1．設(shè)兩個(gè)向量和，其中為實(shí)數(shù)．若，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
2．已知三棱錐的三條側(cè)棱、、兩兩互相垂直，是的垂心.若，，則（ ）
A．B．2C．D．
3．設(shè)a，b，c為實(shí)數(shù)，記集合若{S}，{T}分別為集合S，T 的元素個(gè)數(shù)，則下列結(jié)論不可能的是（ ）
A．{S}=1且{T}=0B．{S}=1且{T}=1C．{S}=2且{T}=2D．{S}=2且{T}=3
4．在棱長(zhǎng)為的正方體中，為正方形的中心，，，分別為，，的中點(diǎn)，則四面體的體積為（ ）
A．B．C．D．
5．已知函數(shù)的定義域?yàn)闉槠婧瘮?shù)，為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，若，則（ ）
A．B．
C．D．
6．已知函數(shù)滿足：，且當(dāng)時(shí)，，若存在實(shí)數(shù)，使得關(guān)于的方程有且僅有四個(gè)不等實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）．
A．B．C．D．
7．已知定義在上的奇函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，．若函數(shù)在區(qū)間上有10個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
8．如圖，正方體的棱長(zhǎng)為，線段上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，，且，點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)，在側(cè)面上運(yùn)動(dòng)，且滿足平面，以下命題錯(cuò)誤的是（ ）
A．
B．多面體的體積為定值
C．側(cè)面上存在點(diǎn)，使得
D．直線與直線所成的角可能為
二、多選題（本大題共3小題）
9．設(shè)函數(shù)，函數(shù)．則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．當(dāng)時(shí)，函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)
B．當(dāng)時(shí)，函數(shù)只有1個(gè)零點(diǎn)
C．當(dāng)時(shí)，函數(shù)有5個(gè)零點(diǎn)
D．存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)沒(méi)有零點(diǎn)
10．傳說(shuō)古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德的墓碑上刻著一個(gè)圓柱，圓柱內(nèi)有一個(gè)內(nèi)切球，這個(gè)球的直徑恰好與圓柱的高相等“圓柱容球”是阿基米德最為得意的發(fā)現(xiàn)；如圖是一個(gè)圓柱容球，為圓柱上下底面的圓心，為球心，EF為底面圓的一條直徑，若球的半徑，則（ ）
A．球與圓柱的表面積之比為
B．平面DEF截得球的截面面積最小值為
C．四面體CDEF的體積的取值范圍為
D．若為球面和圓柱側(cè)面的交線上一點(diǎn)，則的取值范圍為
11．當(dāng)時(shí)，不等式成立．若，則（ ）
A．B．
C．D．
三、填空題（本大題共3小題）
12．已知函數(shù)滿足，且在區(qū)間上恰有兩個(gè)最值，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 ．
13．已知為銳角三角形的外心，若，，則的最大值 .
14．已知，，且，則的最大值為 ．
四、解答題（本大題共5小題）
15．某中學(xué)長(zhǎng)期堅(jiān)持貫徹以人為本，因材施教的教育理念，每年都會(huì)在校文化節(jié)期間舉行“數(shù)學(xué)素養(yǎng)能力測(cè)試”和“語(yǔ)文素養(yǎng)能力測(cè)試”兩項(xiàng)測(cè)試，以給學(xué)生課外興趣學(xué)習(xí)及輔導(dǎo)提供參考依據(jù)．成績(jī)分為，，，，五個(gè)等級(jí)（等級(jí)，，，，分別對(duì)應(yīng)5分，4分，3分，2分，1分）．某班學(xué)生兩科的考試成績(jī)的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如圖所示，其中“語(yǔ)文素養(yǎng)能力測(cè)試”科目的成績(jī)?yōu)榈目忌?人．
（1）求該班“數(shù)學(xué)素養(yǎng)能力測(cè)試”的科目平均分以及“數(shù)學(xué)素養(yǎng)能力測(cè)試”科目成績(jī)?yōu)榈娜藬?shù)；
（2）若該班共有9人得分大于7分，其中有2人10分，3人9分，4人8分．從這9人中隨機(jī)抽取三人，設(shè)三人的成績(jī)之和為，求．
（3）從該班得分大于7分的9人中選3人即甲，乙，丙組隊(duì)參加學(xué)校內(nèi)的“數(shù)學(xué)限時(shí)解題挑戰(zhàn)賽”．規(guī)則為：每隊(duì)首先派一名隊(duì)員參加挑戰(zhàn)賽，在限定的時(shí)間，若該生解決問(wèn)題，即團(tuán)隊(duì)挑戰(zhàn)成功，結(jié)束挑戰(zhàn)；若解決問(wèn)題失敗，則派另外一名隊(duì)員上去挑戰(zhàn)，直至派完隊(duì)員為止．通過(guò)訓(xùn)練，已知甲，乙，丙通過(guò)挑戰(zhàn)賽的概率分別是，，，問(wèn)以怎樣的先后順序派出隊(duì)員，可使得派出隊(duì)員數(shù)目的均值達(dá)到最??？（只需寫(xiě)出結(jié)果）
16．在中，角所對(duì)的邊分別記作已知的周長(zhǎng)為，且有．
(1)求的面積；
(2)設(shè)內(nèi)心為，外心為O，，求外接圓半徑．
注：在中，有，其中r和R分別為三角形內(nèi)切圓與外接圓的半徑．
17．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，?shí)數(shù)和滿足，若在區(qū)間上不存在最小值，則稱在上具有性質(zhì).
(1)若，判斷函數(shù)在下列區(qū)間上是否具有性質(zhì)；①；②；
(2)若對(duì)任意實(shí)數(shù)都成立，當(dāng)時(shí)，，若在區(qū)間上具有性質(zhì)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(3)對(duì)于滿足的任意實(shí)數(shù)和，在區(qū)間上都有性質(zhì)，且對(duì)于任意，當(dāng)時(shí)，均滿足.設(shè)，，試判斷數(shù)列的單調(diào)性，并說(shuō)明理由.
18．某加油站擬造如圖所示的鐵皮儲(chǔ)油罐（不計(jì)厚度，長(zhǎng)度單位：米），其中儲(chǔ)油罐的中間為圓柱形，左右兩端均為半球形，（為圓柱的高，為球的半徑，）.假設(shè)該儲(chǔ)油罐的建造費(fèi)用僅與其表面積有關(guān).已知圓柱形部分每平方米建造費(fèi)用為千元，半球形部分每平方米建造費(fèi)用為3千元.設(shè)該儲(chǔ)油罐的建造費(fèi)用為千元.
（1）寫(xiě)出關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，并求該函數(shù)的定義域；
（2）求該儲(chǔ)油罐的建造費(fèi)用最小時(shí)的的值.
19．如圖，已知三棱柱，平面平面ABC，，，E，F(xiàn)分別是AC，的中點(diǎn)．請(qǐng)你用幾何法解決下列問(wèn)題：
（1）證明：；
（2）求直線EF與平面所成角的余弦值；
（3）求二面角的正弦值
答案
1．【正確答案】C
【詳解】由，得 ，
，即，
，，所以
故選:C
2．【正確答案】B
【分析】先證明兩個(gè)線面垂直“平面”和“平面”，進(jìn)而得到，得到等式，并將其轉(zhuǎn)化為關(guān)系式，求解即可.
【詳解】連接，并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，
連接，
由于三條側(cè)棱、、兩兩互相垂直，易得平面，
又因?yàn)槠矫?，平面，所以，?br>因?yàn)槭堑拇剐?，所以?br>因?yàn)?，，且平面，平面，?br>所以平面，且平面，
所以，同理可得，
因?yàn)?，，且平面，平面，?br>所以平面，平面，
所以，
因?yàn)椋?br>所以，，
即，
所以，
由平面，易得，
所以，
所以.
故選：B.
3．【正確答案】D
【詳解】∵當(dāng)時(shí)至少有一個(gè)根，
當(dāng)時(shí)，還有一根，只要b≠﹣2a，就有2個(gè)根；
當(dāng)b=﹣2a，是一個(gè)根
當(dāng)時(shí)，只有一個(gè)根；
當(dāng)時(shí)，只有二個(gè)根或三個(gè)根；
當(dāng)a=b=c=0時(shí){S}=1，{T}=0
當(dāng)a＞0，b=0，c＞0時(shí)，{S}=1且{T}=1
當(dāng)a=c=1，b=﹣2時(shí)，有{S}=2且{T}=2
故選：D
4．【正確答案】B
【分析】
連接交于點(diǎn)，連接，利用來(lái)求解.
【詳解】
如圖所示，連接交于點(diǎn)，連接，連接,
由正方體的特點(diǎn)可知，，,則格據(jù)線面垂直的判定定理可知平面，
則，
,故.
故選：B.
計(jì)算空間多面積的體積時(shí)，注意合理切割，將原幾何體轉(zhuǎn)化為若干個(gè)小三棱錐的體積之和，解答時(shí)注意幾何體高的判斷與計(jì)算.
5．【正確答案】A
【分析】由已知奇偶性質(zhì)得到的周期性與對(duì)稱性，借助已知條件與待定系數(shù)，再利用周期性得，由對(duì)稱性轉(zhuǎn)化為，代入解析式求解即得.
【詳解】由為奇函數(shù)，得，
故①，函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱；
由為偶函數(shù)，得②，
則函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱；
由①②得，
則，
故的周期為，所以，
由，令得，即③，
已知，
由函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，得，
又函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，得
所以，即，
所以④，聯(lián)立③④解得
故時(shí)，，
由關(guān)于對(duì)稱，可得.
故選：A.
6．【正確答案】B
【詳解】解：由知，函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱．
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)的圖象與直線無(wú)公共點(diǎn)，不滿足條件；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象與直線最多只有兩個(gè)公共點(diǎn)，不滿足條件；
當(dāng)時(shí)，如圖1所示，
函數(shù)的圖象與直線可能有四個(gè)公共點(diǎn)，滿足條件；
當(dāng)時(shí)，如圖2所示，
存在，使函數(shù)的圖象與直線有且僅有四個(gè)公共點(diǎn)，滿足條件；
當(dāng)時(shí)，如圖3所示，
存在實(shí)數(shù)，使函數(shù)的圖象與直線有且僅有四個(gè)公共點(diǎn)，滿足條件．
綜上可知，實(shí)數(shù)的取值范圍是，
故選：B．
7．【正確答案】A
【分析】根據(jù)題意可知和都是周期為2的周期函數(shù)，因此可將的零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)換為和的交點(diǎn)問(wèn)題，畫(huà)出函數(shù)圖形，找到交點(diǎn)規(guī)律即可找出第10個(gè)零點(diǎn)坐標(biāo)，而m的取值范圍就在第10個(gè)零點(diǎn)和第11個(gè)零點(diǎn)之間.
【詳解】由得是一個(gè)周期為2的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，因此，
因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以 ，，
且的周期為，且，，，，
求的零點(diǎn)，即是與的交點(diǎn)，如圖：

為與在區(qū)間的交點(diǎn)圖形，因?yàn)榕c均為周期為2的周期函數(shù)，
因此交點(diǎn)也呈周期出現(xiàn)，由圖可知的零點(diǎn)周期為，
若在區(qū)間上有10個(gè)零點(diǎn)，則第10個(gè)零點(diǎn)坐標(biāo)為，
第11個(gè)零點(diǎn)坐標(biāo)為，因此.
故選：A
8．【正確答案】D
【分析】根據(jù)題意，結(jié)合線線垂直的判定定理、線面垂直的性質(zhì)，以及異面直線夾角的求解方法，對(duì)每個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析，即可判斷和選擇.
【詳解】對(duì)A：連接，作圖如下：
因?yàn)闉檎襟w，故可得//，又，與是同一條直線，
故可得，則，故A正確；
對(duì)B：根據(jù)題意，，且線段在上運(yùn)動(dòng)，且點(diǎn)到直線的距離不變，
故△的面積為定值，又點(diǎn)到平面的距離也為定值，
故三棱錐的體積為定值，故B正確；
對(duì)C：取的中點(diǎn)分別為，連接，作圖如下：
容易知在△中，，又，，
面面，故面面，
又G在側(cè)面上運(yùn)動(dòng)，且滿足平面，故的軌跡即為線段；
又因?yàn)闉檎襟w，故面面，故，
則當(dāng)與重合時(shí)，，故C正確；
對(duì)D：因?yàn)椋手本€與所成角即為直線與所成角，即，
在中，，
故，
而當(dāng)直線與直線BC所成的角為時(shí)，，
故直線與直線BC所成的角不可能為，故D錯(cuò)誤.
故選：D.
9．【正確答案】ABC
【詳解】函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即方程gx=0異根的個(gè)數(shù)，
當(dāng)時(shí)，，則，，
由，有，所以或，
當(dāng)時(shí)，，則，，
由，有，所以，
所以問(wèn)題轉(zhuǎn)為，的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，
作出函數(shù)圖象可知：
當(dāng)，即時(shí)，有3個(gè)交點(diǎn)，即函數(shù)有4個(gè)零點(diǎn)，
當(dāng)，即時(shí)，有4個(gè)交點(diǎn)，函數(shù)有5個(gè)零點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，只有，函數(shù)只有1個(gè)零點(diǎn)，
當(dāng)或即或時(shí)，有2個(gè)交點(diǎn)，函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，
無(wú)論實(shí)數(shù)取何值，使得函數(shù)總有零點(diǎn)．
故選：ABC．
10．【正確答案】BCD
【詳解】由球的半徑為，可知圓柱的底面半徑為，圓柱的高為，則球表面積
為，圓柱的表面積，
所以球與圓柱的表面積之比為，故A錯(cuò)誤；
過(guò)作于，則由題可得，
設(shè)到平面DEF的距離為，平面DEF截得球的截面圓的半徑為，
則，，
所以平面DEF截得球的截面面積最小值為，故B正確；
由題可知四面體CDEF的體積等于，點(diǎn)到平面的距離，
又，所以，故C正確；
由題可知點(diǎn)在過(guò)球心與圓柱的底面平行的截面圓上，設(shè)在底面的射影為，
則，
設(shè)，則，，
所以
，
所以，故D正確.
故選：BCD.
11．【正確答案】AD
【詳解】當(dāng)時(shí)，不等式，令，則在上單調(diào)遞增，
因，則，A正確；
因，則，B不正確；
由知，，有，則，
由選項(xiàng)A知，，即，C不正確；
由得，，則，D正確.
故選：AD
12．【正確答案】
【詳解】因?yàn)?，所以?br>所以，，即，，
所以．
當(dāng)時(shí)，．
因?yàn)樵趨^(qū)間上恰有兩個(gè)最值，且，
所以，解得．
故．
13．【正確答案】
【詳解】設(shè)外接圓的半徑為，,如圖，
，，
可得，
同理可得，
在兩別分別乘以得
，整理得，
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即等號(hào)成立,
則的最大值為.
故答案為.
14．【正確答案】
由，，
利用均值不等式得，
解得的取值范圍，進(jìn)而求得的最大值.
【詳解】由，，得，
即
又，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等，
故，
解得或（舍）
故，即的最大值為，
故答案為.
15．【正確答案】（1）2.575,4；（2）；（3）乙，甲，丙．
【詳解】（1）由圖可知，數(shù)學(xué)素養(yǎng)能力測(cè)試為的頻率為0.1，故該班“數(shù)學(xué)素養(yǎng)能力測(cè)試”的科目平均分為，
語(yǔ)文素養(yǎng)能力測(cè)試為的頻率為0.075，故而該班有人．“數(shù)學(xué)素養(yǎng)能力測(cè)試”科目成績(jī)?yōu)榈娜藬?shù)（人）．
（2）依題：的取值可為29，28，27，26，25，24．
，，，
，，，
，
．
（3）乙，甲，丙．
16．【正確答案】(1)
(2)
【詳解】（1）可知，即，解得．
（2）可知內(nèi)接圓的半徑．
連接IB、OB，設(shè)，則．
不妨設(shè)外接圓半徑為R，則．
由角度關(guān)系，，
因此代入有
，
整理：．
右式
由于，因此，解得．
17．【正確答案】(1)①不具有；②具有
(2)
(3)單調(diào)遞增，證明見(jiàn)解析
【詳解】（1），對(duì)稱軸為，
當(dāng)時(shí)，有最小值，不具有性質(zhì)；
當(dāng)時(shí)，遞增，無(wú)最小值，具有性質(zhì).
（2）由題知，當(dāng)時(shí)，，
則當(dāng)，即時(shí)，
，
所以當(dāng)時(shí)，，
所以，
那么，當(dāng)時(shí)，無(wú)最小值，符合題意；
當(dāng)時(shí)，需滿足，即，解得；
當(dāng)時(shí)，無(wú)最小值，符合題意.
綜上所述，.
（3）由在區(qū)間上都有性質(zhì)，
則在，上，且，
又，所以，
即，
對(duì)于，因，
令，因，
所以，
所以，
即，
所以數(shù)列是單調(diào)遞增的.
18．【正確答案】（1），（2）.
【詳解】試題分析：（1）求實(shí)際問(wèn)題函數(shù)解析式，關(guān)鍵正確理解題意，列出正確的等量關(guān)系，明確自變量取值范圍. 儲(chǔ)油罐的建造費(fèi)用等于圓柱形部分建造費(fèi)用與半球形部分建造費(fèi)用之和，由得：，（2）所研究函數(shù)是一個(gè)關(guān)于的一元二次函數(shù)，求其最值關(guān)鍵在于研究對(duì)稱軸與定義區(qū)間之間位置關(guān)系，，在上是增函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，儲(chǔ)油罐的建造費(fèi)用最小.
試題解析：[解] ：(1）3分
（） 6分
(2)，8分
，在上是增函數(shù)，12分
所以當(dāng)時(shí)，儲(chǔ)油罐的建造費(fèi)用最小. 14分
考點(diǎn)：函數(shù)解析式，二次函數(shù)最值
19．【正確答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）；（3）．
【詳解】證明：（1）連接，，是的中點(diǎn)，，
又平面平面，平面，平面平面，
平面，，
，，，
，平面，
.
（2）取中點(diǎn)，連接?，則是平行四邊形，
由于平面，故，平行四邊形是矩形，
由（1）得平面，則平面平面，
在平面上的射影在直線上，
連接，交于，則是直線與平面所成角(或其補(bǔ)角)，
不妨設(shè)，則在△中，，，
是的中點(diǎn)，故，，
直線與平面所成角的余弦值為.
（3）過(guò)點(diǎn)B作于H，連接AH，因?yàn)槠矫嫫矫鍭BC，所以平面，所以在平面的射影是，
設(shè)二面角為，由圖示知為銳角，
在中，，設(shè)，所以，，
在中，，
．
所以二面角的正弦值為．
1.幾何法：一般要有三個(gè)步驟：一作，二證，三算.
2. 向量法：直線a的方向向量和平面的法向量分別為和.直線a的方向向量和平面所成的角θ滿足:

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2024-2025學(xué)年福建省福州市高二上冊(cè)期中聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（含解析）
2024-2025學(xué)年福建省晉江市高二上冊(cè)期中考試數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（含解析）

2024-2025學(xué)年福建省晉江市高二上冊(cè)期中考試數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（含解析）
2024-2025學(xué)年福建省福州市鼓樓區(qū)高三上冊(cè)第三次月考數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題（含解析）

2024-2025學(xué)年福建省福州市鼓樓區(qū)高三上冊(cè)第三次月考數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題（含解析）
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