1．帶2B鉛筆、黑色簽字筆、橡皮擦等參加考試，考試中途不得傳借文具
2．不攜帶具有傳送功能的通訊設(shè)備，一經(jīng)發(fā)現(xiàn)視為作弊．與考試無關(guān)的所有物品放置在考場(chǎng)外．
3．考試期間嚴(yán)格遵守考試紀(jì)律，聽從監(jiān)考員指揮，杜絕作弊，違者由教導(dǎo)處進(jìn)行處分．
4．答題卡務(wù)必保持干凈整潔，答題卡客觀題建議檢查好后再填涂．若因填涂模糊導(dǎo)致無法識(shí)別的后果自負(fù)．
一．填空題（12題共54分，1～6題每題4分，7～12題每題5分）
1．若不等式的解集為，則a的取值集合為
2．著名的哥德巴赫猜想指出：“任何大于的偶數(shù)可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)的和”，用反證法研究該猜想，應(yīng)假設(shè)的內(nèi)容是 ．
3．已知集合，，則
4．已知，，用表示為 ．
5．若直角三角形斜邊長(zhǎng)等于cm，則直角三角形面積的最大值為 .
6．若不等式的解集為，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 .
7．已知，有四個(gè)推理：①；②；③；④，其中所有錯(cuò)誤的序號(hào)是
8．關(guān)于的不等式的解集是，則的解集是
9．已知集合{為正整數(shù)}，則的所有真子集的個(gè)數(shù)是
10．已知，同時(shí)滿足不等式和的的整數(shù)值只有2024個(gè)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是
11．若三個(gè)非零且互不相等的實(shí)數(shù)滿足，則稱是調(diào)和的；若滿足，則稱是等差的．已知集合，集合是的三元子集，即．若集合中元素既是調(diào)和的，又是等差的，則稱集合為“延安集”．不同的“延安集”的個(gè)數(shù)為
12．設(shè)，若時(shí)，均有成立，則實(shí)數(shù)的取值集合為
二．選擇題（4題共18分，13～14每題4分，15～16每題5分）
13．下列表示錯(cuò)誤的是（ ）
A．B．
C．=D．若則
14．“”是“不等式與同解”的（ ）條件.
A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要
15．設(shè)，關(guān)于的方程組.對(duì)于命題：①存在a，使得該方程組有無數(shù)組解；②對(duì)任意a，該方程組均有一組解，下列判斷正確的是（ ）
A．①和②均為真命題B．①和②均為假命題
C．①為真命題，②為假命題D．①為假命題，②為真命題
16．對(duì)任意實(shí)數(shù)給出下列命題：
①“”是“”的充要條件；
②若，則；
③“”是“”的充分條件；
④若，則；
⑤ 若，則.
其中真命題的個(gè)數(shù)是（ ）
A．1B．2C．3D．4
三．解答題（共78分，17～19每題14分，20～21每題18分）
17．已知集合，集合且，，若，設(shè)m的取值集合為，若，求：m的值及其對(duì)應(yīng)a的取值范圍．
18．設(shè)關(guān)于的不等式的解集為M．
(1)求M；
(2)若且，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
19．（1）已知、為正實(shí)數(shù)，，，．試比較與的大小，并指出兩式相等的條件；
（2）求函數(shù)的最小值．
20．2022 年 2 月 24 日, 俄烏爆發(fā)戰(zhàn)爭(zhēng)，至今戰(zhàn)火未熄. 2023 年 10 月 7 日巴以又爆發(fā)沖突.與以往戰(zhàn)爭(zhēng)不同的是，無人機(jī)在戰(zhàn)場(chǎng)中起到了偵察和情報(bào)收集，攻擊敵方目標(biāo)和反偵察等多種功能，扮演了重要的角色. 某無人機(jī)企業(yè)原有 200 名科技人員， 年人均工資 萬元 ，現(xiàn)加大對(duì)無人機(jī)研發(fā)的投入，該企業(yè)把原有科技人員分成技術(shù)人員和研發(fā)人員，其中技術(shù)人員 名 且 ，調(diào)整后研發(fā)人員的年人均工資增加 ，技術(shù)人員的年人均工資調(diào)整為 萬元.
(1)若要使調(diào)整后研發(fā)人員的年總工資不低于調(diào)整前 200 名科技人員的年總工資，求調(diào)整后的研發(fā)人員的人數(shù)最少為多少人?
(2)為了激勵(lì)研發(fā)人員的工作熱情和保持技術(shù)人員的工作積極性，企業(yè)決定在工資方面要同時(shí)滿足以下兩個(gè)條件：①研發(fā)人員的年總工資始終不低于技術(shù)人員的年總工資; ②技術(shù)人員的年人均工資始終不減少. 請(qǐng)問是否存在這樣的實(shí)數(shù) ，滿足以上兩個(gè)條件，若存在，求出 的范圍; 若不存在,說明理由.
21．已知有限集，如果中的元素滿足，就稱為“完美集”．
(1)判斷：集合是否是“完美集”并說明理由；
(2)是兩個(gè)不同的正數(shù)，且是“完美集”，求證：至少有一個(gè)大于2；
(3)若為正整數(shù)，求：“完美集”.
1．
【分析】根據(jù)一次不等式的解決求參數(shù)即可.
【詳解】若不等式的解集為，則，所以，
故a的取值集合.
故答案為.
2．存在一個(gè)大于2的偶數(shù)不可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)的和.
【分析】從命題的否定入手可解.
【詳解】反證法先否定命題，故答案為存在一個(gè)大于2的偶數(shù)不可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)的和.
本題主要考查反證法的步驟，利用反證法證明命題時(shí)，先是否定命題，結(jié)合已知條件及定理得出矛盾，從而肯定命題.
3．
【分析】由已知，先求得，再計(jì)算集合的交集即可.
【詳解】因?yàn)?，?br>所以，
則.
故答案為.
4．
【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和換底公式求解.
【詳解】因?yàn)?，?br>所以，
；
所以．
故答案為: .
5．25
【分析】利用基本不等式可求面積的最大值.
【詳解】設(shè)兩條直角邊的邊長(zhǎng)分別為，則，
故即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
故直角三角形面積的最大值為，
故
6．；
【分析】分三種情況討論：（1）當(dāng)?shù)扔?時(shí)，原不等式變?yōu)椋@然成立；
（2）當(dāng)時(shí)，根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)可知解集為不可能；
（3）當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)開口向下，且與軸沒有交點(diǎn)即△小于0時(shí)，由此可得結(jié)論．
【詳解】解：（1）當(dāng)時(shí)，得到，顯然不等式的解集為；
（2）當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)開口向上，函數(shù)值不恒小于0，故解集為不可能．
（3）當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)開口向下，由不等式的解集為，
得到二次函數(shù)與軸沒有交點(diǎn)，即△，即，解得；
綜上，的取值范圍為．
故．
本題考查解不等式，考查恒成立問題，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．
7．①②④
【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)或取特殊值依次討論各選項(xiàng)即可得答案.
【詳解】對(duì)于①，當(dāng)時(shí)，顯然不等式不成立，故①錯(cuò)誤；
對(duì)于②，當(dāng)時(shí)，滿足，不滿足，故②錯(cuò)誤；
對(duì)于③，由，則，即，故③正確；
對(duì)于④，由得同號(hào)，故當(dāng)時(shí)，等價(jià)于，故，故④錯(cuò)誤.
故①②④.
8．
【分析】根據(jù)不等式的解集求得參數(shù)，再求目標(biāo)分式不等式即可.
【詳解】等價(jià)于，因其解集為，
故可得，且，，故可得，
則，即，等價(jià)于，
解得.
故答案為.
9．511
【分析】根據(jù)為正整數(shù)可計(jì)算出集合中的元素，然后根據(jù)真子集個(gè)數(shù)的計(jì)算公式（是元素個(gè)數(shù)）計(jì)算出結(jié)果.
【詳解】因?yàn)闉檎麛?shù)，所以，
所以集合中共有9個(gè)元素，
因此所有真子集的個(gè)數(shù)為，
故答案為.
10．
【分析】解不等式得到或，解不等式得到，從而根據(jù)整數(shù)解得個(gè)數(shù)得到，
求出實(shí)數(shù)的取值范圍.
【詳解】由解得：或，
變形為，
因?yàn)椋裕?br>其中之間有1個(gè)整數(shù)解，
因此要想同時(shí)滿足兩不等式的整數(shù)值只有2024個(gè)，
則要滿足有2023個(gè)整數(shù)值，則，解得.
故答案為.
11．1012
【分析】由為“延安集”的定義解方程，將全用代換，結(jié)合可求解.
【詳解】由，則，代入，即，
整理得，展開得，解得或（根據(jù)集合的互異性，舍去），代入得，
則，
所以為4的整數(shù)倍，且不為0，則共有個(gè)不同的“延安集”的個(gè)數(shù).
故1012.
12．
【分析】可得時(shí)，不等式不恒成立，當(dāng)，必定是方程的一個(gè)正根，由此可求出.
【詳解】當(dāng)時(shí)，，則，由于的圖象開口向上，
則不恒成立，
當(dāng)時(shí)，由可解得，
而方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根且異號(hào)，
所以，必定是方程的一個(gè)正根，
則，，則可解得，
故實(shí)數(shù)的取值集合為.
故答案為.
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：
本題考查不等式的恒成立問題，解題的關(guān)鍵是先判斷，再得出當(dāng)，必定是方程的一個(gè)正根.
13．C
【分析】由元素與集合的關(guān)系可判斷A；由集合與集合的包含關(guān)系可判斷B；由描述法可判斷C；由集合的包含關(guān)系與并集的定義可判斷D
【詳解】對(duì)于A：因?yàn)榭占瘺]有任何元素，故，故A正確；
對(duì)于B：因?yàn)榭占侨魏渭系淖蛹?，故，故B正確；
對(duì)于C：表示與的交點(diǎn)所構(gòu)成的集合，
所以，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D：若則，故D正確；
故選：C
14．D
【分析】取特殊值，即可得出充分性和必要性均不滿足.
【詳解】取，，滿足，
所以即為，即為，
兩不等式的解集不同，故充分性不滿足；
不等式與不等式的解集相同，均為R，
但不滿足，故必要性不滿足.
所以“”是“不等式與同解”的既不充分又不必要條件.
故選：D.
15．D
【分析】通過解方程組的知識(shí)求得正確答案.
【詳解】由得，則，，所以，
則，解得，
所以關(guān)于的方程組有唯一解.
所以①為假命題，②為真命題.
故選：D
16．B
【分析】根據(jù)不等式的基本性質(zhì)，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，對(duì)每個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析，即可判斷和選擇.
【詳解】對(duì)①：當(dāng)時(shí)，由，顯然無法得到，充分性不成立，故①是假命題；
對(duì)②：取，滿足，但此時(shí)，不滿足，故②是假命題；
對(duì)③：取，滿足，但不滿足，充分性不成立，
取，滿足，但不滿足，必要性不成立，故③是假命題；
對(duì)④：是上的單調(diào)增函數(shù)，故當(dāng)時(shí)，，故④是真命題；
對(duì)⑤：是上的單調(diào)增函數(shù)，故當(dāng)時(shí)，，故⑤是真命題.
綜上所述，有個(gè)真命題.
故選：B.
17．答案見解析
【分析】分，且，且三種情況，分別求得的取值，再根據(jù)求解對(duì)應(yīng)的范圍即可．
【詳解】由題可知，，時(shí)，，則，不合題意，故；
由于由得，，
①若，若，則，不合題意，則，
當(dāng)時(shí)，即，則，
若，則，解得；
當(dāng)時(shí)，即，則，
若，則，解得；
②若，時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，聯(lián)立解得；
若，則，解得；
當(dāng)時(shí)，，聯(lián)立解得；
若，則，解得；
③若，時(shí)，即，
由得，，
由根與系數(shù)關(guān)系得，，解得，
，符合題意，
若，則，解得；
綜上所述，當(dāng)，則，
當(dāng)，則，
當(dāng)，則，
當(dāng)，則，
當(dāng)，則．
18．(1)答案不唯一，具體見解析
(2)a∈
【分析】（1）對(duì)進(jìn)行分類討論，結(jié)合一元一次不等式的解法求得.
（2）根據(jù)已知條件列不等式組，由此求得的取值范圍.
【詳解】（1）依題意，即，
當(dāng)時(shí)，不等式轉(zhuǎn)化為，解集為空集.
當(dāng)時(shí)，不等式轉(zhuǎn)化為，即不等式的解集為.
當(dāng)時(shí)，不等式轉(zhuǎn)化為，即不等式的解集為.
（2）由于且，
所以，
解得.
19．（1）?，當(dāng)時(shí)兩式相等；（2）49.
【分析】（1）利用作差法，結(jié)合代數(shù)運(yùn)算即可求解；
（2）適當(dāng)配湊后，結(jié)合“1”的妙用以及基本不等式即可求得結(jié)果.
【詳解】（1）作差比較：?=，
所以，?，當(dāng)時(shí)兩式相等．
（2）因?yàn)?，故可得?br>則
，
當(dāng)且僅當(dāng)，，即取得等號(hào)，
故的最小值為.
20．(1)100
(2)存在，
【分析】（1）由條件“調(diào)整后研發(fā)人員的年總工資不低于調(diào)整前 200 名科技人員的年總工資”建立不等關(guān)系可求解；
（2）根據(jù)條件①②建立不等關(guān)系，假設(shè)存在實(shí)數(shù)轉(zhuǎn)化為恒成立問題，由基本不等式及一次函數(shù)求最值可得結(jié)果.
【詳解】（1）依題意可得調(diào)整后研發(fā)人員的年人均工資為 萬元,
則 ,
整理得 , 解得 ,
因?yàn)? 且 , 所以 , 故 ,
所以要使這 名研發(fā)人員的年總工資不低于調(diào)整前 200 名科技人員的年總工資,
調(diào)整后的研發(fā)人員的人數(shù)最少為 100 人.
（2）由條件①研發(fā)人員的年總工資始終不低于技術(shù)人員的年總工資，
得 ,
整理得 ;
由條件②技術(shù)人員年人均工資不減少, 得 , 解得
假設(shè)存在這樣的實(shí)數(shù) , 使得技術(shù)人員在已知范圍內(nèi)調(diào)整后, 滿足以上兩個(gè)條件,
即 恒成立，
因?yàn)?,
當(dāng)且僅當(dāng) , 即 時(shí)等號(hào)成立, 所以 ,
又因?yàn)?, 當(dāng) 時(shí), 取得最大值 11 , 所以
所以 , 即 ,
即存在這樣的 滿足條件, 其范圍為 .
21．(1)是，理由見解析
(2)證明見解析
(3)
【分析】（1）根據(jù)“完美集”的定義，進(jìn)行判斷即可；
（2）根據(jù)“完美集”的定義，結(jié)合集合的運(yùn)算，以及一元二次方程的性質(zhì)進(jìn)行求解即可；
（3）設(shè)中，得到，分，，進(jìn)行分類討論，
【詳解】（1）由，，則集合是“完美集”，
（2）若是兩個(gè)不同的正數(shù)，且是“完美集”，
設(shè)，
根據(jù)根和系數(shù)的關(guān)系知，和相當(dāng)于的兩根，
由，解得或（舍去），
所以，又均為正數(shù)，
所以至少有一個(gè)大于2.
（3）不妨設(shè)中，
由，得，
當(dāng)時(shí)，即有，又為正整數(shù)，所以，
于是，則無解，即不存在滿足條件的“完美集”；
當(dāng)時(shí)，，故只能，，求得，
于是“完美集”只有一個(gè)，為．
當(dāng)時(shí)，由，即有，
而，
又，因此，故矛盾，
所以當(dāng)時(shí)不存在完美集，
綜上知，“完美集”為.
方法點(diǎn)睛：新定義有關(guān)的問題的求解策略：
①通過給出一個(gè)新的定義，或約定一種新的運(yùn)算，或給出幾個(gè)新模型來創(chuàng)設(shè)新問題的情景，要求在閱讀理解的基礎(chǔ)上，依據(jù)題目提供的信息，聯(lián)系所學(xué)的知識(shí)和方法，實(shí)現(xiàn)信息的遷移，達(dá)到靈活解題的目的；
②遇到新定義問題，應(yīng)耐心讀題，分析新定義的特點(diǎn)，弄清新定義的性質(zhì)，按新定義的要求，“照章辦事”，逐條分析，運(yùn)算，驗(yàn)證，使得問題得以解決.

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