第一部分（選擇題 共30分）
一、選擇題共10小題，每小題3分，共30分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).
1. 已知集合，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)交集的定義，即可求解.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以.
故選：A
2. 不等式的解集是（ ）
A. 或B. 或C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】直接解出不等式即可.
【詳解】，解得或，故解集為或，
故選：B.
3. 下列函數(shù)中，在區(qū)間上單調(diào)遞減的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)，冪函數(shù)的單調(diào)性即可得到答案.
【詳解】根據(jù)冪函數(shù)圖像與性質(zhì)可知，對(duì)A選項(xiàng)在單調(diào)遞增，故A錯(cuò)誤，
對(duì)D選項(xiàng)在單調(diào)性遞增，故D錯(cuò)誤，
根據(jù)指數(shù)函數(shù)圖像與性質(zhì)可知在單調(diào)遞減，故C正確，
根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)圖像與性質(zhì)可知在單調(diào)性遞增.
故選：C.
4. 命題“”的否定是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)存在命題的否定即可得到答案.
【詳解】根據(jù)存在命題的否定可知，存在變?nèi)我?，范圍不變，結(jié)論相反，
故其否定為.
故選：A.
5. 已知，則的最小值為（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】D
【解析】
【分析】利用基本不等式的性質(zhì)求解即可.
【詳解】因?yàn)椋?
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.
所以的最小值為.
故選：D
6. 函數(shù)的圖象關(guān)于（ ）
A. x軸對(duì)稱B. y軸對(duì)稱C. 原點(diǎn)對(duì)稱D. 直線對(duì)稱
【答案】C
【解析】
【分析】求出，可知，可得函數(shù)為奇函數(shù)，進(jìn)而得到答案.
【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)镽，，
所以有，所以為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.
故選：C.
7. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件C. 充分必要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)及充分條件、必要條件即可求解.
【詳解】推不出（舉例，），
而,
“”是“”的必要不充分條件，
故選：B
8. 已知函數(shù)，對(duì)a，b滿足且，則下面結(jié)論一定正確的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由對(duì)數(shù)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可知移項(xiàng)化簡(jiǎn)即可得.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，對(duì)a，b滿足且，
所以，
則
所以，
即，
解得
故選：D
9. 記地球與太陽(yáng)的平均距離為R，地球公轉(zhuǎn)周期為T，萬(wàn)有引力常量為G，根據(jù)萬(wàn)有引力定律和牛頓運(yùn)動(dòng)定律知：太陽(yáng)的質(zhì)量.已知，由上面的數(shù)據(jù)可以計(jì)算出太陽(yáng)的質(zhì)量約為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算即可.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以由得：
，
即，
又，
所以.
故選：A.
10. 已知實(shí)數(shù)互不相同，對(duì)滿足，則對(duì)（ ）
A. 2022B. C. 2023D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)代數(shù)基本定理進(jìn)行求解即可..
【詳解】國(guó)為滿足，
所以可以看成方程的個(gè)不等實(shí)根，根據(jù)代數(shù)基本定理可知：對(duì)于任意實(shí)數(shù)都有以下恒等式，
，
令，于有
，，
，
，
，
，
所以，
故選：D
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：根據(jù)代數(shù)基本定理是解題的關(guān)鍵.
第二部分（非選擇題 共70分）
二、填空題共5小題，每小題4分，共20分.
11. 函數(shù)的定義域是__________.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)真數(shù)大于零可構(gòu)造不等式求得結(jié)果.
【詳解】由得：，的定義域?yàn)?
故答案為：.
12. __________.
【答案】6
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，利用指數(shù)運(yùn)算、對(duì)數(shù)運(yùn)算計(jì)算作答.
詳解】.
故答案為：6
13. 若，，則______．
【答案】
【解析】
【分析】由，可知，再結(jié)合，及，可求出答案.
【詳解】因?yàn)?，所以?br>所以，．
故答案為：.
【點(diǎn)睛】本題考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系的應(yīng)用，考查學(xué)生的計(jì)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.
14. 如圖，單位圓被點(diǎn)分為12等份，其中.角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，若的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則__________；若，則角的終邊與單位圓交于點(diǎn)__________.（從中選擇，寫出所有滿足要求的點(diǎn)）
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】求出終邊經(jīng)過則對(duì)應(yīng)的角和的關(guān)系.
【詳解】，所以終邊經(jīng)過則
角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，若的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則，
所以
，即或
即或
經(jīng)過點(diǎn)
故答案為：；
15. 已知函數(shù),
①當(dāng)時(shí)，在上的最小值為__________；
②若有2個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a取值范圍是__________.
【答案】 ①. ； ②. 或．
【解析】
【分析】①根據(jù)函數(shù)式分段確定函數(shù)的單調(diào)性后可得最小值；
②結(jié)合函數(shù)和的圖象，根據(jù)分段函數(shù)的定義可得參數(shù)范圍．
【詳解】①，時(shí)，是增函數(shù)，，
時(shí)，是增函數(shù)，因此，
所以時(shí)，的最小值是；
②作出函數(shù)和的圖象，它們與軸共有三個(gè)交點(diǎn)，，，
由圖象知有2個(gè)零點(diǎn)，則或．
故答案為：；或．
三、解答題共5小題，共50分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、演算步驟或證明過程.
16. 已知函數(shù).
（1）求的值；
（2）當(dāng)時(shí)，求的值域.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】(1)根據(jù)誘導(dǎo)公式和特殊角三角函數(shù)值求解；(2)利用余弦函數(shù)性質(zhì)及不等式性質(zhì)求的值域.
【小問1詳解】
因?yàn)椋?br>所以，
【小問2詳解】
由(1) ，又，所以，
所以，故當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)?
17. 已知關(guān)于x的不等式的解集為A.
（1）當(dāng)時(shí)，求集合A；
（2）若集合，求a的值；
（3）若，直接寫出a的取值范圍.
【答案】（1）；
（2）；
（3）．
【解析】
【分析】（1）直接解不等式可得；
（2）由題意得是方程的根，代入后可得值；
（3）代入后不等式不成立可得．
【小問1詳解】
時(shí)，不等式為，即，，
∴；
【小問2詳解】
原不等式化為，
由題意，解得，
時(shí)原不等式化為，或，滿足題意．
所以；
【小問3詳解】
，則，解得．
18. 函數(shù)的定義域?yàn)?，若?duì)任意的，均有.
（1）若，證明：；
（2）若對(duì)，證明：在上為增函數(shù)；
（3）若，直接寫出一個(gè)滿足已知條件的的解析式.
【答案】（1）證明過程見解析
（2）證明過程見解析 （3），（答案不唯一）
【解析】
【分析】（1）賦值法得到；
（2）賦值法，令，且，從而得到，證明出函數(shù)的單調(diào)性；
（3）從任意的，均有，可得到函數(shù)增長(zhǎng)速度越來(lái)越快，故下凸函數(shù)符合要求，構(gòu)造出符合要求的函數(shù)，并進(jìn)行證明
【小問1詳解】
令，則，
因?yàn)?，所以?br>【小問2詳解】
令，且，則，
所以，
故，
因?yàn)閷?duì)，
所以，
故，即，
在上為增函數(shù)；
【小問3詳解】
構(gòu)造，，滿足，
且滿足對(duì)任意的，，理由如下：
，
因?yàn)?，故，?br>故對(duì)任意的，.
19. 已知函數(shù).
（1）若為偶函數(shù)，求a的值；
（2）從以下三個(gè)條件中選擇兩個(gè)作為已知條件，記所有滿足條件a的值構(gòu)成集合A，若，求A.
條件①：是增函數(shù)；
條件②：對(duì)于恒成立；
條件③：，使得.
【答案】（1）；
（2）選①②，不存在；選①③，；選②③，．
【解析】
【分析】（1）由偶函數(shù)的定義求解；
（2）選①②，時(shí)，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性得是增函數(shù)，時(shí)，由單調(diào)性的定義得函數(shù)的單調(diào)性，然后在時(shí)，由有解，說(shuō)明不滿足②不存在；選①③，同選①②，由單調(diào)性得，然后則函數(shù)的最大值不大于4得的范圍，綜合后得結(jié)論；選②③，先確定恒成立時(shí)的范圍，再換元確定新函數(shù)的單調(diào)性得最大值的可能值，從而可得參數(shù)范圍．
【小問1詳解】
是偶函數(shù)，則，
恒成立，∴，即；
【小問2詳解】
若選①②，（），
若，則是增函數(shù)，由得，因此不恒成立，不合題意，
若，設(shè)，則，
恒成立，設(shè)，則，
，
當(dāng)時(shí)，，，，是減函數(shù)，
時(shí)，，，，是增函數(shù)，
又是增函數(shù)，因此在定義域內(nèi)不是增函數(shù)，不合題意．
故不存在滿足題意；
若選①③，
若，則是增函數(shù)，
若，設(shè)，則，
恒成立，設(shè)，則，
，
當(dāng)時(shí)，，，，是減函數(shù)，
時(shí)，，，，是增函數(shù)，
又是增函數(shù)，因此在定義域內(nèi)不是增函數(shù)，不合題意．
故不存在滿足題意；
要滿足①，則，
所以時(shí)，，由得，
綜上，；
所以．
若選②③，
若，則由，不恒成立，
只有時(shí)，恒成立，設(shè)，則，
又時(shí)，，，
恒成立，設(shè)，則，
，
當(dāng)時(shí)，，，，是減函數(shù)，
時(shí)，，，，是增函數(shù)，
要滿足③，若即時(shí)，，所以；
若即時(shí)，，所以；
若，即時(shí)，，所以；
綜上，
所以．
20. 對(duì)于非空數(shù)集A，若其最大元素為M，最小元素為m，則稱集合A的幅值為，若集合A中只有一個(gè)元素，則.
（1）若，求；
（2）若，，求的最大值，并寫出取最大值時(shí)的一組；
（3）若集合的非空真子集兩兩元素個(gè)數(shù)均不相同，且，求n的最大值.
【答案】（1）
（2）的最大值為，
（3）n的最大值為11
【解析】
【分析】（1）根據(jù)新定義即可求出；
（2）由，且要使得取到最大，則只需中元素不同且7,8,9分布在3個(gè)集合中，4,5,6,分布在3個(gè)集合中，1,2,3分布在3個(gè)集合中這樣差值才會(huì)最大，總體才會(huì)有最大值.
（3）要n的值最大，則集合的幅值最小，且是集合的兩兩元素個(gè)數(shù)均不相同的非空真子集，故對(duì)集合中元素分析列出方程解出即可.
【小問1詳解】
由集合知，，
所以
【小問2詳解】
因?yàn)?，?br>由此可知集合中各有3個(gè)元素，且完全不相同，
根據(jù)定義要讓取到最大值，
則只需中元素不同且7,8,9分布在3個(gè)集合中，
4,5,6,分布在3個(gè)集合中，1,2,3分布在3個(gè)集合中
這樣差值才會(huì)最大，總體才會(huì)有最大值，所以的最大值為，
所以有一組滿足題意，
【小問3詳解】
要n的值最大，則集合的幅值要盡量最小，故幅值最小從0開始，接下來(lái)為，
因?yàn)槭羌蟽蓛稍貍€(gè)數(shù)均不相同的非空真子集，
不妨設(shè)是集合中只有一個(gè)元素的非空真子集，此時(shí)，例如,
則是集合中有兩個(gè)元素的非空真子集，且，例如，
同理是集合中有三個(gè)元素的非空真子集，且，例如，
是集合中有個(gè)元素的非空真子集，且，例如，
所以，
解得或（舍去），
所以n的最大值為11.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛:新定義題型的特點(diǎn)是:通過給出一個(gè)新概念，或約定一種新運(yùn)算，或給出幾個(gè)新模型來(lái)創(chuàng)設(shè)全新的問題情景，要求考生在閱讀理解的基礎(chǔ)上，依據(jù)題目提供的信息，聯(lián)系所學(xué)的知識(shí)和方法，實(shí)現(xiàn)信息的遷移，達(dá)到靈活解題的目的:遇到新定義問題，應(yīng)耐心讀題，分析新定義的特點(diǎn)，弄清新定義的性質(zhì)，按新定義的要求，“照章辦事”，逐條分析、驗(yàn)證、運(yùn)算，使問題得以解決.

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