（考試時間120分鐘 滿分150分）
本試卷分為選擇題（共50分）和非選擇題（共100分）兩部分考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．
第一部分（選擇題 共50分）
一、選擇題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題列出的四個選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)．
1. 若，則下列各式一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】結(jié)合特殊值以及冪函數(shù)的性質(zhì)確定正確答案.
【詳解】AD選項(xiàng)，，則，但，所以AD選項(xiàng)錯誤.
B選項(xiàng)，若，則，所以B選項(xiàng)錯誤.
C選項(xiàng)，若，由于在上遞增，所以，所以C選項(xiàng)正確.
故選：C
2. 若角滿足，則角是（ ）
A 第一象限角B. 第二象限角C. 第三象限角D. 第四象限角
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)三角函數(shù)四個象限符號確定.
【詳解】為第二，三象限角或者軸負(fù)半軸上的角；
又為第二，四象限角
所以為第二象限角.
故選：B
3. 下列函數(shù)中，在其定義域上單調(diào)遞增且值域?yàn)榈氖牵? ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分別求出每個選項(xiàng)的單調(diào)性和值域即可得出答案.
【詳解】對于A，在定義域上單調(diào)遞增且值域?yàn)椋蔄不正確；
對于B，在定義域上單調(diào)遞增值域?yàn)椋蔅正確；
對于C，由雙勾函數(shù)的圖象知，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故C不正確；
對于D，的值域?yàn)椋蔇不正確.
故選：B.
4. 設(shè)集合，集合，則A與B的關(guān)系為（ ）
A B. ?C. ?D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)終邊相同的角的知識確定正確答案.
【詳解】由于集合，所以集合表示終邊落在軸上的角的集合；
由于集合，所以集合表示終邊落在軸上的角的集合；
所以.
故選：A
5. 聲強(qiáng)級（單位：）出公式給出，其中I為聲強(qiáng)（單位：）．若平時常人交談時的聲強(qiáng)約為，則聲強(qiáng)級為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)對數(shù)運(yùn)算求得正確答案.
【詳解】依題意.
故選：C
6. 已知，，則“”是“”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充分必要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】
【分析】
通過基本不等式可得充分性成立，舉出反例說明必要性不成立.
【詳解】當(dāng)，時，，
則當(dāng)時，有，解得，充分性成立；
當(dāng)，時，滿足，但此時，必要性不成立，
綜上所述，“”是“”的充分不必要條件.
故選：A.
7. 已知函數(shù)，有如下四個結(jié)論：
①函數(shù)在其定義域內(nèi)單調(diào)遞減；
②函數(shù)的值域?yàn)椋?br>③函數(shù)的圖象是中心對稱圖形；
④方程有且只有一個實(shí)根．
其中所有正確結(jié)論的序號是（ ）
A. ①②B. ②③C. ①③D. ③④
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性、值域、對稱性以及方程的根等知識確定正確答案.
【詳解】的定義域?yàn)?，?br>所以在上遞增，①錯誤.
由于， ，
所以的值域?yàn)?
由于，
所以是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，③正確.
由得
構(gòu)造函數(shù)，在上單調(diào)遞增，
，
所以在上存在唯一零點(diǎn)，也即方程有且只有一個實(shí)根，④正確.
所以正確結(jié)論的序號是③④.
故選：D
8. 已知角為第一象限角，且，則的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先確定的取值范圍，由此求得的取值范圍.
【詳解】由于角為第一象限角，
所以，
所以，
由于，所以，
所以.
故選：A
9. 某廠以x千克/小時速度勻速生產(chǎn)某種產(chǎn)品（生產(chǎn)條件要求），每小時可獲得利潤元，要使生產(chǎn)100千克該產(chǎn)品獲得的利潤最大，該廠應(yīng)選取的生產(chǎn)速度是（ ）
A. 2千克/小時B. 3千克/小時
C. 4千克/小時D. 6千克/小時
【答案】C
【解析】
【分析】生產(chǎn)100千克該產(chǎn)品獲得的利潤為，令，由換元法求二次函數(shù)最大值即可.
【詳解】由題意得，生產(chǎn)100千克該產(chǎn)品獲得的利潤為，，
令，，則，故當(dāng)時，最大，此時.
故選：C
10. 定義在上的偶函數(shù)滿足，且在上單調(diào)遞增，，則a，b，c的大小關(guān)系是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由得，則的周期為2，結(jié)合函數(shù)的奇偶性，即可化簡a，b，c，最后根據(jù)單調(diào)性比較大小.
【詳解】由得，∴的周期為2，
又為偶函數(shù)，則，，
∵，在上單調(diào)遞增，∴.
故選：A
第二部分（非選擇題 共100分）
二、填空題共6小題，每小題5分，共30分．
11. 已知集合，集合，則____________．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)并集的定義運(yùn)算即可.
【詳解】因?yàn)?，?br>所以，
故答案為：
12. 已知角，若，則__________；__________．
【答案】 ①. ## ②.
【解析】
【分析】由條件結(jié)合誘導(dǎo)公式求，根據(jù)特殊角三角函數(shù)值求出， 即可.
【詳解】因?yàn)?，所以，故，又，所以?br>所以，
故答案為：，.
13. 設(shè)且，，則的最小值為__________.
【答案】2
【解析】
【分析】對利用對數(shù)運(yùn)算公式，得到，再由基本不等式以及條件中的，得到答案.
【詳解】因?yàn)榍遥?br>所以且
而，且
所以由基本不等式可得
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立.
【點(diǎn)睛】本題考查對數(shù)運(yùn)算公式，基本不等式求和的最小值，屬于簡單題.
14. 設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镮，如果，都有，且，已知函數(shù)的最大值為2，則可以是___________．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性和最值寫出符合題意的.
【詳解】依題意可知是偶函數(shù)，且最大值為，
所以符合題意.
故答案為：（答案不唯一）
15. 已知下列五個函數(shù)：，從中選出兩個函數(shù)分別記為和，若的圖象如圖所示，則______________．
【答案】
【解析】
【分析】觀察圖象確定函數(shù)的定義域和奇偶性和特殊點(diǎn)，由此確定的解析式.
【詳解】由已知， ，
觀察圖象可得的定義域?yàn)椋曰蛑斜赜幸粋€函數(shù)為，且另一個函數(shù)不可能為，又的圖象不關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以，所以或，
若，則與函數(shù)圖象矛盾，
所以，
故答案為：.
16. 已知函數(shù)，給出以下四個結(jié)論：
①存在實(shí)數(shù)a，函數(shù)無最小值；
②對任意實(shí)數(shù)a，函數(shù)都有零點(diǎn)；
③當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增；
④對任意，都存在實(shí)數(shù)m，使方程有3個不同的實(shí)根．
其中所有正確結(jié)論的序號是________________．
【答案】①②④
【解析】
【分析】結(jié)合分段函數(shù)的性質(zhì)對四個結(jié)論進(jìn)行分析，從而確定正確答案.
【詳解】①，當(dāng)時，，
的圖象如下圖所示，由圖可知，沒有最小值，①正確.
②，由于，
當(dāng)時，；當(dāng)時，，
所以對任意實(shí)數(shù)a，函數(shù)都有零點(diǎn)，②正確.
③當(dāng)時，，
，即函數(shù)在上不是單調(diào)遞增函數(shù)，③錯誤.
④，當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
畫出的圖象如下圖所示，
由圖可知存在實(shí)數(shù)m，使方程有3個不同的實(shí)根，④正確.
綜上所述，正確結(jié)論的序號是①②④.
故答案為：①②④
三、解答題共5小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程．
17. 已知角的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過點(diǎn)．
（1）求和的值；
（2）求值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)三角函數(shù)的定義求出，再根據(jù)二倍角的正弦公式即可求得；
（2）先根據(jù)二倍角的余弦公式求出，再根據(jù)商數(shù)關(guān)系求出，再根據(jù)兩角和的正切公式即可得解.
【小問1詳解】
解：由題意得，
所以；
【小問2詳解】
解：，
所以，
所以.
18. 已知函數(shù)．
（1）當(dāng)時，解不等式；
（2）若命題“，不等式恒成立”是假命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）根據(jù)一元二次不等式的解法求得不等式的解集.
（2）結(jié)合開口方向以及判別式求得的取值范圍.
【小問1詳解】
當(dāng)時，，即，
，解得
所以不等式的解集為.
【小問2詳解】
當(dāng)恒成立，
當(dāng)不為0時，且，
即，
當(dāng)時,成立，所以
命題“，不等式恒成立”是假命題
所以a的取值范圍為：或．
19. 已知函數(shù)．從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知．
（1）求a的值；
（2）求的最小值，以及取得最小值時x的值．
條件①：的最大值為6；
條件②：的零點(diǎn)為．
注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計(jì)分．
【答案】（1）若選條件①，則；若選條件②，則
（2）答案見解析.
【解析】
【分析】（1）化簡的解析式，根據(jù)條件①或②求得的值.
（2）利用三角函數(shù)最值的求法求得正確答案.
【小問1詳解】
.
若選條件①，
則.
若選條件②，
則.
【小問2詳解】
若選條件①，由（1）得，
則當(dāng)時，，則當(dāng)時，取得最小值為.
若選條件②，由（1）得，
則當(dāng)時，，則當(dāng)時，取得最小值為.
20. 已知函數(shù)．
（1）當(dāng)時，解不等式；
（2）若函數(shù)是偶函數(shù)，求m的值；
（3）當(dāng)時，若函數(shù)的圖象與直線有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）即，結(jié)合對數(shù)、指數(shù)函數(shù)單調(diào)性求解即可；
（2）偶函數(shù)，則，結(jié)合對數(shù)運(yùn)算法則化簡求值即可
（3）由對數(shù)運(yùn)算得在上單調(diào)遞增，且值域?yàn)?，即可由?shù)形結(jié)合判斷b的取值范圍.
【小問1詳解】
當(dāng)時，即，即，解得；
【小問2詳解】
函數(shù)是偶函數(shù)，則，即，即，即，
∵，故；
【小問3詳解】
當(dāng)時，，.
∵為減函數(shù)，故在上單調(diào)遞增，且值域?yàn)?br>∵函數(shù)的圖象與直線有公共點(diǎn)，故實(shí)數(shù)b的取值范圍為.
21. 設(shè)全集，集合A是U的真子集．設(shè)正整數(shù)，若集合A滿足如下三個性質(zhì)，則稱A為U的子集：
①；
②，若，則；
③，若，則．
（1）當(dāng)時，判斷是否為U的子集，說明理由；
（2）當(dāng)時，若A為U的子集，求證：；
（3）當(dāng)時，若A為U的子集，求集合A．
【答案】（1）不是U的子集；
（2）證明見解析； （3）集合.
【解析】
【分析】（1）取，由不滿足性質(zhì)②可得不是U的子集；
（2）通過反證法，分別假設(shè)，的情況，由不滿足子集的性質(zhì)，可證明出；
（3）由（2）得，，，，再分別假設(shè)，，，四種情況，由不滿足子集的性質(zhì)，可得出，再根據(jù)性質(zhì)②和性質(zhì)③，依次湊出8~23每個數(shù)值是否滿足條件即可.
【小問1詳解】
當(dāng)時，，，，
取，則，但，不滿足性質(zhì)②，
所以不是U的子集.
【小問2詳解】
當(dāng)時，A為U的子集，
則；
假設(shè)，設(shè)，即
取，則，但，不滿足性質(zhì)②，
所以，；
假設(shè)，
取，，且，則，
再取，，則，
再取，，且，
但與性質(zhì)①矛盾，
所以.
【小問3詳解】
由（2）得，當(dāng)時，若A為U的子集，，，，
所以當(dāng)時，，
若A為U的子集，，，；
若，取，，則，，
再取，，則，與矛盾，
則，；
若，取，，則，與矛盾，則，；
若，取，，則，與矛盾，則，；
若，取，，則，與矛盾，則，；
取，，則，；
取，，則；
取，，則，；
取，，則；
取，，則，；
綜上所述，集合.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛:新定義題型的特點(diǎn)是:通過給出一個新概念，或約定一種新運(yùn)算，或給出幾個新模型來創(chuàng)設(shè)全新的問題情景，要求考生在閱讀理解的基礎(chǔ)上，依據(jù)題目提供的信息，聯(lián)系所學(xué)的知識和方法，實(shí)現(xiàn)信息的遷移，達(dá)到靈活解題的目的:遇到新定義問題，應(yīng)耐心讀題，分析新定義的特點(diǎn)，弄清新定義的性質(zhì)，按新定義的要求，“照章辦事”，逐條分析、驗(yàn)證、運(yùn)算，使問題得以解決.

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