1．（2023秋?鹿寨縣期中）如圖，AD、BE是△ABC的角平分線，EF⊥AD，EG⊥AB，EH⊥BC，垂足分別為F，G，H．下列說法：①EB平分∠GEH；②AG＝DH；③當(dāng)AD⊥BC時，CE＝2EF；④F是AD的中點(diǎn)；⑤S△BEC＝S四邊形BGEH．其中正確的個數(shù)是（ ）
A．2B．3C．4D．5
2．（2021秋?柳州期末）如圖，在等腰△ABC與等腰△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝α，連接BD和CE相交于點(diǎn)P，交AC于點(diǎn)M，交AD于點(diǎn)N．下列結(jié)論：①BD＝CE；②∠BPE＝180°﹣2α；③AP平分∠BPE；④若α＝60°，則PE＝AP+PD．其中一定正確的結(jié)論的個數(shù)是（ ）
A．1B．2C．3D．4
3．（2022秋?柳江區(qū)期中）如圖，△ABC中，點(diǎn)D，E分別在∠ABC和∠ACB的平分線上，連接BD，DE，EC，若∠D+∠E＝295°，則∠A等于（ ）
A．65°B．60°C．55°D．50°
二．填空題（共4小題）
4．（2023秋?柳州期末）如圖，在等邊△ABC中，CD⊥AB于D，E是線段CD上一點(diǎn)，F(xiàn)是邊AC上一點(diǎn)，且滿足BE＝EF，G是AF的中點(diǎn)，連接EG，則下列四個結(jié)論：①AD＝BD；②∠BEF＝150°；③∠AFE＝∠CBE；④EG＝EC；⑤當(dāng)∠ABE＝15°時，EG＝FG，其中正確的有 ．（填序號）
5．（2023秋?鹿寨縣期中）在△ABC中，已知BC＝6，BC邊上的高h(yuǎn)＝4，△ABC兩個內(nèi)角的角平分線相交于點(diǎn)O，過O作OD⊥BC于點(diǎn)D，則OD的最大值是 ．
6．（2021秋?柳州期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，以BC為邊在BC的右側(cè)作等邊△BCD，點(diǎn)E為BD的中點(diǎn)，點(diǎn)P為CE上一動點(diǎn)，連結(jié)AP，BP．當(dāng)AP+BP的值最小時，∠CBP的度數(shù)為 ．
7．（2021秋?柳州期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動（D不與B、C重合），連接AD，作∠ADE＝40°，DE交線段AC于E，在點(diǎn)D的運(yùn)動過程中，△ADE的形狀也在改變，當(dāng)△ADE是等腰三角形時，∠BDA的度數(shù)是 ．
三．解答題（共7小題）
8．（2023秋?鹿寨縣期末）在△ABC中，∠B＝60°，D是BC上一點(diǎn)，且AD＝AC．
（1）如圖1，延長BC至E，使CE＝BD，連接AE．求證：AB＝AE；
（2）如圖2，在AB邊上取一點(diǎn)F，使DF＝DB，求證：AF＝BC；
（3）如圖3，在（2）的條件下，P為BC延長線上一點(diǎn)，連接PA，PF，若PA＝PF，猜想PC與BD的數(shù)量關(guān)系并證明．
9．（2023秋?融水縣校級期中）如圖，已知△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝8cm，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)．如果點(diǎn)P在線段BC上以3cm/s的速度由點(diǎn)B向C點(diǎn)運(yùn)動，同時，點(diǎn)Q在線段CA上由點(diǎn)C向A點(diǎn)運(yùn)動．
（1）若點(diǎn)Q的運(yùn)動速度與點(diǎn)P的運(yùn)動速度相等，經(jīng)過1秒后，△BPD與△CQP是否全等，請說明理由．
（2）若點(diǎn)Q的運(yùn)動速度與點(diǎn)P的運(yùn)動速度不相等，當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動速度為多少時，能夠使△BPD與△CQP全等？
10．（2023秋?鹿寨縣期中）綜合實(shí)踐
在學(xué)習(xí)全等三角形的知識時，數(shù)學(xué)興趣小組發(fā)現(xiàn)這樣一個模型：它是由兩個共頂點(diǎn)且頂角相等的等腰三角形構(gòu)成的，在相對位置變化的同時，始終存在一對全等三角形．興趣小組成員經(jīng)過研討給出定義：如果兩個等腰三角形的頂角相等，且頂角的頂點(diǎn)互相重合，則稱此圖形為“手拉手全等模型”．因?yàn)轫旤c(diǎn)相連的四條邊，可以形象地看作兩雙手，所以通常稱為“手拉手模型”，如圖1，△ABC與△ADE都是等腰三角形，其中∠BAC＝∠DAE，則△ABD≌△ACE（SAS）．
[初步把握]如圖2，△ABC與△ADE都是等腰三角形，AB＝AC，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE，則有 ≌ ．
[深入研究]如圖3，已知△ABC，以AB、AC為邊分別向外作等邊△ABD和等邊△ACE，并連接BE，CD，求證：BE＝CD．
[拓展延伸]如圖4，在兩個等腰直角三角形△ABC和△ADE中，AB＝AC，AE＝AD，∠BAC＝∠DAE＝90°，連接BD，CE，交于點(diǎn)P，請判斷BD和CE的關(guān)系，并說明理由．
11．（2022?城中區(qū)校級開學(xué)）如圖，已知B（﹣1，0），C（1，0），A為y軸正半軸上一點(diǎn)，點(diǎn)D為第二象限一動點(diǎn)，E在BD的延長線上，CD交AB于F，且∠BDC＝∠BAC．
（1）求證：∠ABD＝∠ACD；
（2）求證：DA平分∠CDE；
（3）若在D點(diǎn)運(yùn)動的過程中，始終有DC＝DA+DB，在此過程中，∠BAC的度數(shù)是否變化？如果變化，請說明理由；如果不變，請求出∠BAC的度數(shù)？
12．（2022?鹿寨縣校級開學(xué)）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，A（a，0），C（b，2），且滿足，過C作CB⊥x軸于B．
（1）求a，b的值；
（2）在y軸上是否存在點(diǎn)P，使得△ABC和△OCP的面積相等，若存在，求出點(diǎn)P坐標(biāo)，若不存在，試說明理由；
（3）若過B作BD∥AC交y軸于D，且AE，DE分別平分∠CAB，∠ODB，如圖2，圖3．
①求：∠CAB+∠ODB的度數(shù)；
②求：∠AED的度數(shù)．
13．（2022秋?柳江區(qū)期中）已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，點(diǎn)D是直線BC上的一動點(diǎn)（點(diǎn)D不與B、C重合），連接CE．
（1）在圖1中，當(dāng)點(diǎn)D在邊BC上時，求證：BC＝CE+CD；
（2）在圖2中，當(dāng)點(diǎn)D在邊BC的延長線上時，（1）中的結(jié)論是否還成立？若不成立，請猜想BC、CE、CD之間存在的數(shù)量關(guān)系，并說明理由，
14．（2021秋?柳州期末）已知等邊△ABC的邊長為4cm，點(diǎn)P，Q分別是直線AB，BC上的動點(diǎn)．
（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)P從頂點(diǎn)A沿AB向B點(diǎn)運(yùn)動，點(diǎn)Q同時從頂點(diǎn)B沿BC向C點(diǎn)運(yùn)動，它們的速度都為1cm/s，到達(dá)終點(diǎn)時停止運(yùn)動．設(shè)它們的運(yùn)動時間為t秒，連接AQ，PQ．
①當(dāng)t＝2時，求∠AQP的度數(shù)．
②當(dāng)t為何值時△PBQ是直角三角形？
（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在BA的延長線上，Q在BC上，若PQ＝PC，請判斷AP，CQ和AC之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
參考答案與試題解析
一．選擇題（共3小題）
1．（2023秋?鹿寨縣期中）如圖，AD、BE是△ABC的角平分線，EF⊥AD，EG⊥AB，EH⊥BC，垂足分別為F，G，H．下列說法：①EB平分∠GEH；②AG＝DH；③當(dāng)AD⊥BC時，CE＝2EF；④F是AD的中點(diǎn)；⑤S△BEC＝S四邊形BGEH．其中正確的個數(shù)是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【分析】根據(jù)角平分線的定義，角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可．
【解答】解：∵BE是△ABC的角平分線，EG⊥AB，EH⊥BC，
∴EG＝EH，∠BGE＝∠BHE＝90°，
∵BE＝BE，
∴∠GEB＝∠HEB，
即EB平分∠GEH，
故①符合題意；
如圖，
當(dāng)∠ABC＞90°時，點(diǎn)D，H可以重合，此時AG≠DH，也不能判斷F是AD的中點(diǎn)，
故②④不符合題意；
如圖，延長EF交AB于點(diǎn)I，
∵EF⊥AD，AD是△ABC的角平分線，
∴∠IAF＝∠EAF，∠AFI＝∠AFE＝90°，
∵AF＝AF，
∴AFI≌AFE（ASA），
∴FI＝FE，IE＝2EF，AI＝AE，
同理可證△ABD≌△ACD，
∴AB＝AC，
∴AB﹣AI＝AC﹣AE，
∴BI＝CE，
∵AD⊥BC，
∴EF∥BC，
∴∠FEB＝∠CBE，
∵BE是△ABC的角平分線，
∴∠IBE＝∠CBE，
∴∠IBE＝∠IEB，
∴BI＝IE＝CE，
∴CE＝2EF，
故③符合題意；
若∠ABC＝90°，∠C＝40°，
∵BE是△ABC的角平分線，GE＝EH，
∴，
∴BG≠CH，S△BGE≠S△CHE，
∴S△BGE+S△BHE≠S△CHE+S△BHE，
∴S△BEC≠S四邊形BGEH，
故⑤不符合題意，
故選：A．
【點(diǎn)評】本題考查了角平分線的定義，角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，作出正確的輔助線是本題的關(guān)鍵．
2．（2021秋?柳州期末）如圖，在等腰△ABC與等腰△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝α，連接BD和CE相交于點(diǎn)P，交AC于點(diǎn)M，交AD于點(diǎn)N．下列結(jié)論：①BD＝CE；②∠BPE＝180°﹣2α；③AP平分∠BPE；④若α＝60°，則PE＝AP+PD．其中一定正確的結(jié)論的個數(shù)是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】由“SAS”可證△BAD≌△CAE，可得BD＝CE；由全等三角形的性質(zhì)可得∠ABD＝∠ACE，由外角的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理可得∠BPE＝∠ACB+∠ABC＝180°﹣α；由全等三角形的性質(zhì)可得S△BAD＝S△CAE，由三角形面積公式可得AH＝AF，由角平分線的性質(zhì)可得AP平分∠BPE；由全等三角形的性質(zhì)可得∠BDA＝∠CEA，由“SAS”可證△AOE≌△APD，可得AO＝AP，可證△APO是等邊三角形，可得AP＝PO，可得PE＝AP+PD，即可求解．
【解答】解：∵∠BAC＝∠DAE＝α，
∴∠BAD＝∠CAE，且AB＝AC，AD＝AE，
∴△BAD≌△CAE（SAS）
∴BD＝CE，故①符合題意；
∵△BAD≌△CAE，
∴∠ABD＝∠ACE，
∵∠BAC＝α，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣α，
∵∠BPE＝∠PBC+∠PCB＝∠PBC+∠ACB+∠ACP＝∠PBC+∠ACB+∠ABP，
∴∠BPE＝∠ACB+∠ABC＝180°﹣α，故②不符合題意；
如圖，過點(diǎn)A作AH⊥BD，AF⊥CE，
∵△BAD≌△CAE，
∴S△BAD＝S△CAE，
∴BD×AH＝CE×AF，且BD＝CE，
∴AH＝AF，且AH⊥BD，AF⊥CE，
∴AP平分∠BPE，故③符合題意；
如圖，在線段PE上截取OE＝PD，連接AO，
∵△BAD≌△CAE，
∴∠BDA＝∠CEA，且OE＝PD，AE＝AD，
∴△AOE≌△APD（SAS）
∴AP＝AO，
∵∠BPE＝180°﹣α＝120°，且AP平分∠BPE，
∴∠APO＝60°，且AP＝AO，
∴△APO是等邊三角形，
∴AP＝PO，
∵PE＝PO+OE，
∴PE＝AP+PD，故④符合題意．
故選：C．
【點(diǎn)評】此題是三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)以及角之間的關(guān)系，證明△BAD≌△CAE是解本題的關(guān)鍵．
3．（2022秋?柳江區(qū)期中）如圖，△ABC中，點(diǎn)D，E分別在∠ABC和∠ACB的平分線上，連接BD，DE，EC，若∠D+∠E＝295°，則∠A等于（ ）
A．65°B．60°C．55°D．50°
【分析】根據(jù)四邊形的內(nèi)角和可得∠BCE+∠CBD＝65°，再根據(jù)角平分線的定義可得∠ACB+∠ABC＝130°，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得∠A的度數(shù)．
【解答】解：∵∠D+∠E＝295°，∠D+∠E+∠BCE+∠CBD＝360°，
∴∠BCE+∠CBD＝65°，
∵點(diǎn)D，E分別在∠ABC和∠ACB的平分線上，
∴∠BCE＝∠ACB，∠CBD＝∠ABC，
∴∠ACB+∠ABC＝65°×2＝130°，
∴∠A＝180°﹣130°＝50°，
故選：D．
【點(diǎn)評】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，四邊形的內(nèi)角和，角平分線的定義，熟練掌握這些知識是解題的關(guān)鍵．
二．填空題（共4小題）
4．（2023秋?柳州期末）如圖，在等邊△ABC中，CD⊥AB于D，E是線段CD上一點(diǎn)，F(xiàn)是邊AC上一點(diǎn)，且滿足BE＝EF，G是AF的中點(diǎn)，連接EG，則下列四個結(jié)論：①AD＝BD；②∠BEF＝150°；③∠AFE＝∠CBE；④EG＝EC；⑤當(dāng)∠ABE＝15°時，EG＝FG，其中正確的有 ①③④⑤ ．（填序號）
【分析】根據(jù)等腰三角形的“三線合一”可以得到AD＝BD，即①正確；
根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等可以得到AE＝BE，再根據(jù)三角形的一個內(nèi)角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和可以得到∠CEF＝∠AFE﹣30°和∠CEB＝90°+∠BAE，再根據(jù)∠BEF＝∠CEB+∠CEF即可求得，即②錯誤；
根據(jù)SSS可以得到△CBE≌△CAE，由全等三角形的對應(yīng)邊相等可得∠CBE＝∠FAE，再根據(jù)∠AFE＝∠FAE即可求得，即③正確；
根據(jù)等腰三角形的“三線合一”可以得到EG⊥AF，再根據(jù)直角三角形中30°角所對直角邊是斜邊的一半即可為求得，即④正確；
根據(jù)已知條件∠ABE＝15°可以得到∠FAE＝45°，再根據(jù)∠CGE＝90°可以得到∠GEF﹣∠AFE＝45°，由等角對等邊即可求得，即⑤正確．
【解答】解：如圖：連接AE，
∵△ABC是等邊三角形，
∴AC＝BC，∠BAC＝∠ACB＝60°，
∵CD⊥AB，
∴CD是等邊△ABC的底邊AB上的高，
∴AD＝BD＝AB，
故①正確；
∠ACD＝∠BCD＝ACB＝×60°＝30°，
∵CD⊥AB，AD＝BD，
∴CD是線段AB的垂直平分線，
∴AE＝BE
∴∠ABE＝∠BAE，
∵BE＝EF，
∴AE＝EF，
∴∠FAE＝∠AFE，
∵∠AFE是△EFC的外角，
∴∠AFE＝∠ACD+∠CEF，
∵∠ACD＝30°，
∴∠CEF＝∠AFE﹣∠ACD＝∠FAE﹣30°，
∵CD⊥AB，
∴∠BDC＝90°，
∵∠CEB是△DBE的外角，
∴∠CEB＝∠BDC+∠ABE＝90°+∠BAE，
∵∠BAC＝60°，
∴∠BEF＝∠CEB+∠CEF
＝90°+∠BAE+∠FAE﹣30°
＝90°+∠BAC﹣30°
＝90+60°﹣30°＝120°，
故②錯誤；
在△CBE和△CAE中，
，
∴△CBE≌△CAE（SSS），
∴∠CBE＝∠FAE，
∵∠AFE＝∠FAE，
∴∠AFE＝∠CBE，
故③正確；
∵AE＝EF，G是AF的中點(diǎn)
∴EG是等腰△EAF的底邊AF上的中線，
∵EG⊥AF，
∴∠CGE＝90°，
∵∠ACD＝30°
∴EG＝EC，
故④正確；
∵∠ABE＝15°，∠ABE＝∠BAE，
∴∠BAE＝15°，
∵∠BAC＝60°，
∵∠FAE＝∠BAC﹣∠BAE＝60°﹣15°＝45°，
∵∠FAE＝∠AFE，
∴∠AFE＝45°，
∵∠CGE＝90°，
∵∠GEF＝∠AFE＝45°，
∴EG＝FG，
故⑤正確；
其中正確的有①③④⑤．
故答案為：①③④⑤．
【點(diǎn)評】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，掌握等邊三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
5．（2023秋?鹿寨縣期中）在△ABC中，已知BC＝6，BC邊上的高h(yuǎn)＝4，△ABC兩個內(nèi)角的角平分線相交于點(diǎn)O，過O作OD⊥BC于點(diǎn)D，則OD的最大值是 ．
【分析】過點(diǎn)O作OD⊥BC于D，OE⊥AC于E，OF⊥AB于F，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到OD＝OE＝OF，根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算，得到答案．
【解答】解：過點(diǎn)O作OD⊥BC于D，OE⊥AC于E，OF⊥AB于F，
∵點(diǎn)O是△ABC兩個內(nèi)角的角平分線的交點(diǎn)，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，
∴OD＝OE＝OF，
∴AB?OF+AC?OE+BC?OD＝AB?AH，即AB?OD+AC?OD+BC?OD＝×6×4，
∴OD＝，
∵AB+AC≥10，
∴OD的最大值是，
故答案為：．
【點(diǎn)評】本題考查了角平分線的性質(zhì)，掌握角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵．
6．（2021秋?柳州期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，以BC為邊在BC的右側(cè)作等邊△BCD，點(diǎn)E為BD的中點(diǎn)，點(diǎn)P為CE上一動點(diǎn)，連結(jié)AP，BP．當(dāng)AP+BP的值最小時，∠CBP的度數(shù)為 15° ．
【分析】連接AD交CE于Q，連接BQ，由等邊三角形的軸對稱性知CE是BD的垂直平分線，得BP＝DP，則當(dāng)點(diǎn)P與Q重合時，AP+BP的值最小，即可解決問題．
【解答】解：連接AD交CE于Q，連接BQ，
∵△BCD是等邊三角形，點(diǎn)E是BD的中點(diǎn)，
∴CE是BD的垂直平分線，
∴BP＝DP，
∴當(dāng)點(diǎn)P與Q重合時，AP+BP的值最小，
∵AC＝BC，BC＝CD，
∴AC＝CD，
∵∠ACD＝∠ACB+∠BCD＝90°+60°＝150°，
∴∠CDA＝15°，
由等邊三角形的軸對稱性可知：∠CBQ＝∠CDQ＝15°，
∴∠CBP＝15°，
故答案為：15°．
【點(diǎn)評】本題主要考查了等腰直角三角形和等邊三角形的性質(zhì)，軸對稱最短線路問題等知識，明確AP+BP的最小值為AD長是解題的關(guān)鍵．
7．（2021秋?柳州期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動（D不與B、C重合），連接AD，作∠ADE＝40°，DE交線段AC于E，在點(diǎn)D的運(yùn)動過程中，△ADE的形狀也在改變，當(dāng)△ADE是等腰三角形時，∠BDA的度數(shù)是 110°或80° ．
【分析】分為三種情況：①當(dāng)AD＝AE時，∠ADE＝∠AED＝40°，根據(jù)∠AED＞∠C，得出此時不符合；②當(dāng)DA＝DE時，求出∠DAE＝∠DEA＝70°，求出∠BAC，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠BAD，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠BDA即可；③當(dāng)EA＝ED時，求出∠DAC，求出∠BAD，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠ADB．
【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝40°，
①當(dāng)AD＝AE時，∠ADE＝∠AED＝40°，
∵∠AED＞∠C，
∴此時不符合；
②當(dāng)DA＝DE時，即∠DAE＝∠DEA＝（180°﹣40°）＝70°，
∵∠BAC＝180°﹣40°﹣40°＝100°，
∴∠BAD＝100°﹣70°＝30°；
∴∠BDA＝180°﹣30°﹣40°＝110°；
③當(dāng)EA＝ED時，∠ADE＝∠DAE＝40°，
∴∠BAD＝100°﹣40°＝60°，
∴∠BDA＝180°﹣60°﹣40°＝80°；
∴當(dāng)△ADE是等腰三角形時，∠BDA的度數(shù)是110°或80°，
故答案為：110°或80°．
【點(diǎn)評】此題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，全三角形外角的性質(zhì)等知識點(diǎn)的理解和掌握，此題涉及到的知識點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，但難度不大，屬于基礎(chǔ)題．
三．解答題（共7小題）
8．（2023秋?鹿寨縣期末）在△ABC中，∠B＝60°，D是BC上一點(diǎn)，且AD＝AC．
（1）如圖1，延長BC至E，使CE＝BD，連接AE．求證：AB＝AE；
（2）如圖2，在AB邊上取一點(diǎn)F，使DF＝DB，求證：AF＝BC；
（3）如圖3，在（2）的條件下，P為BC延長線上一點(diǎn)，連接PA，PF，若PA＝PF，猜想PC與BD的數(shù)量關(guān)系并證明．
【分析】（1）證明△ABD≌△AEC（SAS），由全等三角形的性質(zhì)得出AB＝AE；
（2）延長BC到E，使CE＝BD，由（1）知，AB＝AE，證得△ABE是等邊三角形，同理，△DBF是等邊三角形，則可得出結(jié)論；
（3）在CP上取點(diǎn)E，使CE＝BD，連接AE，證明△APE≌△PFD（AAS），得出PE＝DF，則可得出結(jié)論．
【解答】（1）證明：∵AC＝AD，
∴∠ADC＝∠ACD，
∴180°﹣∠ADC＝180°﹣∠ACD，
即∠ADB＝∠ACE，
在△ABD和△AEC中，
，
∴△ABD≌△AEC（SAS），
∴AB＝AE；
（2）延長BC到E，使CE＝BD，由（1）知，AB＝AE，
∴∠E＝∠B＝60°，
∴∠EAB＝180°﹣∠E﹣∠B＝60°，
∴△ABE是等邊三角形，
同理，△DBF是等邊三角形，
∴AB＝BE．BF＝BD＝CE，
∴AB﹣BF＝BE﹣CE，
即AF＝BC；
（3）猜想：PC＝2BD，
理由如下：在CP上取點(diǎn)E，使CE＝BD，連接AE，
由（1）可知：AB＝AE，
∴∠AEB＝∠B＝60°，
∴∠AEP＝180°﹣∠AEB＝120°，
∵DF＝DB，∠DFB＝∠B＝60°，
∴∠PDF＝∠DFB+∠B＝120°，
∴∠AEP＝∠PDF，
又∵PA＝PF，
∴∠PAF＝∠PFA，
∵∠APE＝180°﹣∠B﹣∠PAF＝120°﹣∠PAF，
∠PFD＝180°﹣∠DFB﹣∠PFA＝120°﹣∠PFA，
∴∠APE＝∠PFD，
在△APE和△PFD中，
，
∴△APE≌△PFD（AAS），
∴PE＝DF，
又∵DF＝DB，
∴PE＝DB，
又∵PC＝PE+CE，
∴PC＝2BD．
【點(diǎn)評】本題是三角形綜合題，考查的是等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確尋找全等三角形解決問題．
9．（2023秋?融水縣校級期中）如圖，已知△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝8cm，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)．如果點(diǎn)P在線段BC上以3cm/s的速度由點(diǎn)B向C點(diǎn)運(yùn)動，同時，點(diǎn)Q在線段CA上由點(diǎn)C向A點(diǎn)運(yùn)動．
（1）若點(diǎn)Q的運(yùn)動速度與點(diǎn)P的運(yùn)動速度相等，經(jīng)過1秒后，△BPD與△CQP是否全等，請說明理由．
（2）若點(diǎn)Q的運(yùn)動速度與點(diǎn)P的運(yùn)動速度不相等，當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動速度為多少時，能夠使△BPD與△CQP全等？
【分析】（1）經(jīng)過1秒后，PB＝3cm，PC＝5cm，CQ＝3cm，由已知可得BD＝PC，BP＝CQ，∠ABC＝∠ACB，即據(jù)SAS可證得△BPD≌△CQP．
（2）可設(shè)點(diǎn)Q的運(yùn)動速度為x（x≠3）cm/s，經(jīng)過t s△BPD與△CQP全等，則可知PB＝3tcm，PC＝（8﹣3t）cm，CQ＝xtcm，據(jù)（1）同理可得當(dāng)BD＝PC，BP＝CQ或BD＝CQ，BP＝PC時兩三角形全等，求x的解即可．
【解答】解：（1）結(jié)論：△BPD與△CQP全等．
理由：經(jīng)過1秒后，PB＝3cm，PC＝5cm，CQ＝3cm，
∵△ABC中，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴在△BPD和△CQP中，
，
∴△BPD≌△CQP（SAS）．
（2）設(shè)點(diǎn)Q的運(yùn)動速度為x（x≠3）cm/s，經(jīng)過t s△BPD與△CQP全等；則可知PB＝3tcm，PC＝（8﹣3t）cm，CQ＝xtcm，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
根據(jù)全等三角形的判定定理SAS可知，有兩種情況：①當(dāng)BD＝PC，BP＝CQ時，②當(dāng)BD＝CQ，BP＝PC時，兩三角形全等；
①當(dāng)BD＝PC且BP＝CQ時，8﹣3t＝5且3t＝xt，解得x＝3，∵x≠3，∴舍去此情況；
②BD＝CQ，BP＝PC時，5＝xt且3t＝8﹣3t，解得：x＝；
故若點(diǎn)Q的運(yùn)動速度與點(diǎn)P的運(yùn)動速度不相等，當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動速度為cm/s時，能夠使△BPD與△CQP全等．
【點(diǎn)評】本題主要考查了全等三角形全等的判定，涉及到等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．判定兩個三角形全等，先根據(jù)已知條件或求證的結(jié)論確定三角形，然后再根據(jù)三角形全等的判定方法，看缺什么條件，再去證什么條件．
10．（2023秋?鹿寨縣期中）綜合實(shí)踐
在學(xué)習(xí)全等三角形的知識時，數(shù)學(xué)興趣小組發(fā)現(xiàn)這樣一個模型：它是由兩個共頂點(diǎn)且頂角相等的等腰三角形構(gòu)成的，在相對位置變化的同時，始終存在一對全等三角形．興趣小組成員經(jīng)過研討給出定義：如果兩個等腰三角形的頂角相等，且頂角的頂點(diǎn)互相重合，則稱此圖形為“手拉手全等模型”．因?yàn)轫旤c(diǎn)相連的四條邊，可以形象地看作兩雙手，所以通常稱為“手拉手模型”，如圖1，△ABC與△ADE都是等腰三角形，其中∠BAC＝∠DAE，則△ABD≌△ACE（SAS）．
[初步把握]如圖2，△ABC與△ADE都是等腰三角形，AB＝AC，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE，則有 △ABD ≌ △ACE ．
[深入研究]如圖3，已知△ABC，以AB、AC為邊分別向外作等邊△ABD和等邊△ACE，并連接BE，CD，求證：BE＝CD．
[拓展延伸]如圖4，在兩個等腰直角三角形△ABC和△ADE中，AB＝AC，AE＝AD，∠BAC＝∠DAE＝90°，連接BD，CE，交于點(diǎn)P，請判斷BD和CE的關(guān)系，并說明理由．
【分析】[初步把握]易證∠BAD＝∠CAE，再證△BAD≌△CAE（SAS）即可；
[深入研究]易證∠DAC＝∠BAE，再證△ABE≌△ADC（SAS），即可得出結(jié)論；
[拓展延伸]易證∠CAE＝∠BAD，再證△ABD≌△ACE（SAS），得BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，再由三角形的外角性質(zhì)證出∠BPC＝∠BAC＝90°，則BD⊥CE即可．
【解答】[初步把握]解：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC+∠DAC＝∠DAE+∠DAC，
即∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
故答案為：△ABD，△ACE；
[深入研究]證明：∵△ABD和△ACE都是等邊三角形，
∴AB＝AD，AE＝AC，∠BAD＝∠CAE＝60°，
∴∠BAD+∠BAC＝∠CAE+∠BAC，
即∠DAC＝∠BAE，
在△ABE和△ADC中，
，
∴△ABE≌△ADC（SAS），
∴BE＝CD；
[拓展延伸]解：BD＝CE，BD⊥CE，理由如下：
∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAC+∠BAE＝∠DAE+∠BAE，
即∠CAE＝∠BAD，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，
∵∠BPC+∠ABD＝∠BAC+∠ACE，
∴∠BPC＝∠BAC＝90°，
∴BD⊥CE．
【點(diǎn)評】本題是三角形綜合題目，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)以及三角形的外角性質(zhì)等知識，本題綜合性強(qiáng)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵，屬于中考?？碱}型．
11．（2022?城中區(qū)校級開學(xué)）如圖，已知B（﹣1，0），C（1，0），A為y軸正半軸上一點(diǎn)，點(diǎn)D為第二象限一動點(diǎn)，E在BD的延長線上，CD交AB于F，且∠BDC＝∠BAC．
（1）求證：∠ABD＝∠ACD；
（2）求證：DA平分∠CDE；
（3）若在D點(diǎn)運(yùn)動的過程中，始終有DC＝DA+DB，在此過程中，∠BAC的度數(shù)是否變化？如果變化，請說明理由；如果不變，請求出∠BAC的度數(shù)？
【分析】（1）根據(jù)∠BDC＝∠BAC，∠DFB＝∠AFC，再結(jié)合∠ABD+∠BDC+∠DFB＝∠BAC+∠ACD+∠AFC＝180°，即可得出結(jié)論．
（2）過點(diǎn)A作AM⊥CD于點(diǎn)M，作AN⊥BE于點(diǎn)N．運(yùn)用“AAS”證明△ACM≌△ABN得AM＝AN．根據(jù)“到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上”得證；
（3）運(yùn)用截長法在CD上截取CP＝BD，連接AP．證明△ACP≌ABD得△ADP為等邊三角形，從而求∠BAC的度數(shù)．
【解答】證明：（1）∵∠BDC＝∠BAC，∠DFB＝∠AFC，
又∵∠ABD+∠BDC+∠DFB＝∠BAC+∠ACD+∠AFC＝180°，
∴∠ABD＝∠ACD；
（2）過點(diǎn)A作AM⊥CD于點(diǎn)M，作AN⊥BE于點(diǎn)N．
則∠AMC＝∠ANB＝90°．
∵OB＝OC，OA⊥BC，
∴AB＝AC，
∵∠ABD＝∠ACD，
∴△ACM≌△ABN （AAS）
∴AM＝AN．
∴DA平分∠CDE．（到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上）；
（3）∠BAC的度數(shù)不變化．
在CD上截取CP＝BD，連接AP．
∵CD＝AD+BD，
∴AD＝PD．
∵AB＝AC，∠ABD＝∠ACD，BD＝CP，
∴△ABD≌△ACP．
∴AD＝AP；∠BAD＝∠CAP．
∴AD＝AP＝PD，即△ADP是等邊三角形，
∴∠DAP＝60°．
∴∠BAC＝∠BAP+∠CAP＝∠BAP+∠BAD＝60°．
【點(diǎn)評】此題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，運(yùn)用了角平分線的判定定理和“截長補(bǔ)短”的數(shù)學(xué)思想方法，綜合性較強(qiáng)．
12．（2022?鹿寨縣校級開學(xué)）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，A（a，0），C（b，2），且滿足，過C作CB⊥x軸于B．
（1）求a，b的值；
（2）在y軸上是否存在點(diǎn)P，使得△ABC和△OCP的面積相等，若存在，求出點(diǎn)P坐標(biāo)，若不存在，試說明理由；
（3）若過B作BD∥AC交y軸于D，且AE，DE分別平分∠CAB，∠ODB，如圖2，圖3．
①求：∠CAB+∠ODB的度數(shù)；
②求：∠AED的度數(shù)．
【分析】（1）根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得a+2＝0，b﹣2＝0，解得a＝﹣2，b＝2即可；
（2）如圖2，利用三角形面積公式求得△ABC的面積與△OPC的面積，列等式解答即可；
（3）①作EM∥AC，如圖3，則AC∥EM∥BD，根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠CAE＝∠AEM，∠BDE＝∠DEM，則∠AED＝∠CAE+∠BDE，而∠CAE＝∠CAB，∠BDE＝∠ODB，所以∠AED＝（∠CAB+∠ODB），而由AC∥BD得到∠CAB＝∠OBD，于是∠CAB+∠ODB＝∠OBD+∠ODB＝90°，
②進(jìn)而得出∠AED＝45°．
【解答】解：（1）∵（a+2）2+＝0，
∴a+2＝0，b﹣2＝0，
a＝﹣2，b＝2；
（2）存在，理由如下：
∵a＝﹣2，b＝2，
∴A（﹣2，0）C（2，2），
∴S△ABC＝AB?AC＝×4×2＝4，
設(shè)P（0，t），
∴S△OPC＝OP×2＝×|t|×2＝|t|＝4，
∴t＝4或t＝﹣4，
∴P（0，4）或P（0，﹣4）；
（3）①作EM∥AC，如圖3，
∵AC∥BD，
∴AC∥EM∥BD，
∴∠CAE＝∠AEM，∠BDE＝∠DEM，
∴∠AED＝∠CAE+∠BDE，
∵AE，DE分別平分∠CAB，∠ODB，
∴∠CAE＝∠CAB，∠BDE＝∠ODB，
∴∠AED＝（∠CAB+∠ODB），
∵AC∥BD，
∴∠CAB＝∠OBD，
∴∠CAB+∠ODB＝∠OBD+∠ODB＝90°；
②∠AED＝×90°＝45°．
【點(diǎn)評】本題是三角形的綜合題，考查了坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，角平分線的定義．也考查了平行線的性質(zhì)和三角形面積公式．
13．（2022秋?柳江區(qū)期中）已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，點(diǎn)D是直線BC上的一動點(diǎn)（點(diǎn)D不與B、C重合），連接CE．
（1）在圖1中，當(dāng)點(diǎn)D在邊BC上時，求證：BC＝CE+CD；
（2）在圖2中，當(dāng)點(diǎn)D在邊BC的延長線上時，（1）中的結(jié)論是否還成立？若不成立，請猜想BC、CE、CD之間存在的數(shù)量關(guān)系，并說明理由，
【分析】（1）根據(jù)等腰直角三角形的概念得到AB＝AC，AD＝AE，證明∠BAD＝∠EAC，利用SAS定理證明△ABD≌△ACE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BD＝CE，進(jìn)而證明結(jié)論；
（2）證明△ABD≌△ACE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BD＝CE，進(jìn)而證明結(jié)論．
【解答】（1）證明：∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，
∴AB＝AC，AD＝AE，
∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠EAC．
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE，
∴BC＝BD+CD＝CE+CD；
（2）解：結(jié)論BC＝CE+CE不成立，猜想BC＝CE﹣CD，
理由如下：∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAC+∠DAC＝∠DAE+∠DAC，即∠BAD＝∠EAC．
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE，
∴BC＝BD﹣CD＝CE﹣CD．
【點(diǎn)評】本題屬于三角形綜合題，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)等知識；本題綜合性強(qiáng)，熟練掌握等腰直角三角形的性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵，屬于中考?？碱}型．
14．（2021秋?柳州期末）已知等邊△ABC的邊長為4cm，點(diǎn)P，Q分別是直線AB，BC上的動點(diǎn)．
（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)P從頂點(diǎn)A沿AB向B點(diǎn)運(yùn)動，點(diǎn)Q同時從頂點(diǎn)B沿BC向C點(diǎn)運(yùn)動，它們的速度都為1cm/s，到達(dá)終點(diǎn)時停止運(yùn)動．設(shè)它們的運(yùn)動時間為t秒，連接AQ，PQ．
①當(dāng)t＝2時，求∠AQP的度數(shù)．
②當(dāng)t為何值時△PBQ是直角三角形？
（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在BA的延長線上，Q在BC上，若PQ＝PC，請判斷AP，CQ和AC之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
【分析】（1）①由△ABC是等邊三角形知AQ⊥BC，∠B＝60°，從而得∠AQB＝90°，△BPQ是等邊三角形，據(jù)此知∠BQP＝60°，繼而得出答案；
②由題意知AP＝BQ＝t，PB＝4﹣t，再分∠PQB＝90°和∠BPQ＝90°兩種情況分別求解可得．
（2）過點(diǎn)Q作QF∥AC，交AB于F，知△BQF是等邊三角形，證∠QFP＝∠PAC＝120°、∠BPQ＝∠ACP，從而利用AAS可證△PQF≌△CPA，得AP＝QF，據(jù)此知AP＝BQ，根據(jù)BQ+CQ＝BC＝AC可得答案．
【解答】解：（1）①根據(jù)題意得AP＝PB＝BQ＝CQ＝2，
∵△ABC是等邊三角形，
∴AQ⊥BC，∠B＝60°，
∴∠AQB＝90°，△BPQ是等邊三角形，
∴∠BQP＝60°，
∴∠AQP＝∠AQB﹣∠BQP＝90°﹣60°＝30°；
②由題意知AP＝BQ＝t，PB＝4﹣t，
當(dāng)∠PQB＝90°時，
∵∠B＝60°，
∴PB＝2BQ，得：4﹣t＝2t，解得t＝；
當(dāng)∠BPQ＝90°時，
∵∠B＝60°，
∴BQ＝2BP，得t＝2（4﹣t），解得t＝；
∴當(dāng)t＝秒或t＝秒時，△PBQ為直角三角形；
（2）AC＝AP+CQ，理由如下：
如圖所示，過點(diǎn)Q作QF∥AC，交AB于F，
則△BQF是等邊三角形，
∴BQ＝QF，∠BQF＝∠BFQ＝60°，
∵△ABC為等邊三角形，
∴BC＝AC，∠BAC＝∠BFQ＝60°，
∴∠QFP＝∠PAC＝120°，
∵PQ＝PC，
∴∠QCP＝∠PQC，
∵∠PQC＝∠B+∠BPQ，∠PCQ＝∠ACB+∠ACP，∠B＝∠ACB，
∴∠BPQ＝∠ACP，
在△PQF和△CPA中，
∵，
∴△PQF≌△CPA（AAS），
∴AP＝QF，
∴AP＝BQ，
∴BQ+CQ＝BC＝AC，
∴AP+CQ＝AC．
【點(diǎn)評】本題是三角形的綜合問題，解題的關(guān)鍵是掌握等邊三角形與等腰三角形的判定與性質(zhì)及全等三角形的判定和性質(zhì)等知識點(diǎn)．
聲明：試題解析著作權(quán)屬所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2024/10/5 21:35:22；用戶：且歌且行05；郵箱：18706874782；學(xué)號：20704693

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