1．已知集合，則（ ）
A．B．C．D．
2．已知，則下列關(guān)系中正確的是（ ）
A．B．C．D．
3．命題“，”的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
4．已知角的終邊上一點的坐標為，則（ ）
A．B．C．3D．4
5．已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則該冪函數(shù)的大致圖象是（ ）
A．B．
C．D．
6．函數(shù)的定義域為（ ）
A．B．
C．D．
7．已知一直角三角形的面積為，則其兩條直角邊的和的最小值為（ ）
A．20cmB．C．30cmD．40cm
8．已知函數(shù)的兩個零點分別是和3，函數(shù)，則函數(shù)在上的值域為（ ）
A．B．C．D．
二、多選題（本大題共4小題）
9．下列各式中計算結(jié)果等于1的有（ ）
A．B．
C．D．
10．已知函數(shù)，則以下說法正確的是（ ）
A．函數(shù)的定義域為B．函數(shù)的值域為
C．函數(shù)是定義域上的奇函數(shù)D．函數(shù)是定義域上的偶函數(shù)
11．“，”為真命題的充分條件可以是（ ）
A．B．C．D．
12．已知函數(shù)，則（ ）
A．點是函數(shù)的圖象的一個對稱中心
B．直線是函數(shù)的圖象的一條對稱軸
C．區(qū)間是函數(shù)的一個單調(diào)增區(qū)間
D．區(qū)間是函數(shù)的一個單調(diào)增區(qū)間
三、填空題（本大題共4小題）
13．已知扇形的圓心角為2弧度，半徑，則其面積為 .
14．若指數(shù)函數(shù)（，且）過，則 .（將結(jié)果化為最簡）
15．在，，中，最大的數(shù)是 .
16．已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且對任意，當時，都有恒成立.則不等式的解集為 .
四、解答題（本大題共6小題）
17．（1）計算：；
（2）解關(guān)于的一元二次不等式.
18．已知集合，.
(1)若，求；
(2)若，求實數(shù)的取值范圍.
19．已知函數(shù).
(1)將函數(shù)的圖象向左平移1個單位，得到函數(shù)的圖象，求不等式的解集；
(2)判斷函數(shù)的單調(diào)性，并用定義證明.
20．已知函數(shù).
(1)將函數(shù)的解析式化簡，并求的值，
(2)若，求函數(shù)的值域.
21．科技創(chuàng)新成為全球經(jīng)濟格局關(guān)鍵變量，某公司為實現(xiàn)1600萬元的利潤目標，準備制定一個激勵研發(fā)人員的獎勵方案：當投資收益達到600萬元時，按投資收益進行獎勵，要求獎金（單位：萬元）隨投資收益（單位：萬元）的增加而增加，獎金總數(shù)不低于20萬元，且獎金總數(shù)不超過投資收益的.
(1)現(xiàn)有①；②；③三個獎勵函數(shù)模型.結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)及已知條件.當時，判斷哪個函數(shù)模型符合公司要求？
(2)根據(jù)（1）中符合公司要求的函數(shù)模型，要使獎金達到50萬元，公司的投資收益至少為多少萬元？
22．已知.
(1)求和的值；
(2)若為第四象限角，當時，求函數(shù)的最小值.
答案
1．【正確答案】B
【分析】計算出集合后，借助交集性質(zhì)計算即可得.
【詳解】由，解得或，即，則.
故選：B.
2．【正確答案】A
【分析】由不等式的性質(zhì)可判斷A，由特值法可判斷BCD.
【詳解】由，則，A正確；
當時，，故B錯誤；
當時，，
，則，故C錯誤；
，則，故D錯誤.
故選：A.
3．【正確答案】C
【分析】全稱量詞命題的否定是存在量詞命題.
【詳解】命題“，”的否定是”，”.
故選：C.
4．【正確答案】A
【分析】由三角函數(shù)定義直接求解即可.
【詳解】由三角函數(shù)定義可得.
故選：A
5．【正確答案】C
【分析】待定系數(shù)法求出解析式，從而選出答案.
【詳解】設冪函數(shù)解析式為，將代入得，
即，故，解得，
所以，C選項為其圖象.
故選：C
6．【正確答案】D
【分析】由解析式中各式有意義建立不等式組，求解可得.
【詳解】要使函數(shù)有意義，則，
解得，且.
故函數(shù)的定義域為.
故選：D.
7．【正確答案】D
【分析】設出兩直角邊分別為cm，cm，由面積求出，根據(jù)基本不等式求出答案.
【詳解】設兩直角邊分別為cm，cm，
則，解得，
由基本不等式得，當且僅當時，等號成立，
故兩條直角邊的和的最小值為40cm.
故選：D
8．【正確答案】B
【分析】根據(jù)韋達定理得到，得到，得到其單調(diào)性，從而得到值域.
【詳解】由題意得，解得，
故，
由于與在上單調(diào)遞增，
故在上單調(diào)遞增，
故，，
故在上的值域為.
故選：B
9．【正確答案】ACD
【分析】A選項，由同角三角函數(shù)關(guān)系得到答案；B選項，利用特殊角的三角函數(shù)值直接計算；CD選項，利用對數(shù)運算公式和換底公式計算即可.
【詳解】A選項，，A正確；
B選項，，B錯誤；
C選項，，C正確；
D選項，，D正確.
故選：ACD
10．【正確答案】ABD
【分析】A選項，由真數(shù)大于0得到不等式，求出定義域；B選項，求出函數(shù)單調(diào)性，得到值域；CD選項，先得到定義域關(guān)于原點對稱，再由得到函數(shù)為偶函數(shù).
【詳解】A選項，由題意得，解得，故定義域為，A正確；
B選項，，定義域為，
由于在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
又在上單調(diào)遞增，
故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
故，值域為，B正確；
CD選項，定義域為，關(guān)于原點對稱，
且，
故為偶函數(shù)，C錯誤，D正確；
故選：ABD
11．【正確答案】AB
【分析】變形得到，恒成立，由基本不等式求出的最小值，從而得到，分析四個選項，得到AB滿足要求.
【詳解】，恒成立，
其中，當且僅當，即時，等號成立，
故，
由于和均為的真子集，故AB正確，CD不合要求.
故選：AB
12．【正確答案】BD
【分析】A選項，計算出，故點不是函數(shù)的圖象的一個對稱中心；B選項，計算出，B正確；C選項，計算出，C錯誤；D選項，時，，得到，得到D正確.
【詳解】A選項，
，
由于不恒成立，故點不是函數(shù)的圖象的一個對稱中心，A錯誤；
B選項，
，
故直線是函數(shù)的圖象的一條對稱軸，B正確；
C選項，，，
顯然，故區(qū)間不是函數(shù)的一個單調(diào)遞增區(qū)間，C錯誤；
D選項，時，恒成立，
故，
時，，
由于在上單調(diào)遞增，
故是函數(shù)的一個單調(diào)增區(qū)間，D正確.
故選：BD
13．【正確答案】4
【分析】利用扇形面積公式求出答案.
【詳解】由扇形面積公式得.
故4
14．【正確答案】5
【分析】代入，求出函數(shù)解析式，再計算出函數(shù)值.
【詳解】由題意得，又，且，故，
所以，.
故5
15．【正確答案】
【分析】先定正負得為負數(shù)最小，利用誘導公式與正弦函數(shù)的單調(diào)性比較與即可.
【詳解】由，，，
故最??；
又因為在單調(diào)遞增，
則，即，
故最大的數(shù)是.
故答案為.
16．【正確答案】
【分析】根據(jù)題目條件得到在上單調(diào)遞增，結(jié)合函數(shù)奇偶性得到或，求出答案.
【詳解】因為，所以在上單調(diào)遞增，
又是定義在上的偶函數(shù)，，
所以在上單調(diào)遞減，，
或，解得或.
所以不等式的解集為.
故答案為.
17．【正確答案】（1）；（2）答案見解析
【分析】（1）根據(jù)指數(shù)運算和對數(shù)運算法則計算出答案；
（2）分，與三種情況，求出不等式解集.
【詳解】（1）；
（2）當?shù)茫?，無解，
當時，解集為，
當時，解集為，
綜上，當時，解集為，
當時，解集為，
當時，解集為.
18．【正確答案】(1)
(2)
【分析】（1）解方程得到，從而得到，利用交集概念求出答案；
（2）根據(jù)包含關(guān)系得到不等式，求出實數(shù)的取值范圍.
【詳解】（1），解得，故，
，
故；
（2），
由于恒成立，故，
又，
所以，解得，
故實數(shù)的取值范圍為.
19．【正確答案】(1)
(2)函數(shù)在上單調(diào)遞增，證明見解析
【分析】（1）利用平移關(guān)系得，再利用指數(shù)單調(diào)性解指數(shù)不等式可得；
（2）定義域內(nèi)取值、作差變形、定號結(jié)論，利用定義證明單調(diào)性.
【詳解】（1）由題意得，
則即，解得 ，
故不等式的解集為；
（2）函數(shù)在上單調(diào)遞增.
證明：函數(shù)的定義域是.
，且，有
，
，，結(jié)合是增函數(shù)，
，，又，，
，即，
故函數(shù)在上單調(diào)遞增.
20．【正確答案】(1)，；
(2)
【分析】（1）利用同角三角函數(shù)關(guān)系和誘導公式化簡，并代入求值；
（2）得到，得到，求出值域.
【詳解】（1）
，
故；
（2），
時，，，
故函數(shù)值域為.
21．【正確答案】(1)①不符合，②不符合，③符合，理由見解析
(2)
【分析】（1）根據(jù)公司要求知函數(shù)為增函數(shù)，同時應滿足且，一一驗證所給的函數(shù)模型即可；
（2）由，解不等式即可.
【詳解】（1）由題意，符合公司要求的函數(shù)在上單調(diào)遞增，
且對任意恒有且.
①對于函數(shù)在上單調(diào)遞增，
當時，不符合要求；
②對于函數(shù)在上單調(diào)遞減，不符合要求；
③對于函數(shù)，在上單調(diào)遞增，
且當時，
，
因為
而所以當時，恒成立，
因此為符合公司要求的函數(shù)模型.
（2）由得，
所以,
所以公司的投資收益至少為萬元.
22．【正確答案】(1)；
(2)
【分析】（1）利用兩角和的正弦與余弦公式展開化簡已知等式得，由同角三角函數(shù)關(guān)系得，再由二倍角正切公式可得；
（2）由為第四象限，可得的值，確定二次函數(shù)，按對稱軸是否在區(qū)間內(nèi)分類討論求最小值即可.
【詳解】（1）由得，
，
所以有，
化簡整理得.
若，則，這與矛盾，
故，所以有，
則；
（2）由為第四象限角，得，
故聯(lián)立，可得，
所以，
二次函數(shù)的圖象開口向上，對稱軸為，
由，，則.
當時，，在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
則；
當時，在單調(diào)遞增，
則.
綜上所述， .

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