一、二項(xiàng)分布
1.伯努利試驗(yàn)與n重伯努利試驗(yàn)
(1)只包含兩個(gè)可能結(jié)果的試驗(yàn)叫做伯努利試驗(yàn).
(2)將一個(gè)伯努利試驗(yàn)獨(dú)立地重復(fù)進(jìn)行n次所組成的隨機(jī)試驗(yàn)稱為n重伯努利試驗(yàn).
2.二項(xiàng)分布
(1)定義：一般地，在n重伯努利試驗(yàn)中，設(shè)每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為，用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，則X的分布列為.如果隨機(jī)變量X的分布列具有上式的形式，則稱隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，記作 .
(2)均值和方差：若，則.
(3)當(dāng)時(shí)，隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，此時(shí).
二、超幾何分布
1.定義：一般地，假設(shè)一批產(chǎn)品共有N件，其中有M件次品.從N件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件產(chǎn)品中的次品數(shù)，則X的分布列為
其中.如果隨機(jī)變量X的分布列具有上式的形式，那么稱隨機(jī)變量X服從超幾何分布.
2.均值：設(shè)隨機(jī)變量服從超幾何分布，則可以解釋為從包含件次品的件產(chǎn)品中，不放回地隨機(jī)抽取件產(chǎn)品中的次品數(shù).令，則是件產(chǎn)品的次品率，而是抽取的n件產(chǎn)品的次品率，則，即 .
三、正態(tài)分布
1.正態(tài)密度函數(shù)及其圖象
(1)正態(tài)密度函數(shù)的解析式為.
(2)正態(tài)密度函數(shù)對(duì)應(yīng)的圖象稱為正態(tài)密度曲線，簡(jiǎn)稱正態(tài)曲線.
2.正態(tài)分布
若隨機(jī)變量X的概率分布密度函數(shù)為f(x)，則稱隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，記為.特別地，當(dāng)時(shí)，稱隨機(jī)變量X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.
3.正態(tài)曲線的特點(diǎn)
(1)曲線在x軸的上方，曲線與x軸圍成的面積總為1;
(2)曲線是單峰的，它關(guān)于直線對(duì)稱;
(3)曲線在處達(dá)到峰值
(4)當(dāng)|x|無(wú)限增大時(shí)，曲線無(wú)限接近x軸.
4.3σ原則
假設(shè)，可以證明：對(duì)給定的是一個(gè)只與有關(guān)的定值.特別地，，，.
在實(shí)際應(yīng)用中，通常認(rèn)為服從于正態(tài)分布的隨機(jī)變量X只取中的值，這在統(tǒng)計(jì)學(xué)中稱為3σ原則.
考點(diǎn)一：二項(xiàng)分布問(wèn)題
例1．（2023春·北京房山·高二統(tǒng)考期中）已知隨機(jī)變量，則的值為（ ）
A．B．C．D．
例2．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）某學(xué)校高一年級(jí)進(jìn)行趣味投籃比賽，規(guī)定投進(jìn)球加2分，沒(méi)有投進(jìn)扣1分，已知李同學(xué)投籃的命中率為，且每次投籃是否命中相互獨(dú)立，則經(jīng)過(guò)5次投籃后李同學(xué)得分超過(guò)5分的概率為（ ）
A．B．C．D．
例3．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）將一個(gè)半徑適當(dāng)?shù)男∏蚍湃肴鐖D所示的容器最上方的入口處，小球?qū)⒆杂上侣洌∏蛟谙侣涞倪^(guò)程中，將3次遇到黑色障礙物，最后落入袋或袋中．已知小球每次遇到黑色障礙物時(shí)，向左、右兩邊下落的概率都是，則小球落入袋中的概率為（ ）
A．B．C．D．
例4．（2023春·吉林長(zhǎng)春·高二長(zhǎng)春市第十七中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知8名學(xué)生中有5名男生，從中選出4名代表，記選出的代表中男生人數(shù)為X，則（ ）
A．B．C．D．1
例6．（2023春·遼寧朝陽(yáng)·高二校聯(lián)考期中）第十四屆全國(guó)人民代表大會(huì)第一次會(huì)議于2023年3月5日上午開(kāi)幕，3月13日上午閉幕．某校為了鼓勵(lì)學(xué)生關(guān)心國(guó)家大事，了解學(xué)生對(duì)新聞大事的關(guān)注度，進(jìn)行了一個(gè)隨機(jī)問(wèn)卷調(diào)查，調(diào)查的結(jié)果如下表所示．
(1)若從該校隨機(jī)選1名學(xué)生，已知選到的學(xué)生對(duì)新聞大事的關(guān)注度極高，求他是男學(xué)生的概率；
(2)用頻率估計(jì)概率，從該校隨機(jī)選20名學(xué)生，記對(duì)新聞大事關(guān)注度極高的學(xué)生的人數(shù)為，求的期望．
考點(diǎn)二：超幾何分布問(wèn)題
例7．（2023·四川成都·?？既＃┤鐖D，我國(guó)古代珠算算具算盤(pán)每個(gè)檔（掛珠的桿）上有7顆算珠，用梁隔開(kāi)，梁上面2顆叫上珠，下面5顆叫下珠，若從某一檔的7顆算珠中任取3顆，記上珠的個(gè)數(shù)為X，則（ ）
A．B．C．D．
例8．（2023春·山西太原·高二太原五中?？茧A段練習(xí)）在含4件次品的6件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取3件產(chǎn)品，其中含有的次品數(shù)為則（ ）
A．B．1C．D．2
例9．（2023·天津·天津市濱海新區(qū)塘沽第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）一個(gè)袋中共有個(gè)大小相同的黑球、白球和紅球，已知從袋中任意摸出個(gè)球，得到黑球的概率是；從袋中任意摸出個(gè)球，至少得到個(gè)白球的概率是，則白球的個(gè)數(shù)為_(kāi)______________________________.
考點(diǎn)三：正態(tài)分布問(wèn)題
例10．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知隨機(jī)變量，則（ ）
A．B．
C．D．
例11．（2023·江西·校聯(lián)考二模）某地市在2023年全市一模測(cè)試中，全市高三學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)服從正態(tài)分布，已知，，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．B．C．D．
例12．（2023春·四川綿陽(yáng)·高二校考期中）某地區(qū)高二理科學(xué)生有28000名，在一次模擬考試中，數(shù)學(xué)成績(jī)服從正態(tài)分布，已知，則本次考試中數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?20分以上的大約有（ ）
A．11200人B．8400人C．4200人D．2800人
例13．（2023·遼寧大連·統(tǒng)考一模）已知隨機(jī)變量，且，則（ ）
A．0.84B．0.68C．0.34D．0.16
例14．（2023·山東濟(jì)南·統(tǒng)考三模）已知隨機(jī)變量，其中，則___________.
例15．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）某單位為了解職工對(duì)垃圾回收知識(shí)的重視情況，對(duì)本單位的200名職工進(jìn)行考核，然后通過(guò)隨機(jī)抽樣抽取其中的50名，統(tǒng)計(jì)其考核成績(jī)（單位；分），制成如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)求這50名職工考核成績(jī)的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）及中位數(shù)（精確到0.01）；
(2)若該單位職工的考核成績(jī)服從正態(tài)分布，其中“近似為50名職工考核成績(jī)的平均數(shù)近似為樣本方差，經(jīng)計(jì)算得，利用該正態(tài)分布，估計(jì)該單位200名職工考核成績(jī)高于90.06分的有多少名？（結(jié)果四舍五入保留整數(shù).）
附參考數(shù)據(jù)與公式：，，則，，.
一、單選題
1．據(jù)研究，人的智力高低可以用智商來(lái)衡量，且，若定義稱為智商低下，稱為智商中下，稱為智商正常，稱為智商優(yōu)秀，稱為智商超常，則一般人群中智商優(yōu)秀所占的比例約為（ ）
（參考數(shù)據(jù)：若，則，，．）
A．B．C．D．
2．若，則當(dāng)，1，2，…，100時(shí)（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023·天津·三模）某地生產(chǎn)紅茶已有多年，選用本地兩個(gè)不同品種的茶青生產(chǎn)紅茶.根據(jù)其種植經(jīng)驗(yàn)，在正常環(huán)境下，甲?乙兩個(gè)品種的茶青每500克的紅茶產(chǎn)量（單位：克）分別為，且，其密度曲線如圖所示，則以下結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）
A．的數(shù)據(jù)較更集中
B．
C．甲種茶青每500克的紅茶產(chǎn)量超過(guò)的概率大于
D．
4．若，則（ ）
A．3B．4C．D．
5．設(shè)隨機(jī)變量，若，則a的值為（ ）
A．1B．2C．3D．4
6．某同學(xué)參加籃球測(cè)試，老師規(guī)定每個(gè)同學(xué)罰籃次，每罰進(jìn)一球記分，不進(jìn)記分，已知該同學(xué)的罰球命中率為，并且各次罰球互不影響，則該同學(xué)得分的數(shù)學(xué)期望為（ ）
A．B．C．D．
7．含有海藻碘濃縮液的海藻碘鹽，是新一代的碘鹽產(chǎn)品．海藻中的碘含有20%左右的有機(jī)碘，海藻碘鹽兼?zhèn)錈o(wú)機(jī)碘和有機(jī)碘的優(yōu)點(diǎn)．某超市銷售的袋裝海藻碘鹽的質(zhì)量X(單位：克)服從正態(tài)分布N(400，4)，某顧客購(gòu)買了4袋海藻碘鹽，則至少有2袋鹽的質(zhì)量超過(guò)400克的概率為（ ）
A．B．C．D．
二、填空題
8．某區(qū)4000名學(xué)生參加了高考模擬統(tǒng)一測(cè)試，已知數(shù)學(xué)考試成績(jī)服從正態(tài)分市，統(tǒng)計(jì)結(jié)果顯示，數(shù)學(xué)考試成績(jī)?cè)?0分到120分之間的人數(shù)約為總?cè)藬?shù)的，則此次統(tǒng)考中成績(jī)不低于120分的學(xué)生人數(shù)約為_(kāi)_____.
9．（2023·江西南昌·統(tǒng)考三模）小明每天從家里出發(fā)去學(xué)校，有時(shí)坐公交車，有時(shí)騎自行車.他各記錄了次坐公交車和騎自行車所花的時(shí)間，經(jīng)數(shù)據(jù)分析得到:坐公交車平均用時(shí)分鐘，樣本方差為；騎自行車平均用時(shí)分鐘，樣本方差為.假設(shè)坐公交車用時(shí)和騎自行車用時(shí)都服從正態(tài)分布，則下列說(shuō)法中正確的序號(hào)是______.①；②；③若小明計(jì)劃前到校，應(yīng)選擇坐公交車；④若小明計(jì)劃前到校，應(yīng)選擇騎自行車
10．（2023·重慶·統(tǒng)考三模）已知隨機(jī)變量，若，則______．
11．已知隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，若，，則的值為_(kāi)________.
12．（2023·山東濱州·統(tǒng)考二模）一個(gè)袋子中裝有除顏色外完全相同的5個(gè)球，其中2個(gè)白球，3個(gè)黑球，現(xiàn)從袋子中有放回地隨機(jī)取球4次，每次取一個(gè)球，取到白球記2分，取到黑球記0分，記4次取球的總分?jǐn)?shù)為，則的方差________．
13．（2023·遼寧大連·統(tǒng)考三模）已知隨機(jī)變量，且，則__________.
三、解答題
14．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）2023年是我國(guó)改革開(kāi)放45周年，改革開(kāi)放以來(lái)，我國(guó)發(fā)生了翻天覆地的變化，居民消費(fèi)水平也得到了大幅提升．調(diào)查得到某市居民周末消費(fèi)金額（單位：元）的頻率分布直方圖如圖所示．
(1)求該市居民周末人均消費(fèi)金額（每組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）；
(2)以頻率估計(jì)概率，從該市居民中隨機(jī)選取3人進(jìn)行周末消費(fèi)習(xí)慣調(diào)查，這3人中周末消費(fèi)金額在的人數(shù)記為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望．
15．（2023·海南?？凇そy(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）?？谑心持袑W(xué)一研究性學(xué)習(xí)小組為了解?？谑忻衩磕曷糜蜗M(fèi)支出費(fèi)用（單位：千元），寒假期間對(duì)游覽某簽約景區(qū)的100名?？谑杏慰瓦M(jìn)行隨機(jī)問(wèn)卷調(diào)查，并把數(shù)據(jù)整理成如下表所示的頻數(shù)分布表：
(1)從樣本中隨機(jī)抽取兩位市民的旅游支出數(shù)據(jù)，求兩人旅游支出均低于6000元的概率；
(2)若?？谑忻竦穆糜沃С鲑M(fèi)用近似服從正態(tài)分布，近似為樣本平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中間值代表），近似為樣本標(biāo)準(zhǔn)差，并已求得，利用所得正態(tài)分布模型解決以下問(wèn)題：
（ⅰ）假定?？谑谐Ｗ∪丝跒?00萬(wàn)人，試估計(jì)?？谑杏卸嗌偈忻衩磕曷糜钨M(fèi)用支出在15000元以上；
（ⅱ）若在?？谑须S機(jī)抽取3位市民，設(shè)其中旅游費(fèi)用在9000元以上的人數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列和均值.
附：若，則，，.
16．某學(xué)習(xí)APP的注冊(cè)用戶分散在A，B，C三個(gè)不同的學(xué)習(xí)群里，分別有24000人，24000人，36000人，該APP設(shè)置了一個(gè)名為“七人賽”的積分游戲，規(guī)則要求每局游戲從A，B，C三個(gè)學(xué)習(xí)群以分層抽樣的方式，在線隨機(jī)匹配學(xué)員共計(jì)7人參與游戲．
(1)每局“七人賽”游戲中，應(yīng)從A，B，C三個(gè)學(xué)習(xí)群分別匹配多少人？
(2)現(xiàn)需要從匹配的7名學(xué)員中隨機(jī)抽取3人進(jìn)入互動(dòng)環(huán)節(jié)，并用X表示進(jìn)入互動(dòng)環(huán)節(jié)的C群人數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望．
17．鉛球起源于古代入類用石塊獵取禽獸或防御攻擊的活動(dòng)．現(xiàn)代推鉛球始于14世紀(jì)40年代歐洲炮兵閑暇期間推擲炮彈的游戲和比賽，后逐漸形成體育運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目．男、女鉛球分別于1896年、1948年被列為奧運(yùn)會(huì)比賽項(xiàng)目．為了更好地在中小學(xué)生中推廣推鉛球這項(xiàng)體育運(yùn)動(dòng)，某教育局對(duì)該市管轄內(nèi)的42所高中的所有高一男生進(jìn)行了推鉛球測(cè)試，測(cè)試結(jié)果表明所有高一男生的成績(jī)（單位：米）近似服從正態(tài)分布，且，．
(1)若從所有高一男生中隨機(jī)挑選1人，求他的推鉛球測(cè)試成績(jī)?cè)诜秶鷥?nèi)的概率；
(2)從所有高一男生中隨機(jī)挑選4人，記這4人中推鉛球測(cè)試成績(jī)?cè)诜秶鷥?nèi)的人數(shù)為，求的分布列和方差；
(3)某高一男生進(jìn)行推鉛球訓(xùn)練，若推（為正整數(shù)）次鉛球，期望至少有21次成績(jī)?cè)诜秶鷥?nèi)，請(qǐng)估計(jì)的最小值．考點(diǎn)一
二項(xiàng)分布問(wèn)題
考點(diǎn)二
超幾何分布問(wèn)題
考點(diǎn)三
正態(tài)分布問(wèn)題
男學(xué)生
女學(xué)生
合計(jì)
關(guān)注度極高
45
40
85
關(guān)注度一般
5
10
15
合計(jì)
50
50
100
組別
頻數(shù)
3
4
8
11
41
20
8
5

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