的定義域?yàn)椋?br>，
為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，故AC錯(cuò)誤；
故B錯(cuò)誤.
故選：D.
4．【正確答案】C
【詳解】由題意可知，變量的散點(diǎn)圖中，隨的增大而增大，所以變量與呈現(xiàn)正相關(guān)；
再分別觀察兩個(gè)散點(diǎn)圖，圖比圖點(diǎn)更加集中，相關(guān)性更好，所以線性相關(guān)系數(shù).
故選：C.
5．【正確答案】C
【詳解】因?yàn)椋裕驗(yàn)椋?br>所以，
故．
故選：C
6．【正確答案】A
【分析】通過換底公式得，再結(jié)合單調(diào)性可以判斷b，c的大小，再以“1”作為中間量，可以判斷a，b的大小，從而得解.
【詳解】設(shè)，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，則，
又，，所以，
因?yàn)?，所以?br>綜上，a，b，c的大小關(guān)系是.
故選A.
7．【正確答案】A
【詳解】分析：數(shù)列{an}是公差d不為0的等差數(shù)列，且a1，a3，a7為等比數(shù)列{bn}的連續(xù)三項(xiàng)，可得=a1?a7，化簡可得a1與d的關(guān)系．可得公比q=．即可得出=．
詳解：數(shù)列{an}是公差d不為0的等差數(shù)列，且a1，a3，a7為等比數(shù)列{bn}的連續(xù)三項(xiàng)，
∴=a1?a7，可得=a1（a1+6d），化為：a1=2d≠0．
∴公比q====2．
則==．
故選A．
點(diǎn)睛：本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．
8．【正確答案】B
【詳解】不妨取，則，即，
所以函數(shù)是定義在上的增函數(shù)，
對任意的，，
由可得，
即，
所以，。解得，
因此，不等式的解集為.
故選：B.
9．【正確答案】D
【詳解】
.
，由于在區(qū)間上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，
所以，
而，
其中，而，
在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以，解得，
則.
故選：D
10．【正確答案】
【詳解】因?yàn)?，所以?br>所以，
故答案為.
11．【正確答案】280
【詳解】二項(xiàng)式的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為.
故答案為.
12．【正確答案】 /0.25
【詳解】“三次抽到的號碼全相同”， 由題意，
所以，
事件“三次抽到的號碼之和為7”，即抽到的三個(gè)數(shù)為2，2，3或1，3，3，
故，
，
故，
故；
13．【正確答案】
【詳解】因?yàn)椋裕?br>因?yàn)?，?br>所以
，
因?yàn)椋?br>當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號，所以的最小值為，
所以的最大值為，即最大值為.
故答案為.
14．【正確答案】
【詳解】因?yàn)椋?且，
則，，，
，，，
所以，
且是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，
是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，
是以為首相，為公差的等差數(shù)列，
則
.
故；
15．【正確答案】
【詳解】由可得，等式兩邊同除以，可得.
令，可得，即，設(shè)，
①當(dāng)時(shí)，作出函數(shù)與函數(shù)的圖象如下圖所示，
若使得兩個(gè)函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，則，解得，且，
由，解得，由，解得，
，不合乎題意；
②當(dāng)時(shí)，作出函數(shù)與函數(shù)的圖象如下圖所示，
，此時(shí)兩個(gè)函數(shù)圖象沒有交點(diǎn)，不合乎題意；
③當(dāng)時(shí)，則，
兩個(gè)函數(shù)圖象沒有交點(diǎn)，不合乎題意；
④當(dāng)時(shí)，作出函數(shù)與函數(shù)的圖象如下圖所示，
此時(shí)，兩個(gè)函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，且，
（i）若，即時(shí)，
由，解得，由，解得，
，合乎題意；
（ii）若時(shí)，則，則，不合乎題意；
（iii）當(dāng)，即時(shí)，
由，可得，由，可得，
此時(shí)，不合乎題意.
綜上所述，的取值范圍是.
故答案為.
16．【正確答案】(1)
(2)（i）；（ii）
【詳解】（1）依題意，，
由正弦定理得，
由于三角形中，，
所以，
所以為銳角，所以.
（2）（i），
由余弦定理得，
由正弦定理得，
（ii），
所以，
，
所以
.
17．【正確答案】(1)證明見解析
(2)
(3)
【詳解】（1）取中點(diǎn)，連接、，
則，且，
所以且，所以四邊形為平行四邊形，所以．
又平面，平面，
所以平面．
（2）因?yàn)橹比庵?，所以、、兩兩垂直?br>分別以、、的方向?yàn)檩S、軸、軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，，
所以，，，
設(shè)平面法向量為，
則，，
即，
令，則，
所以為平面的一個(gè)法向量．
設(shè)直線與平面所成的角為，
則，
所以直線與平面所成角的正弦值為．
（3）由（2）得平面的一個(gè)法向量．
，
設(shè)平面的法向量為，
則，故可設(shè).
設(shè)平面與平面夾角為，
則.
18．【正確答案】(1)
(2)直線過定點(diǎn)，坐標(biāo)為.
【詳解】（1）由橢圓長軸長為，可知，將代入橢圓方程：，
所以橢圓的方程為.
（2）設(shè)直線的方程為，，由
則直線的方程為，令，得，
同理可得，
所以，
所以，
把直線代入橢圓方程中，得出，
所以，
代入，
化簡得，
所以直線過定點(diǎn).
19．【正確答案】(1)
(2)
(3)
【詳解】（1）設(shè)的公差為d，的公比為q．則，∴
∴；
（2）由（1）知，
所以，
所以，
令，
，
兩式相減可得：，
所以，
令
，
所以，
（3），
所以，
由恒成立可得：
恒成立，
即求當(dāng)時(shí)的最小值，
對于，顯然當(dāng)遞增，當(dāng)時(shí)取最小15，
令，則，
顯然當(dāng)時(shí)，，
即當(dāng)時(shí)取最大為，
所以的最小值為11，
所以，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍是
20．【正確答案】(1);
(2);
(3).
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)， 有，
則，即，
又，
所以曲線y=fx在點(diǎn)1,f1處的切線方程為：，
即，整理得：；
（2）根據(jù)對數(shù)函數(shù)可知： 當(dāng)時(shí)，，
所以函數(shù)，滿足當(dāng)時(shí)，，
因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間內(nèi)無零點(diǎn)，即恒成立，
不等式等價(jià)于，
令，，則，
再令，，則
由此時(shí)，可知，
即有在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以，
由，即在區(qū)間單調(diào)遞減，
所以，再根據(jù)恒成立，
可知
綜上，若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)無零點(diǎn)，則的最小值是；
（3）由求導(dǎo)得：，
當(dāng)x∈0,1時(shí)，，函數(shù)在區(qū)間0,1上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，
又因?yàn)?br>所以函數(shù)在上的值域?yàn)椋?br>由對任意給定的，在上總存在兩個(gè)不同的，使得成立，
所以當(dāng)時(shí)，是單調(diào)遞減函數(shù)，不滿足題意，故舍去；
則當(dāng)時(shí)，由求導(dǎo)得：，
當(dāng)時(shí)，，
由題意可知，在上不單調(diào)，
故，解得：
此時(shí)，當(dāng)變化時(shí)，的變化情況如下：
又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，由，，
而，
，
再由對任意給定的，在上總存在兩個(gè)不同的，使得成立，結(jié)合函數(shù)在上的值域?yàn)椋?br>則當(dāng)且僅當(dāng)滿足下列條件：
，即有，
令，，
求導(dǎo)得：，
令，得，
所以當(dāng)時(shí)，，故在區(qū)間上遞增，
所以當(dāng)時(shí)，，故在區(qū)間上遞減，
則，
所以不等式對任意恒成立，
而解不等式得：，又因?yàn)椋?br>所以綜上，滿足上述不等式組的的取值范圍是
即當(dāng)?shù)姆秶?時(shí)，對任意給定的，在上總存在兩個(gè)不同的，使得成立．
f'x
負(fù)
正
遞減
最小值
遞增

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