2023.01
學校__________班級__________姓名__________
一?選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 已知集合，若（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用交集的定義運算即得.
【詳解】因為 ，
則 .
故選：B.
2. 下列函數(shù)中，是奇函數(shù)且在區(qū)間上單調遞增的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義，結合冪函數(shù)的圖象與性質，逐項分析即得.
【詳解】對于A，函數(shù)的定義域為不關于原點對稱，所以函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，不符合題意；
對于B，函數(shù)定義域為R，又，所以函數(shù)為偶函數(shù)，不符合題意；
對于C，函數(shù)在為單調遞減函數(shù)，不符合題意；
對于D，函數(shù)，由，所以函數(shù)為奇函數(shù)，
根據(jù)冪函數(shù)的性質，可得函數(shù)在區(qū)間上為單調遞增函數(shù)，符合題意.
故選：D.
3. 某學校想了解高一學生社會實踐項目的選擇意向，采用分層抽樣的方式抽取100人進行問卷調查.已知高一年級有270名男生，從男生中抽取了60名，則該校高一年級共有學生（ ）
A. 445人B. 450人C. 520人D. 540人
【答案】B
【解析】
【分析】由題可得，進而即得.
【詳解】設該校高一年級共有學生人，
由題可知，
解得(人).
故選：B.
4. 下列結論正確的是（ ）
A. 若，則
B. 若，則
C. 若，則
D. 若，則
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)不等式的性質確定正確答案.
【詳解】A選項，若，則，所以A選項錯誤.
B選項，若，兩邊平方得，所以B選項正確.
C選項，若，則，所以C選項錯誤.
D選項，若，如，則，所以D選項錯誤.
故選：B
5. 某班分成了A?B?C?D四個學習小組學習二十大報告，現(xiàn)從中隨機抽取兩個小組在班會課上進行學習成果展示，則組和組恰有一個組被抽到的概率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用列舉法結合古典概型概率公式即得.
【詳解】從A?B?C?D四個學習小組中隨機抽取兩個小組有共6種結果，
其中組和組恰有一個組被抽到的結果有共4種結果，
所以組和組恰有一個組被抽到的概率為.
故選：C.
6. 已知，則的大小關系為（ ）
A. B.
C D.
【答案】A
【解析】
【分析】化簡，通過討論函數(shù)和的單調性和取值范圍即可得出的大小關系.
【詳解】解：由題意，
，
在中，函數(shù)單調遞增，且，
∴，
在中，函數(shù)單調遞增，且當時，，
∴，
∴，
故選：A.
7. 甲?乙兩名學生，六次數(shù)學測驗成績（百分制）如圖所示：
①甲同學成績的中位數(shù)和極差都比乙同學大；
②甲同學的平均分比乙同學高；
③甲同學成績比乙同學穩(wěn)定；
④甲同學成績的方差大于乙同學成績的方差.
上面說法正確的是（ ）
A ①③B. ①④C. ②④D. ②③
【答案】B
【解析】
【分析】計算中位數(shù)，平均數(shù)，極差，估計方差，進而即得.
【詳解】根據(jù)莖葉圖數(shù)據(jù)知，甲同學成績的中位數(shù)是，極差為34，
乙同學成績的中位數(shù)是，極差為16，
所以甲同學成績的中位數(shù)和極差都比乙同學大，故①正確；
甲同學的平均分是，乙同學的平均分是，
所以乙同學的平均分高，故②錯誤；
由莖葉圖可知乙同學成績數(shù)據(jù)比較集中，方差小，甲同學成績數(shù)據(jù)比較分散，方差大，故③錯誤，④正確.
所以說法正確的是①④．
故選：B．
8. 已知，則不等式的解集為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】化簡不等式，結合解方程組以及函數(shù)的圖象確定正確答案.
【詳解】的定義域是，AB選項錯誤.
①，
由解得或，
畫出的圖象如下圖所示，
由圖可知，不等式①的解集為.
故選：D
9. 函數(shù)在區(qū)間上的圖像是連續(xù)不斷的，則“”是“函數(shù)在區(qū)間上沒有零點”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】B
【解析】
【分析】由零點存在性定理，及充分必要條件的判定即可得解.
【詳解】因為函數(shù)在區(qū)間上圖像是連續(xù)不斷的，
由零點存在性定理，可知由可得函數(shù)在區(qū)間上有零點，
即由函數(shù)在區(qū)間上沒有零點，可得，
而由推不出函數(shù)在區(qū)間上沒有零點，如，，函數(shù)在區(qū)間上有零點，
所以“”是“函數(shù)在區(qū)間上沒有零點”的必要不充分條件.
故選：B.
10. 已知.若對于，均有成立，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】將成立轉化成恒成立的問題，構造函數(shù)，然后分類討論，即可求出的取值范圍.
【詳解】解：由題意
在中，對稱軸
函數(shù)在上單調減，在上單調增
，
∵對于，均有成立
即對于，均有恒成立
在中，對稱軸，
函數(shù)在上單調減，在上單調增
當即時，
函數(shù)在上單調減
函數(shù)在上單調減
∴
解得
當，即時，
函數(shù)在上單調減，在上單調增
函數(shù)在上單調減
∴
∴
解得
當，即時，
函數(shù)在上單調增
函數(shù)在上單調減
∴
∴
故不符題意，舍去.
當即時
函數(shù)在上單調增，
函數(shù)在上單調減，在上單調增，
∴
解得
當即時
函數(shù)在上單調增，
函數(shù)在上單調減，在上單調增，
此時，
∴符合題意
當時，
函數(shù)在上單調增
函數(shù)在上單調增
∴
此時
∴符合題意
綜上，實數(shù)的取值范圍是
故選：C.
【點睛】本題考查恒成立問題，二次函數(shù)不同區(qū)間的單調性，以及分類討論的思想，具有很強的綜合性.
二?填空題：本大題共5小題，每小題4分，共20分.把答案填在題中橫線上.
11. 函數(shù)的定義域是_____.
【答案】
【解析】
【分析】直接令真數(shù)大于0可得定義域.
【詳解】函數(shù)，由，得，
所以定義域為.
故答案為：.
【點睛】本題主要考查了對數(shù)型函數(shù)的定義域，屬于基礎題.
12. __________，__________.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】根據(jù)指數(shù)冪的運算法則和對數(shù)的運算法則即得.
【詳解】，
.
故答案為：5；3.
13. 已知是關于的方程的兩個實根，且，則__________.
【答案】2
【解析】
【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關系結合條件即得.
【詳解】因為是關于的方程的兩個實根，
則，又，
所以，
解得或，
經(jīng)判別式檢驗知.
故答案為：2.
14. 已知，當時，的單調減區(qū)間為__________；若存在最小值，則實數(shù)的取值范圍是__________.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】空一：分開求解單調性；空二：分和兩種情況討論.
【詳解】當時，
當時函數(shù)單調遞增，
當時函數(shù)，所以函數(shù)在上單調遞減，在單調遞增，所以函數(shù)的單調減區(qū)間為
因為函數(shù)
并且，所以函數(shù)在上單調遞增，沒有最小值；
，要想函數(shù)有最小值則滿足即
故答案為：，
15. 請閱讀以下材料，并回答后面的問題：
材料1：人體成分主要由骨骼?肌肉?脂肪等組織及內臟組成，肌肉是最大的組織，且肌肉的密度相比脂肪而言要大很多.肌肉和脂肪在體重中占比個體差異較大，脂肪占體重的百分比（稱為體脂率，記為）經(jīng)常作為反映肥胖程度的一個重要指標，但是不易于測量.
材料2：體重指數(shù)BMI（BdyMassIndex的縮寫）計算公式為：體重指數(shù)BMI為體重，單位：千克；為身高，單位：米），是衡量人體整體胖瘦程度的一個簡單易得的重要指標.1997年，世界衛(wèi)生組織經(jīng)過大范圍的調查研究后公布：BMI值在為正常；為超重；為肥胖.由于亞洲人與歐美人的體質有較大差異，國際肥胖特別工作組經(jīng)調查研究后，于2000年提出了亞洲成年人BMI值在為正常.中國肥胖問題工作組基于中國人體質特征，于2003年提出中國成年人BMI值在為正常；為超重；為肥胖. 30歲的小智在今年的體檢報告中，發(fā)現(xiàn)體質指數(shù)BMI值為，依照標準屬于超重.因為小智平時還是很注意體育鍛煉的，正常作息，且每周去健身房有大約2小時的健身運動，周末還經(jīng)常會和朋友去打籃球，所以小智對自己超重感覺很困惑.
請你結合上述材料，從數(shù)學模型的視角，幫小智做一下分析（包括：是否需要擔心？為什么？）：__________.
【答案】答案見解析
【解析】
【分析】根據(jù)材料結合條件分析即得.
【詳解】因為小智平時注意鍛煉，肌肉占比相對高，意味著身體密度大，相同體型和身高情況下，BMI值與密度成正比（或者說，體重更大），
所以他的BMI值就會偏高，如果小智體型基本正常（或者說身高遠高于中國人平均值），就不必擔心.
故答案為：如果小智體型基本正常（或者說身高遠高于中國人平均值），他的BMI值就會偏高，就不必擔心，因為小智平時注意鍛煉，肌肉占比相對高，意味著身體密度大，相同體型和身高情況下，BMI值與密度成正比（或者說，體重更大）.
三?解答題：本大題共4小題，共40分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
16. 已知集合
（1）求集合中的所有整數(shù)；
（2）若，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）解絕對值不等式求得集合，從而確定正確答案.
（2）對集合是否為空集進行分類討論，結合求得的取值范圍.
【小問1詳解】
，所以，
所以集合中的所有整數(shù)為.
【小問2詳解】
由（1）得：，所以或
①時，即，
所以，符合；
②時，即，
所以，
由于，
所以，
所以.
綜上，實數(shù)的取值范圍是.
17. 高考英語考試分為兩部分，一部分為聽說考試，滿分50分，一部分為英語筆試，滿分100分.英語聽說考試共進行兩次，若兩次都參加，則取兩次考試的最高成績作為聽說考試的最終得分，如果第一次考試取得滿分，就不再參加第二次考試.為備考英語聽說考試，李明每周都進行英語聽說模擬考試訓練，下表是他在第一次聽說考試前的20次英語聽說模擬考試成績.
假設：①模擬考試和高考難度相當；②高考的兩次聽說考試難度相當；③若李明在第一次考試未取得滿分后能持續(xù)保持聽說訓練，到第二次考試時，聽說考試取得滿分的概率可以達到.
（1）設事件為“李明第一次英語聽說考試取得滿分”，用頻率估計事件的概率；
（2）基于題干中假設，估計李明英語高考聽說成績?yōu)闈M分的概率的最大值.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)古典概型公式計算，即可求解；（2）計算出李明第二次英語聽說考試取得滿分的概率，然后根據(jù)題意，由獨立事件的乘法公式計算李明英語高考聽說成績?yōu)闈M分的概率的最大值.
小問1詳解】
依題意，李明在20次英語聽說模擬考試中有8次取得滿分，
取得滿分的頻率為，
所以用頻率估計事件的概率為.
【小問2詳解】
設事件為“李明第二次英語聽說考試取得滿分”，
事件為“李明高考英語聽說考試取得滿分”.
依題意，，
所以，
所以如果李明在第一次未取得滿分時，堅持訓練參加第二次考試，
那么他英語高考聽說考試最終成績?yōu)闈M分的概率的最大值可以達到.
18. 已知且，函數(shù)在R上是單調減函數(shù)，且滿足下列三個條件中的兩個.
①函數(shù)為奇函數(shù)；②；③.
（1）從中選擇的兩個條件的序號為_____，依所選擇的條件求得____，____；
（2）利用單調性定義證明函數(shù)在上單調遞減；
（3）在（1）的情況下，若方程在上有且只有一個實根，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）①②；；
（2）證明見解析 （3）
【解析】
【分析】（1）通過分析可知一定滿足①②，從而列出方程組，求出，；
（2）定義法判斷函數(shù)的單調性步驟：取值，作差，變形，判號；
（3）參變分離得到，，換元后轉化為在上有唯一解，結合（2）中函數(shù)單調性，求出的值域，從而得到的取值范圍.
【小問1詳解】
因為函數(shù)在R上是單調減函數(shù)，
故②；③不會同時成立，兩者選一個，
故函數(shù)一定滿足①函數(shù)為奇函數(shù)，
由于函數(shù)定義域為R，所以有，則，，
故一定滿足②，
選擇①②；，
，
解得：，；
【小問2詳解】
任取，且，
則，
由于，所以，
所以，即，
所以函數(shù)在上單調遞減.
【小問3詳解】
由（1）可得，
所以方程為，即，
令，由于，所以，
則問題轉化為在上有唯一解.
由（2）知，函數(shù)在上單調遞減，
所以，
所以，實數(shù)的取值范圍是.
19. 設函數(shù)的定義域為，且區(qū)間，對任意且，記，.若，則稱在上具有性質；若，則稱在上具有性質；若，則稱在上具有性質；若，則稱在上具有性質.
（1）記：①充分而不必要條件；
②必要而不充分條件；
③充要條件；
④既不充分也不必要條件
則在上具有性質是在上單調遞增的_____（填正確選項的序號）；
在上具有性質是在上單調遞增的_____（填正確選項的序號）；
在上具有性質是在上單調遞增的_____（填正確選項的序號）；
（2）若在滿足性質，求實數(shù)的取值范圍；
（3）若函數(shù)在區(qū)間上恰滿足性質?性質?性質?性質中的一個，直接寫出實數(shù)的最小值.
【答案】（1）②；①；③
（2）
（3）1
【解析】
【分析】（1）結合函數(shù)的單調性、充分、必要條件的知識確定正確答案.
（2）根據(jù)性質，利用分離常數(shù)法，結合不等式的性質求得的取值范圍.
（3）將問題轉化為恒成立，對的范圍進行分類討論，由此求得的最小值.
【小問1詳解】
由于，所以.
對于性質，當時，無法判斷的符號，故無法判斷單調性；
當在上單調遞增時，，
所以在上具有性質是在上單調遞增的必要而不充分條件.
對于性質，當時，，所以在上單調遞增；
當在上單調遞增時，，的符號無法判斷，
所以在上具有性質是在上單調遞增的充分而不必要條件.
對于性質，若，則，所以在上單調遞增；
當在上單調遞增時，，，
所以在上具有性質是在上單調遞增的充要條件.
【小問2詳解】
對于任意的，且，
有，
由于在滿足性質，即，
所以，所以，
因為，所以，所以，
由于任意的，且，所以，
所以，
所以實數(shù)的取值范圍是.
【小問3詳解】
實數(shù)的最小值為1.
理由如下：
因為在上恰滿足性質?性質?性質?性質中的一個，
所以對任意且，若滿足性質A，，
若滿足性質，則，若滿足性質C、D，則，
性質B、C、D同時滿足，所以僅滿足性質A，此時，
有恒成立.
因為的定義域為，所以.
當時，，
所以，從而，不合題意；
當時，，
所以，從而，
要使恒成立，只需使，即恒成立，
若，則，使，這與矛盾，
當時，，恒成立，
所以的最小值為1.
【點睛】對于新定義問題的求解，關鍵點在于“轉化”，將新定義的問題，不熟悉的問題，轉化為學過的知識、熟悉的問題來進行求解.求解函數(shù)問題，首先要研究函數(shù)的定義域，這個步驟必不可少.
考
生
須
知
1.本試卷共6頁，共三道大題，19道小題.滿分100分.考試時間90分鐘.
2.在試卷上準確填寫學校名稱?班級名稱?姓名.
3.答案一律填涂或書寫在試卷上，用黑色字跡簽字筆作答.
4.考試結束，請將本試卷交回.
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