1. 下列集合符號運用不正確的是()
A. B.
C. D.
【正確答案】B
【分析】根據(jù)集合知識,逐項分析,即可求得答案.
對于A,由,故A正確;
對于B,因為,故B錯誤;
對于C,因為,故C正確;
對于D,因為,故D正確.
故選:B.
解題關(guān)鍵是掌握集合的基礎(chǔ)知識,考查了分析能力,屬于基礎(chǔ)題.
2. 已知全集，集合，則圖中陰影部分所表示的集合為（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】A
【分析】
根據(jù)圖像判斷出陰影部分表示，由此求得正確選項.
根據(jù)圖像可知，陰影部分表示，，所以.
故選：A
本小題主要考查集合交集與補集的概念和運算，考查韋恩圖，屬于基礎(chǔ)題.
3. 下列各組函數(shù)中f（x）和表示相同函數(shù)的是（）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【正確答案】D
分析】根據(jù)函數(shù)相等：對應(yīng)關(guān)系相同，定義域相同，逐項分析判斷.
對A：的定義域為R，的定義域為，則兩個函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系相同，定義域不相同，A錯誤；
對B：∵，解得或，則的定義域為，
又∵，解得，則的定義域為，
則兩個函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系相同，定義域不相同，B錯誤；
對C：的定義域為R，的定義域為R，則兩個函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系不相同，定義域相同，C錯誤；
對D：的定義域為R，的定義域為R，則兩個函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系相同，定義域相同，D正確；
故選：D.
4. 已知函數(shù)，則（）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【正確答案】A
【分析】
根據(jù)分段函數(shù)的解析式直接計算求值.
∵，
∴，
∴．
故選：A
5. “不等式在R上恒成立”的充分不必要條件是（）
A. B. C. D.
【正確答案】A
【分析】根據(jù)二次不等式恒成立求出充要條件，再由充分條件，必要條件的概念求出選項.
不等式在R上恒成立，即，
因為，但不能推出成立，
故是不等式在R上恒成立的充分不必要條件，
故選：A
6. 今有一臺壞天平，兩臂長不等，其余均精確，有人要用它稱物體的質(zhì)量，他將物體放在左右托盤各稱一次，記兩次稱量結(jié)果分別為，設(shè)物體的真實質(zhì)量為G，則（）
AB. C. D.
【正確答案】C
【分析】根據(jù)物理知識可求真實重量為，利用基本不等式可得兩者之間的大小關(guān)系.
解：設(shè)天平的左右臂分別為，物體放在左右托盤稱得的重量分別為, 真實重量為,
所以，由杠桿平衡原理知：，,
所以，由上式得，即，
因為,，
所以，由均值不等式，
故選：C.
7. 已知函數(shù)的圖象如圖所示，則關(guān)于的不等式的解集為（）
A. B.
C. D.
【正確答案】B
【分析】分析可得，，，利用二次不等式的解法解不等式，即可得解.
由二次函數(shù)的圖象可知，函數(shù)的圖象開口向上，且該函數(shù)的圖象與軸相切，對稱軸為直線，
所以，，且，則，，
不等式即，即，解得，
因此，不等式的解集為.
故選：B.
8. 已知使不等式成立的任意一個，都滿足不等式，則實數(shù)的取值范圍為（）
A. B.
C. D.
【正確答案】C
【分析】使不等式成立的任意一個，都滿足不等式，則不等式的解集是的子集，求出兩個不等式的解集，利用集合的包含關(guān)系列不等式求解.
解：由得，
因為使不等式成立的任意一個，都滿足不等式
則不等式的解集是的子集，
又由得，
當，，符合；
當，，則，，
當，，符合，
故實數(shù)的取值范圍為.
故選：C.
二、多選題（每題5分，不全得2分，有錯不得分，共4題）
9. 下列說法中正確的是（）
A. 若，則B. 若，，則
C. 若，，則D. 若，，則
【正確答案】AC
【分析】通過反例可說明BD錯誤；根據(jù)不等式的性質(zhì)可證明AC正確.
對于A，，，，A正確；
對于B，若，，則，B錯誤；
對于C，，，又，，C正確；
對于D，若，，，，則，，，D錯誤.
故選：AC.
10. 下列選項中正確的是（）
A. 已知集合，若，則
B. 若不等式的解集為，則
C. 若集合滿足，則滿足條件的集合有8個
D. 已知集合，若，則的取值范圍為
【正確答案】CD
【分析】根據(jù)集合的包含關(guān)系及集合元素的性質(zhì)可判斷A，根據(jù)二次不等式的解法可判斷B，根據(jù)集合的關(guān)系及集合子集的個數(shù)可判斷C，根據(jù)集合的包含關(guān)系可判斷D.
由，可知，所以或，
解得或或，根據(jù)集合元素的互異性，可得或，故A錯誤；
因為的解集為，所以，
解得，故B錯誤；
由，可知集合必有2,4，的個數(shù)為集合的子集數(shù)8個，故C正確；
因，，
所以，故D正確。
故選：CD.
11. 下列說法正確的是（）
A. 若的定義域為，則的定義域為
B. 函數(shù)的值域為
C. 函數(shù)的值域為
D. 函數(shù)在上的值域為
【正確答案】AC
【分析】根據(jù)抽象函數(shù)的定義域的求解判斷A；利用分離常數(shù)化簡函數(shù)解析式，結(jié)合反比型函數(shù)的值域判斷B；利用換元法，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求得其值域，判斷C；利用配方法，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)判斷D.
對于A，因為的定義域為，所以，
解得，即的定義域為，故A正確；
對于B，，
所以，即函數(shù)的值域為，故B不正確；
對于C，令，則，，
所以，，
所以當時，該函數(shù)取得最大值，最大值為，
所以函數(shù)的值域為，故C正確；
對于D，，其圖象的對稱軸為直線，且，，
所以函數(shù)在上的值域為，故D不正確．
故選：AC．
12. 下列說法正確的有（）
A. 若，則的最大值是
B. 若，，都是正數(shù)，且，則的最小值是3
C. 若，，，則的最小值是2
D. 若實數(shù)，滿足，則的最大值是
【正確答案】ABD
【分析】對于A，湊分母，結(jié)合基本不等式，可得答案；對于B，根據(jù)基本不等式，結(jié)合“1”的妙用，可得答案；對于C，根據(jù)基本不等式的變式，整理出關(guān)于所求整式的二次不等式，可得答案；對于D，采用換元法，設(shè)，，可將原式化簡為，結(jié)合基本不等式，可得答案．
對于A，因為，所以，所以，
所以，
當且僅當，即時等號成立，所以的最大值為，故A正確；
對于B，因為x，y，z都是正數(shù)，且，所以，，，
所以，
當且僅當，即，即時等號成立，所以的最小值為3，故B正確；
對于C，因為，，所，即（當且僅當時等號成立），
因為，所以，所以，
所以，解得（舍去）或，當且僅當時等號成立，
所以的最小值為4，故C錯誤；
對于D，，設(shè)，，
∵，當且僅當，即時，取等號
∴
則的最大值為，故D正確．
故選：ABD.
三、填空題（每題5分，共4題）
13. “，”的否定為___________.
【正確答案】，
【分析】根據(jù)全稱量詞命題的否定形式直接寫出結(jié)果即可.
因為該命題是全稱量詞命題,所以命題的否定為特稱量詞命題，
則該命題的否定為：
，.
故，.
14. 某班共有30名學生，在校運會上有20人報名參加賽跑項目，11人報名參加跳躍項目，兩項都沒有報名的有4人，則兩項都參加的人數(shù)為________.
【正確答案】5
【分析】設(shè)參加賽跑項目為集合，參加跳躍項目為集合，根據(jù)題意，可得、、中元素的數(shù)目，由集合間元素數(shù)目的關(guān)系計算可得答案.
根據(jù)題意，設(shè)參加賽跑項目為集合，參加跳躍項目為集合，
可得，（B），，
所以（A）（B），
所以兩項都參加的有5人.
故5.
15. 已知，且，則實數(shù)的值_____________.
【正確答案】3
【分析】運用配方法、換元法求出函數(shù)的解析式，最后利用代入法，通過解方程求解即可.
，令
，即，
，且，
解得：（舍去）或，
所以實數(shù)的值3.
故3
本題考查了已知函數(shù)值求自變量的值，考查了配方法、換元法的應(yīng)用，考查了數(shù)學運算能力.
16. 已知關(guān)于的不等式組僅有一個整數(shù)解，則的取值范圍為__________．
【正確答案】
【分析】分別求解兩個不等式，對于不等式，按照取值進行分類比較兩根的大小，求得不等式的解集，再根據(jù)題意，借助于數(shù)軸表示即可求出的取值范圍.
由可得，解得或，
由可得（*）.
① 若，即時，由（*）可得，顯然解集為，不合題意；
② 若，即時，由（*）可得，
因原不等式組僅有一個整數(shù)解，故，解得；
③若，即時，由（*）可得，
因原不等式組僅有一個整數(shù)解，則，解得.
綜上可得，實數(shù)的取值范圍為.
故答案為.
四、解答題（17題10分，其余每題12分，共70分）
17. 設(shè)
（1）求?的值及?;
（2）求?.
【正確答案】（1）?，?，?
（2）
【分析】分析（1）由題意得，代入方程中可求出?的值，從而可求出，
（2）先求出和，從而可求出.
【小問1詳解】
因為，
所以，
所以，，
解得，，
所以?
【小問2詳解】
因為，
所以，
所以.
18. 已知命題：關(guān)于的方程有實數(shù)根，命題．
（1）若命題是真命題，求實數(shù)的取值范圍；
（2）若是的必要不充分條件，求實數(shù)的取值范圍．
【正確答案】（1）
（2）
【分析】（1）依題意命題是假命題，即可得到，從而求出參數(shù)的取值范圍；
（2）記，，依題意可得?，即可得到不等式組，解得即可.
【小問1詳解】
解：因為命題是真命題，所以命題是假命題．
所以方程無實根，
所以．
即，即，解得或，
所以實數(shù)a的取值范圍是．
【小問2詳解】
解：由（1）可知：，
記，，
因為是的必要不充分條件，所以?，所以（等號不同時取得），
解得，所以實數(shù)的取值范圍是．
19. （1）已知，求的最大值；
（2）已知，且，求的最小值；
【正確答案】（1）；（2）.
【分析】（1）將原式改為，進而用基本不等式解決；
（2）根據(jù)，將原式改為，進而化簡，最后根據(jù)基本不等式得到答案.
（1）因為，所以，
所以，
當且僅當時取“=”.
則函數(shù)的最大值為.
（2）因為，且，
所以，
當且僅當時取“=”.
則函數(shù)的最小值為.
20. 不等式：的解集為.
（1）求集合；
（2）若不等式的解集為，且，求的取值范圍.
【正確答案】（1）；（2）.
【分析】（1）分式不等式轉(zhuǎn)化為整式不等式求得解集
（2）分類討論，當時，不符合題意，當時，求得
利用得到；
（1）
，，，
且
，
（2）∵，∴
當時，，不符合題意，舍去；
當時，不等式可化為：，注意到，
∴，∴，∴
當時，不等式可化為：，注意到無論與大小關(guān)系，均包含趨于部分，一定不符合，舍去.
綜上可知：
解含參數(shù)的一元二次不等式時分類討論的依據(jù)
(1)二次項中若含有參數(shù)應(yīng)討論是等于0，小于0，還是大于0，然后將不等式轉(zhuǎn)化為一次不等式或二次項系數(shù)為正的形式．
(2)當不等式對應(yīng)方程的實根的個數(shù)不確定時，討論判別式Δ與0的關(guān)系．
(3)確定無實根時可直接寫出解集，確定方程有兩個實根時，要討論兩實根的大小關(guān)系，從而確定解集形式．
21. 學習機是一種電子教學類產(chǎn)品，也統(tǒng)指對學習有輔助作用的所有電子教育器材．學習機較其他移動終端更注重學習資源和教學策略的應(yīng)用，課堂同步輔導(dǎo)?全科輔學功能?多國語言學習?標準專業(yè)詞典以及內(nèi)存自由擴充等功能成為學習機的主流競爭手段，越來越多的學習機產(chǎn)品全面兼容網(wǎng)絡(luò)學習?情境學習?隨身學習機外教?單詞聯(lián)想記憶?同步教材講解?互動全真題試卷庫?權(quán)威詞典?在線圖書館等多種模式，以及大內(nèi)存和SD/MMC卡內(nèi)存自由擴充功能根據(jù)市場調(diào)查．某學習機公司生產(chǎn)學習機的年固定成本為20萬元，每生產(chǎn)1萬部還需另投入16萬元．設(shè)該公司一年內(nèi)共生產(chǎn)該款學習機萬部并全部銷售完，每萬部的銷售收入為萬元，且．當該公司一年內(nèi)共生產(chǎn)該款學習機8萬部并全部銷售完時，年利潤為1196萬元；當該公司一年內(nèi)共生產(chǎn)該款學習機20萬部并全部銷售完時，年利潤為2960萬元．
（1）寫出年利潤（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量（萬部）的函數(shù)解析式；
（2）當年產(chǎn)量為多少萬部時，公司在該款學習機的生產(chǎn)中所獲得的利潤最大？并求出最大利潤．
【正確答案】（1）
（2）當時，取得最大值為3680萬元
【分析】（1）根據(jù)題意求出，分別求出當時和當時的年利潤，即可求解；
（2）分類討論，當時根據(jù)二次函數(shù)單調(diào)性求出最大值，當時，根據(jù)基本不等式求出最大值，綜合分析即可求解．
【小問1詳解】
因為當生產(chǎn)該款學習機8萬部并全部銷售完時，年利潤為1196萬元，
所以，解得，
當該公司一年內(nèi)共生產(chǎn)該款學習機20萬部并全部銷售完時，年利潤為2960萬元，
所以，解得，
當時，，
當時，，
綜上．
【小問2詳解】
①當時，單調(diào)遞增，所以；
②當時，，
由于，
當且僅當，即時取等號，
所以此時的最大值為，
綜合①②知，當時，取得最大值為3680萬元．
22. 已知函數(shù).
（1）恒成立，求實數(shù)的取值范圍；
（2）若存在使關(guān)于的方程有四個不同的實根，求實數(shù)的取值范圍.
【正確答案】（1）
（2）
【分析】（1）根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化為恒成立，分和，兩種情況討論，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解；
（2）由，令，求得，根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化為與有4個不同的交點，分、和，三種情況討論，結(jié)合二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，即可求解.
【小問1詳解】
解：由函數(shù)，
因為不等式恒成立，即恒成立，
即恒成立，
當時，可得恒成立，符合題意；
當時，要使得恒成立，則滿足，解得，
綜上可得，實數(shù)的取值范圍.
【小問2詳解】
解：由，令，
當且僅當時，即時，等號成立，
因為方程有四個不同的實根，即與有4個不同的交點，
當時，顯然與不能有4個不同的交點；
當時，作出函數(shù)的圖象，如圖所示，
由圖象可得，顯然與不能有4個不同的交點；
當時，作出函數(shù)的圖象，如圖所示，
由圖象可得，當時，函數(shù)取得最大值為，
要使得與能有4個不同的交點，則且，
即且，所以，
綜上可得，實數(shù)的取值范圍為.

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