考生注意：
1.本試卷共4頁，21道試題，滿分150分，考試時間120分鐘.
2.本試卷分設(shè)試卷和答題紙.試卷包括試題與答題要求，作答必須涂（選擇題）或?qū)懀ǚ沁x擇題）在答題紙上，在試卷上作答一律不得分.
一、填空題（本大題滿分54分）本大題共有12題，第1—6題每題4分，第7—12題每題5分，請在答題紙相應編號的空格內(nèi)直接寫結(jié)果.
1. 函數(shù)y=lnx的零點是___________.
【正確答案】x=1
【分析】轉(zhuǎn)化為求解方程lnx=0的根即可.
【詳解】由lnx=0可得，
所以函數(shù)y=lnx的零點是，
故答案為.
2. 函數(shù)的對稱中心為__________.
【正確答案】
【分析】把原函數(shù)解析式變形得到，可得，換元，令，，原函數(shù)化為，可得它的對稱中心，即得原函數(shù)對稱中心。
【詳解】由題得，，可得，設(shè)，，則原函數(shù)化為，與成反比例函數(shù)關(guān)系且是奇函數(shù)，對稱中心為，即，解得，因此函數(shù)y的對稱中心為.
故
本題考查求函數(shù)的對稱中心，利用了換元法。
3. 已知，用表示______.
【正確答案】
【分析】利用換底公式及對數(shù)的運算性質(zhì)計算可得.
【詳解】因為，所以.
故
4. 方程的解是______.
【正確答案】或
【分析】根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)計算可得.
【詳解】因為，所以或，
即方程的解是或.
故或.
5. 已知冪函數(shù)在區(qū)間上是嚴格增函數(shù)，則______.
【正確答案】
【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義及性質(zhì)得到方程（不等式）組，解得即可.
【詳解】因為冪函數(shù)在區(qū)間上是嚴格增函數(shù)，
所以，解得.
故
6. 已知角的終邊過點，且，則角的弧度數(shù)是______.
【正確答案】
【分析】首先判斷角為第二象限角，再根據(jù)三角函數(shù)的定義及誘導公式得到，即可得解.
【詳解】因為角的終邊過點，
又，所以，，所以角為第二象限角，
因為，所以，
所以，
又，所以.
故
7. 不等式的解集是______.
【正確答案】
【分析】依題意可得，令，判斷函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合，即可求出不等式的解集.
【詳解】不等式，即，
令，，
因為與均在上單調(diào)遞增，
所以在上單調(diào)遞增，
又，所以當時，
則不等式的解集是.
故
8. 已知函數(shù)，若對不相等的正數(shù)，有成立，則的最小值為______.
【正確答案】
【分析】對于函數(shù)整理變形，再利用，可得，利用基本不等式求解最小值.
【詳解】，
由不相等的正實數(shù)，且，
則，
則，
因為，
所以，
故，則，
又，所以，
當且僅當，即，時取等號，
故的最小值為.
故
9. 已知函數(shù)值域為，則實數(shù)的取值范圍為____________．
【正確答案】
【分析】先求解出時的值域，然后根據(jù)分類討論時的值域，由此確定出的取值范圍.
【詳解】當時，，此時，
當且時，，
此時，且，所以不滿足；
當且時，，
由對勾函數(shù)單調(diào)性可知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以，此時，
若要滿足的值域為，只需要，解得；
當且時，因為均在上單調(diào)遞增，
所以在上單調(diào)遞增，且時，，時，，
所以此時，此時顯然能滿足的值域為；
綜上可知，的取值范圍是，
故答案為.
10. 已知函數(shù)是定義域為的奇函數(shù)，且.若對任意的、且，都有成立，則不等式的解集是______.
【正確答案】
【分析】依題意不妨令，即可得fx2x2>fx1x1，令，x∈?∞,0∪0,+∞，即可得到在0,+∞上單調(diào)遞增，再由及奇偶性得到在0,+∞上的取值情況，從而得到的解集.
【詳解】因為對任意的、且，都有x1fx2?x2fx1x2?x1>0成立，
不妨令，則x1fx2?x2fx1>0，即x1fx2>x2fx1，
所以fx2x2>fx1x1，
令，x∈?∞,0∪0,+∞，
則當且時，，
所以在0,+∞上單調(diào)遞增，
又函數(shù)y=fx是定義域為R的奇函數(shù)且，則，
所以，所以當時，gx0，
則當時，，當時，，
又為奇函數(shù)，所以當時，，當時，，
所以不等式的解集是.
故
11. 設(shè)，若定義域為的函數(shù)的圖象關(guān)于直線、直線、直線都成軸對稱，且在區(qū)間上恰有5個零點，則在區(qū)間上的零點個數(shù)的最小值是______.
【正確答案】13
【分析】根據(jù)函數(shù)的多對稱性得出周期，盡可能減少零點個數(shù)并作出圖象說明其存在性即可.
【詳解】因為函數(shù)關(guān)于直線對稱，又直線為對稱軸，
所以也是函數(shù)的對稱軸，又是的對稱軸，
則直線也是函數(shù)的對稱軸，進而也是函數(shù)的對稱軸.
又由關(guān)于直線對稱，則；
由關(guān)于直線對稱，則，
則，故是以為周期的函數(shù).
所以由y=fx在有5個零點，則y=fx在有5個零點，
且在至少有5個零點，
當在有5個零點時，則在無零點，
由函數(shù)關(guān)于直線對稱可知，
必有，即為其中一個零點，且在無零點，
故在各有2個零點.
由函數(shù)以為周期可知，也是函數(shù)的零點，
且函數(shù)在，，無零點，故在， 各有2個零點，
由上分析，y=fx在有5個零點，在無零點，
此時在區(qū)間上的零點個數(shù)為個.
如圖，可作出滿足題意的函數(shù)的圖象，其在上有13個零點，
所以在上的零點個數(shù)的最小值是13.
故13.
12. 田同學向肖老師請教一個問題：已知三個互不相同的實數(shù)，，滿足和，求的取值范圍.肖老師告訴他：函數(shù)在區(qū)間上是嚴格增函數(shù)，在區(qū)間上是嚴格減函數(shù)，在區(qū)間上是嚴格增函數(shù).根據(jù)肖老師的提示，可求得該問題中值范圍是______.
【正確答案】
【分析】根據(jù)題意可得：，，結(jié)合韋達定理和根的判別式可得，由，得，令，結(jié)合條件得到的單調(diào)性，從而得到值范圍
【詳解】由題和，，得，
所以，則，即，
又，所以由韋達定理得和為關(guān)于的方程的兩個不等根，
所以，即，得，
再由，得，令，
根據(jù)題意可知：在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
，，，，
當時，，或，，不滿足實數(shù)，，互不相同；
當時，，或，，不滿足實數(shù)，，互不相同；
所以值范圍是，
故
二、選擇題（本大題滿分18分）本大題共有4題，第13—14題每題4分，第15—16題每題5分，每題有且只有一個正確選項，請在答題紙的相應編號上將代表答案的小方格涂黑.
13. 已知集合或，集合，則集合與的關(guān)系是（ ）
A. B. C. D. 以上選項均不正確
【正確答案】A
【分析】化簡集合，用列舉法表示集合、，即可判斷.
【詳解】因為或
，
又或
或
，
所以.
故選：A
14. 已知且，則下列不等式一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】C
【分析】利用特殊值判斷A、B、D，根據(jù)對勾函數(shù)的性質(zhì)判斷C.
【詳解】對于A：當時，，故A錯誤；
對于B：當時，，，此時，故B錯誤；
對于C：因且，所以，
又在上單調(diào)遞增，所以，
顯然滿足，故C正確；
對于D：當時，，故D錯誤.
故選：C
15. 已知函數(shù)的定義域為，給定下列四個語句：
①在區(qū)間上是嚴格增函數(shù)，在區(qū)間上也是嚴格增函數(shù)；
②在區(qū)間上是嚴格增函數(shù)，在區(qū)間上也是嚴格增函數(shù)；
③在區(qū)間上是嚴格增函數(shù)，在區(qū)間上也是嚴格增函數(shù)；
④在區(qū)間上是嚴格增函數(shù)，且是奇函數(shù).
其中是“函數(shù)在上是嚴格增函數(shù)”的充分條件的有（ ）個.
A. 1B. 2C. 3D. 4
【正確答案】B
【分析】利用反例說明①④，根據(jù)單調(diào)性的定義判斷②③.
【詳解】對于①，令，
滿足在區(qū)間上嚴格增函數(shù)，在區(qū)間上也是嚴格增函數(shù)，
但是函數(shù)在上不單調(diào)，故①錯誤；
對于②：在區(qū)間上是嚴格增函數(shù)，在區(qū)間上也是嚴格增函數(shù)，
即任意的都有，都有，
所以，
設(shè)任意的且，若，則，
若，則，
若，，則，
所以函數(shù)在上是嚴格增函數(shù)，故②正確；
對于③：在區(qū)間上是嚴格增函數(shù)，在區(qū)間上也是嚴格增函數(shù)，
則在區(qū)間上是嚴格增函數(shù)，在區(qū)間上也是嚴格增函數(shù)，
結(jié)合②可知，函數(shù)在上是嚴格增函數(shù)，故③正確；
對于④：令，滿足在區(qū)間上是嚴格增函數(shù)，且是奇函數(shù)，
但是函數(shù)在上不單調(diào)，故④錯誤.
故選：B
16. 已知A、B為非空數(shù)集，為平面上的一些點構(gòu)成的集合，集合，集合，給定下列四個命題，其中真命題是（ ）
A. 若，則B. 若，則
C. 若，則D. 若，則
【正確答案】B
【分析】運用元素和集合的關(guān)系判斷即可.
【詳解】根據(jù)題意，若，則；若，則關(guān)系不確定.
故選：B．
三、解答題（本大題滿分78分）本大題共有5題，解答下列各題必須在答題紙相應的編號規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟.
17. 已知，.
（1）求的值；
（2）求值.
【正確答案】（1）
（2）
【分析】（1）將兩邊平方得到，進而求得，與聯(lián)立求出、，即可得解；
（2）利用誘導公式化簡，再由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系將弦化切，最后代入計算可得.
【小問1詳解】
因為，
所以，即，
即，所以，
又x∈0,π，則，所以，所以，
所以，
則
，
所以，，
則．
【小問2詳解】
因為，
所以
.
18. 為確保2023年第六屆中國國際進口博覽會安全順利進行，上海市公安局決定在進博會期間實施交通管制.經(jīng)過長期觀測發(fā)現(xiàn)，某最高時速不超過100千米/小時的公路段的車流量（輛/小時）與車輛的平均速度（千米/小時）之間存在函數(shù)關(guān)系.
（1）當車輛的平均速度為多少時，公路段的車流量最大？最大車流量為多少？
（2）若進博會期間對該公路段車輛實行限流管控，車流量不超過4125輛/小時，則汽車的平均速度應在什么范圍內(nèi)？
【正確答案】（1）車輛的平均速度為35千米/小時，最大車流量為12000輛/小時；
（2）.
【分析】（1）利用函數(shù)的單調(diào)性及基本不等式求出分段函數(shù)的最大值即得.
（2）利用給定條件，列出不等式并求解即得.
【小問1詳解】
當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當時，，
當時，，
當且僅當，即時取等號，而，
所以車輛的平均速度為35千米/小時時，公路段的車流量最大，最大車流量為12000輛/小時.
【小問2詳解】
當時，，整理得，解得，則，
當時，，不等式化為：
，整理得，解得或，則，
所以汽車的平均速度應在范圍內(nèi).
19. 設(shè)，已知，.
（1）求證：函數(shù)不是偶函數(shù)；
（2）若對任意的、，總存在，使得成立，求實數(shù)的取值范圍；
（3）若對任意的，，總有成立，求實數(shù)的取值范圍.
【正確答案】（1）證明見解析
（2）
（3）
【分析】（1）利用偶函數(shù)的定義即可證明；
（2）分別得到和在的單調(diào)性，將問題轉(zhuǎn)化為即可求解；
（3）將問題轉(zhuǎn)化為或，結(jié)合單調(diào)性即可求解.
【小問1詳解】
由題可得，
因為，
所以函數(shù)為奇函數(shù)，不是偶函數(shù)；
【小問2詳解】
對任意的、，不妨設(shè)，
所以，
因為，所以，，，
所以，，
所以在上單調(diào)遞增，
則，，
所以，
由于在上單調(diào)遞增，
所以，
要使對任意的、，總存在，使得成立，
則，即，
所以實數(shù)的取值范圍是；
【小問3詳解】
對任意的，，總有成立，
所以或，
則或，
由（2）可得當，，，
，，
所以或，解得或，
故實數(shù)的取值范圍是.
20. 已知函數(shù)，其中、是非空數(shù)集，且，設(shè)，；
（1）若，，求；
（2）是否存在實數(shù)，使得，且？若存在，請求出滿足條件的實數(shù)；若不存在，請說明理由；
（3）若，且，，是單調(diào)遞增函數(shù)，求集合、；
【正確答案】(1) ；(2) ；(3) ,其中或者,其中或者
或者
【分析】(1)根據(jù),分別代入對應的分段區(qū)間求解集合的范圍再求并集即可.
(2)先假設(shè)推出矛盾,故可得.代入可得,再分析當時與題設(shè)矛盾可得.
(3)先根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性確定,,再證明在上存在分界點的話,這個分界點應該滿足的性質(zhì),最后根據(jù)此性質(zhì)寫出滿足題意的集合即可.
【詳解】(1)因為,所以,
因為,所以.
故.
(2)若,則,不符合要求.
所以,所以,因為,所以,解得.
若則 .
因為,所以的原象且
所以,得,與前提矛盾.
故
(3)因為是單調(diào)遞增函數(shù),所以對任意有,所以
所以,同理可證.若存在,使得,
則,于是,
記,
所以,同理可知…
由,得,
所以.
所以,故,
即,此時 .
對于任意,取中的自然數(shù),
則.所以.
綜上所述,滿足要求的必有如下表示：
,其中或者
,其中或者
或者
本題主要考查了函數(shù)與集合的綜合運用,需要根據(jù)題意確定元素與區(qū)間的包含關(guān)系.同時也考查了根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性分析集合的問題,需要根據(jù)題意找到臨界點滿足的性質(zhì),屬于難題.
21. 設(shè)函數(shù)，.記，，.對于D的非空子集A，若對任意，都有，則稱函數(shù)在集合A上封閉.
（1）若，，，分別判斷函數(shù)和是否在集合A上封閉；
（2）設(shè)，，區(qū)間（其中），若函數(shù)在集合B上封閉，求的最大值；
（3）設(shè)，，若函數(shù)的定義域為，函數(shù)和的圖象都是連續(xù)的曲線，且函數(shù)在區(qū)間（其中）上封閉，證明：存在，使得.
【正確答案】（1）函數(shù)不在集合A上封閉，函數(shù)在集合A上封閉
（2）
（3）證明見解析
【分析】（1）結(jié)合所給新定義，利用函數(shù)單調(diào)性得出定義域為時的函數(shù)值域即可得解；
（2）結(jié)合所給新定義，分、及進行討論即可得；
（3）利用反證法，由函數(shù)y=fx和的圖象都是連續(xù)的曲線，運用零點的存在性定理中蘊含的思想，假設(shè)不存在，使得，則必有對任意x∈R，恒成立或恒成立，從而分情況進行討論后得出與已知條件矛盾的點即可得證.
【小問1詳解】
由函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故，
故函數(shù)y=gx不在集合A上封閉；
由函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，故，
此時有，故函數(shù)在集合A上封閉；
【小問2詳解】
當時，由函數(shù)y=fx在集合B上封閉，
則有，解得，此時；
當時，由 ，
此時函數(shù)y=fx不可能在集合B上封閉；
當時， 由函數(shù)y=fx在集合B上封閉，
則有，解得，此時，
綜上所述，的最大值為；
【小問3詳解】
假設(shè)不存在，使得，
即對任意x∈R，，
由函數(shù)y=fx的圖象是連續(xù)的曲線，
故對任意x∈R，恒成立或恒成立，
若對任意x∈R，恒成立，
則當時，有fb>b，則ffb>fb>b，，
即有fkx>b，此時函數(shù)不可能在區(qū)間上封閉，
與已知條件矛盾，故對任意x∈R，不成立；
若對任意x∈R，恒成立，
則當時，有，則，，
即有，此時函數(shù)不可能在區(qū)間上封閉，
與已知條件矛盾，故對任意x∈R，不成立；
故存，使得.
關(guān)鍵點點睛：最后一問利用反證法，結(jié)合函數(shù)y=fx和的圖象都是連續(xù)的曲線，假設(shè)不存在，使得，則必有對任意x∈R，恒成立或恒成立，從而分情況進行討論后得出與已知條件矛盾的點即可得

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