2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，請(qǐng)用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)答案標(biāo)號(hào)涂黑，務(wù)必填涂規(guī)范;
3．填空題和解答題請(qǐng)用0.5mm的黑色簽字筆在答題卡上作答．
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1. 若集合，或，則集合等于（ ）
A. 或B. C. D.
【正確答案】C
【分析】利用集合的交集運(yùn)算求解.
【詳解】因?yàn)榧?，或?br>所以或．
故選：C
2. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【正確答案】B
【分析】利用充分條件和必要條件的定義即可判斷.
【詳解】或，
，
故“”是“”的必要不充分條件．
故選：B.
3. 已知角的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊過點(diǎn)，則（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】D
【分析】利用任意角的三角函數(shù)的定義求得的值即可求解．
【詳解】角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊過點(diǎn)，
．
故選：D．
4. 下列結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)是（ ）
①命題“有些平行四邊形是矩形”是存在量詞命題；
②命題“”是全稱量詞命題；
③命題“”的否定為“”；
④命題“”是真命題；
A. 0B. 1C. 2D. 3
【正確答案】D
【分析】根據(jù)全稱量詞命題、存在量詞命題的定義，利用存在量詞命題的否定及全稱量詞命題真假的判斷依據(jù)即可求解.
【詳解】對(duì)①，“有些”為存在量詞，所以命題“有些平行四邊形是矩形”是存在量詞命題；故①正確；
對(duì)②，“”為任意，即為全稱量詞，所以命題“”全稱量詞命題，故②正確；
對(duì)③，命題“”的否定為“”；故③錯(cuò)誤；
對(duì)④，，故該命題為真命題，故④正確，
所以正確的有個(gè).
故選：D.
5. 下列函數(shù)的最小值為2的是（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】A
【分析】利用基本不等式判斷A,利用函數(shù)求最值判斷BCD .
【詳解】對(duì)A, ，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
其最小值為2；故A正確；
對(duì)B,時(shí)，，其2不為最小值；故B錯(cuò)誤；
對(duì)C,,當(dāng)?shù)忍?hào)成立，故C錯(cuò)誤；
對(duì)D, ,當(dāng)?shù)忍?hào)成立，故D錯(cuò)誤；
故選：A
6. 當(dāng)強(qiáng)度為的聲音對(duì)應(yīng)的等級(jí)為分貝時(shí)，有（其中為常數(shù)），某挖掘機(jī)的聲音約為分貝，普通室內(nèi)談話的聲音約為分貝，則該挖掘機(jī)的聲音強(qiáng)度與普通室內(nèi)談話的聲音強(qiáng)度的比值為（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】B
【分析】設(shè)該挖掘機(jī)的聲音強(qiáng)度為，普通室內(nèi)談話的聲音強(qiáng)度為，則，根據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算可得.
【詳解】設(shè)該挖掘機(jī)的聲音強(qiáng)度為，普通室內(nèi)談話的聲音強(qiáng)度為，
由題意知，
所以，
即，
所以，
故選：B.
7. 設(shè)，，，則有（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】A
【分析】由兩角差的正弦公式求，由二倍角的正切公式求，由二倍角的正弦公式求，即可根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性比較大?。?br>【詳解】，
，
，
正弦函數(shù)在是單調(diào)遞增的，．
又 ．
故選：A．
8. 若定義在上的奇函數(shù)，對(duì)任意，都有，且，則不等式的解集為（ ）
A. B.
C. D.
【正確答案】B
【分析】根據(jù)題意，設(shè)，，分析的奇偶性和單調(diào)性，由此分情況解不等式可得答案．
【詳解】根據(jù)題意，設(shè)，，
是定義在,,上的奇函數(shù)，即，
故，函數(shù)為偶函數(shù)，
由題意當(dāng)時(shí)，有，函數(shù)在上為減函數(shù)，
又由為偶函數(shù)，則在上為增函數(shù)，
又由，則，同時(shí)，
或，
必有或，即的取值范圍為.
故選：B．
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性解不等式，關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)明確其奇偶性，并分情況解不等式.
二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．
9. 下列各說法，正確的是（ ）
A. 半圓所對(duì)的圓心角是rad
B. 1度的角是周角的，1弧度的角是周角的
C. 是第一象限角
D. 若是第四象限角，則
【正確答案】AB
【分析】根據(jù)角度制與弧度制的定義，以及角度制和弧度制的換算公式判斷ABC，由三角函數(shù)在各象限符號(hào)判斷D．
【詳解】對(duì)A,根據(jù)角度制和弧度制的定義可知，半圓所對(duì)的圓心角是，即rad,所以A正確；
對(duì)B,由圓周角的定義知，1度的角是周角的，1弧度的角是周角的，所以B正確；
對(duì)C,是第四象限角，故C錯(cuò)誤；
對(duì)D,若是第四象限角，則,故D錯(cuò)誤.
故選：AB．
10. 若，，則下列不等關(guān)系正確的是（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】ABD
【分析】直接利用不等式的性質(zhì)判斷ABC，作差法判斷D．
【詳解】對(duì)A, ，，由不等式性質(zhì)易知 ，故A正確；
對(duì)B, ，,則，故B正確；
對(duì)C, ，，由不等式性質(zhì)易知，故C錯(cuò)誤；
對(duì)D 若，則, 故D正確.
故選：ABD.
11. 已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則 （ ）
A.
B. 將的圖象向右平移個(gè)單位，得到的圖象
C. ，都有
D. 函數(shù)的減區(qū)間為
【正確答案】AC
【分析】根據(jù)圖象求出函數(shù)的解析式，利用三角函數(shù)的性質(zhì)及函數(shù)的平移變換即可求解.
【詳解】由圖知，,,即,所以.
將代入中，得，解得,
又因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，
所以的解析式為.
對(duì)A，，故A正確；
對(duì)B，將的圖象向右平移個(gè)單位，得的圖象，故B錯(cuò)誤；
對(duì)C，由三角函數(shù)的性質(zhì)知，，所以，都有，故C正確；
對(duì)D，由,得，
所以函數(shù)減區(qū)間為，故D錯(cuò)誤.
故選：AC.
12. 已知函數(shù)，則（ ）
A. 函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)
B. 若函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)，則
C. 若關(guān)于的方程有4個(gè)不等實(shí)根，，，，則
D. 關(guān)于的方程有5個(gè)不等實(shí)數(shù)根
【正確答案】BCD
【分析】根據(jù)題意，由函數(shù)的解析式作出函數(shù)的圖象，結(jié)合函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系，依次分析選項(xiàng)是否正確，綜合可得答案．
【詳解】根據(jù)題意，函數(shù)，
由此作出函數(shù)的草圖：
依次分析選項(xiàng)：
對(duì)于A：由圖象易知與y軸有兩個(gè)交點(diǎn)，故函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B：令，可得，
則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即為與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，
若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，由圖象可知,，B正確；
對(duì)于C：若關(guān)于的方程有四個(gè)不等實(shí)根，則與有四個(gè)交點(diǎn)
不妨設(shè)，
由圖象可得：,，且，，
所以，故C正確；
對(duì)于D：因?yàn)椋獾没颍?br>結(jié)合圖象可知：有一個(gè)根，有四個(gè)根，
所以關(guān)于的方程有5個(gè)不等實(shí)數(shù)根，D正確．
故選:BCD.
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)圖像及應(yīng)用，關(guān)鍵是利用圖像并結(jié)合對(duì)稱性解決CD.
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．
13. 設(shè)函數(shù)，則的值為___________；
【正確答案】1
【分析】代入即可求解.
【詳解】,,
故1
14. 已知扇形的面積為，圓心角弧度數(shù)為，則其弧長(zhǎng)為________；
【正確答案】6
【分析】根據(jù)弧長(zhǎng)公式以及扇形面積公式即可求解.
【詳解】設(shè)弧長(zhǎng)為，半徑為，圓心角為，
故，
故，
故6
15. 已知矩形的周長(zhǎng)為，矩形繞它的一條邊旋轉(zhuǎn)成一個(gè)圓柱，則旋轉(zhuǎn)形成的圓柱的側(cè)面積最大為 ________(結(jié)果保留)；
【正確答案】
【分析】結(jié)合已知條件首先表示出圓柱的側(cè)面積，再利用均值不等式求解即可.
【詳解】不妨設(shè)矩形一條邊為，則矩形的另一條邊為，
則旋轉(zhuǎn)后的圓柱的底面圓半徑為，高為，
從而圓柱的側(cè)面積為，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，圓柱的側(cè)面積取得最大值.
故答案為.
16. 已知函數(shù)的最大值是3，的圖象與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，其相鄰兩個(gè)對(duì)稱中心的距離為2，則_____
【正確答案】4048
【分析】直接利用二倍角公式化簡(jiǎn)，再由余弦型函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用求出函數(shù)的關(guān)系式，進(jìn)一步利用函數(shù)的周期的應(yīng)用求出函數(shù)的值．
【詳解】函數(shù)的最大值是3，
故，得，則
由于函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，
故即
函數(shù)圖象其相鄰兩個(gè)對(duì)稱中心的距離為2，故，
所以；
當(dāng)，2，3，時(shí)，的值依次為1，0，，0，成周期變化；
且周期為4，相鄰4個(gè)之和為0，
由于，
所以．
故4048．
四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
17. 計(jì)算下列各式的值．
（1）；
（2）且
【正確答案】（1）4 （2）3
【分析】（1）利用指數(shù)冪運(yùn)算求解；
（2）利用對(duì)數(shù)運(yùn)算求解
【小問1詳解】
原式；
【小問2詳解】
原式.
18. 已知集合，集合．
（1）若，求；
（2）若，求實(shí)數(shù)的范圍．
【正確答案】（1）
（2）
【分析】（1）解一元二次不等式求出集合B，由集合的并集運(yùn)算可得結(jié)果；
（2）根據(jù)條件對(duì)集合A分類討論，分別求出實(shí)數(shù)的范圍.
【小問1詳解】
由時(shí)，集合，
，
所以，
【小問2詳解】
當(dāng)，即時(shí)，集合，符合，
當(dāng)時(shí)，由，有， 解得 ，
綜上可知，若，則的范圍是.
19. 已知.
（1）求的值；
（2）若為鈍角，且，求的值．
【正確答案】19.
20.
【分析】（1）由誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)并結(jié)合齊次式運(yùn)算求解；
（2）由二倍角公式求解，結(jié)合平方關(guān)系和商數(shù)關(guān)系得，再利用二倍角和兩角差的正切求值.
【小問1詳解】
因?yàn)椋?.
【小問2詳解】
因?yàn)闉殁g角，
由，得，
則，
，
又因?yàn)?
所以.
20. 已知函數(shù)，（其中且）．
（1）若函數(shù)定義域?yàn)镽 ，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）判斷函數(shù)的奇偶性，并說明理由．
【正確答案】（1）
（2）是偶函數(shù)
【分析】（1）首先求出的解析式，依題意可得恒成立，即可得到，從而求出參數(shù)的取值范圍；
（2）設(shè)，首先求出定義域，再根據(jù)奇偶性的定義判斷即可.
【小問1詳解】
由題意得，
因?yàn)楹瘮?shù)定義域?yàn)椋?
所以恒成立，
即， 解得，
故實(shí)數(shù)的取值范圍.
【小問2詳解】
設(shè)，
定義域需滿足：，解得，
故函數(shù)的定義域?yàn)?，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
則，
又因?yàn)椋?br>即，
所以是偶函數(shù)，即是偶函數(shù).
21. 摩天輪是一種大型轉(zhuǎn)輪狀的機(jī)械建筑設(shè)施，游客坐在摩天輪的座艙里慢慢地往上轉(zhuǎn)，可以從高處俯瞰四周景色.如圖，某摩天輪最高點(diǎn)距離地面高度為120m，轉(zhuǎn)盤直徑為110m，設(shè)置有48個(gè)座艙，開啟時(shí)按逆時(shí)針方向勻速旋轉(zhuǎn)，游客在座艙轉(zhuǎn)到距離地面最近的位置進(jìn)艙，轉(zhuǎn)一周需要30．
（1）游客甲坐上摩天輪的座艙，開始轉(zhuǎn)動(dòng)后距離地面的高度為m，已知H關(guān)于t的函數(shù)解析式滿足（其中），求摩天輪轉(zhuǎn)動(dòng)一周的函數(shù)解析式；
（2）若甲、乙兩人分別坐1號(hào)和9號(hào)座艙（即甲乙中間間隔7個(gè)座艙），在運(yùn)行一周的過程中，求兩人距離地面的高度差（單位：m）關(guān)于的函數(shù)解析式，并求高度差的最大值．
【正確答案】21. ，（）
22. ，，甲、乙兩人距離地面的高度差的最大值為55米
【分析】（1）根據(jù)周期以及即可求解，
（2）根據(jù)和差角公式以及三角恒等變換，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可求解.
【小問1詳解】
如圖，設(shè)座艙距離地面最近的位置為點(diǎn)，以軸心為原點(diǎn)，與地面平行的直線為軸建立直角坐標(biāo)系.
設(shè)時(shí)，游客甲位于，得到以為終邊的角為，
根據(jù)摩天輪轉(zhuǎn)一周需要30，可知座艙轉(zhuǎn)動(dòng)的速度約為，
由題意可得，，（），
【小問2詳解】
甲、乙兩人的位置分別用點(diǎn)、表示，則，
經(jīng)過后，甲距離地面的高度為，
點(diǎn)相對(duì)于始終落后，
此時(shí)乙距離地面的高度，
則甲、乙高度差為
，，
所以當(dāng)（或）時(shí)，的最大值為55，
所以甲、乙兩人距離地面的高度差的最大值為55米
22. 設(shè)區(qū)間是函數(shù)定義域內(nèi)的一個(gè)子集，若存在，使得成立，則稱是的一個(gè)“不動(dòng)點(diǎn)”，也稱在區(qū)間上存在不動(dòng)點(diǎn)，例如的“不動(dòng)點(diǎn)”滿足，即的“不動(dòng)點(diǎn)”是.設(shè)函數(shù)，．
（1）若，求函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)；
（2）若函數(shù)在上存在不動(dòng)點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【正確答案】（1）
（2）
【分析】（1）令，即可得到，解得，從而求出即可；
（2）依題意可得在上有解，令，，則問題轉(zhuǎn)化為在上有解，令，，根據(jù)單調(diào)性求出的取值范圍，從而求出的取值范圍.
【小問1詳解】
由“不動(dòng)點(diǎn)”定義知：當(dāng)時(shí)，，
所以，即，
解得或（舍去），所以，且
所以函數(shù)在上的不動(dòng)點(diǎn)為.
【小問2詳解】
根據(jù)已知，得在上有解，
所以在上有解，
令，，
所以，即在上有解，
所以在上有解，
設(shè)，，則在上單調(diào)遞增，故，
所以，可得，
又在上恒成立，
所以在上恒成立，則，則 ，
綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是.
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵是理解“不動(dòng)點(diǎn)”的定義，將問題轉(zhuǎn)化為方程有解問題.

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